數(shù)學取模競賽題目及答案一、選擇題（每題5分，共20分）1.已知\(a\equivb\pmod{m}\)，下列哪個選項是正確的？A.\(a+c\equivb+c\pmod{m}\)B.\(a\cdotc\equivb\cdotc\pmod{m}\)C.\(a^2\equivb^2\pmod{m}\)D.\(a-b\equiv0\pmod{m}\)答案：A2.如果\(x\equiv3\pmod{5}\)，那么\(2x\)同余于模5下的哪個數(shù)？A.1B.2C.3D.4答案：A3.對于任何整數(shù)\(a\)和\(b\)，下列哪個等式總是成立的？A.\((a\cdotb)\modm=(a\modm)\cdot(b\modm)\)B.\((a+b)\modm=(a\modm)+(b\modm)\)C.\((a-b)\modm=(a\modm)-(b\modm)\)D.\((a\divb)\modm=(a\modm)\div(b\modm)\)答案：C4.如果\(a\equivb\pmod{m}\)且\(c\equivd\pmod{m}\)，那么下列哪個選項是正確的？A.\(ac\equivbd\pmod{m}\)B.\(a+c\equivb+d\pmod{m}\)C.\(a-c\equivb-d\pmod{m}\)D.以上所有選項答案：D二、填空題（每題5分，共20分）1.如果\(17\equiv2\pmod{15}\)，那么\(34\)同余于模15下的哪個數(shù)？答案：\(4\)2.計算\(2023\mod7\)的結(jié)果。答案：\(6\)3.找出\(100!\)除以7的余數(shù)。答案：\(4\)4.已知\(x\equiv2\pmod{3}\)和\(x\equiv3\pmod{5}\)，求\(x\)模15的值。答案：\(8\)三、簡答題（每題10分，共30分）1.解釋什么是同余，并給出一個例子。同余是指兩個整數(shù)\(a\)和\(b\)除以正整數(shù)\(m\)后得到的余數(shù)相同，可以表示為\(a\equivb\pmod{m}\)。例如，\(17\)和\(2\)都除以\(15\)后余\(2\)，因此\(17\equiv2\pmod{15}\)。2.描述如何計算\(100\)除以\(7\)的余數(shù)。要計算\(100\)除以\(7\)的余數(shù)，可以進行除法運算：\(100\div7=14\)余\(2\)。因此，\(100\mod7=2\)。3.證明如果\(a\equivb\pmod{m}\)且\(c\equivd\pmod{m}\)，那么\(ac\equivbd\pmod{m}\)。證明：已知\(a\equivb\pmod{m}\)和\(c\equivd\pmod{m}\)，根據(jù)同余的定義，存在整數(shù)\(k\)和\(l\)使得\(a=b+km\)和\(c=d+lm\)。將這兩個等式相乘得到\(ac=(b+km)(d+lm)=bd+blm+kdm+klm^2\)。由于\(m\)是\(blm\)、\(kdm\)和\(klm^2\)的因子，因此\(ac\equivbd\pmod{m}\)。四、計算題（每題15分，共30分）1.計算\((2^{2017}-1)\mod7\)。由于\(2^3\equiv1\pmod{7}\)，我們可以將\(2^{2017}\)表示為\((2^3)^{672}\cdot2^1\)。因此，\(2^{2017}\equiv1^{672}\cdot2\equiv2\pmod{7}\)。所以，\((2^{2017}-1)\mod7=2-1=1\)。2.給定\(x\equiv3\pmod{7}\)和\(x\equiv5\pmod{11}\)，求\(x\)模77的值。這是一個中國剩余定理的問題。首先，我們需要找到\(x\)在模7和模11下的解。由于\(x\equiv3\pmod{7}\)，我們可以將\(x\)表示為\(x=7k+3\)。將這個表達式代入第二個同余式，我們得到\(7k+3\equiv5\pmod{11}\)，簡化后得到\(7k\equiv2\pmod{11}\)。7在模11下的乘法逆元是8（因為\(7\cdot8\equiv1\pmod{11}\)），所以\(k\equiv2\cdot8\equiv16\equiv5\pmod{11}