高三數(shù)學(xué)拋物線專題測(cè)試題庫(kù)一、引言拋物線是圓錐曲線的重要分支，也是高考數(shù)學(xué)的核心考點(diǎn)之一。在全國(guó)卷、新高考卷中，拋物線題型覆蓋選擇題、填空題與解答題，分值占比約8-12分。其考查重點(diǎn)集中在定義應(yīng)用、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與拋物線位置關(guān)系四大板塊，尤其注重與向量、不等式、最值問(wèn)題的綜合應(yīng)用。本專題通過(guò)考點(diǎn)梳理+典型例題+綜合測(cè)試的結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握拋物線的核心知識(shí)與解題技巧，提升應(yīng)試能力。二、拋物線考點(diǎn)梳理與典型例題（一）拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.知識(shí)點(diǎn)回顧定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F（焦點(diǎn)）與定直線l（準(zhǔn)線）的距離相等的點(diǎn)的軌跡（定點(diǎn)不在定直線上）。標(biāo)準(zhǔn)方程：開(kāi)口方向焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程標(biāo)準(zhǔn)方程向右(p/2,0)x=-p/2y2=2px(p>0)向左(-p/2,0)x=p/2y2=-2px(p>0)向上(0,p/2)y=-p/2x2=2py(p>0)向下(0,-p/2)y=p/2x2=-2py(p>0)關(guān)鍵：p的幾何意義——焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，恒為正數(shù)。2.典型例題例1（定義應(yīng)用）：已知點(diǎn)P滿足到定點(diǎn)F(1,0)的距離等于到直線x=-1的距離，求點(diǎn)P的軌跡方程。解析：根據(jù)拋物線定義，定點(diǎn)F(1,0)為焦點(diǎn)，定直線x=-1為準(zhǔn)線，且焦點(diǎn)不在準(zhǔn)線上，故軌跡為拋物線。開(kāi)口方向：焦點(diǎn)在x軸正半軸，準(zhǔn)線在y軸左側(cè)，開(kāi)口向右。p值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為2，故p=2。標(biāo)準(zhǔn)方程：\(y^2=4x\)。例2（標(biāo)準(zhǔn)方程求解）：已知拋物線過(guò)點(diǎn)(2,4)，且焦點(diǎn)在y軸正半軸上，求其標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：焦點(diǎn)在y軸正半軸，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為\(x^2=2py\)（p>0）。將點(diǎn)(2,4)代入得：\(2^2=2p\cdot4\)，解得\(p=\frac{1}{2}\)。故方程為\(x^2=y\)。例3（易錯(cuò)點(diǎn)：定義條件）：判斷“到定點(diǎn)F(0,1)與定直線y=1距離相等的點(diǎn)的軌跡”是否為拋物線。解析：定點(diǎn)F(0,1)在定直線y=1上，故軌跡為直線（過(guò)F且垂直于y=1的直線，即x軸），不是拋物線。結(jié)論：拋物線定義要求“定點(diǎn)不在定直線上”，否則軌跡為直線。（二）拋物線的幾何性質(zhì)1.知識(shí)點(diǎn)回顧以\(y^2=2px\)（p>0）為例，幾何性質(zhì)如下：范圍：x≥0，y∈R（開(kāi)口向右）；對(duì)稱性：關(guān)于x軸對(duì)稱（對(duì)稱軸為焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸）；頂點(diǎn)：原點(diǎn)(0,0)（焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的中點(diǎn)）；焦點(diǎn)：\(F(\frac{p}{2},0)\)（位于對(duì)稱軸上，距離頂點(diǎn)\(\frac{p}{2}\)）；準(zhǔn)線：\(x=-\frac{p}{2}\)（垂直于對(duì)稱軸，距離頂點(diǎn)\(\frac{p}{2}\)）；離心率：e=1（圓錐曲線中拋物線的獨(dú)特性質(zhì)）。2.典型例題例4（焦點(diǎn)與準(zhǔn)線）：拋物線\(y^2=-8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程分別為（）A.(2,0)，x=-2B.(-2,0)，x=2C.(0,2)，y=-2D.(0,-2)，y=2解析：方程為\(y^2=-2px\)形式，故開(kāi)口向左，p=4。焦點(diǎn)坐標(biāo)：\((-\frac{p}{2},0)=(-2,0)\)；準(zhǔn)線方程：\(x=\frac{p}{2}=2\)。選B。例5（幾何性質(zhì)綜合）：若拋物線\(x^2=2py\)（p>0）的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1，則其準(zhǔn)線方程為（）A.y=-1B.y=1C.x=-1D.x=1解析：焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為\(\frac{p}{2}=1\)，故p=2。準(zhǔn)線方程為\(y=-\frac{p}{2}=-1\)。選A。（三）直線與拋物線的位置關(guān)系1.知識(shí)點(diǎn)回顧直線與拋物線的位置關(guān)系通過(guò)聯(lián)立方程判斷：設(shè)拋物線方程為\(y^2=2px\)（p>0），直線方程為\(y=kx+b\)（或x=my+n，避免斜率不存在的討論），聯(lián)立得：\[k^2x^2+2(kb-p)x+b^2=0\]（當(dāng)k≠0時(shí)）。相交：Δ>0，有兩個(gè)不同交點(diǎn)；相切：Δ=0，有一個(gè)切點(diǎn)；相離：Δ<0，無(wú)交點(diǎn)。關(guān)鍵技巧：弦長(zhǎng)公式：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot|y_1-y_2|\)（k≠0）；焦點(diǎn)弦性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB，若A(x?,y?)、B(x?,y?)，則\(|AB|=x_1+x_2+p\)（開(kāi)口向右）；中點(diǎn)弦公式：設(shè)AB中點(diǎn)為M(x?,y?)，則\(k_{AB}=\frac{p}{y_0}\)（由點(diǎn)差法推導(dǎo)）。2.典型例題例6（弦長(zhǎng)計(jì)算）：過(guò)拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若直線l的傾斜角為60°，求|AB|。解析：焦點(diǎn)F(1,0)，直線l的斜率\(k=\tan60°=\sqrt{3}\)，方程為\(y=\sqrt{3}(x-1)\)。聯(lián)立拋物線方程：\[[\sqrt{3}(x-1)]^2=4x\implies3(x^2-2x+1)=4x\implies3x^2-10x+3=0\]解得\(x_1=3\)，\(x_2=\frac{1}{3}\)。弦長(zhǎng)\(|AB|=x_1+x_2+p=3+\frac{1}{3}+2=\frac{16}{3}\)（或用弦長(zhǎng)公式：\(\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{1+3}\cdot|3-\frac{1}{3}|=2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3}\)）。例7（切點(diǎn)與切線方程）：求過(guò)點(diǎn)(2,1)與拋物線\(y^2=4x\)相切的直線方程。解析：方法1（設(shè)斜率存在）：設(shè)直線方程為\(y-1=k(x-2)\)，即\(y=kx-2k+1\)。聯(lián)立拋物線方程：\[(kx-2k+1)^2=4x\impliesk^2x^2+2[k(1-2k)-2]x+(1-2k)^2=0\]判別式Δ=0：\[[2(k(1-2k)-2)]^2-4k^2(1-2k)^2=0\]化簡(jiǎn)得：\[4[k(1-2k)-2]^2-4k^2(1-2k)^2=0\implies[k(1-2k)-2]^2=k^2(1-2k)^2\]展開(kāi)左邊：\(k^2(1-2k)^2-4k(1-2k)+4=k^2(1-2k)^2\)，消去項(xiàng)得：\[-4k(1-2k)+4=0\implies-4k+8k^2+4=0\implies2k^2-k+1=0？不對(duì)，等一下，計(jì)算錯(cuò)誤，重新展開(kāi)：左邊是\([k(1-2k)-2]^2=[k-2k^2-2]^2=(-2k^2+k-2)^2=(2k^2-k+2)^2\)，右邊是\(k^2(1-2k)^2=k^2(4k^2-4k+1)\)，所以等式應(yīng)為：\((2k^2-k+2)^2=4k^4-4k^3+k^2\)，左邊展開(kāi)：\(4k^4-4k^3+(1+8)k^2-4k+4=4k^4-4k^3+9k^2-4k+4\)，右邊是\(4k^4-4k^3+k^2\)，移項(xiàng)得：\(4k^4-4k^3+9k^2-4k+4-4k^4+4k^3-k^2=0\implies8k^2-4k+4=0\implies2k^2-k+1=0\)，判別式Δ=1-8=-7<0，說(shuō)明斜率存在的情況下無(wú)解？那是不是應(yīng)該用另一種方法？方法2（參數(shù)法）：設(shè)切點(diǎn)為\(T(t^2,2t)\)（因?yàn)閈(y^2=4x\)的參數(shù)方程可設(shè)為x=t2，y=2t），則切線方程為\(y\cdot2t=4\cdot\frac{x+t^2}{2}\)（拋物線切線公式：\(y_1y=2p(x+x_1)\)，這里p=2，故\(y_1y=2(x+x_1)\)），即\(ty=x+t^2\)。切線過(guò)點(diǎn)(2,1)，代入得：\(t\cdot1=2+t^2\impliest^2-t+2=0\)？不對(duì)，等一下，切線公式是不是記錯(cuò)了？對(duì)于\(y^2=2px\)，過(guò)點(diǎn)(x?,y?)的切線方程是\(y_1y=p(x+x_1)\)，對(duì)，p=2，所以應(yīng)該是\(y_1y=2(x+x_1)\)，切點(diǎn)T(x?,y?)在拋物線上，故\(y_1^2=4x_1\)，切線方程是\(y_1y=2(x+x_1)\)，過(guò)點(diǎn)(2,1)，所以\(y_1\cdot1=2(2+x_1)\impliesy_1=4+2x_1\)，代入拋物線方程得：\((4+2x_1)^2=4x_1\implies16+16x_1+4x_1^2=4x_1\implies4x_1^2+12x_1+16=0\impliesx_1^2+3x_1+4=0\)，判別式Δ=9-16=-7<0，說(shuō)明點(diǎn)(2,1)在拋物線內(nèi)部，沒(méi)有切線？不對(duì)，等一下，點(diǎn)(2,1)代入拋物線方程左邊y2=1，右邊4x=8，1<8，所以點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，確實(shí)沒(méi)有切線，哦，我剛才編題錯(cuò)了，應(yīng)該選點(diǎn)在拋物線外部，比如點(diǎn)(0,1)，這樣才有切線，好的，修正題目：求過(guò)點(diǎn)(0,1)與拋物線\(y^2=4x\)相切的直線方程。修正后解析：點(diǎn)(0,1)在拋物線外部，設(shè)切線方程為\(y=kx+1\)（斜率存在），聯(lián)立得\(k^2x^2+(2k-4)x+1=0\)，判別式Δ=(2k-4)^2-4k^2=4k2-16k+16-4k2=-16k+16=0，得k=1，直線方程\(y=x+1\)；另外，斜率不存在的情況，即x=0，代入拋物線方程得y2=0，y=0，所以x=0也是切線方程（切點(diǎn)為(0,0)）。故切線方程為\(x=0\)和\(y=x+1\)。例7（焦點(diǎn)弦性質(zhì)）：過(guò)拋物線\(y^2=2px\)（p>0）的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=3，|BF|=2，求p的值。解析：方法1（定義法）：設(shè)A(x?,y?)、B(x?,y?)，由拋物線定義得\(|AF|=x?+\frac{p}{2}=3\)，\(|BF|=x?+\frac{p}{2}=2\)，故\(x?=3-\frac{p}{2}\)，\(x?=2-\frac{p}{2}\)。設(shè)直線l的斜率為k，方程為\(y=k(x-\frac{p}{2})\)，聯(lián)立拋物線方程得：\[k^2(x-\frac{p}{2})^2=2px\impliesk^2x^2-(k^2p+2p)x+\frac{k^2p^2}{4}=0\]由韋達(dá)定理得\(x?x?=\frac{\frac{k^2p^2}{4}}{k^2}=\frac{p^2}{4}\)。代入x?、x?得：\[(3-\frac{p}{2})(2-\frac{p}{2})=\frac{p^2}{4}\]展開(kāi)左邊：\(6-\frac{3p}{2}-p+\frac{p^2}{4}=6-\frac{5p}{2}+\frac{p^2}{4}\)，等于右邊\(\frac{p^2}{4}\)，故：\[6-\frac{5p}{2}=0\impliesp=\frac{12}{5}=2.4\]方法2（焦點(diǎn)弦性質(zhì)）：過(guò)焦點(diǎn)的弦AB，若|AF|=m，|BF|=n，則\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{p}\)（推導(dǎo)：由定義得m=x?+p/2，n=x?+p/2，x?x?=p2/4，故\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{x?+x?+p}{(x?+p/2)(x?+p/2)}=\frac{x?+x?+p}{x?x?+\frac{p}{2}(x?+x?)+\frac{p2}{4}}=\frac{x?+x?+p}{\frac{p2}{4}+\frac{p}{2}(x?+x?)+\frac{p2}{4}}=\frac{x?+x?+p}{\frac{p}{2}(x?+x?)+\frac{p2}{2}}=\frac{x?+x?+p}{\frac{p}{2}(x?+x?+p)}=\frac{2}{p}\)）。代入m=3，n=2，得\(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}=\frac{2}{p}\)，故\(p=\frac{12}{5}\)。結(jié)論：焦點(diǎn)弦的倒數(shù)和公式\(\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}\)可快速解題，需牢記。（四）拋物線的綜合應(yīng)用1.知識(shí)點(diǎn)回顧拋物線的綜合應(yīng)用主要涉及向量、不等式、最值、軌跡方程等知識(shí)點(diǎn)，核心是聯(lián)立方程+韋達(dá)定理，結(jié)合幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件。2.典型例題例8（向量與定點(diǎn)問(wèn)題）：已知拋物線\(y^2=4x\)，過(guò)點(diǎn)M(2,0)作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)，求直線l的方程。解析：設(shè)直線l的方程為\(x=my+2\)（避免斜率不存在的討論），聯(lián)立拋物線方程得\(y^2=4(my+2)\impliesy^2-4my-8=0\)。設(shè)A(x?,y?)、B(x?,y?)，則\(y_1+y_2=4m\)，\(y_1y_2=-8\)。\(\overrightarrow{MA}=(x?-2,y?)\)，\(\overrightarrow{MB}=(x?-2,y?)\)，由\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)得：\[(x?-2)(x?-2)+y?y?=0\]又\(x?=my?+2\)，\(x?=my?+2\)，故\(x?-2=my?\)，\(x?-2=my?\)，代入上式得：\[my?\cdotmy?+y?y?=0\implies(m2+1)y?y?=0\]因\(m2+1≠0\)，故\(y?y?=0\)，但由聯(lián)立方程得\(y?y?=-8≠0\)，矛盾？哦，不對(duì)，點(diǎn)M(2,0)在拋物線\(y^2=4x\)上嗎？代入得0=8，不在，那為什么會(huì)矛盾？等一下，計(jì)算錯(cuò)誤，\(x?=my?+2\)，所以\(x?-2=my?\)，對(duì)，\((x?-2)(x?-2)=m2y?y?\)，加上\(y?y?\)得\((m2+1)y?y?=0\)，而\(y?y?=-8\)，所以\((m2+1)(-8)=0\)，無(wú)解，說(shuō)明不存在這樣的直線？或者我編題錯(cuò)了，應(yīng)該把點(diǎn)M設(shè)在拋物線外部，比如M(1,0)，這樣再試：修正題目：已知拋物線\(y^2=4x\)，過(guò)點(diǎn)M(1,0)作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)，求直線l的方程。修正后解析：直線l方程為\(x=my+1\)，聯(lián)立得\(y^2-4my-4=0\)，\(y?+y?=4m\)，\(y?y?=-4\)。\(\overrightarrow{MA}=(x?-1,y?)=(my?,y?)\)，\(\overrightarrow{MB}=(my?,y?)\)，故\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=m2y?y?+y?y?=(m2+1)y?y?=(m2+1)(-4)=0\)？不對(duì)，還是無(wú)解，哦，應(yīng)該用另一種設(shè)線方式，比如設(shè)直線l的斜率為k，方程為\(y=k(x-1)\)，聯(lián)立得\(k2(x-1)^2=4x\impliesk2x2-(2k2+4)x+k2=0\)，\(x?+x?=\frac{2k2+4}{k2}\)，\(x?x?=1\)。\(\overrightarrow{MA}=(x?-1,y?)\)，\(\overrightarrow{MB}=(x?-1,y?)\)，\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(x?-1)(x?-1)+y?y?=x?x?-(x?+x?)+1+k2(x?-1)(x?-1)\)？不對(duì)，\(y?=k(x?-1)\)，\(y?=k(x?-1)\)，所以\(y?y?=k2(x?-1)(x?-1)\)，故\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(x?-1)(x?-1)+k2(x?-1)(x?-1)=(1+k2)(x?-1)(x?-1)=0\)，因?yàn)?+k2≠0，所以\((x?-1)(x?-1)=0\)，即x?=1或x?=1，代入拋物線方程得y2=4×1=4，y=±2，所以直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)或(1,-2)，即直線l為x=1，對(duì)嗎？x=1是拋物線的準(zhǔn)線嗎？不，拋物線\(y^2=4x\)的準(zhǔn)線是x=-1，x=1是過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)的直線，即垂直于x軸的直線，交拋物線于(1,2)和(1,-2)，此時(shí)\(\overrightarrow{MA}=(0,2)\)，\(\overrightarrow{MB}=(0,-2)\)，點(diǎn)M(1,0)，哦，對(duì)，M就是焦點(diǎn)F(1,0)，所以\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0×0+2×(-2)=-4≠0\)，哦，我又錯(cuò)了，應(yīng)該選點(diǎn)M不在焦點(diǎn)，比如M(2,1)，這樣：再次修正題目：已知拋物線\(y^2=4x\)，過(guò)點(diǎn)M(2,1)作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)，求直線l的方程。再次修正解析：設(shè)直線l的方程為\(y-1=k(x-2)\)，即\(y=kx-2k+1\)，聯(lián)立拋物線方程得：\[(kx-2k+1)^2=4x\impliesk2x2+2(k(1-2k)-2)x+(1-2k)^2=0\]設(shè)A(x?,y?)、B(x?,y?)，則\(x?+x?=-\frac{2(k(1-2k)-2)}{k2}=\frac{2(2k2-k+2)}{k2}\)，\(x?x?=\frac{(1-2k)^2}{k2}\)。\(y?=kx?-2k+1\)，\(y?=kx?-2k+1\)，故\(y?-1=k(x?-2)\)，\(y?-1=k(x?-2)\)。\(\overrightarrow{MA}=(x?-2,y?-1)\)，\(\overrightarrow{MB}=(x?-2,y?-1)\)，由\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)得：\[(x?-2)(x?-2)+(y?-1)(y?-1)=0\]代入\(y?-1=k(x?-2)\)、\(y?-1=k(x?-2)\)得：\[(x?-2)(x?-2)+k2(x?-2)(x?-2)=0\implies(1+k2)(x?-2)(x?-2)=0\]因\(1+k2≠0\)，故\((x?-2)(x?-2)=0\)，即\(x?x?-2(x?+x?)+4=0\)。代入韋達(dá)定理：\[\frac{(1-2k)^2}{k2}-2\cdot\frac{2(2k2-k+2)}{k2}+4=0\]化簡(jiǎn)（乘以k2）：\[(1-4k+4k2)-4(2k2-k+2)+4k2=0\implies1-4k+4k2-8k2+4k-8+4k2=0\implies(4k2-8k2+4k2)+(-4k+4k)+(1-8)=0\implies-7=0\]哦，天哪，還是矛盾，說(shuō)明我應(yīng)該換個(gè)思路，比如用參數(shù)法，設(shè)A(t2,2t)，B(s2,2s)，直線AB過(guò)點(diǎn)M(2,1)，故斜率相等：\(\frac{2t-1}{t2-2}=\frac{2s-1}{s2-2}\)，交叉相乘得：(2t-1)(s2-2)=(2s-1)(t2-2)，展開(kāi)：2ts2-4t-s2+2=2st2-4s-t2+2，移項(xiàng)得：2ts2-2st2-4t+4s-s2+t2=0，因式分解：2ts(s-t)+4(s-t)+(t2-s2)=0，即(s-t)(2ts+4-t-s)=0，因s≠t（A≠B），故2ts+4-t-s=0?(2ts-t-s)=-4?(2t-1)(2s-1)=-7（兩邊加1/2？等一下，用配方法：2ts-t-s=-4?兩邊乘2得4ts-2t-2s=-8?(4ts-2t-2s+1)=-7?(2t-1)(2s-1)=-7）。\(\overrightarrow{MA}=(t2-2,2t-1)\)，\(\overrightarrow{MB}=(s2-2,2s-1)\)，\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(t2-2)(s2-2)+(2t-1)(2s-1)=0\)。展開(kāi)\((t2-2)(s2-2)=t2s2-2t2-2s2+4\)，\((2t-1)(2s-1)=4ts-2t-2s+1=-7\)（由上面的結(jié)論），故\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=t2s2-2t2-2s2+4-7=t2s2-2(t2+s2)-3=0\)?t2s2=2(t2+s2)+3。另外，由2ts-t-s=-4?s=\(\frac{t-4}{2t-1}\)（解關(guān)于s的方程：2ts-s=t-4?s(2t-1)=t-4?s=\(\frac{t-4}{2t-1}\)），代入t2s2=2(t2+s2)+3：\[t2\cdot\frac{(t-4)^2}{(2t-1)^2}=2\left(t2+\frac{(t-4)^2}{(2t-1)^2}\right)+3\]乘以(2t-1)^2得：\[t2(t-4)^2=2t2(2t-1)^2+2(t-4)^2+3(2t-1)^2\]展開(kāi)左邊：t2(t2-8t+16)=t?-8t3+16t2；右邊：2t2(4t2-4t+1)+2(t2-8t+16)+3(4t2-4t+1)=8t?-8t3+2t2+2t2-16t+32+12t2-12t+3=8t?-8t3+16t2-28t+35；移項(xiàng)得：t?-8t3+16t2-8t?+8t3-16t2+28t-35=0?-7t?+28t-35=0?t?-4t+5=0，無(wú)實(shí)根，說(shuō)明不存在這樣的直線，哦，原來(lái)如此，我之前編題時(shí)沒(méi)有考慮點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系，導(dǎo)致無(wú)解，好的，我應(yīng)該選一個(gè)有解的例子，比如求過(guò)點(diǎn)M(0,2)與拋物線\(y^2=4x\)相切的直線方程，這個(gè)有解，剛才已經(jīng)講過(guò)，或者求拋物線\(y^2=4x\)上到點(diǎn)M(2,1)距離最小的點(diǎn)，這個(gè)有意義，好的，換例8為：例8（最值問(wèn)題）：求拋物線\(y^2=4x\)上的點(diǎn)P，使得P到點(diǎn)M(2,1)的距離最小，并求最小值。解析：設(shè)P(x,y)為拋物線上任意一點(diǎn)，滿足\(y^2=4x\)，則P到M的距離平方為：\[PMPMPM\]代入\(y^2=4x\)得：\[\]再由\(x=\frac{y2}{4}\)，代入得：\[\]令\(f(y)=\frac{y?}{16}-2y+5\)，求導(dǎo)得\(f'(y)=\frac{y3}{4}-2\)，令f'(y)=0得\(y3=8\)，\(y=2\)。當(dāng)y=2時(shí)，x=1，故P(1,2)，此時(shí)\(|PM|^2=1-4+5=2\)，最小值為\(\sqrt{2}\)。結(jié)論：最值問(wèn)題常用代數(shù)法（代入消元+求導(dǎo)/配方法）或幾何法（切線法，距離最小即點(diǎn)到拋物線的切線距離）。三、拋物線綜合測(cè)試題（一）選擇題（每題5分，共30分）1.拋物線\(x^2=-4y\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(0,-1)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,0)2.若點(diǎn)P到定點(diǎn)F(3,0)的距離等于到直線x=-3的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程是（）A.\(y^2=12x\)B.\(y^2=6x\)C.\(x^2=12y\)D.\(x^2=6y\)3.過(guò)拋物線\(y^2=2px\)（p>0）的焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=6，則p=（）A.3B.6C.9D.124.拋物線\(y^2=4x\)的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)M作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若\(\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}\)，則直線l的斜率為（）A.±\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)B.±\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)C.±2\(\sqrt{2}\)D.±\(\sqrt{2}\)5.已知拋物線\(y^2=4x\)上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（）A.3B.4C.5D.66.過(guò)點(diǎn)(1,0)與拋物線\(y^2=4x\)相切的直線方程是（）A.x=1B.y=0C.x=0D.y=2x-2（二）填空題（每題5分，共20分）7.拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______。8.過(guò)拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，則直線l的斜率為_(kāi)_______。9.拋物線\(x^2=2py\)（p>0）的焦點(diǎn)為F，若過(guò)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且|AF|=2|BF|，則直線AB的斜率為_(kāi)_______。10.已知拋物線\(y^2=4x\)，點(diǎn)M(3,1)，則拋物線上到M距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______。（三）解答題（每題10分，共50分）11.求過(guò)點(diǎn)(2,4)且與拋物線\(y^2=8x\)相切的直線方程。12.過(guò)拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=8，求直線l的方程。