重難專攻（十四）概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題【重點(diǎn)解讀】概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題是命制生活實(shí)踐情境類試題的最佳切入點(diǎn)，所考查內(nèi)容涉及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，是近幾年高考追逐的熱點(diǎn)之一，處理此類問題的關(guān)鍵是把握概率、統(tǒng)計(jì)的本質(zhì)，合理構(gòu)造模型，正確進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和必要的邏輯推理.提能點(diǎn)1統(tǒng)計(jì)圖表與概率的綜合問題（2025·海淀開學(xué)考試）某甜品店為了解某款甜品的銷售情況，進(jìn)而改變制作工藝，根據(jù)以往的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示.假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.（1）估計(jì)某一天此款甜品銷售量不超過60個(gè)的概率；解：（1）設(shè)事件A為“某一天此款甜品銷售量不超過60個(gè)”，所以P（A）＝（0.01＋0.03）×10＝0.4.（2）用X表示在未來3天里，此款甜品日銷售量多于60個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；解：（2）根據(jù)題意X～B（3，0.6），則P（X＝0）＝0.43＝0.064，P（X＝1）＝C31·0.6·0.42＝0.P（X＝2）＝C32·0.62·0.4＝0.432，P（X＝3）＝0.63＝0.所以X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216所以E（X）＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8.（3）該店改變了制作工藝以后，抽取了連續(xù)30天的銷售記錄，發(fā)現(xiàn)這其中有20天的銷售量都大于70個(gè)，問：根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為改變工藝后，此款甜品的銷售情況發(fā)生了變化，說明理由.解：（3）可以認(rèn)為此款甜品的銷售情況發(fā)生了變化.設(shè)事件C表示“日銷售量大于70個(gè)”，用Y表示“30天內(nèi)日銷售量大于70個(gè)的天數(shù)”，由直方圖可得P（C）＝0.2，又Y～B（30，0.2），所以E（Y）＝30×0.2＝6＜20，所以可以認(rèn)為此款甜品的銷售情況發(fā)生了變化.規(guī)律方法統(tǒng)計(jì)圖表與概率綜合問題的求解策略（1）正確識(shí)讀統(tǒng)計(jì)圖表，從圖表中提取有效信息及樣本數(shù)據(jù)；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)原理即用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體的思想，結(jié)合樣本中各統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系構(gòu)造數(shù)學(xué)模型（函數(shù)模型、不等式模型、二項(xiàng)分布模型、超幾何分布模型或正態(tài)分布模型等）；（3）正確進(jìn)行運(yùn)算，求出樣本數(shù)據(jù)中能夠說明問題的特征值，從而用此數(shù)據(jù)估計(jì)總體或作出科學(xué)的決策與判斷.練1某校為了落實(shí)“雙減”政策，安排了25名教師參與課后服務(wù)工作，在某個(gè)星期內(nèi)，他們參與課后服務(wù)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.（1）求這25名教師在該星期參與課后服務(wù)的平均次數(shù)；（2）從這25名教師中任選2人，設(shè)這2人在該星期參與課后服務(wù)的次數(shù)之差的絕對(duì)值為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）由統(tǒng)計(jì)圖可知，25名教師中，參與課后服務(wù)2次的有4人，參與課后服務(wù)3次的有5人，參與課后服務(wù)4次的有10人，參與課后服務(wù)5次的有6人，所以這25名教師在該星期參與課后服務(wù)的平均次數(shù)為2×4+3×5+4×10+5×625＝3（2）由題可知，X的所有可能取值為0，1，2，3，P（X＝0）＝C42＋P（X＝1）＝C41CP（X＝2）＝C41CP（X＝3）＝C41C所以X的分布列為X0123P191372所以X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝0×1975＋1×1330＋2×730＋3×2提能點(diǎn)2回歸分析與概率的綜合問題（2024·杭州二模）杭州是國家歷史文化名城，為了給來杭州的客人提供最好的旅游服務(wù)，某景點(diǎn)推出了預(yù)訂優(yōu)惠活動(dòng)，表中是該景點(diǎn)在某App平臺(tái)10天預(yù)訂票銷售情況：日期t12345678910銷售量y（萬張）1.931.951.971.982.012.022.022.052.070.5經(jīng)計(jì)算可得：y＝110∑i=110yi＝1.85，∑i=110tiy（1）因?yàn)樵摼包c(diǎn)今年預(yù)訂票購買火爆程度遠(yuǎn)超預(yù)期，該App平臺(tái)在第10天時(shí)系統(tǒng)異常，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果中的數(shù)值用分?jǐn)?shù)表示）；（2）該景點(diǎn)推出團(tuán)體票，每份團(tuán)體票包含四張門票，其中X張為有獎(jiǎng)門票（可憑票兌換景點(diǎn)紀(jì)念品），X的分布列如下：X234P111今從某份團(tuán)體票中隨機(jī)抽取2張，恰有1張為有獎(jiǎng)門票，求該份團(tuán)體票中共有3張有獎(jiǎng)門票的概率.解：（1）設(shè)y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝α＋βt，則t＝1+2+…+99＝5，y＝19∑i=19yi＝19（∑i=110yi－0.5）＝19∑i=19ti2＝∑i=110ti2－102＝385－100＝285，∑i=19tiyi＝∑i=1所以β＝∑i=19tiα＝y(tǒng)－βt＝2－160×5＝所以y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是y＝2312＋160（2）記“從某份團(tuán)體票中隨機(jī)抽取2張，恰有1張為有獎(jiǎng)門票”為事件A，“該份團(tuán)體票中共有i張有獎(jiǎng)門票”為事件Bi，則P（B3）＝13P（A｜B3）＝C31C所以P（AB3）＝P（B3）P（A｜B3）＝16P（A｜B2）＝C21C21C42＝23，所以P（A）＝P（AB2）＋P（AB3）＋P（AB4）＝P（B2）P（A｜B2）＋P（AB3）＋P（B4）P（A｜B4）＝12×23＋16＋0所以P（B3｜A）＝P（AB3）則所求概率是13規(guī)律方法回歸分析與概率綜合問題的解題思路（1）此類問題的特點(diǎn)為同一生活實(shí)踐情境下設(shè)計(jì)兩類問題，即①求經(jīng)驗(yàn)回歸方程（預(yù)測(cè)）；②求某隨機(jī)變量的概率（范圍）、均值、方差等；（2）充分利用題目中提供的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（散點(diǎn)圖）做出判斷，確定是線性問題還是非線性問題.求解時(shí)要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用變形公式，以達(dá)到快速準(zhǔn)確運(yùn)算的目的；（3）明確所求問題所屬事件的類型，準(zhǔn)確構(gòu)建概率模型.練2當(dāng)下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡(luò)游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導(dǎo)青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測(cè)時(shí)收集了玩家對(duì)每一關(guān)的平均過關(guān)時(shí)間，如下表：關(guān)卡x123456平均過關(guān)時(shí)間y（單位：秒）5078124121137352計(jì)算得到一些統(tǒng)計(jì)量的值為：∑i=16ui＝28.5，∑i=16xiui＝106.05，其中ui參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其經(jīng)驗(yàn)回歸直線y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為b＝∑i=1nxiyi（1）若用模型y＝aebx擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）制定游戲規(guī)則如下：玩家在每關(guān)的平均過關(guān)時(shí)間內(nèi)通過可獲得積分2分并進(jìn)入下一關(guān)，否則獲得－1分且該輪游戲結(jié)束.甲通過練習(xí)，前3關(guān)都能在平均時(shí)間內(nèi)過關(guān)，后面3關(guān)能在平均時(shí)間內(nèi)通過的概率均為45，若甲玩一輪此款益腦游戲，求“甲獲得的積分X”的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（1）對(duì)y＝aebx兩邊取自然對(duì)數(shù)可得lny＝ln（aebx）＝lna＋lnebx，即lny＝lna＋bx，令ui＝lnyi，所以u(píng)＝bx＋lna，由u＝16∑i=16uix＝16×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝3.5，∑i=16xi2＝12＋22＋32＋42＋5所以b＝∑i=1nxiui又u＝bx＋lna，即4.75＝0.36×3.5＋lna所以lna＝3.49，所以a＝e3.49.所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝e0.36x＋3.49.（2）由題知，甲獲得的積分X的所有可能取值為5，7，9，12，所以P（X＝5）＝15，P（X＝7）＝45×15P（X＝9）＝（45）2×15＝16125，P（X＝12）＝（45）所以X的分布列為X57912P141664所以E（X）＝5×15＋7×425＋9×16125＋12×64提能點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率的綜合問題（2025·臨沂一模）“趕大集”出圈彰顯了傳統(tǒng)民俗的獨(dú)特魅力.為了解年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下面的不完整的2×2列聯(lián)表所示（單位：人）.性別對(duì)“趕大集”的態(tài)度合計(jì)非常喜歡感覺一般男性3t100女性t合計(jì)60（1）求t的值，試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)；（2）從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和2名女性非常喜歡“趕大集”.現(xiàn)從這8名代表中任選3名男性和2名女性進(jìn)一步交流，記X為這5人中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.解：（1）由題意可知：3t＋（60－t）＝100，解得t＝20，2×2列聯(lián)表如下：性別對(duì)“趕大集”的態(tài)度合計(jì)非常喜歡感覺一般男性6040100女性8020100合計(jì)14060200零假設(shè)為H0：年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度與性別無關(guān)，由列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得，χ2＝200＝200×20002140×60×100×100≈根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.（2）設(shè)進(jìn)一步交流的男性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為m，女性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為n，則X＝m＋n，且X的所有可能取值為1，2，3，4.P（X＝1）＝P（m＝0，n＝1）＝C33C21P（X＝2）＝P（m＝1，n＝1）＋P（m＝0，n＝2）＝C21C32P（X＝3）＝P（m＝2，n＝1）＋P（m＝1，n＝2）＝C22C31C2P（X＝4）＝P（m＝2，n＝2）＝C22C31所以X的分布列為X1234P11321所以E（X）＝1×115＋2×1330＋3×25＋4×1規(guī)律方法獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率綜合問題的解題思路本類題目以生活題材為背景，涉及獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率問題的綜合，解決該類問題首先收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得χ2的值后進(jìn)行比較，其次按照隨機(jī)變量滿足的概率模型求解.練3某種疾病可分為A，B兩種類型.為了解患該疾病的類型與患者性別是否相關(guān)，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了若干名該疾病的患者進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)女性患者總?cè)藬?shù)是男性患者總?cè)藬?shù)的2倍，男性患A型疾病的人數(shù)占男性患者總?cè)藬?shù)的56，女性患A型疾病的人數(shù)占女性患者總?cè)藬?shù)的1（1）若本次調(diào)查得出“依據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為所患疾病類型與性別有關(guān)”的結(jié)論，求被調(diào)查的男性患者至少有多少人；（2）某團(tuán)隊(duì)進(jìn)行預(yù)防A型疾病的疫苗的研發(fā)試驗(yàn)，試驗(yàn)期間至多安排2個(gè)周期接種疫苗，每人每個(gè)周期接種3次，每次接種費(fèi)用為m（m＞0）元.該團(tuán)隊(duì)研發(fā)的疫苗每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為p（0＜p＜1），如果一個(gè)周期內(nèi)至少2次產(chǎn)生抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，否則進(jìn)入第二個(gè)周期.若p＝23，試驗(yàn)人數(shù)為1000，試估計(jì)該試驗(yàn)用于接種疫苗的總費(fèi)用附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(cα0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：（1）設(shè)男性患者有x人，則女性患者有2x人，由題意得2×2列聯(lián)表如下：性別所患疾病類型合計(jì)A型疾病B型疾病男性5xx女性242x合計(jì)333x零假設(shè)為H0：患者所患疾病類型與性別之間無關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得χ2＝3x（5要使依據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)可以認(rèn)為所患疾病類型與性別有關(guān)，則2x3≥7.879，解得x≥11.818因?yàn)閤6∈N，x3∈N，x2∈N，所以x所以被調(diào)查的男性患者至少有12人.（2）設(shè)該試驗(yàn)每人的接種費(fèi)用為ξ元，則ξ的可能取值為3m，6m.則P（ξ＝3m）＝C32p2（1－p）＋p3＝－2p3＋3p2，P（ξ＝6m）＝1－P（ξ＝3m）＝1＋2p3－3p所以E（ξ）＝3m·（－2p3＋3p2）＋6m·（1＋2p3－3p2）＝3m（2p3－3p2＋2），因?yàn)閜＝23，試驗(yàn)人數(shù)為1000，所以該試驗(yàn)用于接種疫苗的總費(fèi)用為1000E（ξ即1000×3m［2×（23）3－3×（23）2＋2］＝34000故估計(jì)該試驗(yàn)用于接種疫苗的總費(fèi)用為3400091.（2024·北京高考18題）某保險(xiǎn)公司為了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前三次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.（1）估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.①記X為一份保單的毛利潤，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX；②如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%，有索賠的保單的保費(fèi)增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與①中EX估計(jì)值的大小.（結(jié)論不要求證明）解：（1）法一（正面計(jì)算）記“隨機(jī)抽取一份保單，索賠次數(shù)不少于2”為事件A，由索賠次數(shù)不少于2，知索賠次數(shù)為2，3，4，所以P（A）＝60+30+101000＝100法二（反面計(jì)算）記“隨機(jī)抽取一份保單，索賠次數(shù)不少于2”為事件A，由索賠次數(shù)不少于2，知可利用間接法計(jì)算，則P（A）＝1－800+1001000（2）①由題知X的所有可能取值為0.4，－0.4，－1.2，－2.0，－2.6，則P（X＝0.4）＝8001000＝0P（X＝－0.4）＝1001000＝0P（X＝－1.2）＝601000＝0P（X＝－2.0）＝301000＝0P（X＝－2.6）＝101000＝0故EX＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝0.122.②如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%，有索賠的保單的保費(fèi)增加20%，這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值比①中EX估計(jì)值大.證明如下：設(shè)調(diào)整保費(fèi)后一份保單的毛利潤（單位：萬元）為Y，對(duì)于索賠次數(shù)為0的保單，Y＝0.4×（1－4%）＝0.384，對(duì)于索賠次數(shù)為1的保單，Y＝0.4×（1＋20%）－0.8＝－0.32，對(duì)于索賠次數(shù)為2的保單，Y＝－0.32－0.8＝－1.12，對(duì)于索賠次數(shù)為3的保單，Y＝－1.12－0.8＝－1.92，對(duì)于索賠次數(shù)為4的保單，Y＝－1.92－0.6＝－2.52，故EY＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.1252.所以EX＜EY.2.為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如表所示：時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長（精確到0.1）；（3）根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？（附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），其中n解：（1）由表可知鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)占比為179+43+28580＝25則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為29000×2558＝12500（2）估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長約為1580（0.52×139＋0.5+12×191＋1+1.52×179＋1.則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長為0.9小時(shí).（3）由題列聯(lián)表如下：是否優(yōu)秀日均鍛煉時(shí)長合計(jì)[1，2）其他優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計(jì)222358580零假設(shè)為H0：該地區(qū)學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)且小于2小時(shí)無關(guān).其中α＝0.05.χ2＝580×（45×308－177×50）295×485根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān).3.某基地蔬菜大棚采用無土栽培的方式種植各類蔬菜.根據(jù)過去50周的資料顯示，該地周光照量X（小時(shí)）都在30小時(shí)以上，其中不足50小時(shí)的有5周，不低于50小時(shí)且不超過70小時(shí)的有35周，超過70小時(shí)的有10周.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量y（千克）與使用某種液體肥料的質(zhì)量x（千克）之間的關(guān)系為如圖所示的折線圖.（1）依據(jù)折線圖，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？請(qǐng)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r并加以說明（精確到0.01）；（若｜r｜＞0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）（2）蔬菜大棚對(duì)光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量X限制，并有如下關(guān)系：周光照量X/小時(shí)30＜X＜5050≤X≤70X＞70光照控制儀最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)321若某臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周利潤為3000元；若某臺(tái)光照控制儀未運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周虧損1000元.以頻率作為概率，商家欲使周總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝光照控制儀多少臺(tái)？參考數(shù)據(jù)：0.3≈0.55，0.9≈解：（1）由已知數(shù)據(jù)可得x＝2+4+5+6+85＝5y＝3+4+4+4+55＝4因?yàn)椤苅=15（xi－x）（yi－y）＝（－3）×（－1）＋0＋0＋0＋3×1∑i=15（xi∑i=15（y所以樣本相關(guān)系數(shù)r＝∑i=15（xi－x)(因?yàn)閞＞0.75，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.（2）記商家周總利潤為Y元，由條件可知至少需安裝1臺(tái)，最多安裝3臺(tái)光照控制儀.①安裝1臺(tái)光照控制儀可獲得周總利潤3000元.②安裝2臺(tái)光照控制儀的情形：當(dāng)X＞70時(shí)，只有1臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤Y＝3000－1000＝2000（元），P（Y＝2000）＝1050＝0.2當(dāng)30＜X≤70時(shí)，2臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行，此時(shí)周總利潤Y＝2×3000＝6000（元），P（Y＝6000）＝4050＝0.8故Y的分布列為：Y20006000P0.20.8所以E（Y）＝2000×0.2＋6000×0.8＝5200（元）.③安裝3臺(tái)光照控制儀的情形：當(dāng)X＞70時(shí)，只有1臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤Y＝1×3000－2×1000＝1000（元），P（Y＝1000）＝1050＝0.2當(dāng)50≤X≤70時(shí)，有2臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤Y＝2×3000－1×1000＝5000（元），P（Y＝5000）＝3550＝0.7當(dāng)30＜X＜50時(shí)，3臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行，周總利潤Y＝3×3000＝9000（元），P（Y＝9000）＝550＝0.1故Y的分布列為：Y100050009000P0.20.70.1所以E（Y）＝1000×0.2＋5000×0.7＋9000×0.1＝4600（元）.綜上可知，為使商家周總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)該安裝2臺(tái)光照控制儀.4.（2024·龍巖三模）某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片按質(zhì)量劃分為五個(gè)等級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95].根據(jù)長期檢測(cè)結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為A等品，其他產(chǎn)品稱為B等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)長期檢測(cè)結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11，用樣本平均數(shù)x作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為A等品的概率（保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字）；（①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）≈0.9973）（2）（ⅰ）從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在[45，55）和[85，95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95