第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第八章平面解析幾何課程標(biāo)準(zhǔn)1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.0403考教銜接精研教材課時(shí)測評02考點(diǎn)探究提升能力教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，則①l1∥l2?方向向量平行?______且______.②l1⊥l2?方向向量垂直?_______________________?________.③兩條直線重合?_____并且______.④兩條直線相交?_____.(2)兩條直線的一般式方程為l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，則①l1∥l2?法向量平行?A1B2-A2B1=0，A1C2≠A2C1?________________________，λ為非零實(shí)數(shù).②l1⊥l2?法向量垂直?_____________________________.k1=k2b1≠b2(1，k1)·(1，k2)=1+k1k2=0k1=k2b1=b2k1≠k2A2=λA1，B2=λB1，(A1，B1)·(A2，B2)=A1A2+B1B2=0C2≠λC1k1k2=-12.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程分別為l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0.如果這兩條直線相交，由于交點(diǎn)同時(shí)在這兩條直線上，___________一定是這兩個(gè)方程的公共解；反之，如果將這兩條直線的方程聯(lián)立，若方程組有唯一解，那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是直線l1和直線l2的交點(diǎn).交點(diǎn)的坐標(biāo)(2)兩直線的位置關(guān)系和方程組解的個(gè)數(shù)的關(guān)系直線l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同時(shí)為0)；l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同時(shí)為0)的位置關(guān)系如表所示.方程組的解一組解無解無數(shù)組解直線l1，l2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)零個(gè)無數(shù)個(gè)直線l1，l2的位置關(guān)系_______________相交平行重合3.三種距離公式兩點(diǎn)間的距離平面內(nèi)任意兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離為|AB|=_____________________點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x0，y0)到直線Ax+By+C=0的距離d=_____________兩條平行線間的距離兩條平行直線l1：Ax+By+C1=0與l2：Ax+By+C2=0之間的距離d=

微提醒

利用兩平行直線間的距離公式時(shí)，需要先將兩條平行線方程化為x，y的系數(shù)對應(yīng)相等的一般式.常用結(jié)論(1)直線系方程①與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).②與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).③過直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)，但不包括l2.(2)與對稱問題有關(guān)的四個(gè)結(jié)論①點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對稱點(diǎn)為(2a-x，2b-y).②點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x=a的對稱點(diǎn)為(2a-x，y)，關(guān)于直線y=b的對稱點(diǎn)為(x，2b-y).③點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)為(-y，-x).④點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x+y=k的對稱點(diǎn)為(k-y，k-x)，關(guān)于直線x-y=k的對稱點(diǎn)為(k+y，x-k).自主檢測

√√2.(用結(jié)論)過點(diǎn)(1，0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是A．x-2y-1=0

B．x-2y+1=0C．2x+y-2=0

D．x+2y-1=0√因?yàn)樗笾本€與x-2y-2=0平行，故可設(shè)直線方程為x-2y+m=0，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)(1，0)，所以1+m=0，即m=-1.故所求直線方程為x-2y-1=0.故選A．3.若直線l1：ax-(a+1)y+1=0與直線l2：2x-ay-1=0垂直，則實(shí)數(shù)a=A．3

B．0C．-3

D．0或-3√因?yàn)橹本€l1與直線l2垂直，所以2a+a(a+1)=0，整理得a2+3a=0，解得a=0或a=-3.故選D．

4或-165.(用結(jié)論)點(diǎn)P(2，5)關(guān)于直線x+y=1的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

.

點(diǎn)P(2，5)關(guān)于x+y=1的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(1-5，1-2)，即(-4，-1).(-4，-1)返回考點(diǎn)探究提升能力考點(diǎn)一兩條直線的平行與垂直

自主練透由題意可知l1⊥l2，故2a+a(a-1)=0，解得a=0或a=-1，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.故選A．1.已知直線l1：ax+(a-1)y+3=0，l2：2x+ay-1=0，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值是A．0或-1

B．-1或1C．-1

D．1√

√√

3.已知三條直線2x-3y+1=0，4x+3y+5=0，mx-y-1=0不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為

.

判斷兩直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.2.在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.規(guī)律方法考點(diǎn)二兩直線的交點(diǎn)與距離問題

師生共研典例1

√

(2)兩條平行直線3x+4y-12=0與ax+8y+11=0之間的距離為

.

兩種距離的求解思路1.點(diǎn)到直線的距離：可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式.2.兩平行直線間的距離：(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；(2)利用兩平行線間的距離公式(利用公式前需把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式).注意：點(diǎn)P(x0，y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|，到直線y=b的距離d=|y0-b|.規(guī)律方法

√

(2)已知直線l1：2x+3y-1=0和l2：4x+6y-9=0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為

1∶2，則直線l的方程為

_.

4x+6y+5=0或12x+18y-13=0考點(diǎn)三對稱問題

多維探究設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則其關(guān)于點(diǎn)M(-2，1)的對稱點(diǎn)(-4-x，2-y)在已知直線上，所以所求直線方程為(-4-x)-2(2-y)-3=0，即x-2y+11=0.典例2角度1

中心對稱(1)直線x-2y-3=0關(guān)于定點(diǎn)M(-2，1)對稱的直線方程是

__

.

x-2y+11=0(2)過點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為

.

x+4y-4=0典例3

√

(2)已知點(diǎn)A(4，-1)，B(8，2)和直線l：x-y-1=0，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線l上，則|PA|+|PB|的最小值為

.

1.中心對稱問題的處理方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式找關(guān)系求解.(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱：法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，求出對稱點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式求直線方程.法二：在已知直線上取一點(diǎn)求對稱點(diǎn)，利用關(guān)于一點(diǎn)對稱的兩條直線平行，求直線方程.規(guī)律方法

規(guī)律方法(2)直線關(guān)于直線的對稱①若直線與對稱軸平行，則可在直線上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，然后用直線的點(diǎn)斜式方程求解.②若直線與對稱軸相交，則先求出交點(diǎn)，然后取直線上一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，最后由直線的兩點(diǎn)式方程求解.

規(guī)律方法

(2)直線x-y-2=0關(guān)于直線l對稱的直線方程；

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)

√

√

返回教材呈現(xiàn)(湘教版選擇性必修一P87T3)求點(diǎn)A(-3，4)到直線3x-2y+6=0的距離.點(diǎn)評：這兩道高考題與教材練習(xí)題非常類似，都是求點(diǎn)到直線的距離，2024年北京卷涉及求圓心，2023年新高考Ⅱ卷涉及直線與橢圓的位置關(guān)系，都是教材練習(xí)題的變式和引申，試題源于教材高于教材.課時(shí)測評1.(2024·江西南昌三模)若a為實(shí)數(shù)，則“a=1”是“直線l1：ax+y+2=0與l2：x+ay-3-a=0平行”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件√若直線l1：ax+y+2=0與l2：x+ay-3-a=0平行，則a2-1=0，解得a=1或a=-1，當(dāng)a=1時(shí)，直線l1：x+y+2=0，l2：x+y-4=0，此時(shí)l1∥l2，符合題意；當(dāng)a=-1時(shí)，直線l1：-x+y+2=0，即l1：x-y-2=0，l2：x-y-2=0，此時(shí)l1，l2重合，不符合題意，所以“a=1”是“直線l1：ax+y+2=0與l2：x+ay-3-a=0平行”的充要條件.故選C．2.若直線ax-4y+2=0與直線2x+5y+c=0垂直，垂足為(1，b)，則a+b+c等于A．-6

B．4

C．-10

D．-4√

√

4.(2024·山西太原模擬)已知直線l與直線3x-2y=6平行，且直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，則直線l的方程為A．15x-10y-6=0

B．15x-10y+6=0C．6x-4y-3=0

D．6x-4y+3=0√

5.當(dāng)點(diǎn)P(3，2)到直線mx-y+1-2m=0的距離最大時(shí)，m的值為A．3

B．0

C．-1

D．1√

6.(多選)已知直線l過點(diǎn)P(1，2)，且點(diǎn)A(2，3)，B(4，-5)到直線l的距離相等，則l的方程可能是A．4x+y-6=0

B．x+4y-6=0C．3x+2y-7=0

D．2x+3y-7=0√√

√√

√8.已知直線l1：2x+y+1=0和直線l2：x+ay+3=0，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為

；若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為

.

-2

9.直線2x+4y-5=0關(guān)于直線x=2對稱的直線的方程為

.

2x-4y-3=0

√√

√A關(guān)于直線x=0的對稱點(diǎn)是A'(-3，-1)，關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)是A″(-1，3)，由角平分線的性質(zhì)可知，點(diǎn)A'，A″均在直線BC上，所以直線BC的方程為y=2x+5.故選C．13.已知直線l1：x-my+1=0過定點(diǎn)A，直線l2：mx+y-m+3=0過定點(diǎn)B，l1與l2相交于點(diǎn)P，則|PA|2+|PB|2=A．10

B．13