高中立體幾何習(xí)題解析匯編一、引言立體幾何是高中數(shù)學(xué)的核心分支之一，也是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容（約占15%~20%的分值）。它以空間幾何體為研究對象，重點(diǎn)探討結(jié)構(gòu)特征、位置關(guān)系及度量問題，旨在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。本文結(jié)合高中立體幾何的核心知識點(diǎn)，精選典型習(xí)題并進(jìn)行深度解析，涵蓋空間幾何體的表面積與體積、空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系、空間角與距離、立體幾何中的折疊與探索性問題四大模塊。每模塊均包含核心公式/定理回顧、典型例題解析、思路點(diǎn)撥及易錯提醒，力求為學(xué)生提供系統(tǒng)的解題思路和實(shí)用的技巧總結(jié)。二、空間幾何體的表面積與體積（一）核心公式回顧幾何體表面積公式體積公式棱柱（直）\(S=2S_{\text{底}}+S_{\text{側(cè)}}\)\(V=S_{\text{底}}\cdoth\)棱錐\(S=S_{\text{底}}+S_{\text{側(cè)}}\)\(V=\frac{1}{3}S_{\text{底}}\cdoth\)棱臺\(S=S_{\text{上底}}+S_{\text{下底}}+S_{\text{側(cè)}}\)\(V=\frac{1}{3}h(S_{\text{上底}}+S_{\text{下底}}+\sqrt{S_{\text{上底}}S_{\text{下底}}})\)圓柱\(S=2\pir(r+h)\)\(V=\pir^2h\)圓錐\(S=\pir(r+l)\)（\(l\)為母線）\(V=\frac{1}{3}\pir^2h\)球\(S=4\piR^2\)\(V=\frac{4}{3}\piR^3\)（二）典型例題解析例1已知正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為\(\sqrt{3}\)，求其表面積和體積。解析正三棱錐的底面是正三角形，側(cè)面是三個全等的等腰三角形。解題關(guān)鍵是求底面積、斜高（側(cè)面等腰三角形的高）和高（頂點(diǎn)到底面的距離）。步驟1.底面積：底面正三角形的面積為：\[S_{\text{底}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3}\]2.斜高（側(cè)面等腰三角形的高）：設(shè)底面中心為\(O\)，頂點(diǎn)為\(S\)，底面邊\(AB\)的中點(diǎn)為\(M\)，則\(SM\)為斜高。在\(Rt\triangleSAM\)中，\(SA=\sqrt{3}\)，\(AM=1\)，故：\[SM=\sqrt{SA^2-AM^2}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}\]3.側(cè)面積：三個側(cè)面的面積之和為：\[S_{\text{側(cè)}}=3\times\frac{1}{2}\timesAB\timesSM=3\times\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}\]4.表面積：\[S_{\text{表}}=S_{\text{底}}+S_{\text{側(cè)}}=\sqrt{3}+3\sqrt{2}\]5.高（\(SO\)）：底面中心\(O\)到頂點(diǎn)\(A\)的距離為：\[AO=\frac{2}{3}\times\text{底面高}=\frac{2}{3}\times\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\]在\(Rt\triangleSAO\)中，\(SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{3-\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}\)6.體積：\[V=\frac{1}{3}S_{\text{底}}\timesSO=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{15}}{3}=\frac{\sqrt{5}}{3}\]思路點(diǎn)撥正三棱錐的“正”體現(xiàn)在底面正多邊形和頂點(diǎn)在底面的正投影為中心，因此需利用正多邊形的中心性質(zhì)（如中心到頂點(diǎn)、邊的距離）求解高和斜高。易錯提醒斜高是側(cè)面等腰三角形的高，而非頂點(diǎn)到底面的高（后者是棱錐的高），切勿混淆。例2一個圓柱的底面半徑為1，高為2，在圓柱內(nèi)部挖去一個與圓柱同底等高的圓錐，求剩余部分的體積（結(jié)果保留\(\pi\)）。解析剩余部分的體積等于圓柱體積減去圓錐體積。步驟1.圓柱體積：\[V_{\text{圓柱}}=\pir^2h=\pi\times1^2\times2=2\pi\]2.圓錐體積：\[V_{\text{圓錐}}=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi\times1^2\times2=\frac{2}{3}\pi\]3.剩余部分體積：\[V=V_{\text{圓柱}}-V_{\text{圓錐}}=2\pi-\frac{2}{3}\pi=\frac{4}{3}\pi\]思路點(diǎn)撥組合體的體積計(jì)算通常采用“補(bǔ)形”或“切割”法，將復(fù)雜幾何體轉(zhuǎn)化為簡單幾何體的和或差。易錯提醒挖去圓錐后，剩余部分的表面積會增加圓錐的側(cè)面積（若題目要求表面積需注意），但本題僅求體積，無需考慮。三、空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系（一）核心定理梳理位置關(guān)系判定定理性質(zhì)定理線面平行平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行線面平行則線與交線平行線面垂直直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直線面垂直則線與平面內(nèi)所有直線垂直面面平行一個平面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行面面平行則交線平行面面垂直一個平面過另一個平面的垂線面面垂直則平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一平面（二）典型例題解析例3如圖，在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)為\(DD_1\)的中點(diǎn)，求證：\(A_1C_1\parallel\)平面\(ACE\)。解析證明線面平行的常用方法有兩種：1.判定定理：找平面內(nèi)與已知直線平行的直線；2.面面平行性質(zhì)：找過已知直線的平面與已知平面平行。方法一（判定定理）1.連接\(AC\)（底面\(ABCD\)的對角線）。2.在正方體中，\(A_1C_1\parallelAC\)（相對面的對角線平行）。3.由于\(AC\subset\)平面\(ACE\)，\(A_1C_1\not\subset\)平面\(ACE\)，故\(A_1C_1\parallel\)平面\(ACE\)（線面平行判定定理）。方法二（面面平行性質(zhì)）1.取\(AA_1\)的中點(diǎn)\(F\)，連接\(C_1F\)、\(EF\)。2.由\(EF\parallelAD\parallelBC\)且\(EF=AD=BC\)，得四邊形\(BCEF\)為平行四邊形，故\(C_1F\parallelCE\)。3.由\(A_1F\parallelC_1D_1\parallelCD\)且\(A_1F=C_1D_1=CD\)，得四邊形\(A_1FCD\)為平行四邊形，故\(A_1C_1\parallelAC\)。4.因此，平面\(A_1C_1F\parallel\)平面\(ACE\)（面面平行判定定理），故\(A_1C_1\parallel\)平面\(ACE\)（面面平行性質(zhì)）。思路點(diǎn)撥正方體中的面對角線、側(cè)棱等具有天然的平行關(guān)系，是證明線面平行的“天然輔助線”。易錯提醒使用線面平行判定定理時(shí)，必須強(qiáng)調(diào)“平面外直線”和“平面內(nèi)直線”，缺一不可。例4如圖，在三棱錐\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(AB\perpBC\)，\(PA=AB=BC=1\)，求證：\(BC\perp\)平面\(PAB\)。解析證明線面垂直需滿足直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直。步驟1.由\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(BC\subset\)底面\(ABC\)，得\(PA\perpBC\)（線面垂直性質(zhì)）。2.由\(AB\perpBC\)（已知），且\(PA\capAB=A\)（\(PA\)與\(AB\)相交于\(A\)）。3.因此，\(BC\perp\)平面\(PAB\)（線面垂直判定定理）。思路點(diǎn)撥證明線面垂直時(shí)，優(yōu)先尋找已知的垂直關(guān)系（如題目中的\(PA\perp\)底面、\(AB\perpBC\)），再驗(yàn)證兩條垂直直線是否相交。易錯提醒若兩條垂直直線不相交（如異面垂直），則無法證明線面垂直，必須強(qiáng)調(diào)“相交”。四、空間角與距離（一）空間角的計(jì)算空間角包括異面直線所成角、線面角、二面角，其定義、范圍及常用方法如下：類型定義范圍常用方法異面直線所成角兩條異面直線平移至相交后的夾角\((0^\circ,90^\circ]\)平移法（構(gòu)造三角形）線面角直線與其在平面內(nèi)的射影所成角\([0^\circ,90^\circ]\)射影法（正弦值=距離/斜長）二面角兩個平面所成的“開口”角\([0^\circ,180^\circ]\)定義法（找平面角）、向量法例5在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，求異面直線\(A_1B\)與\(AC\)所成角的大小。解析異面直線所成角的求解關(guān)鍵是平移直線，將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線。步驟1.連接\(A_1C_1\)（頂面\(A_1B_1C_1D_1\)的對角線）。2.由正方體性質(zhì)，\(A_1C_1\parallelAC\)（相對面的對角線平行），故異面直線\(A_1B\)與\(AC\)所成角等于\(\angleBA_1C_1\)（\(A_1B\)與\(A_1C_1\)的夾角）。3.在\(\triangleA_1BC_1\)中，\(A_1B=A_1C_1=BC_1\)（正方體的面對角線，長度相等），故\(\triangleA_1BC_1\)為等邊三角形，\(\angleBA_1C_1=60^\circ\)。結(jié)論異面直線\(A_1B\)與\(AC\)所成角為\(60^\circ\)。思路點(diǎn)撥平移法是求解異面直線所成角的核心方法，平移的目標(biāo)是將異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的相交直線，通常利用平行四邊形或中位線實(shí)現(xiàn)平移。易錯提醒若平移后夾角為鈍角，需取其補(bǔ)角（因?yàn)楫惷嬷本€所成角范圍是\((0^\circ,90^\circ]\)）。例6如圖，在三棱錐\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(AB=AC=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(PA=3\)，求直線\(PC\)與平面\(ABC\)所成角的正弦值。解析線面角的正弦值等于直線上一點(diǎn)到平面的距離除以該點(diǎn)到直線與平面交點(diǎn)的距離（斜線段長度）。步驟1.由\(PA\perp\)底面\(ABC\)，得\(PA\)是點(diǎn)\(P\)到平面\(ABC\)的距離（\(PA=3\)）。2.計(jì)算斜線段\(PC\)的長度：在\(Rt\trianglePAC\)中，\(AC=2\)，\(PA=3\)，故：\[PC=\sqrt{PA^2+AC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\]3.線面角\(\theta\)的正弦值為：\[\sin\theta=\frac{PA}{PC}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}\]思路點(diǎn)撥線面角的正弦值等于“高”（點(diǎn)到平面的距離）除以“斜長”（直線與平面交點(diǎn)到該點(diǎn)的距離），無需找射影即可快速求解。易錯提醒線面角的范圍是\([0^\circ,90^\circ]\)，故正弦值非負(fù)，無需考慮符號。例7如圖，在三棱錐\(S-ABC\)中，\(SA=SB=SC=2\)，\(AB=BC=CA=2\)，求二面角\(S-AB-C\)的大小。解析二面角的求解關(guān)鍵是找平面角（過棱上一點(diǎn)作兩個平面的垂線，夾角即為二面角）。步驟1.取\(AB\)的中點(diǎn)\(D\)，連接\(SD\)、\(CD\)（\(AB\)是二面角的棱）。2.由\(SA=SB=2\)，\(AB=2\)，得\(\triangleSAB\)為等邊三角形，故\(SD\perpAB\)（等邊三角形的高），\(SD=\sqrt{3}\)。3.由\(AB=BC=CA=2\)，得\(\triangleABC\)為等邊三角形，故\(CD\perpAB\)（等邊三角形的高），\(CD=\sqrt{3}\)。4.因此，\(\angleSDC\)是二面角\(S-AB-C\)的平面角（過棱\(AB\)上的點(diǎn)\(D\)，作兩個平面的垂線\(SD\)、\(CD\)，夾角即為二面角）。5.在\(\triangleSDC\)中，\(SD=CD=\sqrt{3}\)，\(SC=2\)，由余弦定理得：\[\cos\angleSDC=\frac{SD^2+CD^2-SC^2}{2\cdotSD\cdotCD}=\frac{3+3-4}{2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]6.故二面角\(S-AB-C\)的大小為\(\arccos\frac{1}{3}\)（或?qū)懗蒤(\arctan\sqrt{2}\)）。思路點(diǎn)撥對于正棱錐（底面為正多邊形，頂點(diǎn)在底面的正投影為中心），二面角的平面角可通過底面中心與頂點(diǎn)的連線和底面邊的高構(gòu)造（如本題中的\(SD\)、\(CD\)）。易錯提醒二面角的平面角必須滿足“兩邊都垂直于棱”，否則無法代表二面角的大小。（二）空間距離的計(jì)算空間距離包括點(diǎn)到平面的距離、線面距離、面面距離，其中點(diǎn)到平面的距離是核心（線面、面面距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離）。例8如圖，在三棱錐\(P-ABC\)中，\(PA=PB=PC=2\)，\(AB=BC=CA=2\)，求點(diǎn)\(P\)到平面\(ABC\)的距離。解析點(diǎn)到平面的距離可通過體積法求解（將點(diǎn)到平面的距離視為三棱錐的高）。步驟1.設(shè)點(diǎn)\(P\)到平面\(ABC\)的距離為\(h\)（即三棱錐\(P-ABC\)的高）。2.計(jì)算底面\(\triangleABC\)的面積：\[S_{\triangleABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3}\]3.計(jì)算三棱錐\(P-ABC\)的體積（也可視為三棱錐\(A-PBC\)的體積，因\(PA=PB=PC=AB=BC=CA=2\)，\(\trianglePBC\)也是等邊三角形）：\[V=\frac{1}{3}S_{\trianglePBC}\times\text{點(diǎn)}A\text{到平面}PBC\text{的距離}\]但更簡單的是，由于\(PA=PB=PC=2\)，點(diǎn)\(P\)在平面\(ABC\)的射影為\(\triangleABC\)的中心\(O\)，故\(PO=h\)，\(AO=\frac{2}{3}\times\text{底面高}=\frac{2}{3}\times\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。在\(Rt\trianglePAO\)中，\(PA=2\)，\(AO=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)，故：\[h=\sqrt{PA^2-AO^2}=\sqrt{4-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\]思路點(diǎn)撥體積法的關(guān)鍵是選擇合適的底面和高，使得體積容易計(jì)算。對于正棱錐（如本題中的三棱錐\(P-ABC\)，底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的正投影為中心），也可通過中心性質(zhì)直接求解高。易錯提醒體積法計(jì)算時(shí)，需確保底面面積和高對應(yīng)正確（如三棱錐\(P-ABC\)的體積等于\(\frac{1}{3}\timesS_{\triangleABC}\timesh\)，其中\(zhòng)(h\)是點(diǎn)\(P\)到平面\(ABC\)的距離）。五、立體幾何中的折疊與探索性問題（一）折疊問題折疊問題的核心是區(qū)分不變量與變量（如長度、角度、位置關(guān)系），通常需要畫出折疊前后的圖形，標(biāo)注不變量，分析變量之間的關(guān)系。例9如圖，在矩形\(ABCD\)中，\(AB=2\)，\(AD=1\)，\(E\)為\(CD\)的中點(diǎn)，將\(\triangleADE\)沿\(AE\)折疊至\(\triangleAED'\)的位置，使得平面\(AED'\perp\)平面\(ABCE\)，求折疊后\(D'\)到平面\(ABC\)的距離。解析折疊后，平面\(AED'\perp\)平面\(ABCE\)，需利用面面垂直的性質(zhì)定理（過一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面）求解距離。步驟1.折疊前，\(\triangleADE\)為直角三角形（\(AD=1\)，\(DE=1\)，\(AE=\sqrt{2}\)），取\(AE\)的中點(diǎn)\(F\)，連接\(DF\)（\(DF\)為\(\triangleADE\)的中線），則\(DF=\frac{1}{2}AE=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，且\(DF\perpAE\)（等邊三角形的中線垂直于底邊？不，\(\triangleADE\)是等腰直角三角形，中線\(DF\)垂直于底邊\(AE\)）。2.折疊后，平面\(AED'\perp\)平面\(ABCE\)，交線為\(AE\)，\(DF\subset\)平面\(AED'\)且\(DF\perpAE\)，故\(DF\perp\)平面\(ABCE\)（面面垂直的性質(zhì)定理）。3.因此，\(D'\)到平面\(ABCE\)的距離等于\(DF\)的長度（\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)），而平面\(ABC\subset\)平面\(ABCE\)，故\(D'\)到平面\(ABC\)的距離為\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。思路點(diǎn)撥折疊問題中，不變量（如長度、角度）是解題的關(guān)鍵，尤其是垂直關(guān)系（如本題中的\(DF\perpAE\)），往往能轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而求出距離。易錯提醒折疊后，位置關(guān)系會發(fā)生變化（如\(D'\)從平面\(ABCD\)移動到空間中），但長度（如\(AD'=AD=1\)，\(D'E=DE=1\)）和角度（如\(\angleD'AE=\angleDAE=45^\circ\)）保持不變。（二）探索性問題探索性問題通常問“是否存在某點(diǎn)/直線”使得某個條件成立，常用向量法（將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程）求解。例10在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，是否存在點(diǎn)\(P\)在棱\(CC_1\)上，使得平面\(A_1BP\perp\)平面\(A_1BD\)？若存在，求\(CP\)的長度；若不存在，說明理由。解析建立空間直角坐標(biāo)系（設(shè)正方體棱長為1），設(shè)\(P(1,1,t)\)（\(t\in[0,1]\)，因\(P\)在棱\(CC_1\)上），將平面垂直條件轉(zhuǎn)化為法向量垂直（點(diǎn)積為0）。步驟1.坐標(biāo)設(shè)定：\(A_1(0,0,1)\)，\(B(1,0,0)\)，\(D(0,1,0)\)，\(C_1(1,1,1)\)，\(P(1,1,t)\)。2.求平面\(A_1BP\)的法向量：向量\(\overrightarrow{A_1B}=(1,0,-1)\)，向量\(\overrightarrow{A_1P}=(1,1,t-1)\)，法向量\(\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{A_1B}\times\overrightarrow{A_1P}=(1,-t,1)\)（叉乘計(jì)算）。3.求平面\(A_1BD\)的法向量：向量\(\overrightarrow{A_1B}=(1,0,-1)\)，向量\(\overrightarrow{A