線性代數(shù)（第二版）1第四章矩陣的特征值與特征向量2矩陣的特征值與特征向量的概念和性質(zhì)相似矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化第一節(jié)矩陣的特征值與特征向量的概念和性質(zhì)一、矩陣的特征值與特征向量的概念3定義成立，則方陣A的特征值.A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.例如，對(duì)非零列向量因?yàn)?/p>

實(shí)數(shù)為矩陣的特征值，而非零列向量為

的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量．說明45定義設(shè)A為n階方陣，記稱為矩陣A的特征值多項(xiàng)式，為矩陣A的特征值方程.注是以為未知數(shù)的一元n次方程，

n階方陣A共有n個(gè)特征值.6求矩陣特征值與特征向量的步驟：7例1解A的特征方程為，8取基礎(chǔ)解系為9取基礎(chǔ)解系為10例2解A的特征方程為故A的特征值為11取基礎(chǔ)解系為12取基礎(chǔ)解系為13例3證設(shè)為A的任意特征值，因此14二、特征值的性質(zhì)性質(zhì)1證性質(zhì)215證16性質(zhì)2推論注稱為方陣A的跡，記為17性質(zhì)3證18例4證由性質(zhì)3有：得證.19注(3)當(dāng)A可逆時(shí)，上述結(jié)論對(duì)任意整數(shù)m成立.20例5解2122三、特征向量的性質(zhì)定理1證對(duì)m使用數(shù)學(xué)歸納法.23由歸納假設(shè)知，24將其代入①式得：25定理226例6證得證.27定理3注(1)

n

階方陣A有n個(gè)特征值；(2)

盡管n

階方陣A的特征向量有無窮多個(gè),但根據(jù)定理3可推知，A的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不超過n個(gè).282.特征值的性質(zhì)

1.矩陣特征值、特征向量的概念，及計(jì)算四、小結(jié)3.特征向量的性質(zhì)謝謝！29線性代數(shù)（第二版）30第四章矩陣的特征值與特征向量31矩陣的特征值與特征向量的概念和性質(zhì)相似矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化第二節(jié)相似矩陣一、相似矩陣的概念定義成立，則稱A與B相似，記為，矩陣P稱為相似變換矩陣。333注相似作為矩陣之間的關(guān)系，具有以下基本性質(zhì)：(1)自反性:

A與A相似；(2)對(duì)稱性:

若A與B相似，則B與A與B相似；(3)傳遞性:

若A與B相似，B與C相似，則A與C相似.34二、相似矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1證性質(zhì)2證35說明性質(zhì)2的逆命題不成立，即：若兩個(gè)矩陣的特征值相同，它們不一定相似．例如，故A，B有相同的特征值，但A，B不相似.36例1解由性質(zhì)2可知，解得37三、矩陣的對(duì)角化定義則稱A可對(duì)角化.38定理1證必要性對(duì)P作列分塊，3940充分性因此A可對(duì)角化.41例2A的特征方程為解42取基礎(chǔ)解系取基礎(chǔ)解系因此A可對(duì)角化.43例3解由例4.1.3知，44因此A可對(duì)角化.45推論定理246例4解47由定理4.2.2知，A可對(duì)角化48例5解首先將A對(duì)角化：49502.矩陣可對(duì)角化的判別方法：(1)

A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量；(2)

A的特征值互不相同（僅為充分條件）；(3)

對(duì)于每個(gè)重特征值，其線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)=其重?cái)?shù).

1.矩陣相似、矩陣可對(duì)角化的概念．四、小結(jié)謝謝！51線性代數(shù)（第二版）52第四章矩陣的特征值與特征向量53矩陣的特征值與特征向量的概念和性質(zhì)相似矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化一、實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)3定理1實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).定理2實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交.證由于55定理3設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必存在正交矩陣P，使得56例1解二、實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化5758596061說明(2)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征向量作規(guī)范正交化后仍為特征向量。(1)對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，由定理2可知，將其特征向量正交化時(shí)，只需將屬于同一個(gè)特征值的的特征向量正交化；注求正交矩陣P，使實(shí)對(duì)稱矩陣A對(duì)角化的步驟如下：(1)求A的全部特征值，記互不相同的特征值為62例2解636465662.實(shí)對(duì)稱矩陣A對(duì)角化（正交矩陣P）的步驟

1.實(shí)對(duì)稱