培優(yōu)點02指、對、冪的大小比較（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，其中指數(shù)、對數(shù)及冪的大小比較是近幾年的高考熱點和難點，主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置．【核心題型】題型一直接法比較大小利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1,0，eq\f(1,2)，1”對所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進(jìn)而可估計log23是一個1～2之間的小數(shù)，從而便于比較．命題點1利用函數(shù)的性質(zhì)【例題1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則實數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，，從而可得結(jié)果.【詳解】由在R上單調(diào)遞增，可得，又，則．由在上單調(diào)遞增，可得．由在上單調(diào)遞增，可得．所以，故選：A【變式1】（2024·四川德陽·二模）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察的式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得的單調(diào)性，從而判斷得，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得，從而得解.【詳解】因為，觀察的式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，因為，所以，即，所以，即，即；又，所以，即；綜上，.故選：B.【變式2】（2023·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）已知冪函數(shù)的圖象過點，設(shè)，則a、b、c的大小用小于號連接為．【答案】【分析】首先求出冪函數(shù)的解析式，再利用其單調(diào)性即可比較大小.【詳解】冪函數(shù)的圖象過點，則，所以冪函數(shù)的解析式為，且函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以，即.故答案為：【變式3】（2023·黑龍江哈爾濱·三模）若，則實數(shù)由小到大排列為<<.【答案】bca【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性比較大小作答.【詳解】依題意，，而，令函數(shù)，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，于是，又，所以.故答案為：b；c；a命題點2找中間值【例題2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過和1的比較可得答案.【詳解】因為，，所以．故選：C【變式1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，利用換底公式可判斷利用指數(shù)性質(zhì)可判斷，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由題得，而，所以，所以.故選：A.【變式2】（2024·四川成都·三模）四個數(shù)中最大的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】引入0，1，分別比較這四個數(shù)和0，1的大小，即可得到結(jié)論.【詳解】因為，，，.所以最大.故選：B【變式3】（2024·北京石景山·一模）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的條件，利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)，借助進(jìn)行比較判斷選項.【詳解】，，而，則，即，所以.故選：B命題點3特殊值法【例題3】（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，分類討論和可判斷A，B；取特值可判斷C；根據(jù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】因為，所以，當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得，所以，即，A，B錯誤.當(dāng)時，，C錯誤.因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，D正確.故選：D【變式1】（多選）（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【分析】對A和C利用不等式性質(zhì)即可判斷，對B和D舉反例即可反駁.【詳解】對A，因為，則兩邊同乘得，兩邊同乘得，則，故A正確；對B，當(dāng)時，，故B錯誤；對C，因為，則，又因為，所以，故C正確；對D，舉例，則，而，此時兩者相等，故D錯誤.故選：AC.【變式2】（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）下列說法正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】運用基本不等式，結(jié)合特例法、不等式的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】選項A：當(dāng)時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選項A正確；選項B：由得，所以，故選項B正確；選項C：令，滿足，但不成立，故選項C錯誤；選項D：由得，因為，所以，所以，故選項D正確．故選：ABD.【變式3】（2024·上海靜安·二模）在下列關(guān)于實數(shù)的四個不等式中，恒成立的是．（請?zhí)钊肴空_的序號）①；②；③；④．【答案】②③④【分析】取特值可判斷①；作差法可判斷②④；要證即證可判斷③.【詳解】對于①，取，故①錯誤；對于②，，故②正確；對于③，當(dāng)，要證，即證，即，即證，而恒成立，當(dāng)時，，所以，故③正確.對于④，，所以，故④正確.故答案為：②③④.題型二利用指數(shù)、對數(shù)及冪的運算性質(zhì)化簡比較大小求同存異法比較大小如果兩個指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況．【例題4】（2024·天津·一模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】因為，，，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：B【變式1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷a的范圍，利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及正弦函數(shù)的單調(diào)性可比較的大小關(guān)系，結(jié)合b的范圍，即可判斷出答案.【詳解】由題意得，且，又，故，故選：C【變式2】（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來判斷即可.【詳解】冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，又，所以.故選：A.【變式3】（2024·四川攀枝花·二模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】易知在上單調(diào)遞增，則，即，而由單調(diào)遞增，得，即，又單調(diào)遞增，故則.故選：A題型三構(gòu)造函數(shù)比較大小某些數(shù)或式子的大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大?。纠}5】（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求證不等式和，即可求解.【詳解】設(shè)，則當(dāng)時,在單調(diào)遞減，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，故當(dāng)，故當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)在單調(diào)遞增，當(dāng)在單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故．，故因此，故選：A【點睛】方法點睛：比較大小問題，常常根據(jù)：（1）結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較；（2）利用特殊值進(jìn)行估計，再進(jìn)行間接比較；（3）根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而判斷大小【變式1】（2024·遼寧·二模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得出，即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，而，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到，即，所以，令，則，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到，即，所以，綜上所述，，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點晴：通過構(gòu)造函數(shù)和，將問題轉(zhuǎn)化成比較函數(shù)值的大小，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可解決問題.【變式2】（2023·遼寧·模擬預(yù)測）已知，試比較的大小關(guān)系（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三個指數(shù)的底數(shù)的形式，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其大小，再根據(jù)三個數(shù)的形式構(gòu)造新函數(shù)，通過取對數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，最后利用單調(diào)性判斷即可.【詳解】設(shè)，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以有，因為，所以，設(shè)，設(shè)，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因為，所以，因為函數(shù)是正實數(shù)集上的增函數(shù)，故，即，所以，故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)所給指數(shù)的底數(shù)和指數(shù)的形式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式3】（2023·湖南·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則，，的大小順序為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)a、b、c的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可比較出a、b、c的大小，從而可得到正確答案．【詳解】因為，，故構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，又因為，，所以，．因為，又，所以，即，故，故選：A．【課后強(qiáng)化】基礎(chǔ)保分練一、單選題1．（2024·天津·二模）若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法求解即可.【詳解】，，，所以.故選：B.2．（2024·北京順義·二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用換底公式計算a，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷b，c即可得答案.【詳解】因為，，，所以.故選：D3．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性比較大?。驹斀狻坑桑瑒t，又，且，所以．故選：A．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性可比較與1和，與0和的大小，后利用結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，可比較與0的大小，即可得答案.【詳解】因?qū)?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即．因指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即．又注意到，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以．故選：D．二、多選題5．（2024·貴州遵義·一模）已知正實數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明，利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，再逐項判斷即可得解.【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，，即當(dāng)時，，則當(dāng)時，，于是，而函數(shù)在上遞增，因此，對于A，，A正確；對于B，函數(shù)在上遞減，則，B錯誤；對于C，函數(shù)在上遞減，則，C正確；對于D，，則，D錯誤.故選：AC6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)基本不等式可判定A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判定B，根據(jù)基本不等式、對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷C，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確.，，且，，，，，故B正確.由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，故C錯誤.，又，，故D錯誤.故選：AB.三、填空題7．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為．【答案】【分析】由對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，，，從而得到大小關(guān)系.【詳解】因為在上單調(diào)遞減，，故且，所以，因為在R上單調(diào)遞減，，所以，，故.故答案為：8．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，現(xiàn)有如下說法：①；②；③.則正確的說法有.（橫線上填寫正確命題的序號）【答案】②③【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為，，所以，，所以，故①錯誤；，所以，故②正確；，所以，故③正確.故答案為：②③四、解答題9．（22-23高三·全國·對口高考）（1）比較與的大?。唬?）已知，比較與大小【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用作商法，分類討論即可；（2）利用做差法、換底公式以及不等式的性質(zhì)分析即可.【詳解】（1）因為，所以，所以①當(dāng)時，，所以，②當(dāng)時，，即，所以，③當(dāng)時，，即，所以，綜上所述：當(dāng)，.（2），因為，所以，所以，由，所以，所以，即，故.10．（2020高三·上?！ｎ}練習(xí)）設(shè)，且，記，試比較的大小.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，由，先得到；再分別討論，兩種情況，得到，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：，即；又，當(dāng)時，，所以，即，因此；當(dāng)時，由，得，即，因此；綜上，.【點睛】本題主要考查比較對數(shù)式的大小，熟記對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于常考題型.綜合提升練一、單選題1．（2024·天津河?xùn)|·一模）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)的單調(diào)性即可利用中間值求解.【詳解】，故,故選：A2．（2024·河南·模擬預(yù)測）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)冪與對數(shù)的運算性質(zhì)，分別求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由，即，所以．故選：C．3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)運算以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，結(jié)合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運算分析可得，即可得結(jié)果.【詳解】因為，，因為，可知，又因為，所以.故選：C.4．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用當(dāng)時，判斷，通過函數(shù)在是減函數(shù)判斷.【詳解】當(dāng)時，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，也就是說當(dāng)時，，用代替，可得，即，所以，即．又知，所以，所以．故選：A5．（2023·天津河北·一模）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先化簡，，，再根據(jù)即可得解.【詳解】，即，，，又，所以，所以，故選：D6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷AB；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對于AB，因為，所以，故A錯誤；因為，所以，但不一定大于1，故不一定大于0，故B錯誤；對于C，因為，則，所以，故C錯誤；對于D，不等式等價于，兩邊取自然對數(shù)得，因為，所以原不等式等價于，設(shè)函數(shù)，則，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，所以，故在上單調(diào)遞減，所以，即，故D正確．故選：D．7．（2024·寧夏銀川·二模）定義域為的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且當(dāng)時，恒成立，若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件先得到函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性比較大小.【詳解】當(dāng)時，恒成立，即當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，即，所以函數(shù)關(guān)于對稱，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以因為，所以所以，所以，即，故選：D.8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用常見不等式放縮得到，的大小關(guān)系，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較，的大小關(guān)系即可得到答案.【詳解】令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即；令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即；由誘導(dǎo)公式得，所以，因此；因為，，故只需比較與的大小，由二項式定理得，，所以．綜上，.故選：C【點睛】方法點睛：本題考查比較大小問題，此類問題常見的處理方法為：（1）中間值法：通過與特殊的中間值比較大小，進(jìn)而判斷兩個數(shù)的大小關(guān)系；（2）構(gòu)造函數(shù)法：通過觀察兩個數(shù)形式的相似之處，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與極值等性質(zhì)進(jìn)而比較大?。唬?）放縮法：利用常見的不等式進(jìn)行數(shù)的放縮進(jìn)而快速比較大小.二、多選題9．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）下列是（，，）的必要條件的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】AB選項，可舉出反例；CD選項，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可進(jìn)行判斷.【詳解】A選項，若，則A錯誤，B選項，等價為，當(dāng)時不成立，故B錯誤，C選項，因為在R上單調(diào)遞增，而，所以，C正確；D選項，因為在R上單調(diào)遞增，而，所以，D正確.故選：CD10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，其中是函數(shù)的兩個零點．實數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，畫出大致圖象，是直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可得，又由條件得，可推出，得，即可判斷ABC；由，取對數(shù)后可得，設(shè)，令，利用導(dǎo)數(shù)可證得，進(jìn)而可判斷D.【詳解】設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，取極小值.是函數(shù)的兩個零點，即直線與函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)，如圖，由圖可知，，由，得，所以，所以，所以，所以B，C正確，無法判斷A是否正確；對于D，由，取對數(shù)后可得，即，，設(shè)，令，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以，即，從而可得，所以，D正確，故選：BCD．11．（2024·重慶·一模）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)指對互化與運算以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷ABC，利用基本不等式即可判斷D.【詳解】由題意得，，，，則，則，對A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故A正確；對B，因為，即，則，故B正確；對C，因為，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故C錯誤；對D，因為，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而顯然，則，故D正確；故選：ABD.三、填空題12．（23-24高三上·北京昌平·階段練習(xí)）①在中，，，，則；②已知，，，則的大小關(guān)系是【答案】【分析】對于①：利用余弦定理運算求解即可；對于②：根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于①：利用余弦定理，即，而，解得；對于②：因為，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即，又因為，所以.故答案為：；.13．（22-23高三上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知，則a，b，c的大小關(guān)系為.【答案】【分析】由題意根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由題意，故a，b，c的大小關(guān)系為.故答案為：.14．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）若，，則與的大小關(guān)系為.（用“”連接）【答案】【分析】利用作商法以及基本不等式可得出兩個對數(shù)式的大小關(guān)系.【詳解】，因為，，則，，所以.故答案為：.四、解答題15．（22-23高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）比較下列兩組數(shù)的大?。▽懗鲈敿?xì)理由）．(1)a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4(2)a=log26，b=log312，c=log515【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；（2）由題意，根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)化簡，結(jié)合中間值法，可得答案.【詳解】（1）由函數(shù)，且，則；由函數(shù)，且，則；則，即.（2），，，則，故.16．（2020高三·全國·專題練習(xí)）比較大?。孩伲?，；②，，；③，，．【答案】①；②；③．【解析】(1)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，依據(jù)其單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，如：在上遞減有，是增函數(shù)有，即可得大小關(guān)系；(2)將，，與0和1比較大小，即可確定它們的大小關(guān)系；(3)利用同底的指數(shù)、對數(shù)以0、1作為界值，比較，，的大小【詳解】①∵在上遞減，∴，∵是增函數(shù)，∴綜上，；②∵，，∴；③，，，則【點睛】本題考查了比較指數(shù)式、對數(shù)式的大小，結(jié)合相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，利用其單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，或以0、1作為界值，結(jié)合同底的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小17．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知均為正實數(shù)，且．(1)比較與的大?。?2)比較和的大?。敬鸢浮?1)(2)答案見解析【分析】（1）利用作差法比較大小，即得答案；（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的取值范圍，即可得答案.【詳解】（1），均為正實數(shù)，，；（2）當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)．①當(dāng)時，，則，若，則；若，則；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，，則，若，則；若，則．綜上所述，當(dāng)或時，；當(dāng)時，；當(dāng)或時，.18．（22-23高三下·全國·開學(xué)考試）已知函數(shù)的最小值為0．(1)求實數(shù)a的值；(2)設(shè)，，，判斷，，的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的最小值為，從而得到，再令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到值，從而得解；（2）由（1）可得，當(dāng)時兩邊取對數(shù)得到，當(dāng)時，設(shè)，根據(jù)函數(shù)值的情況判斷，當(dāng)時，設(shè)，即可判斷，從而得解.【詳解】（1）解：由題意得．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，無最小值，不滿足題意．當(dāng)時，令，得．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以的最小值為，即．設(shè)，則．令，得．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即．故的解只有，綜上所述，．（2）解：由（1）可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．當(dāng)時，不等式兩邊取對數(shù)，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．當(dāng)時，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．因為，所以，所以．當(dāng)時，設(shè)，因為，所以，所以，即．故，所以．綜上所述，．19．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性．(2)若有兩個零點，且，證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得時，，時，，進(jìn)而可得單調(diào)區(qū)間；（2）令，可得，構(gòu)造函數(shù)，有兩個極點可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而運算可得要證，，只需證，換元證明即可．【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域為，則．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減．又，即，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）令，得．又，所以．顯然當(dāng)時，方程只有一個根，不符合題意，所以．令，則．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．而，所以當(dāng)時，恒有．要使有兩個零點，則需直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，所以．由上述可知，，且①，②．②－①，得，所以．②＋①，得，所以．設(shè)，則．要證，又，所以只需證，即證，即證．令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，故．【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).拓展沖刺練一、單選題1．（2024·北京東城·一模）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】舉出反例即可判斷ABD，利用作差法即可判斷C.【詳解】當(dāng)時，，故AD錯誤；當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，因為，所以，因為，所以且，則，所以，故C正確.故選：C.2．（2024·天津·一模）已知函數(shù)，若，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)自變量大小可得，再根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性判斷即可.【詳解】因為，，所以，當(dāng)時，，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：C.3．（2024·安徽阜陽·一模）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由對數(shù)的運算化簡，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.【詳解】，，，.故選：D．4．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，求得，設(shè)，求得為單調(diào)遞增函數(shù)，得到，即單調(diào)遞減，得出，再由函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)遞增，結(jié)合，得到，即可求解.【詳解】由，可得，且，，令，則，設(shè)，可得，所以為R上單調(diào)遞增函數(shù)，因為，可得，即，所以，即單調(diào)遞減，所以，即，即，所以，再設(shè)，可得，所以在上在單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以，所以，綜上可得：.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給數(shù)的特征，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，再利用作差法、對數(shù)的運算及基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)（），則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，，，所以，故選：A．【點睛】關(guān)鍵點睛：利用構(gòu)造法和作差法，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及基本不等式即可.二、多選題6．（2023·山東青島·三模）已知實數(shù)a，b，滿足a＞b＞0，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】對于選項A：根據(jù)題意結(jié)合基本不等式分析判斷；對于選項B：利用作差法分析判斷；對于選項C：分析可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于選項D：結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，即，解得或，所以或，故A錯誤；對于選項B：，因為a＞b＞0，則，即，且，所以，即，故B正確；對于選項C：因為a＞b＞0，且，可得同號，則有：若同正，可得，則，可得；若同負(fù)，可得，則，可得；綜上所述：，又因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，故C正確；對于選項D：因為a＞b＞0，則，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且，所以，故D正確；故選：BCD.7．（