3.1.2不等式的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握不等式的性質(zhì).2.能夠利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)或式的大小比較和不等式證明．知識(shí)點(diǎn)一不等式的基本性質(zhì)思考試用作差法證明a>b，b>c?a>c.梳理不等式性質(zhì)：名稱式子表達(dá)性質(zhì)1(對(duì)稱性)a＞b?b____a性質(zhì)2(傳遞性)a＞b，b＞c?a____c性質(zhì)3a＞b?a＋c____b＋c推論1推論2a＋b＞c?a＞c____ba＞b，c＞d?a＋c____b＋d性質(zhì)4a＞b，c＞0?ac____bca＞b，c＜0?ac____bc推論1a＞b＞0，c＞d＞0?ac____bda＞b＞0?an____bn(n∈N＋，n＞1)a＞b＞0?eq\r(n,a)____eq\r(n,b)(n∈N＋，n＞1)推論2推論3知識(shí)點(diǎn)二不等式性質(zhì)的注意事項(xiàng)思考1在性質(zhì)4的推論1中，若把a(bǔ)，b，c，d為正數(shù)的條件去掉，即a＞b，c＞d，能推出ac＞bd嗎？若不能，試舉出反例．思考2在性質(zhì)3的推論2中，能把“?”改為“?”嗎？為什么？梳理(1)注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不要想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．(2)注意不等式性質(zhì)的單向性或雙向性，即每條性質(zhì)是否具有可逆性，只有a＞b?b＜a，a＞b?a＋c＞b＋c，a＞b?ac＞bc(c＞0)是可以逆推的，其余幾條性質(zhì)不可逆推．類(lèi)型一不等式性質(zhì)的證明例1若a＞b，c＞0，求證：ac＞bc.反思與感悟?qū)θ我鈨蓚€(gè)實(shí)數(shù)a，b有a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.這是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)是個(gè)講究邏輯的學(xué)科，不能以理解代替證明．跟蹤訓(xùn)練1(1)若ac2＞bc2，求證：a＞b；(2)由a＞b能推出ac2＞bc2嗎？類(lèi)型二不等式性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假例2判斷下列命題的真假：(1)若a>b，則ac<bc；(2)若ac2>bc2，則a>b；(3)若a<b<0，則a2>ab>b2；(4)若a<b<0，則eq\f(b,a)>eq\f(a,b).反思與感悟要判斷命題是真命題，應(yīng)說(shuō)明理由或進(jìn)行證明，推理過(guò)程應(yīng)緊扣有關(guān)定理、性質(zhì)等，應(yīng)熟練掌握不等式的性質(zhì)及其推論的條件和結(jié)論，若判斷命題是假命題只需舉一反例即可．跟蹤訓(xùn)練2下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①若a>b，b≠0，則eq\f(a,b)>1；②若a>b，且a＋c>b＋d，則c>d；③若a>b，且ac>bd，則c>d.A．0B．1C．2D．3命題角度2利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式例3已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).反思與感悟利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)性質(zhì)把不等式進(jìn)行變形，要注意不等式性質(zhì)成立的條件，如果不能直接由不等式性質(zhì)得到，可先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)，利用不等式性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．跟蹤訓(xùn)練3若a>b>0，c<d<0，求證：eq\f(a,d)<eq\f(b,c).命題角度3應(yīng)用不等式性質(zhì)求取值范圍例4已知－6<a<8,2<b<3，分別求2a＋b，a－b，eq\f(a,b)的取值范圍．反思與感悟解決此類(lèi)問(wèn)題，要注意題設(shè)中的條件，充分利用已知求解，否則易出錯(cuò)．同時(shí)在變換過(guò)程中要準(zhǔn)確使用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的情況，同時(shí)，要特別注意同向不等式相乘的條件為同為正．跟蹤訓(xùn)練4已知－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范圍．1．若a<b<0，則下列不等式一定成立的是()A.eq\f(1,a－b)>eq\f(1,b) B．a(chǎn)2<abC.eq\f(|b|,|a|)<eq\f(|b|＋1,|a|＋1) D．a(chǎn)n>bn2．已知a>b，不等式：①a2>b2；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)成立的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．33．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－eq\f(c,a)>－eq\f(d,b)，則()A．bc<ad B．bc>adC.eq\f(a,c)>eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)<eq\f(b,d)4．若α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(0，eq\f(π,2))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范圍是________________．1．不等式的性質(zhì)有很多是不可逆的，特別對(duì)同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相減，而且性質(zhì)不可逆．只有同向且是正項(xiàng)的不等式才能相乘，且性質(zhì)不可逆．2．不等式的性質(zhì)是解(證)不等式的基礎(chǔ)，要依據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)，不能自己“制造”性質(zhì)運(yùn)算．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考a>b，b>c?a－b>0，b－c>0?a－b＋b－c>0?a－c>0?a>c.梳理＜＞＞－＞＞＜＞＞＞知識(shí)點(diǎn)二思考1不能，例如1＞－2,2＞－3，但1×2＝2＜(－2)×(－3)．思考2不能，因?yàn)橛蒩＋c＞b＋d，不能推出a＞b，c＞d，例如1＋100＞2＋3，但顯然1＜2.題型探究類(lèi)型一例1證明ac－bc＝(a－b)c.∵a＞b，∴a－b＞0.又c＞0，∴(a－b)c＞0，即ac－bc＞0，∴ac＞bc.跟蹤訓(xùn)練1解(1)∵ac2＞bc2，∴ac2－bc2＞0，即(a－b)c2＞0.若c2＝0，則ac2＝bc2與條件矛盾．∴c2＞0，∴a－b＞0，即a＞b.(2)不能．當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2.類(lèi)型二命題角度1例2解(1)由于c的正、負(fù)或是否為零未知，因而判斷ac與bc的大小缺乏依據(jù)．故該命題為假命題．(2)由ac2>bc2知c≠0，c2>0，所以a>b，該命題為真命題．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b，,a<0))?a2>ab；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b，,b<0))?ab>b2.所以a2>ab>b2，故該命題為真命題．(4)由a<b<0?－a>－b>0?a2>b2?eq\f(a2,ab)>eq\f(b2,ab)，即eq\f(a,b)>eq\f(b,a)，故該命題為假命題．跟蹤訓(xùn)練2A命題角度2例3證明∵c<d<0，∴－c>－d>0，∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴0<eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－d).又∵e<0，∴eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).跟蹤訓(xùn)練3證明∵c<d<0，∴－c>－d>0.又a>b>0，∴－ac>－bd>0，∴ac<bd.又c<0，d<0，∴cd>0.∴eq\f(ac,cd)<eq\f(bd,cd)，即eq\f(a,d)<eq\f(b,c).命題角度3例4解∵－6<a<8,2<b<3，∴－12<2a<16，∴－10<2a＋b<19.又∵－3<－b<－2，∴－9<a－b<6.又eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，當(dāng)0≤a<8時(shí)，0≤eq\f(a,b)<4；當(dāng)－6<a<0時(shí)，－3<eq\f(a,b)<0.∴－3<eq\f(a,b)<4.跟蹤訓(xùn)練4解∵－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)<eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4).上面兩式相加得－eq\f(π,2)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)<