《平方差公式》知識(shí)回顧1.單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則：p(a+b+c)=pa+pb+pc(p，a，b，c都是單項(xiàng)式).2.多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq(a，b，p，q分別是單項(xiàng)式).1.了解并掌握平方差公式.2.理解平方差公式的推導(dǎo)過(guò)程，并會(huì)應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂導(dǎo)入喜洋洋在計(jì)算980×1020時(shí)，覺(jué)得這道題的計(jì)算量很大，灰太狼得意的對(duì)喜洋洋說(shuō):“你把980×1020變成形(1000-20)(1000+20)不就簡(jiǎn)單多了嗎？“你知道灰太狼運(yùn)用了什么知識(shí)嗎？計(jì)算下列多項(xiàng)式的積：(1)(x+1)(x-1)=_________=_____；(2)(m+2)(m-2)=_____________=_____；(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.

x·x-x+x-1x2

-1

m·m-2m+2m-4m2

-4=m2

-222x·2x-2x+2x-14x2

-1=(2x)2

-12

觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？=x2

-12

猜想：(a+b)(a-b)=

.

a2

-b2

知識(shí)點(diǎn)

平方差公式新知探究如何證明這個(gè)等式呢？(1)用多項(xiàng)式乘法證明(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.(2)借助幾何圖形證明圖中有兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b的正方形，兩個(gè)正方形的面積之差可以表示為a2-

b2.ba(2)借助幾何圖形證明ba將圖中右下方的長(zhǎng)方形移動(dòng)位置后，拼得一個(gè)長(zhǎng)為(a+b)，寬為(a-b)的長(zhǎng)方形，其面積為(a+b)(a-b).a-bb(a+b)(a-b)=a2-b2.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.特點(diǎn)：(1)等號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；(2)等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.兩個(gè)數(shù)的和兩個(gè)數(shù)的差積平方差兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.例1運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(-x+2y)(-x-2y).

解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22

=9x2-4.(2)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2

=x2-4y2.跟蹤訓(xùn)練新知探究分析：(1)3x相當(dāng)于a，2相當(dāng)于b.(2)-x相當(dāng)于a，2y相當(dāng)于b.例2計(jì)算：(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；(2)102×98.

解：(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)

=y2-4-y2-4y+5=-4y+1；(2)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22

=9996.

只有符合公式條件的乘法，才能運(yùn)用公式簡(jiǎn)化運(yùn)算，其余的運(yùn)算仍按乘法法則進(jìn)行.平方差公式的變化及應(yīng)用變化形式應(yīng)用舉例位置變化符號(hào)變化系數(shù)變化指數(shù)變化增項(xiàng)變化連用公式變化(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4(1)平方差公式的字母a，b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，只要符合這個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征就可以運(yùn)用這個(gè)公式；(2)在運(yùn)用公式時(shí)，要分清楚哪個(gè)相當(dāng)于公式中的a，哪個(gè)相當(dāng)于公式中的b，不要混淆.1.（郴州）如圖1，將邊長(zhǎng)為x的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形（陰影部分），并將剩余部分沿虛線(xiàn)剪開(kāi)，得到兩個(gè)長(zhǎng)方形，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成圖2所示長(zhǎng)方形．這兩個(gè)圖能解釋下列哪個(gè)等式（）

A.x2-2x+1=(x-1)2B.x2-1=(x+1)(x-1)C.x2+2x+1=(x+1)2D.x2-x=x(x-1)

x2-1(x+1)(x-1)B隨堂練習(xí)2.計(jì)算下列式子：(1)(5m+3n)(5m-3n);(2)(-3y-4x)(3y-4x);解：(1)

(5m+3n)(5n-3n)=(5m)2-(3n)2=25m2-9n2

;

(2)(-3y-4x)(3y-4x)=[(-4x)+3y][(-4x)-3y]=(-4x)2-(3y)2=16x2-9y2

;

(3)

(-2a2+5b)(-2a2-5b)=(-2a2)2-(5b)2=4a2-25b2

;

2.計(jì)算下列式子：(3)(-2a2+5b)(-2a2-5b);(4)(x+y)(-x+y).

3.計(jì)算下列式子：(1)210×190;(2)2020×2022-20212

.

解：(1)210×190=(200+10)

(200-10)=2002-102

=40000-100=39900;

(2)2020×2022-20212=(2021-1)

(2021+1)-20192=20212-1-20212=-1.平方差公式兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差(a+b)(a-b)=a2-b2課堂小結(jié)1.計(jì)算：(-3a+1)(-3a-1)

(9a2+1).解：(-3a+1)(-3a-1)(9a2+1)=[(-3a)2-1][(3a)2+1]=[(3a)2-1]

[(3a)2+1]=(3a)4-1=81a4-1.分析：觀察可知，變形之后可連用兩次平方差公式.拓展提升2.已知(a-b)2=3,(a+b)2=4,則ab=._________解：因?yàn)?/p>

(a-b)2-(a+b)2=(a-b+a+b)

(a-b-a-b)=2a·(-2b)=-4ab，而(a-b)2-(a+b)2=3-4=-1，所以-4ab=-1，所以ab=.

平方差公式的逆用

平方差公式的幾何意義1234567891011121314151617181.

如圖，在邊長(zhǎng)為

a

的正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為

x

的小正方形，將余

下部分對(duì)稱(chēng)剪開(kāi)，拼成一個(gè)梯形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積的關(guān)系，

可以得到一個(gè)關(guān)于

a

，

x

的恒等式是(

C

)A.

a2－

x2＝(2

x

＋2

a

)(

a

－

x

)C.

a2－

x2＝(

x

＋

a

)(

a

－

x

)D.

(

a

－

x

)2＝(

x

＋

a

)(

x

－

a

)C

平方差公式2.

下列各式運(yùn)算結(jié)果為

x2－25

y2的是(

B

)A.

(

x

＋5

y

)(－

x

＋5

y

)B.

(－

x

－5

y

)(－

x

＋5

y

)C.

(

x

－

y

)(

x

＋25

y

)D.

(

x

－5

y

)(5

y

－

x

)【解析】

(－

x

－5

y

)(－

x

＋5

y

)＝(－

x

)2－(5

y

)2＝

x2－25

y2.B1234567891011121314151617183.

若(2

a

＋3

b

)·(

)＝9

b2－4

a2，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是(

D

)A.

－2

a

－3

b

B.

2

a

＋3

b

C.

2

a

－3

b

D.

3

b

－2

a

D123456789101112131415161718

A.

2B.

－2

D1234567891011121314151617185.

下列各式，計(jì)算正確的是(

C

)A.

(

a

＋4)(

a

－4)＝

a2－4B.

(2

a

＋3)(2

a

－3)＝2

a2－9C.

(5

ab

＋1)(5

ab

－1)＝25

a2

b2－1D.

(

a

＋2)(

a

－4)＝

a2－8C1234567891011121314151617186.

(唐山第12中學(xué)期末)若

x2－

y2＝20，且

x

＋

y

＝－5，則

x

－

y

值

是(

C

)A.

－5B.

4C.

－4D.

5【解析】∵

x2－

y2＝(

x

＋

y

)(

x

－

y

)＝20，

x

＋

y

＝－5，∴

x

－

y

＝－4.C1234567891011121314151617187.

(河北中考)若

k

為任意整數(shù)，則(2

k

＋3)2－4

k2的值總能(

B

)A.

被2整除B.

被3整除C.

被5整除D.

被7整除【解析】

(2

k

＋3)2－4

k2＝(2

k

＋3＋2

k

)·(2

k

＋3－2

k

)＝3(4

k

＋3)，∵3(4

k

＋3)能被3整除，∴(2

k

＋3)2－4

k2的值總能被3整除.B1234567891011121314151617188.

我們可以利用圖形的面積來(lái)解釋一些代數(shù)恒等式.如圖，能夠使用其

中陰影部分的面積說(shuō)明的等式是(

B

)D.

(

a

＋3)2＝

a2＋6

a

＋9B1234567891011121314151617189.

填空：(1)

(2

x

＋1)(2

x

－1)＝

?；

(2)(3

x

＋7)(

)＝9

x2－49；

(3)(

x

－3)(

x

＋3)(

x2＋9)＝

?.4

x2－1

3

x

－7

x4－81

12345678910111213141516171810.

計(jì)算：(1)(4＋3

a

)(－4＋3

a

)；解：原式＝9

a2－16.

(2)(重慶中考)

a

(2－

a

)＋(

a

＋1)·(

a

－1)；解：原式＝2

a

－

a2＋

a2－1＝2

a

－1.(3)(

x

＋1)(

x

－2)－(

x

－3)(

x

＋3).解：原式＝

x2－

x

－2－

x2＋9＝－

x

＋7.123456789101112131415161718

運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算

(2)1

007×993.解：原式＝(1

000＋7)(1

000－7)＝1

000

000－49＝999

951.123456789101112131415161718

12.

如果(

a

－

b

－3)(

a

－

b

＋3)＝40，那么

a

－

b

的值為(

D

)A.

49B.

7C.

－7D.

7或－713.

計(jì)算(

x4＋1)(

x2＋1)(

x

＋1)(

x

－1)的結(jié)果是(

D

)A.

x8＋1B.

x4＋1C.

(

x

＋1)8D.

x8－1

A.

12B.

10C.

8D.

6DDB12345678910111213141516171815.

【教材第108頁(yè)例1(2)改編】已知(－

x

＋2

y

)(－

x

－2

y

)＋

y2＝5，求3

－12

y2＋4

x2的值.解：∵(－

x

＋2

y

)(－

x

－2

y

)＋

y2＝5，∴

x2－4

y2＋

y2＝5.∴

x2－3

y2＝

5.∴3－12

y2＋4

x2＝3＋4(

x2－3

y2)＝23.12345678910111213141516171816.

先化簡(jiǎn)，再求值：2(3

x

＋1)(1－3

x

)＋(

x

－2)(2＋

x

)，其中

x

＝2.解：2(3

x

＋1)(1－3

x

)＋(

x

－2)(2＋

x

)＝2(1＋3

x

)(1－3

x

)＋(

x

－2)(

x

＋

2)＝2(1－9

x2)＋(

x2－4)＝2－18

x2＋

x2－4＝－17

x2－2.當(dāng)

x

＝2時(shí)，原式＝－17×22－2＝－17×4－2＝－70.12345678910111213141516171817.

已知三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度分別為

a

，

b

，

c

且

a

≠

b

，且

a2－

b2＝

c

(

a

－

b

)，那么這三條線(xiàn)段能組成三角形嗎？解：∵

a2－

b2＝

c

(

a

－

b

)，∴(

a

＋

b

)(

a

－

b

)＝

c

·(

a

－

b

).∵

a

≠

b

，∴

a

－

b

≠0.∴

a

＋

b

＝

c

.∴這三條線(xiàn)段不能組成三角形.123456789101112131415161718

18.

數(shù)學(xué)中的許多規(guī)律不僅可以通過(guò)數(shù)的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，也可以通

過(guò)圖形的面積發(fā)現(xiàn).(1)填表：【數(shù)的角度】

a

b

a

＋

b

a

－

b

a2－

b2213133－215

?

?5

123456789101112131415161718(2)【形的角度】如圖1，在邊長(zhǎng)為

a

的正方形紙片上剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為

b

(

b

＜

a

)的小正方形，怎樣計(jì)算圖中陰影部分