協(xié)方差試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.協(xié)方差衡量的是（）A.兩個(gè)變量的離散程度B.兩個(gè)變量的波動(dòng)關(guān)系C.變量的集中趨勢(shì)D.變量的分布情況答案：B2.若兩個(gè)變量\(X\)和\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)，則（）A.\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立B.\(X\)和\(Y\)一定不相關(guān)C.\(X\)和\(Y\)完全正相關(guān)D.\(X\)和\(Y\)完全負(fù)相關(guān)答案：B3.協(xié)方差的取值范圍是（）A.\([0,1]\)B.\((-\infty,+\infty)\)C.\([-1,1]\)D.\([0,+\infty)\)答案：B4.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，且\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(E(XY)=8\)，則\(Cov(X,Y)\)為（）A.2B.1C.-1D.0答案：A5.已知\(Cov(X,Y)=10\)，\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，則\(X\)與\(Y\)的相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)為（）A.\(\frac{10}{6}\)B.\(\frac{5}{6}\)C.\(\frac{6}{5}\)D.\(\frac{10}{13}\)答案：B6.若\(X\)和\(Y\)滿足\(D(X+Y)=D(X-Y)\)，則必有（）A.\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立B.\(X\)和\(Y\)不相關(guān)C.\(D(X)=D(Y)\)D.\(E(X)=E(Y)\)答案：B7.對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)，如果\(Cov(X,Y)>0\)，則表明（）A.\(X\)增加時(shí)\(Y\)有增大的趨勢(shì)B.\(X\)增加時(shí)\(Y\)有減小的趨勢(shì)C.\(X\)和\(Y\)沒(méi)有關(guān)系D.\(X\)和\(Y\)是完全線性關(guān)系答案：A8.設(shè)\(X\)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布\(N(0,1)\)，\(Y=X^2\)，則\(Cov(X,Y)\)（）A.0B.1C.-1D.2答案：A9.若\(X\)和\(Y\)的協(xié)方差矩陣為\(\begin{pmatrix}4&2\\2&9\end{pmatrix}\)，則\(Cov(X,Y)\)的值為（）A.4B.2C.9D.6答案：B10.已知隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)，\(E(X)=\mu_1\)，\(E(Y)=\mu_2\)，則\(Cov(X,Y)\)的計(jì)算公式為（）A.\(E[(X-\mu_1)(Y-\mu_2)]\)B.\(E(XY)-E(X)E(Y)\)C.\(D(X+Y)-D(X)-D(Y)\)D.以上都是答案：D二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于協(xié)方差的說(shuō)法正確的有（）A.協(xié)方差為正，兩個(gè)變量同向變化B.協(xié)方差為負(fù)，兩個(gè)變量反向變化C.協(xié)方差衡量?jī)蓚€(gè)變量的線性相關(guān)程度D.協(xié)方差為0，兩個(gè)變量相互獨(dú)立答案：ABC2.計(jì)算協(xié)方差\(Cov(X,Y)\)的方法有（）A.\(E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)B.\(E(XY)-E(X)E(Y)\)C.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})\)（樣本協(xié)方差）D.\(D(X+Y)-D(X)-D(Y)\)答案：ABCD3.若兩個(gè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)，則（）A.\(X\)和\(Y\)可能相互獨(dú)立B.\(X\)和\(Y\)一定不相關(guān)C.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)D.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)答案：ABCD4.以下哪些情況可能導(dǎo)致協(xié)方差為0（）A.兩個(gè)變量相互獨(dú)立B.兩個(gè)變量存在非線性關(guān)系C.兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)完全相反D.一個(gè)變量為常數(shù)答案：ABD5.協(xié)方差與以下哪些概念相關(guān)（）A.方差B.相關(guān)系數(shù)C.期望D.標(biāo)準(zhǔn)差答案：ABCD6.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)，以下式子正確的是（）A.\(Cov(X,X)=D(X)\)B.\(Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)\)（\(a,b\)為常數(shù)）C.\(Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)\)D.\(Cov(X,Y+Z)=Cov(X,Y)+Cov(X,Z)\)答案：ABCD7.關(guān)于協(xié)方差矩陣，下列說(shuō)法正確的是（）A.協(xié)方差矩陣是對(duì)稱矩陣B.協(xié)方差矩陣主對(duì)角線元素是各變量的方差C.協(xié)方差矩陣非主對(duì)角線元素是相應(yīng)變量的協(xié)方差D.協(xié)方差矩陣一定是正定矩陣答案：ABC8.若兩個(gè)變量\(X\)和\(Y\)具有很強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系，則（）A.\(Cov(X,Y)>0\)B.相關(guān)系數(shù)接近1C.\(E(XY)>E(X)E(Y)\)D.\(D(X+Y)>D(X)+D(Y)\)答案：ABCD9.以下哪些因素會(huì)影響協(xié)方差的大?。ǎ〢.變量的取值范圍B.變量的均值C.變量之間的線性關(guān)系強(qiáng)度D.樣本容量答案：ABC10.協(xié)方差在實(shí)際應(yīng)用中可用于（）A.投資組合風(fēng)險(xiǎn)分析B.分析兩個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的關(guān)聯(lián)C.研究變量間的因果關(guān)系D.數(shù)據(jù)降維答案：AB三、判斷題（每題2分，共10題）1.協(xié)方差越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高。（）答案：錯(cuò)誤2.如果兩個(gè)變量的協(xié)方差為負(fù)，說(shuō)明一個(gè)變量增加時(shí)另一個(gè)變量必然減小。（）答案：錯(cuò)誤3.協(xié)方差為0時(shí)，兩個(gè)變量一定相互獨(dú)立。（）答案：錯(cuò)誤4.對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)，都有\(zhòng)(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)\)。（）答案：正確5.若\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，且\(Cov(X,Y)=5\)，則\(Cov(Y,X)=-5\)。（）答案：錯(cuò)誤6.樣本協(xié)方差可以用來(lái)估計(jì)總體協(xié)方差。（）答案：正確7.兩個(gè)變量的協(xié)方差與它們的量綱有關(guān)。（）答案：正確8.相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)化后的結(jié)果。（）答案：正確9.若\(X\)服從正態(tài)分布，\(Y=2X+1\)，則\(Cov(X,Y)=2D(X)\)。（）答案：正確10.協(xié)方差矩陣中元素的大小直接反映了變量間的相關(guān)程度。（）答案：錯(cuò)誤四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述協(xié)方差的意義答案：協(xié)方差衡量?jī)蓚€(gè)變量的波動(dòng)關(guān)系。正值表示兩變量同向變化，負(fù)值表示反向變化，為0時(shí)兩變量不相關(guān)，反映了變量間線性關(guān)聯(lián)趨勢(shì)，但受變量量綱影響。2.寫出協(xié)方差的主要性質(zhì)答案：\(Cov(X,X)=D(X)\)；\(Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)\)（\(a,b\)為常數(shù)）；\(Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)\)等，協(xié)方差矩陣是對(duì)稱矩陣。3.說(shuō)明協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別答案：聯(lián)系：相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果，\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\)。區(qū)別：協(xié)方差受變量量綱影響，相關(guān)系數(shù)無(wú)量綱，取值\([-1,1]\)，更直觀反映線性相關(guān)程度。4.舉例說(shuō)明協(xié)方差在實(shí)際中的應(yīng)用場(chǎng)景答案：在投資中，分析不同股票收益率協(xié)方差，可判斷其收益波動(dòng)關(guān)系，用于構(gòu)建投資組合分散風(fēng)險(xiǎn)。如兩種股票協(xié)方差為負(fù)，組合投資可降低整體風(fēng)險(xiǎn)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在多元數(shù)據(jù)分析中協(xié)方差矩陣的作用答案：協(xié)方差矩陣能全面反映多個(gè)變量間的相互關(guān)系。主對(duì)角線是各變量方差，非對(duì)角線是協(xié)方差?？捎糜诜治鲎兞筷P(guān)聯(lián)程度，為數(shù)據(jù)降維（如主成分分析）、聚類分析等提供基礎(chǔ)，輔助理解變量結(jié)構(gòu)和進(jìn)行模型構(gòu)建。2.探討協(xié)方差為0時(shí)，兩個(gè)變量獨(dú)立性與不相關(guān)性的關(guān)系答案：協(xié)方差為0時(shí)兩變量不相關(guān)，即無(wú)線性相關(guān)關(guān)系。但不相關(guān)不意味著相互獨(dú)立，相互獨(dú)立是更強(qiáng)的概念，此時(shí)兩變量的聯(lián)合分布等于各自邊緣分布乘積。只有在某些特殊分布（如正態(tài)分布）下，不相關(guān)才等價(jià)于相互獨(dú)立。3.闡述如何通過(guò)協(xié)方差分析兩個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)之間的關(guān)系答案：計(jì)算兩經(jīng)濟(jì)指標(biāo)協(xié)方差，正值表明指標(biāo)同向變化