專(zhuān)題20空間向量與立體幾何（八大題型+模擬精練）目錄：01空間向量的線性運(yùn)算02空間向量的數(shù)量積03空間向量的基本定理04空間向量的坐標(biāo)表示05利用空間向量判斷位置關(guān)系06利用空間向量求角度07利用空間向量求距離08空間向量與立體幾何解答題01空間向量的線性運(yùn)算1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助向量線性運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【解析】.故選：A.2．（23-24高二下·江蘇常州·期中）如圖，在正三棱柱中，，P為的中點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】以為基底表示后可求的值.【解析】由正三棱柱可得，，而，故.故選：A.3．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）下列命題正確的是（

）A．若是空間任意四點(diǎn)，則有B．若表示向量的有向線段所在的直線為異面直線，則向量一定不共面C．若共線，則表示向量與的有向線段所在直線平行D．對(duì)空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)、、，若（其中、、），則、、、四點(diǎn)共面【答案】A【分析】根據(jù)題意，由已知條件結(jié)合空間向量共面定理，以及向量共線的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【解析】由空間向量的加法運(yùn)算可知，故A正確；空間中任意兩個(gè)向量都共面，故B錯(cuò)誤；若共線，則表示向量與的有向線段所在直線平行或重合，故C錯(cuò)誤；若，且，則、、、四點(diǎn)共面，故D錯(cuò)誤；故選：A4．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如圖，三棱柱中，分別為中點(diǎn)，過(guò)作三棱柱的截面交于，且，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于，連接，取的中點(diǎn)，連接，得到四邊形所求裁面，再利用平行的相似比得到為上靠近的三等分點(diǎn)即可．【解析】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于，連接，則四邊形所求截面．取的中點(diǎn)，連接.∵，∴是△APC的中位線，∴為的中點(diǎn)．又分別為的中點(diǎn)，∴，則，即，∴為上靠近的三等分點(diǎn)，故．故選：B.02空間向量的數(shù)量積5．（23-24高二下·湖北·期末）空間向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量公式計(jì)算即可.【解析】，，由投影向量的定義和公式可知在的投影向量為，故選：C.6．（23-24高二下·福建龍巖·期中）如圖，在斜三棱柱中，，，，則（

）A．48 B．32 C． D．【答案】C【分析】把變成，然后再根據(jù)空間向量的數(shù)量積公式及運(yùn)算律直接計(jì)算即可.【解析】.故選：C7．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知，，進(jìn)一步只需求出即可得解.【解析】由題意等于正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則，當(dāng)點(diǎn)與某個(gè)側(cè)面的中心重合時(shí)，最小，且，當(dāng)點(diǎn)與正方體的頂點(diǎn)重合時(shí)，最大，且，由于點(diǎn)是在正方體表面連續(xù)運(yùn)動(dòng)，所以的取值范圍是，的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用球心，將轉(zhuǎn)化為，然后分析點(diǎn)位置即可.8．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，若點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，最小時(shí)，有最小值，求的最小值即可.【解析】圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，則有，，點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則，最小時(shí)，有最小值，的最小值為點(diǎn)到圓錐母線的距離，中，，，則，點(diǎn)到的距離，則的最小值為，的最小值為.故選：A03空間向量的基本定理9．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）如圖，在四面體OABC中，，，，若，且∥平面ABC，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件可知，延長(zhǎng)與交于，連接，則由題意可得∥，令，，則利用不同的方法將用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得結(jié)果.【解析】由條件可知，延長(zhǎng)與交于，連接，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以∥，令，，則有，，根據(jù)向量基底表示法的唯一性，得解得∥，，，．故選：D．10．（22-23高二上·江西南昌·期末）已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】借助空間向量的線性運(yùn)算與基本定理可得，結(jié)合消元法與二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.【解析】因?yàn)?，所以，又點(diǎn)D在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，所以，即，則.故選：A.11．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）以等腰直角三角形斜邊上高為折痕，把和折成的二面角.若，，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二面角的平面角的定義得是和折成120°的二面角的平面角，解三角形求得，，由已知得點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則的最小值為點(diǎn)D到平面ABC的距離，設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為h，運(yùn)用等體積法可求得答案.【解析】由已知得，所以是和折成的二面角的平面角，所以，又，所以，，所以，因?yàn)?，其中，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?，平面，所以平面，所以是點(diǎn)到平面的距離，所以，又中，，所以，而為三角形內(nèi)角，所以，則，所以，解得，所以的最小值為，故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：空間向量中的線段長(zhǎng)度的最值問(wèn)題，可根據(jù)向量代數(shù)式的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距的問(wèn)題來(lái)處理.04空間向量的坐標(biāo)表示12．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知空間向量，若共面，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)空間向量共面定理可知存在一對(duì)有序?qū)崝?shù)，使，然后列方程組可求得答案.【解析】因?yàn)椴还簿€，共面，所以存在一對(duì)有序?qū)崝?shù)，使，所以，所以，解得，故選：A13．（23-24高二下·福建莆田·期末）在三棱錐中，，，兩兩垂直，且.若為該三棱錐外接球上的一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】首先將三棱錐放置在正方體中，并建立空間直角坐標(biāo)系，利用轉(zhuǎn)化向量的方法求數(shù)量積，再代入坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【解析】如圖，將三棱錐放置在正方體中，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心為正方體對(duì)角線的交點(diǎn)，

，，，，，，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，則，，，，，，，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是三棱錐與外接球組合體的幾何關(guān)系，以正方體為橋梁，建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問(wèn)題.14．（23-24高二下·福建·期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)(含頂點(diǎn))，則滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，考慮P在上底面的棱上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則由題意可得，，計(jì)算，即可得出結(jié)論.【解析】如圖所示：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)，，考慮P在上底面的棱上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則由題意可得，.所以，故，即，因?yàn)辄c(diǎn)P是棱上一點(diǎn)（含頂點(diǎn)），所以與正方形切于4個(gè)點(diǎn)，即上底面每條棱的中點(diǎn)即為所求點(diǎn)；同理P在右側(cè)面的棱上，也有4個(gè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，即與正方形切于個(gè)點(diǎn)，即右側(cè)面每條棱的中點(diǎn)即為所求點(diǎn)；同理可得：正方體每條棱的中點(diǎn)都滿足題意，故點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè).故選：C05利用空間向量判斷位置關(guān)系15．（23-24高二下·甘肅·期中）已知平面外的直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A．l與斜交 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得，得到，即可得到答案.【解析】由平面外的直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，可得，所以，則.故選：C.16．（23-24高三下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）空間四邊形中分別為的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.四邊形為平面四邊形且其法向量為.下列論述錯(cuò)誤項(xiàng)為（

）A．，則//平面B．，則平面C．，則四邊形為矩形.D．，則四邊形為矩形.【答案】C【分析】根據(jù)法向量的定義即可求解A，根據(jù)向量相等可得平行四邊形，進(jìn)而可得線線平行，進(jìn)而根據(jù)線線平行得線面平行，即可由線面平行的性質(zhì)求解BCD.【解析】由于是平面的法向量，且，不在平面內(nèi)，則//平面，A正確，對(duì)于B，由于,則四邊形為平行四邊形，故,平面平面，所以平面，平面，且平面平面,故,則平面,平面,則平面,故B正確，對(duì)于C,由于,則四邊形為平行四邊形，,顯然矛盾，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由于,由選項(xiàng)B可得，由于四邊形為平行四邊形，故,平面平面，所以平面，平面，且平面平面,故,由于,因此,故四邊形為矩形，故選：C

17．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)在平面上，且平面，線段長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由線面垂直轉(zhuǎn)化成向量垂直，列方程組，表示出，利用模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【解析】結(jié)合題意：以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由正方體的棱長(zhǎng)為1，可得.設(shè)，則，因?yàn)槠矫?，所?即，解得，所以，所以，所以，因?yàn)椋Y(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在單調(diào)遞增.故.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于利用平面，找到，從而得到.18．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，直線為平面與平面的交線，現(xiàn)有如下說(shuō)法①不存在點(diǎn)，使得平面②存在點(diǎn)，使得平面③當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有平面④當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有平面其中正確的說(shuō)法有（

）A．①③ B．③④ C．②③ D．①④【答案】B【分析】對(duì)于①，由當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷；對(duì)于②，若平面，則，建系利用向量運(yùn)算即可判斷；對(duì)于③④，由線面平行，線面垂直的相關(guān)知識(shí)判斷即可.【解析】對(duì)于①，由當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由，而平面，平面，得平面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若存在點(diǎn)，使得平面，則，又，可得，以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1，，，則，，，，則，，，，所以，這與矛盾，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)不是的中點(diǎn)時(shí)，由，且面，面，可知面，又直線為面與面的交線，則，又面，面，從而可得面，故③正確；對(duì)于④，由③可知，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，所以平面，故④正確.綜上，③④正確.故選：B.06利用空間向量求角度19．（23-24高二下·福建廈門(mén)·期末）在四面體中，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的夾角公式和數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解異面直線夾角.【解析】由題知，，令為與所成夾角，則.故選：A20．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在平行六面體中，已知，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（

）A．直線與BD所成的角為90°B．線段的長(zhǎng)度為C．直線與所成的角為90°D．直線與平面ABCD所成角的正弦值為【答案】D【分析】在平行六面體中，取，利用空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案.【解析】在平行六面體中，令，，，由，，得，，對(duì)于，顯然，，則，即，因此直線與所成的角為，A正確；對(duì)于B，，即，B正確；對(duì)于C，，即，因此直線與所成的角為，C正確；對(duì)于D，在平行六面體中，四邊形是菱形，即，又，，平面，于是平面，又平面，則平面平面，連接交于點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，由平面平面，因此平面，即直線與平面所成角為，，則，即，由及選項(xiàng)C知，，則，D錯(cuò)誤.故選：D21．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）如圖，四邊形，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角的大小在時(shí)，直線和所成角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，過(guò)點(diǎn)O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AB與CD所成角的余弦值的最大值．【解析】取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，，則，且，于是是二面角的平面角，顯然平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，則，直線兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)二面角的大小為，，因此，，，于是，顯然，則當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量建立函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.07利用空間向量求距離22．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·期末）平行六面體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為．【答案】【分析】選取作為空間一組基底，用基底表示，求出模，運(yùn)用公式可以求解.【解析】如圖所示，根據(jù)題意，選取作為空間一組基底.則，同理，.，，;;；則，點(diǎn)到直線的距離.故答案為：.23．（23-24高二下·安徽·期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為正方形和正方形的中心，則點(diǎn)到平面的距離為.【答案】/【分析】建系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出與平面的法向量的坐標(biāo)，代入點(diǎn)到平面距離的向量計(jì)算公式計(jì)算即得.【解析】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,于是，，,設(shè)平面的法向量為，則，故可取，則點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：24．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折疊使得△ACD垂直于底面ABC，則異面直線AD與BC的距離為．【答案】/【分析】利用垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線的距離.【解析】取的中點(diǎn)，連結(jié)，，由條件可知，平面平面，且平面平面，平面，所以平面，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，,設(shè)與垂直的向量為，則，令，則，所以，則異面直線AD與BC的距離為.故答案為：25．（24-25高二上·上海·單元測(cè)試）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則與平面的位置是．【答案】垂直【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，證明即可得與平面的位置關(guān)系.【解析】如圖所示，分別以所在直線為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，且.設(shè)，則，所以,因?yàn)?所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?故答案為：垂直.26．（19-20高二·全國(guó)·課后作業(yè)）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，則平面AMN與平面EFBD的距離為.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面AMN的一個(gè)法向量，然后使用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，面面距轉(zhuǎn)為點(diǎn)面距，最后計(jì)算即可.【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)，N(4，2，4).∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)，∴，∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M.∴平面AMN∥平面EFBD.設(shè)=(x，y，z)是平面AMN的一個(gè)法向量，則解得取z=1，則x=2，y=-2，得=(2，2，1).平面AMN到平面EFBD的距離就是點(diǎn)B到平面EFBD的距離.∵=(0，4，0)，∴平面AMN與平面EFBD間的距離d=.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查面面距，使用數(shù)形結(jié)合，形象直觀，并采用向量的方法，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，便于計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.08空間向量與立體幾何解答題27．（24-25高三上·湖南·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，是側(cè)棱的中點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)求銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）利用三棱柱性質(zhì)以及邊長(zhǎng)關(guān)系可得為正方形，所以；再利用勾股定理以及面面垂直的判定定理即可證明出結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，可得銳二面角的余弦值.【解析】（1）設(shè)，因?yàn)?，由余弦定理可得，即；可得四邊形為正方形，所以，且，又是?cè)棱的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，又，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由平面，且，可得平面，又因?yàn)槠矫?，可得平面平?（2）由直棱柱的性質(zhì)與已知，得，以為原點(diǎn)，以垂直于平面的直線，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，且是中點(diǎn)，則.可得，設(shè)平面的法向量為，則令，則，可得，由（1）可知平面的一個(gè)法向量為，可得，所以銳二面角的余弦值為.28．（23-24高二下·上海·期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，為線段的中點(diǎn)，，為線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：；(2)當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證出平面和平面，進(jìn)而可得；（2）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用空間向量法求出點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）平面，平面，，又平面，平面，又平面，，中，為的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，.（2）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)為平面的法向量，

則，令，則，故，則點(diǎn)與平面的距離.29．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面為等邊三角形，，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先求得，再根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法列方程來(lái)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)度.【解析】（1）依題意，所以，所以，所以，則，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面.（2）由（1）可知兩兩相互垂直，由此以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，依題意，二面角的大小為，所以，整理得，解得或（舍去），所以，所以.30．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，半圓柱與四棱錐拼接而成的組合體中，是半圓弧上（不含）的動(dòng)點(diǎn)，為圓柱的一條母線，點(diǎn)在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，.(1)求證：；(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到直線距離的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)【分析】（1）取弧中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由數(shù)據(jù)求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面FOD與平面的法向量，利用面面角的向量求法求解.（3）利用空間向量求出點(diǎn)到直線距離的函數(shù)關(guān)系，再求出最大值即可.【解析】（1）取弧中點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，連接，在中，，，則，于是，設(shè)，則，其中，，因此，即，所以.（2）由平面平面，得，又，則，而平面，則平面，即為平面的一個(gè)法向量，，由平面，得，又，解得，此時(shí)，設(shè)是平面的法向量，則，取，得，設(shè)是平面的法向量，則，取，得，則平面FOD與平面夾角的余弦值為.（3），則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，即的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取最大值為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分別求出兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結(jié)合圖形得到二面角的大??；②找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與交線垂直且以垂足為起點(diǎn)的直線的方向向量，則這兩個(gè)向量的夾角就是二面角的平面角．一、單選題1．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量法求線線角即可.【解析】以為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)作的垂線交于，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橹比庵?，，，，所以，所以，設(shè)異面直線與所成角為，所以.故選：C.2．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，且，則（

）A． B．0 C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的垂直和平行，先求出的值，再求所給向量的模.【解析】由，由，.所以.故選：D3．（2024·山西·三模）正方體的棱長(zhǎng)為2，分別為的中點(diǎn)，為底面的中心，則三棱錐的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，利用向量法求解點(diǎn)面距離，即可根據(jù)體積公式求解.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,,設(shè)平面法向量為，則，取，則，故到平面的距離為，而,故,故，故選：B4．（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)滿足，，，則直線CE與DF所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，，利用空間向量運(yùn)算得，，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解數(shù)量積，即可解答.【解析】設(shè)，，，則，，，，所以，故直線CE與DF所成的角為.故選：D5．（2024·山東日照·二模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，若點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】取中點(diǎn)，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算得，判斷的最大值即可求解.【解析】取中點(diǎn)，可知在球面上，可得，所以，

點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為直徑時(shí)，，所以的最大值為.故選：B.6．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形，，將沿對(duì)角線折起，使以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，平面平面，以E為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示可解.【解析】記的中點(diǎn)分別為，因?yàn)椋?，同理，，記，因?yàn)?，所以，所以，，易知，?dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，以E為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C7．（2024·河南·三模）在四面體中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是內(nèi)一點(diǎn)，四面體的體積為，則對(duì)，的最小值是（

）A． B． C． D．6【答案】D【分析】根據(jù)共面向量定理將所求最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，再利用體積求解即可.【解析】設(shè)，由共面向量定理得點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且，所以，求的最小值，即求點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意知，四面體的體積，解得，故所求最小值為6．故選：D．8．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點(diǎn)，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的位置關(guān)系可證得平面，可得點(diǎn)的軌跡為圓，由此即可得．【解析】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，，故，因?yàn)?，故平面，為平面上的?dòng)點(diǎn)，直線與直線的夾角為30°，平面，設(shè)垂足為，以為圓心，為半徑作圓，即為點(diǎn)的軌跡，其中，由對(duì)稱(chēng)性可知，，故半徑，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選：C.二、多選題9．（2024·河北承德·二模）如圖，在正四棱柱中，是棱的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．是平面的一個(gè)法向量B．C．點(diǎn)到平面的距離為D．二面角的正弦值為【答案】ACD【分析】對(duì)于A，證明平面即可；對(duì)于B，在中通過(guò)余弦定理計(jì)算的長(zhǎng)度即可；對(duì)于C，D，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式可計(jì)算C選項(xiàng)，計(jì)算平面和平面的法向量即可求出二面角的正弦值，可判斷D選項(xiàng).【解析】對(duì)于A，由于是正四棱柱，易知，在中，因?yàn)?，所以，故，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，在中，因?yàn)?，則，在中，利用余弦定理,可求得或（舍去），因此，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由B選擇可知，，，所以，故，設(shè)為平面的法向量，則，令，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以由點(diǎn)到平面的距離公式得：，故C正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)中坐標(biāo)可知，為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，所以，因此二面角的正弦值為，故D正確.故選：ACD.

10．（2024·山東濱州·二模）圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．若分別沿，把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使、兩點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為，則在四面體中，下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．到直線的距離為C．三棱錐外接球的半徑為D．直線與所成角的余弦值為【答案】AC【分析】首先證明平面，即可判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算B、D，求出外接圓的半徑，再由勾股定理求出三棱錐外接球的半徑，即可判斷C.【解析】對(duì)于A：翻折前，，翻折后則有，，因?yàn)?，、平面，所以平面，平面，所以，故A正確；

對(duì)于B：又，即為等邊三角形，所以，在平面中過(guò)點(diǎn)作，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，令，，所以到直線的距離為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：所以的外接圓的半徑，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，因?yàn)槠矫妫?，所以，即三棱錐外接球的半徑為，故C正確；對(duì)于D：由，設(shè)直線與直線所成角為，，則所以直線與直線所成角的余弦值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．（2024·江西宜春·三模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)P是棱的中點(diǎn)，Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），M是正方形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．存在滿足條件的點(diǎn)M，使B．當(dāng)點(diǎn)Q在線段上移動(dòng)時(shí)，必存在點(diǎn)M，使C．三棱錐的體積存在最大值和最小值D．直線與平面所成角的余弦值的取值范圍是【答案】ABC【分析】由已知，取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，并連接，可得點(diǎn)M的軌跡為線段．對(duì)于A，連接，交于點(diǎn)O，可得平面，當(dāng)M為線段中點(diǎn)時(shí)，，又，則可判斷：對(duì)于B，分別以向量，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量坐標(biāo)運(yùn)算可得存在，即可判斷；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)M到的距離為h，可知當(dāng)M與E重合時(shí)，，當(dāng)M與F重合時(shí)，，即可求出三棱錐的體積存在最大值和最小值，則可判斷；對(duì)于D，由平面知，即為直線與平面所成的角，在中，可得，則得，進(jìn)而得，則可判斷.【解析】取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接，，，，如圖所示．

易知，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理，平面，又，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故點(diǎn)M的軌跡為線段．對(duì)于A，連接，交于點(diǎn)O，如圖所示．

則，又，，平面，所以平面，當(dāng)M為線段中點(diǎn)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，分別以向量，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

則，，設(shè)（），得，從而，又，令，得，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，由，解得，即當(dāng)點(diǎn)Q在線段上移動(dòng)時(shí)，均存在點(diǎn)M，使，故B正確；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)M到的距離為h，則三棱錐的體積為，當(dāng)M與E重合時(shí)，，得；當(dāng)M與F重合時(shí)，，得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)直線與平面所成的角為、連接，如圖所示．

由平面知，，在中，由，得，所以，所以，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，本題關(guān)鍵是先找到點(diǎn)M的軌跡，對(duì)于B選項(xiàng)，通過(guò)設(shè)出向量的含參坐標(biāo)，借助參數(shù)的范圍滿足條件，得到答案；對(duì)于C選項(xiàng)，利用等積轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成棱錐高取得最值，可得體積最值；對(duì)于D選項(xiàng)，關(guān)鍵是找到線面角正切的范圍，進(jìn)而得到余弦的范圍.三、填空題12．（2024·山東濟(jì)南·一模）在三棱柱中，，，且平面，則的值為.【答案】/0.5【分析】利用三棱柱模型，選擇一組空間基底，將相關(guān)向量分別用基底表示，再利用平面，確定必共面，運(yùn)用空間向量共面定理表達(dá)，建立方程組計(jì)算即得.【解析】如圖，不妨設(shè)，依題意，,，因，則又因平面，故必共面，即存在，使，即，從而有，解得.故答案為：.13．（2024·河南·一模）三棱錐中，，，，，點(diǎn)M，N分別在線段，上運(yùn)動(dòng).若二面角的大小為，則的最小值為.【答案】/【分析】觀察三棱錐，將其補(bǔ)形成直三棱柱，再推得是正三角形，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線距離的向量法公式即可得解.【解析】依題意，將三棱錐補(bǔ)形成直三棱柱，此時(shí)易知，，滿足題意，又，所以為二面角的平面角，即，在中，，，則，在中，，則，又，所以是正三角形，要求的最小值，即求異面直線，的距離，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，故，設(shè)同時(shí)垂直于，則，取，則，故，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，通過(guò)分析三棱錐的圖形，將其補(bǔ)形成直三棱柱，從而得解.14．（2024·山東青島·一模）已知球O的表面積為，正四面體ABCD的頂點(diǎn)B，C，D均在球O的表面上，球心O為的外心，棱AB與球面交于點(diǎn)P．若平面，平面，平面，平面，且與之間的距離為同一定值，棱AC，AD分別與交于點(diǎn)Q，R，則的周長(zhǎng)為.【答案】/【分析】結(jié)合球的表面積公式，根據(jù)正三角形外接圓的性質(zhì)求得邊長(zhǎng)，利用三點(diǎn)共線及數(shù)量積的運(yùn)算律求得，然后利用平行平面的性質(zhì)求得，，再利用余弦定理求得，即可求解的周長(zhǎng).【解析】設(shè)與之間的距離為d，設(shè)球O的半徑為R，則由題意得，解得，所以，所以，所以，由A，P，B三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)使得，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以，又且與之間的距離為d，則，，所以，，所以，又，所以的周長(zhǎng)為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的空間想象能力，解題關(guān)鍵是找到點(diǎn)的位置．本題中應(yīng)用正四面體的性質(zhì)結(jié)合球的半徑，求出邊長(zhǎng)，利用平行平面的距離，得到所求三角形的邊長(zhǎng)即可求解.四、解答題15．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直四棱柱中，.

(1)證明：平面；(2)求與平面所成的角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，只需依次證明，和平面即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)的直線的方向向量與平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式即可得解.【解析】（1）

取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，故四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以平面，而平面，故平?（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，設(shè)是平面的法向量，則，故，令，得，則是平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成的角為，則，即與平面所成的角的正弦值為.16．（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在斜三棱柱中，，M為AC的中點(diǎn)，．(1)證明：．(2)若，，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，將線線垂直轉(zhuǎn)換為線面垂直，即平面，通過(guò)線面垂直的判斷定理證明即可；（2）先證明平面ABC，再建立空間直角坐標(biāo)系求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可得出結(jié)果.【解析】（1）證明：取AB的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)镸為AC的中點(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)椋?，所以M，N，，四點(diǎn)共面，因?yàn)?，，，平面，平面，所以平面，所?（2）因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以，因?yàn)?，，所以在中，，則，由平面，可得.因?yàn)椋云矫鍭BC，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為軸，軸，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于方向?yàn)檩S建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則由，可得，令，得，由題可知，平面的一個(gè)法向量為，，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為.17．（20