2025年高一上學(xué)期基本不等式的九大綜合應(yīng)用知識(shí)梳理1、基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2、幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.3、利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”．考點(diǎn)分類考點(diǎn)一基本不等式的直接應(yīng)用1．(1)已知0<x<1，則x(4－3x)取得最大值時(shí)x的值為_(kāi)_______．(2)已知x<eq\f(5,4)，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為_(kāi)_______．(3)函數(shù)y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值為_(kāi)_______．【答案】(1)eq\f(2,3)(2)1(3)2eq\r(3)＋2【詳解】(1)x(4－3x)＝eq\f(1,3)×(3x)·(4－3x)≤eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋4－3x,2)))2＝eq\f(4,3)，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4－3x，即x＝eq\f(2,3)時(shí)，取等號(hào)．故所求x的值為eq\f(2,3).(2)因?yàn)閤<eq\f(5,4)，所以5－4x>0，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1.當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1時(shí)，取等號(hào)．故f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為1.(3)y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2x－2＋3,x－1)＝eq\f(x－12＋2x－1＋3,x－1)＝(x－1)＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(3)＋2.當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝eq\r(3)＋1時(shí)，取等號(hào)．【答案】C故選：CA．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B故選：B【答案】AB故選：AB考點(diǎn)二湊配法求最值A(chǔ)．8 B．7 C．6 D．5【答案】D故選：D．【答案】4故答案為：4A． B． C． D．【答案】B故選：B考點(diǎn)三消元法求最值【答案】AA．1B．3C．6D．12【答案】B3、(2022·江蘇淮安市六校第一次聯(lián)考)已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，則y的最大值為()A．1B．EQ\F(1,2)C．2D．EQ\F(1,3)【答案】D【詳解】由題意可知，x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，則x＋EQ\F(1,x)＝EQ\F(1,y)－3y，因?yàn)閤＞0，所以x＋EQ\F(1,x)＝EQ\F(1,y)－3y≥2EQ\R(,x·\F(1,x))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝EQ\F(1,x)，即x＝1時(shí)等號(hào)成立，即EQ\F(1,y)－3y≥2，又y＞0，所以可化為3y2＋2y－1≤0，解得0＜y≤EQ\F(1,3)，即y的最大值為EQ\F(1,3)，故答案選D．A．B．C．D．【答案】C【答案】A考點(diǎn)四“1”的代換型(常值代換）A． B． C． D．【答案】CA． B． C． D．4【答案】BA．8 B．16 C．24 D．32【答案】DA．12 B．25 C．27 D．36【答案】CA． B． C． D．【答案】D考點(diǎn)五換元法求最值【答案】故答案為：.【答案】故答案為：.【答案】D故選：D．【答案】4【答案】D【詳解】故選：D.考點(diǎn)六雙換元法求最值【答案】故答案為：.【答案】CA．2 B．4 C． D．9【答案】C考點(diǎn)七齊次化求最值【答案】6故答案為：6.考點(diǎn)八利用基本不等式求參數(shù)A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A所以正實(shí)數(shù)的最小值為2．故選：A．【答案】D【答案】A故選：A.A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【答案】：∴的最小值為．考點(diǎn)九兩次運(yùn)用基本不等式求最值A(chǔ)．1 B．2 C．3 D．4【答案】DA． B．2 C．4 D．【答案】A【答案】AA．1 B．27 C．8 D．9【答案】B【答案】B鞏固提升一、單選題A．4 B．5A． B． C．1 D．7．一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱，一位顧客到店里購(gòu)買(mǎi)10g，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤(pán)中，取出一些放在天平右盤(pán)中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤(pán)中，再取出一些放在天平左盤(pán)中使天平平衡；最后將兩次稱得的交給顧客，則顧客得到的實(shí)際克數(shù)（

）A．大于10克 B．等于10克 C．小于10克 D．與砝碼放置順序有關(guān)二、多選題三、填空題四、解答題17．回答下列問(wèn)題(2)當(dāng)2023年年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?參考答案1．D【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值.故選：D.2．B故選：B.3．B故選：B.4．D故選：D5．A【分析】先將等式轉(zhuǎn)化為等式右邊為常數(shù)的形式，然后根據(jù)基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.故選：A．6．D故選：D.7．A【分析】根據(jù)杠桿原理得出兩次稱得的質(zhì)量表達(dá)式，再通過(guò)計(jì)算兩次質(zhì)量之和與克比較大小.兩次總質(zhì)量為：因此，顧客得到的實(shí)際克數(shù)大于克故選：A.8．A故選：A.9．ACD【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式、“1”的妙用逐項(xiàng)判斷即可.故選：ACD10．ACD故選：ACD.11．ACD故選：ACD.12．18故答案為：18.13．故答案為：.15．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）應(yīng)用作差法證明不等式；（2）應(yīng)用已知條件，常值代換根據(jù)基本不等式證明.16．（1）；（2）9【分析】（1）方法一：利用基本不等式求解，方法二：利用二次函數(shù)求解；（2）根據(jù)已知條件構(gòu)造基本不等式求解即可.(2)【分析】（1）利用不等式的性質(zhì)求解取值范圍即可.（2）對(duì)原式合理變形，利用基本不等式求最值即可.18．（1）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；（2）．【詳解】（1）①，