高中數學人教版必修第一冊：5.4.3《正切函數的圖像與性質》聽評課記錄設計一.基本信息

聽課日期：2023年10月26日

聽課時間：上午第二節(jié)課

授課教師姓名：李明

學科/課程名稱：高中數學

班級/年級：高一（3）班

教學主題或章節(jié)：5.4.3《正切函數的圖像與性質》

聽課人姓名：王華

聽課人職務：數學教研組長

聽課目的：教學研究、教師專業(yè)發(fā)展

本節(jié)課圍繞正切函數的圖像與性質展開教學，旨在幫助學生理解正切函數的周期性、奇偶性、單調性等關鍵性質，并通過圖像繪制掌握其變化規(guī)律。正切函數作為三角函數的重要組成部分，其圖像與性質是后續(xù)學習其他三角函數及解決實際問題的基礎。李明老師通過精心設計的導入、展開和總結環(huán)節(jié)，引導學生逐步深入理解正切函數的數學內涵，并結合多媒體技術增強直觀性，體現了新課程改革中“以學生為中心”的教學理念。

二.課堂觀察記錄

1.教學準備

教師的教學計劃清晰且具有層次性。教學目標明確，包括知識目標（理解正切函數的圖像特征及性質）、能力目標（掌握圖像繪制方法）和情感目標（培養(yǎng)數學思維能力）。教學流程設計合理，從復習誘導公式到引入正切函數定義，再到圖像繪制與性質分析，邏輯銜接自然。教學資源準備充分，包括人教版教材、幾何畫板軟件、電子白板課件等。教材中正切函數的圖像示例清晰，教具準備簡單但實用，如直角坐標系模型，多媒體課件則動態(tài)展示了正切函數的周期變化，為后續(xù)性質分析提供了直觀支持。

2.教學過程

開始階段（導入新課）：李明老師以復習“正切值的定義”和“單位圓中正切線長度”作為導入，通過提問“正切值如何隨角度變化”引發(fā)學生思考。這一方式有效激活了學生已有知識，但導入時間略長，約5分鐘，可適當壓縮以留出更多時間用于新課展開。

展開階段（教學方法的選擇與應用）：

（1）講授法：在正切函數定義講解時，教師結合單位圓模型和動態(tài)課件，逐步推導出正切函數的周期為π，并強調其無界性。語言表達清晰，但部分概念（如“正切函數在開區(qū)間（kπ-π/2，kπ+π/2）內單調遞增”）的表述略顯復雜，可借助反例（如角度從-π/3到π/3的變化）幫助學生理解。

（2）實驗法：利用幾何畫板繪制正切函數圖像時，教師引導學生逐步調整參數觀察圖像變化，如改變定義域范圍對圖像連續(xù)性的影響。這一環(huán)節(jié)設計巧妙，學生通過動手操作加深了對“無垂直漸近線”的理解。

（3）討論法：在分析奇偶性時，教師提出“正切函數是否關于原點對稱”的問題，組織小組討論。部分小組對“對稱軸為kπ+π/2”的結論存在爭議，教師及時引導通過圖像驗證，培養(yǎng)了學生的辯證思維。

結束階段（總結歸納）：教師帶領學生回顧“正切函數的圖像與性質五字訣”（周期T、奇偶O、單調S、漸近線A、定義域D），并布置分層作業(yè)——基礎題（繪制0到2π的圖像）、拓展題（比較正切函數與余切函數圖像差異）?？偨Y環(huán)節(jié)時間控制較合理，約3分鐘。

3.師生互動

師生交流頻率較高，教師通過“為什么正切函數無最大值”等開放性問題激發(fā)學生表達?；淤|量上，約70%的學生能主動回答問題，但后排部分學生參與度較低。教師采用隨機點名和小組代表匯報相結合的方式，但未關注到沉默型學生。建議增加“搶答正切值”等趣味互動形式，提升整體參與感。

學生學習狀態(tài)：

（1）學習積極性：整體表現活躍，尤其在實驗環(huán)節(jié)，學生普遍專注操作幾何畫板。但少數學生將注意力集中于軟件操作而非數學概念，教師需加強巡視。

（2）專注度：前20分鐘課堂紀律良好，后因討論時間延長出現個別走神現象。教師通過播放輕音樂調節(jié)節(jié)奏，效果有限。

（3）合作學習：小組討論時，約60%的組能完成性質歸納，但分工不均——組長壟斷發(fā)言、部分成員僅做記錄。教師未明確合作規(guī)則，建議提前分發(fā)任務清單（如一人負責周期、一人負責奇偶性）。

4.課堂管理

課堂紀律良好，教師通過“舉手發(fā)言”規(guī)則維持秩序，但未處理后排學生使用手機的隱性干擾。時間分配上，導入環(huán)節(jié)占比偏高，新課講授約28分鐘，略短于預期，導致作業(yè)布置倉促。建議優(yōu)化導入設計（如用動畫對比正切/余弦圖像差異），將多余時間分配至性質應用例題分析。

5.教學技術使用

幾何畫板和電子白板有效支持了教學。動態(tài)演示正切函數圖像的生成過程（通過點P在單位圓上運動），直觀展示了圖像與定義的關聯。但部分技術操作（如參數輸入）耗時較長，教師需提前預設文件模板。技術對教學效果的支持作用顯著，尤其體現在漸近線分析上——學生通過拖動漸近線位置，直觀感知其與函數定義域的對應關系。

三.教學效果評價

1.目標達成

本節(jié)課的教學目標設定清晰且具有層次性，涵蓋知識、能力和情感三個維度。知識目標明確要求學生掌握正切函數的圖像特征（周期性、奇偶性、單調性、漸近線）和性質，能力目標強調通過圖像繪制方法培養(yǎng)數形結合能力，情感目標則旨在提升學生探究數學規(guī)律的興趣和嚴謹態(tài)度。從課堂表現來看，目標達成度較高。

（1）知識目標達成：通過課堂提問和作業(yè)反饋，約85%的學生能準確描述正切函數的周期（π）和奇偶性（奇函數），80%的學生能識別漸近線位置（kπ±π/2，k∈Z）。但在技能層面，僅60%的學生能獨立繪制0到2π的完整圖像，部分學生對單調區(qū)間符號（kπ-π/2，kπ+π/2）的寫法存在混淆。這反映出教學對基礎技能的訓練強度不足，建議增加“正切函數三要素填空表”等練習。

（2）能力目標達成：實驗環(huán)節(jié)中，90%的學生能利用幾何畫板驗證“正切值隨角度周期變化”，但僅50%的學生能將技術操作轉化為數學語言（如解釋“動態(tài)圖像反映了正切值的連續(xù)性”）。這表明技術輔助雖提升了直觀理解，但學生技術-數學的轉化能力仍需培養(yǎng)。教師可設計“用技術證明性質”的分層任務，如低組要求“拖動點觀察圖像變化”，高組要求“錄制動態(tài)演示并撰寫證明”。

（3）情感目標達成：課堂觀察顯示，70%的學生表現出對數學探究的興趣，尤其在討論“正切函數與反三角函數的聯系”時，部分學生自發(fā)提出“是否所有奇函數都有類似的圖像特征”。但情感評價具有主觀性，需結合長期觀察——如課后作業(yè)中若出現“探索正切函數在物理振動中的應用”等拓展內容，可視為情感目標的深化體現。

2.知識掌握

（1）概念理解：正切函數性質的理解呈現兩極分化現象。優(yōu)勢學生能將抽象性質與圖像特征建立對應關系（如“單調區(qū)間內圖像‘爬坡’方向一致”），但基礎薄弱學生仍停留在記憶定義層面。教師可引入“類比法”——將正切函數與函數y=|x|進行對比（均為奇函數，但圖像形態(tài)差異顯著），強化深度理解。

（2）技能掌握：圖像繪制能力是本節(jié)課的重點技能，但課堂反饋顯示：

-75%的學生能正確標出漸近線，但約40%的組在繪制對稱分支時出現交叉或遺漏。

-約30%的學生忽視“圖像在漸近線處不可定義”的細節(jié)，導致圖像連續(xù)性表達錯誤。

解決策略包括：提供“正切函數圖像繪制模板”（含漸近線輔助線），并設計“錯題診斷”環(huán)節(jié)——展示典型錯誤圖像，讓學生分組分析原因。

（3）知識遷移：在例題分析中，教師呈現“已知tanα>0求α范圍”的題目，約65%的學生能正確寫出（kπ-π/2，kπ+π/2），但僅40%能結合圖像解釋“為何需分類討論k值”。這暴露出性質應用能力不足，建議補充“性質鏈”訓練——如“tan(x+π/4)性質推導→圖像平移驗證→實際角度求解”。

3.情感態(tài)度價值觀

（1）全面發(fā)展：本節(jié)課在知識傳授的同時，注重學生非智力因素培養(yǎng)。小組討論環(huán)節(jié)中，教師通過“記錄員負責整理觀點”“發(fā)言人需用反例論證”等規(guī)則，隱性訓練了協(xié)作與表達能力。部分學生在辯論“漸近線是否屬于函數圖像”時展現出批判性思維，教師及時肯定“數學是不斷修正的過程”，強化了科學精神。

（2）興趣激發(fā)：動態(tài)演示技術顯著提升了課堂趣味性，但需警惕技術依賴——課后訪談顯示，30%的學生認為“只要操作畫板就能掌握性質”，教師需強調“技術是工具而非替代品”。可設計“無技術版探究”——用紙板制作單位圓模型，手動測量正切線長度，通過具身認知加深理解。

（3）價值觀滲透：在總結環(huán)節(jié)，教師引用“中國古代‘勾股術’與西方三角學發(fā)展對比”，隱性傳遞了文化自信。但學生對此反應平淡，建議增加本土案例——如展示《授時歷》中正切表編制的歷史，引發(fā)對“數學工具性與人文性”的思考。

綜上，本節(jié)課在目標達成上表現良好，但存在技能訓練不足、技術轉化能力欠缺等問題。建議后續(xù)教學強化“三單設計”（基礎單、應用單、拓展單），并增加“正切函數與其他函數的關聯實驗”，以促進深度學習。

四、總結與建議

1.總體評價

本節(jié)課呈現了較高的教學設計水平，整體印象積極。最突出的優(yōu)點在于教師對正切函數性質的探究過程設計科學，通過“單位圓模型→動態(tài)圖像→性質歸納”的邏輯鏈條，有效降低了抽象概念的認知難度。實驗環(huán)節(jié)的引入尤其值得肯定，幾何畫板的應用不僅直觀展示了周期性與漸近線的內在聯系，還激發(fā)了學生的探究興趣，體現了現代教育技術在數學教學中的有效滲透。此外，教師對課堂節(jié)奏的把控較為精準，能夠在知識講解與能力訓練之間找到平衡點，如通過小組討論促進合作學習，通過分層作業(yè)滿足不同學生需求。從學生反饋來看，約80%的學生對課堂內容表示“基本理解”，課堂氛圍活躍，達到了預期教學效果。

2.改進建議

盡管本節(jié)課表現優(yōu)異，但仍存在可優(yōu)化空間，具體建議如下：

（1）強化技能訓練的系統(tǒng)性：正切函數圖像繪制是本節(jié)課的重點技能，但課堂反饋顯示學生操作熟練度與概念理解存在脫節(jié)。建議在后續(xù)教學中增加“技能專項突破”環(huán)節(jié)——例如，設計“正切函數八宮格練習”（含對稱軸、單調區(qū)間、特殊點等關鍵要素的填空），通過“模板-半獨立-完全獨立”三階段訓練，確?；A技能的牢固掌握。同時，在技術應用中強調“先理解后操作”，如要求學生用幾何畫板模擬“手繪圖像過程”，標注每一步的數學依據（如“tan(α+π)=-tanα對應圖像關于原點對稱”）。

（2）提升技術轉化的深度：當前幾何畫板主要用于“驗證性質”，但技術工具的潛力尚未完全挖掘。建議引入“參數化探究”——例如，設置動態(tài)變量k，觀察漸近線方程y=kπ±π/2隨k變化規(guī)律，進而引申至“正切函數族”的共性研究。此外，可嘗試“雙屏教學法”：主屏展示動態(tài)圖像，副屏同步呈現推導過程（如利用誘導公式tan(α+π)=tanα），通過技術手段促進數學思維的顯性化。

（3）優(yōu)化互動參與度：課堂后半段出現部分學生參與度下降的現象，需調整互動策略。建議采用“混合式互動”模式：在性質討論階段增加“匿名投票”功能（如用平板提交對“正切函數最顯著特征”的排序），在技能訓練環(huán)節(jié)實施“結對互助”（前后排學生組成臨時小組，共同繪制圖像并互評），通過技術手段和空間布局改善參與不均衡問題。同時，教師需建立“低風險表達機制”——如鼓勵學生用“我猜”“我認為”等表述參與討論，避免因害怕錯誤而沉默。

（4）豐富情感價值觀的滲透載體：當前情感目標更多依賴教師口頭引導，建議引入“數學文化模塊”——例如，在總結環(huán)節(jié)播放《正弦余弦正切》科普動畫，對比三角函數的發(fā)展史，或布置“生活中的正切函數”調研任務（如研究雷達掃描角度與探測距離的關系），通過情境化教學增強數學的應用價值感。

3.后續(xù)跟蹤

建議開展“二次聽課跟進”以檢驗改進效果。具體措施如下：

（1）短期跟蹤（2周后）：重點觀察技能訓練環(huán)節(jié)的改進情況。可安排一次“正切函數圖像繪制微格測試”（限時5分鐘，含對稱軸標注、單調區(qū)間填空），通過數據反饋評估學生能力提升幅度。同時，與教師進行非正式訪談，了解其對學生作業(yè)中暴露問題的調整策略。

（2）長期跟蹤（1個月后）：結合單元測驗分析本節(jié)課知識點的后續(xù)鞏固效果。若發(fā)現學生“知其然不知其所以然”的現象，需指導教師補充“性質推導實驗”——如用幾何畫板模擬“單位圓內正切