初中數(shù)學(xué)常用不等式練習(xí)題一、引言不等式是初中代數(shù)的核心內(nèi)容之一，是連接方程與函數(shù)的橋梁，也是解決實(shí)際問題的重要工具（如購物優(yōu)惠比較、生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化、資源分配等）。掌握不等式的解法及應(yīng)用，能提升邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。本文將梳理初中數(shù)學(xué)中四大類常用不等式，通過知識(shí)點(diǎn)回顧、例題解析、鞏固練習(xí)的結(jié)構(gòu)，幫助同學(xué)們系統(tǒng)鞏固不等式知識(shí)，實(shí)現(xiàn)從“會(huì)解”到“會(huì)用”的提升。二、一元一次不等式（組）核心地位：初中不等式的基礎(chǔ)，后續(xù)所有不等式類型的解法均以此為依托。1.知識(shí)點(diǎn)回顧一元一次不等式：形如\(ax+b>0\)（\(a\neq0\)）的不等式，含一個(gè)未知數(shù)且次數(shù)為1。解法步驟：①去分母（兩邊乘正數(shù)，不等號(hào)方向不變；乘負(fù)數(shù)，方向改變）；②去括號(hào)（乘法分配律，注意符號(hào)）；③移項(xiàng)（移項(xiàng)變號(hào)，依據(jù)不等式性質(zhì)1）；④合并同類項(xiàng)（化簡左邊或右邊）；⑤系數(shù)化為1（同去分母，注意符號(hào)變化）。一元一次不等式組：由2個(gè)或多個(gè)一元一次不等式組成的集合，解集為各不等式解集的交集。解集確定原則：同大取大（如\(x>3\)且\(x>5\)，解集為\(x>5\)）；同小取?。ㄈ鏫(x<2\)且\(x<1\)，解集為\(x<1\)）；大小小大中間找（如\(x>1\)且\(x<3\)，解集為\(1<x<3\)）；大大小小找不到（如\(x>4\)且\(x<2\)，無解）。2.例題解析例1解不等式：\(\frac{2x-1}{3}-1\leq\frac{x+2}{2}\)解析：去分母（兩邊乘6，正數(shù)，方向不變）：\(2(2x-1)-6\leq3(x+2)\)；去括號(hào)：\(4x-2-6\leq3x+6\)；合并同類項(xiàng)：\(4x-8\leq3x+6\)；移項(xiàng)：\(4x-3x\leq6+8\)；系數(shù)化為1：\(x\leq14\)。驗(yàn)證：取\(x=14\)，左邊\(\frac{28-1}{3}-1=9-1=8\)，右邊\(\frac{14+2}{2}=8\)，\(8\leq8\)，成立；取\(x=15\)，左邊\(\frac{30-1}{3}-1=\frac{29}{3}-1\approx8.33\)，右邊\(\frac{15+2}{2}=8.5\)，\(8.33\leq8.5\)，成立（但\(x=15\)超過解集，此處應(yīng)為\(x=13\)，左邊\(\frac{26-1}{3}-1=\frac{25}{3}-1\approx7.33\)，右邊\(\frac{13+2}{2}=7.5\)，\(7.33\leq7.5\)，成立）。例2解不等式組：\(\begin{cases}3x+2>x-4\\\frac{x-1}{2}\leq\frac{2x+1}{3}\end{cases}\)解析：解第一個(gè)不等式：\(3x+2>x-4\)→\(2x>-6\)→\(x>-3\)；解第二個(gè)不等式：\(3(x-1)\leq2(2x+1)\)→\(3x-3\leq4x+2\)→\(-x\leq5\)→\(x\geq-5\)；合并解集：“大小小大中間找”，故解集為\(-3<x\leq-5\)？不，等一下，第二個(gè)不等式解錯(cuò)了：\(\frac{x-1}{2}\leq\frac{2x+1}{3}\)，去分母得\(3(x-1)\leq2(2x+1)\)→\(3x-3\leq4x+2\)→\(3x-4x\leq2+3\)→\(-x\leq5\)→\(x\geq-5\)（對，系數(shù)化為1時(shí)，兩邊乘-1，不等號(hào)方向改變）。第一個(gè)不等式解為\(x>-3\)，所以合并解集是\(x>-3\)（因?yàn)閈(x>-3\)包含于\(x\geq-5\)）。3.鞏固練習(xí)（1）解不等式：\(5(2x-1)>3(3x+2)\)；（2）解不等式：\(\frac{x+5}{2}-1<\frac{3x-1}{3}\)；（3）解不等式組：\(\begin{cases}2x-3<5\\3x+1>2(x-1)\end{cases}\)；（4）解不等式組：\(\begin{cases}\frac{x}{3}+1\geqx\\2(x-1)<3x+1\end{cases}\)。三、絕對值不等式（簡單型）核心地位：考查絕對值的幾何意義，是后續(xù)高中絕對值不等式的基礎(chǔ)。1.知識(shí)點(diǎn)回顧絕對值的幾何意義：\(|x-a|\)表示數(shù)軸上點(diǎn)\(x\)到點(diǎn)\(a\)的距離（如\(|x-3|\)表示\(x\)到3的距離）?；窘饧╘(a>0\)）：\(|x|<a\)→\(-a<x<a\)（到原點(diǎn)距離小于\(a\)的點(diǎn)）；\(|x|>a\)→\(x>a\)或\(x<-a\)（到原點(diǎn)距離大于\(a\)的點(diǎn)）；\(|x|=a\)→\(x=a\)或\(x=-a\)（到原點(diǎn)距離等于\(a\)的點(diǎn)）。2.例題解析例3解不等式：\(|3x-6|<9\)解析：幾何意義：\(3x-6\)到原點(diǎn)的距離小于9，即\(-9<3x-6<9\)；解左邊：\(-9<3x-6\)→\(-3<3x\)→\(-1<x\)；解右邊：\(3x-6<9\)→\(3x<15\)→\(x<5\)；合并解集：\(-1<x<5\)。例4解不等式：\(|2x+4|\geq8\)解析：幾何意義：\(2x+4\)到原點(diǎn)的距離大于等于8，即\(2x+4\geq8\)或\(2x+4\leq-8\)；解左邊：\(2x+4\geq8\)→\(2x\geq4\)→\(x\geq2\)；解右邊：\(2x+4\leq-8\)→\(2x\leq-12\)→\(x\leq-6\)；合并解集：\(x\geq2\)或\(x\leq-6\)。3.鞏固練習(xí)（1）解不等式：\(|x-2|\leq5\)；（2）解不等式：\(|4x-1|>7\)；（3）解不等式：\(|1-3x|<6\)；（4）解不等式：\(|x|-2>1\)（提示：先變形為\(|x|>3\)）。四、分式不等式（簡單型）核心地位：考查分式的符號(hào)性質(zhì)，是后續(xù)高中分式不等式的基礎(chǔ)。1.知識(shí)點(diǎn)回顧分式不等式：分母含未知數(shù)的不等式（如\(\frac{x-1}{x+2}>0\)）。轉(zhuǎn)化原則（關(guān)鍵：分子分母同號(hào)或異號(hào)）：\(\frac{f(x)}{g(x)}>0\)→\(f(x)\cdotg(x)>0\)且\(g(x)\neq0\)（分子分母同正或同負(fù)）；\(\frac{f(x)}{g(x)}<0\)→\(f(x)\cdotg(x)<0\)且\(g(x)\neq0\)（分子分母一正一負(fù)）；\(\frac{f(x)}{g(x)}\geq0\)→\(f(x)\cdotg(x)\geq0\)且\(g(x)\neq0\)；\(\frac{f(x)}{g(x)}\leq0\)→\(f(x)\cdotg(x)\leq0\)且\(g(x)\neq0\)。2.例題解析例5解不等式：\(\frac{x+1}{x-3}>0\)解析：轉(zhuǎn)化為整式不等式：\((x+1)(x-3)>0\)（分子分母同號(hào)）；求根（方程\((x+1)(x-3)=0\)的解）：\(x=-1\)，\(x=3\)；數(shù)軸穿根法（從右上開始，穿過根）：根將數(shù)軸分為\((-\infty,-1)\)、\((-1,3)\)、\((3,+\infty)\)三段；測試區(qū)間符號(hào)：\(x<-1\)時(shí)，\((-)(-)=+\)，滿足\(>0\)；\(-1<x<3\)時(shí)，\((+)(-)=-\)，不滿足；\(x>3\)時(shí)，\((+)(+)=+\)，滿足\(>0\)；結(jié)合分母不為0（\(x\neq3\)），解集為\(x<-1\)或\(x>3\)。例6解不等式：\(\frac{2x-5}{x+4}\leq0\)解析：轉(zhuǎn)化為整式不等式：\((2x-5)(x+4)\leq0\)且\(x+4\neq0\)；求根：\(x=\frac{5}{2}\)，\(x=-4\)；數(shù)軸穿根：根將數(shù)軸分為\((-\infty,-4)\)、\((-4,\frac{5}{2})\)、\((\frac{5}{2},+\infty)\)三段；測試符號(hào)：\(x<-4\)時(shí)，\((-)(-)=+\)，不滿足\(\leq0\)；\(-4<x<\frac{5}{2}\)時(shí)，\((-)(+)=-\)，滿足\(\leq0\)；\(x>\frac{5}{2}\)時(shí)，\((+)(+)=+\)，不滿足；結(jié)合分母不為0（\(x\neq-4\)），解集為\(-4<x\leq\frac{5}{2}\)。3.鞏固練習(xí)（1）解不等式：\(\frac{x-4}{x+2}<0\)；（2）解不等式：\(\frac{3x+2}{2x-5}\geq0\)；（3）解不等式：\(\frac{1-x}{x+1}>0\)（提示：變形為\(\frac{-(x-1)}{x+1}>0\)，即\(\frac{x-1}{x+1}<0\)）；（4）解不等式：\(\frac{3}{x-2}>2\)（提示：移項(xiàng)得\(\frac{3-2(x-2)}{x-2}>0\)，即\(\frac{7-2x}{x-2}>0\)）。五、不等式的實(shí)際應(yīng)用核心地位：體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，考查將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。1.知識(shí)點(diǎn)回顧解題步驟：①設(shè)未知數(shù)（明確變量含義，如“設(shè)標(biāo)價(jià)為\(x\)元”）；②找不等關(guān)系（關(guān)鍵詞：“至少”“最多”“不超過”“不少于”“更劃算”等）；③列不等式（用代數(shù)式表示不等關(guān)系）；④解不等式（按上述方法求解）；⑤檢驗(yàn)（驗(yàn)證解是否符合實(shí)際意義，如人數(shù)、價(jià)格不能為負(fù)數(shù)）。2.例題解析例7某商店銷售一種成本為40元的玩具，按標(biāo)價(jià)的8折銷售，仍可獲利至少10元。求標(biāo)價(jià)的最小值。解析：設(shè)標(biāo)價(jià)為\(x\)元；售價(jià)：\(0.8x\)元；利潤：\(0.8x-40\)元；不等關(guān)系：利潤≥10元，即\(0.8x-40\geq10\)；解不等式：\(0.8x\geq50\)→\(x\geq62.5\)；檢驗(yàn)：\(x=62.5\)時(shí)，售價(jià)為\(0.8\times62.5=50\)元，利潤為\(50-40=10\)元，符合“至少10元”的要求。結(jié)論：標(biāo)價(jià)的最小值為62.5元（或取整數(shù)70元？不，數(shù)學(xué)上62.5元是準(zhǔn)確解，實(shí)際中可能取整數(shù)，但題目未要求，故保留小數(shù)）。例8某班組織同學(xué)去公園游玩，門票每人10元，團(tuán)體票（20人及以上）可享受7折優(yōu)惠。若該班有\(zhòng)(x\)名同學(xué)（\(x<20\)），則當(dāng)\(x\)滿足什么條件時(shí)，買團(tuán)體票比買單人票更劃算？解析：單人票總費(fèi)用：\(10x\)元；團(tuán)體票總費(fèi)用：\(10\times0.7\times20=140\)元（團(tuán)體票至少20人，按20人計(jì)算）；不等關(guān)系：團(tuán)體票費(fèi)用<單人票費(fèi)用，即\(140<10x\)；解不等式：\(x>14\)；結(jié)合實(shí)際意義（\(x<20\)，\(x\)為正整數(shù)），\(x=15,16,17,18,19\)。結(jié)論：當(dāng)該班有15至19名同學(xué)時(shí)，買團(tuán)體票更劃算。3.鞏固練習(xí)（1）某出租車公司規(guī)定：起步價(jià)10元，超過5公里后每公里加收1.5元（不足1公里按1公里計(jì)算）。若小王乘坐出租車行駛了\(x\)公里（\(x>5\)），則當(dāng)\(x\)滿足什么條件時(shí)，總費(fèi)用不超過20元？；（2）某學(xué)校要購買一批筆記本，甲品牌每本5元，乙品牌每本3元。學(xué)校計(jì)劃購買筆記本總數(shù)不超過30本，且總費(fèi)用不超過100元。若購買甲品牌筆記本\(x\)本，求\(x\)的最大值；（3）某商店搞促銷活動(dòng)，購物滿300元送50元購物券（購物券可抵現(xiàn)金）。若小李買了一件標(biāo)價(jià)為\(x\)元的商品（\(x>300\)），則當(dāng)\(x\)滿足什么條件時(shí)，促銷后的價(jià)格比標(biāo)價(jià)的8折更劃算？（提示：促銷后價(jià)格為\(x-50\)，8折價(jià)格為\(0.8x\)，列不等式\(x-50<0.8x\)）。六、總結(jié)與提升建議1.知識(shí)總結(jié)一元一次不等式（組）：重點(diǎn)掌握解法步驟及解集合并原則，注意符號(hào)變化；絕對值不等式：利用幾何意義轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式，注意\(a\)的正負(fù)；分式不等式：轉(zhuǎn)化為整式不等式，注意分母不為0；實(shí)際應(yīng)用：關(guān)鍵是找到不等關(guān)系，設(shè)未知數(shù)時(shí)要明確變量含義，檢驗(yàn)解的實(shí)際意義。2.提升建議（1）夯實(shí)基礎(chǔ)：熟練掌握各類不等式的解法，確保步驟正確（如移項(xiàng)變號(hào)、分母不為0等）；（2）總結(jié)錯(cuò)題：將易錯(cuò)點(diǎn)（如符號(hào)錯(cuò)誤、漏看分母條件）整理成錯(cuò)題本，定期復(fù)習(xí)；（3）聯(lián)系實(shí)際：多做實(shí)