二次函數(shù)中的存在性問題考點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練【題型1二次函數(shù)中面積問題的存在性問題】【例1】（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過0,?3，?b,c兩點(diǎn)，其中a(1)求a，c的值；(2)若該二次函數(shù)的最小值是?4，且它的圖像與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，與直線AC交于點(diǎn)E，連接PC，CB，BE．是否存在點(diǎn)P，使S△PCES△CBE【變式1-1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中B

(1)求拋物線的解析式．(2)在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△APC的面積最大．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)和△APC的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式1-2】（23-24九年級(jí)·云南臨滄·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax2+83x+c的圖像與y軸交于點(diǎn)B(0，4)，與(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求拋物線的頂點(diǎn)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△BOP的面積等于52【變式1-3】（2024·山東煙臺(tái)·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?12x2+m?12?x+m2m>0與x(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得△POC的面積等于△PAB面積的215？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P(3)過點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得∠PAB=2∠DAB？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型2二次函數(shù)中周長最值的存在性問題】【例2】（23-24九年級(jí)·重慶·期末）如圖，拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)(1)求△ABC的面積；(2)直線y=2x?3與拋物線交于點(diǎn)C、D，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBD的周長最??？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說明理由．【變式2-1】（23-24九年級(jí)·江蘇南通·假期作業(yè)）如圖拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAC的周長最?。咳舸嬖冢蟪鯩點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式2-2】（23-24九年級(jí)·四川德陽·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)C、D在y軸上，且OB=OC=3，OA=OD=1，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，直線AD(1)求這條拋物線的解析式；(2)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)N，使得△ANC的周長最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)E是直線AM上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上直線AM下方一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段PE的長度最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△AMP面積的最大值．【變式2-3】（23-24九年級(jí)·廣西南寧·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1)求拋物線的解析式(2)①求出當(dāng)?6≤x≤2時(shí)，y的最大值和最小值；②如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的左側(cè)交點(diǎn)為C，作直線AC，D為直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥OC于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F，作DM⊥AC于點(diǎn)M．是否存在點(diǎn)D，使△DMF【題型3二次函數(shù)中全等三角形的存在性問題】【例3】（2024·陜西渭南·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?12x2+x+4的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為P

(1)求點(diǎn)A、P的坐標(biāo)；(2)連接AP，點(diǎn)D是該二次函數(shù)圖象第四象限上的動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F是x軸上一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△APH全等？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式3-1】（2024·陜西咸陽·二模）已知拋物線L：y=x2+3x?4與y軸交于點(diǎn)A，拋物線L′與(1)求拋物線L′(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B是y軸正半軸上一點(diǎn)，OB=OA，點(diǎn)C是x軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是第二象限拋物線L′上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP,BP,是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)O,P,C為頂點(diǎn)的三角形與△OPB全等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P【變式3-2】（2024·甘肅隴南·一模）如圖，拋物線y=ax2?2x+c與x軸交于A?1,0，B兩點(diǎn)，與

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)已知點(diǎn)Pm,n在拋物線上，當(dāng)?1<m<3時(shí)，直接寫出n(3)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)D坐標(biāo)為2,3，試問在該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ABP與△ABD全等？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式3-3】（2024·陜西咸陽·三模）如圖，拋物線y=14x2?2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為直線l，l

(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，點(diǎn)N在y軸上，且點(diǎn)N在點(diǎn)M上方，是否存在這樣的點(diǎn)P、N，使得以點(diǎn)P、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD全等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型4二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題】【例4】（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(?3，0)，B(1，0)(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PHC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)若M是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O，A重合），連接AC，過點(diǎn)M作DM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在線段DE=CE？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式4-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，拋物線w:y=ax2+bx?3（a、b為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于點(diǎn)A?1,0，B3,0，與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線w的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接AC，探究拋物線w′的對(duì)稱軸直線l上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P【變式4-2】（2024·云南·模擬預(yù)測）已知拋物線y=?x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，與y(1)求b，c的值；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式4-3】（2024·西藏日喀則·一模）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A?1,0、B3,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，(1)求拋物線的解析式；(2)求△DBC的面積；(3)在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使P，B，C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型5二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題】【例5】（2024·甘肅酒泉·二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A?1，0和點(diǎn)B3，0(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，過動(dòng)點(diǎn)D作DP∥AC交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接PA，PB，記△PAD與△PBD的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)(3)如圖2，是否存在點(diǎn)D，使得以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式5-1】（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）如果二次函數(shù)y1的圖象的頂點(diǎn)在二次函數(shù)為y2的圖象上，同時(shí)二次函數(shù)y2(1)若二次函數(shù)y1=x2?2x?3(2)如圖，已知二次函數(shù)y1=14(x+1)2?2的圖象的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將二次函數(shù)y1的圖象繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)①求二次函數(shù)y2②點(diǎn)Q為y軸上一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)Q，使得△MNQ為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式5-2】（2024·四川巴中·一模）已知，點(diǎn)A?2,0，點(diǎn)B8,0，點(diǎn)C0,4，拋物線y=ax2+bx+c過A，(1)求拋物線的解析式；(2)若∠CAP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)∠CAP=45°時(shí)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△PBM為直角三角形．若存在請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．【變式5-3】（2024·山東淄博·模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，BC⊥x軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)A?1，(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)及S△ABF(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的P點(diǎn)，使△ABP成為直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型6二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題】【例6】（2024·遼寧阜新·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，拋物線y=?x2+bx+c過點(diǎn)A和點(diǎn)C，與x(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)拋物線對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)D，若P是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合），求△PAD面積的最大值；(3)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得△ANM是以AN為直角邊的等腰直角三角形；若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式6-1】（2024春·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?2與x軸交于點(diǎn)A?1,0和點(diǎn)B4,0，與y軸交于點(diǎn)C，過動(dòng)點(diǎn)D0,m作平行于x軸的直線l，直線l與拋物線

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求m的取值范圍；(3)直線l上是否存在一點(diǎn)P，使得△BCP是以BC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式6-2】（2024·新疆昌吉·模擬預(yù)測）【建立模型]（1）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線m經(jīng)過點(diǎn)C，分別過點(diǎn)A，B作直線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：△ACD≌△CBE；【類比遷移]（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,?4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為8,0，求B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；【拓展延伸]（3）如圖3，拋物線y=12x2?2x?6與x軸交于點(diǎn)A?2,0，點(diǎn)B6,0，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)M【變式6-3】（2024春·福建漳州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D①，已知拋物線y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)B1,0，與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱軸為直線l：x=2，過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的角平分線交線段AC于點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連接PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；(3)如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型7二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題】【例7】（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C．連接BC、AC．已知A(?1,0)，B(5,0)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)D為線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD、CD．連接AD，分別交y軸與BC于點(diǎn)E、F．當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求直線AD的表達(dá)式及此時(shí)△BEF的面積；(3)點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸x=m上是否存在點(diǎn)Q，使得四邊形CDPQ為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出平行四邊形CDPQ的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式7-1】（23-24九年級(jí)·四川瀘州·期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A(?1,0)、B(3,0)，與y(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；(2)若其頂點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與直線CD相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)E為拋物線上一點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得以B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出E點(diǎn)和F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式7-2】（2024·海南·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A0,?5,C?4,0，以O(shè)C,OA為邊作矩形OABC，點(diǎn)D?32,?5為邊AB上一點(diǎn)，將△BCD(1)求經(jīng)過O,D,C三點(diǎn)的拋物線的解析式；(2)求四邊形CDEO的面積；(3)一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，沿EC以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，DP=DQ；(4)若點(diǎn)N在（2）中的拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使得以M,N,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【變式7-3】（23-24九年級(jí)·吉林·階段練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A?2,0、B4,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,6．點(diǎn)D是拋物線第一象限上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m0<m<4(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)四邊形BOCD的面積最大時(shí)，求m的值；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請(qǐng)直接寫出占M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型8二次函數(shù)中矩形的存在性問題】【例8】（23-24九年級(jí)·湖南長沙·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),B(0,?3)兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M、交x軸于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)P(1)分別求直線AB和這條拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P在第四象限，若PM=ON，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)C是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以A、C、B、M為頂點(diǎn)組成的以AB為邊的矩形?若存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式8-1】（2024春·廣東江門·九年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx?2a≠0交x軸于A?1，0、B(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接PB，過點(diǎn)C作CQ∥BP交x軸于點(diǎn)Q，連接PQ，求△PBQ面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)(3)在（2）的條件下，將拋物線y=ax2+bx?2a≠0向右平移經(jīng)過點(diǎn)Q，得到新拋物線，點(diǎn)E在新拋物線的對(duì)稱軸上，是否在平面內(nèi)存在一點(diǎn)F，使得以A、P、E、【變式8-2】（2024·山東東營·東營市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€y=ax2+bx?4a≠0交x軸于點(diǎn)A4,0和點(diǎn)B

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC下方的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線，交直線AC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)PD+PE取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及PD+PE最大值．(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，對(duì)于平面內(nèi)任意點(diǎn)N，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)且AC為一條邊的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出M、N的坐標(biāo)，不存在，請(qǐng)說明理由．【變式8-3】（2024春·內(nèi)蒙古通遼·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A(3,0),B(?1,0)兩點(diǎn)，交y(1)求拋物線的解析式和對(duì)稱軸．(2)若R為第一象限內(nèi)拋物線上點(diǎn)，滿足SΔRAC=(3)若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【題型9二次函數(shù)中菱形的存在性問題】【例9】（2024·廣東珠?！と＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A在y軸負(fù)半軸上.(1)如圖1，已知點(diǎn)O0,0，B?1,?1，C1,m在拋物線上y=ax2(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)D在拋物線上，且AD∥x軸，是否存在四邊形ABCD為菱形？請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，已知正方形ABCD的頂點(diǎn)B，D在二次函數(shù)y=ax2（a為常數(shù)，且a<0）的圖象上，點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B，D的橫坐標(biāo)分別為m，n，請(qǐng)求出m，【變式9-1】（2024·山東東營·模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=12x2+2x?6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B(1)求出直線AC，BC的函數(shù)表達(dá)式．(2)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線l，交線段AC于點(diǎn)D．在直線l上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式9-2】（2024·吉林長春·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B(1)求拋物線的解析式；(2)F為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以(3)P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M，連接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)【變式9-3】（2024·海南海口·二模）如圖，拋物線與x軸交于A?2,0、B4,0兩點(diǎn)，與(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接AP，交直線BC于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．①若△ABD的面積是△PBD面積的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)CD=CE時(shí)，求CE的長．(3)過點(diǎn)P作PF∥y軸交直線BC于點(diǎn)F，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以P、F、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型10二次函數(shù)中正方形的存在性問題】【例10】（23-24九年級(jí)·江蘇鹽城·期末）如圖，已知拋物線y=x2+2x?3的圖像與坐標(biāo)軸分別交于A、B、C三點(diǎn)，連接AC，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F(1)直接寫出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：F______，M______；(2)若點(diǎn)P為直線FM下方拋物線上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線FM于點(diǎn)Q，當(dāng)△PQM為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)N是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)F、M、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式10-1】（2024·陜西·一模）如圖，拋物線y=14x2?12x?3的對(duì)稱軸l與(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)C為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)），點(diǎn)M在坐標(biāo)平面內(nèi)，請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)C，使得四邊形ACMD是正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式10-2】（23-24九年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,2，連接OA，將線段OA繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B．(1)求經(jīng)過B,O,A三點(diǎn)的拋物線L的表達(dá)式；(2)將拋物線L沿著x軸平移到拋物線L′，在拋物線L′上是否存在點(diǎn)D，使得以【變式10-3】（23-24九年級(jí)·北京·期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A?3，0，

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)直線y=34x+94與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，與直線BC交于點(diǎn)E．若點(diǎn)Mm，0是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，交直線①當(dāng)S△EOG=1②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使四邊形EFHP為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型11二次函數(shù)中定值的存在性問題】【例11】（2024·山東淄博·一模）已知拋物線y=ax2+bx?3a≠0與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)，點(diǎn)B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，若直線BC下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，過點(diǎn)M作y軸平行線交BC于N，過點(diǎn)M作BC的垂線，垂足為H，求△HMN周長的最大值；(3)若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q在x軸上，是否存在以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；(4)將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到一個(gè)新的拋物線，問在y軸正半軸上是否存在一點(diǎn)F，使得當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)F的任意一條直線與新拋物線交于S，T兩點(diǎn)時(shí)，總有1FS2【變式11-1】（23-24九年級(jí)·湖北武漢·期末）拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B(1)填空：b=________，c=________，點(diǎn)B的坐標(biāo)為________；(2)如圖1，在拋物線上存在一點(diǎn)N，使S△AMN=S(3)如圖2，點(diǎn)C是x軸下方的拋物線上任意一點(diǎn)，D是線段AB上的一個(gè)定點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)D作y軸的平行線與射線BC，AC分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若DE+5DF為定值，求ADBD【變式11-2】（2024·福建龍巖·二模）已知拋物線y=x(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，該拋物線都會(huì)經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，求此定點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)當(dāng)a=?1時(shí)，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．①如圖（1），若點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PD?PC取最大值時(shí)，求△PBD的面積；②小聰研究發(fā)現(xiàn)：如圖（2），E，F(xiàn)是拋物線上異于B，C的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線CE與直線BF的交點(diǎn)始終在直線y=2x?9上，那么在直線EF存在點(diǎn)Q，使得△QCE，△QAC，△QAF中必存在定值的三角形，請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．【變式11-3】（2024·廣東·一模）綜合應(yīng)用．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=?23x2+43x+2的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)

(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問是否存在點(diǎn)P使∠PCB=∠ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，作出該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸直線l，交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M始終位于x軸上方，作直線AM，BM，分別交l于點(diǎn)E，F(xiàn)，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，DE+DF的值是否為定值？若是，請(qǐng)直接寫出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【題型12二次函數(shù)中角度問題的存在性問題】【例12】（2024·云南紅河·一模）已知拋物線y=?12x2+bx+c，經(jīng)過點(diǎn)?2,2和點(diǎn)0,2(1)求此拋物線的解析式；(2)求OA的長；(3)若點(diǎn)P是x軸上方、y軸左側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使∠POA=45°？如果存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【變式12-1】（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=ax2?83x+c與x軸交于A(?3,0),B兩點(diǎn)，與(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)連接AC，當(dāng)∠CEA=90°時(shí)，求所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E，使得∠ACE=45°？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式12-2】（2024春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B、C，與x軸另一交點(diǎn)為A(1)求拋物線的解析式；(2)在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使△MBC的面積為27？若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式12-3】（2024·重慶開州·模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A?2,0，B4,0兩點(diǎn)，與y(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1：P是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，求四邊形PBOC面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)(3)如圖2，將拋物線沿射線AC的方向平移22個(gè)單位長度得到新拋物線y1，Q為新拋物線y1上一動(dòng)點(diǎn)，作直線BQ交AC所在的直線于點(diǎn)D，是否存在點(diǎn)Q滿足條件∠ADB+∠ABC=∠CAB，若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)Q【題型13二次函數(shù)中線段問題的存在性問題】【例13】（2024春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于A?8,0，C2,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D0,4．點(diǎn)E是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為n，過點(diǎn)E作直線EB⊥x軸于點(diǎn)B

(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，當(dāng)△EFD是以FD為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接CD，過點(diǎn)E作直線l∥CD，交y軸于點(diǎn)H，連接BH．試探究：在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在點(diǎn)E，使得FD=BH，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式13-1】（23-24九年級(jí)·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c過A?1,0，(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PB、PC，求△PBC面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P(3)如圖2，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使MB?MC的值最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．【變式13-2】（2024·安徽合肥·二模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過A(?1,0)，B(3,0)，C(0,?3)三點(diǎn)，點(diǎn)D是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是m，直線x=12m與(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)過點(diǎn)D，作DG⊥直線x=12m于點(diǎn)G，作DF⊥x軸于點(diǎn)F，并交BC①當(dāng)m=32時(shí)，求②是否存在點(diǎn)D，使DG+DH最大？若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式13-3】（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c與直線AB(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖①，若點(diǎn)H是拋物線的頂點(diǎn)，在x軸上存在一點(diǎn)G，使△AHG的周長最小，求此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．(3)如圖②，點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AB交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)N，求2PM+PN的最大值及此時(shí)點(diǎn)P

答案詳解【題型1二次函數(shù)中面積問題的存在性問題】【例1】（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過0,?3，?b,c兩點(diǎn)，其中a，b(1)求a，c的值；(2)若該二次函數(shù)的最小值是?4，且它的圖像與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，與直線AC交于點(diǎn)E，連接PC，CB，BE．是否存在點(diǎn)P，使S△PCES△CBE【詳解】（1）解：∵y=ax2+bx+c∴c=?3，∴0,?3和?b,∴0?b2∵b≠0，∴a=1，∴a=1，c=?3．（2）解：①∵a=1，c=?3，∴y=x∵y最小值∵解得b=±2，∵ab>0，且a>0，∴b>0，∴b=2，∴該二次函數(shù)的解析式為：y=x當(dāng)y=0時(shí)，x2解得x1=?3，∴A(?3,0)，B1,0②設(shè)直線AC的表達(dá)式為：y=k則?3k解得k1∴直線AC的表達(dá)式為：y=?x?3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作CF⊥PD于F，如圖所示：設(shè)P(m,m2+2m?3)?3<m<0，則則PE=?m?3CF=0?m=?m,∴S∵AB=1??3=4，OC=3，∴S===?2m，∵S△PCE∴1解得：m1=?3+∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為?3+32或當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，作CF⊥PD于F，如圖所示：設(shè)P(m,m2+2m?3)m<?3，則則PE=mCF=0?m=?m,∴S∵AB=1??3=4，OC=3，∴S===?2m，∵S△PCE∴?解得：m1=?3?∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為?3?15綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：?3+32或?3?3【變式1-1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中B

(1)求拋物線的解析式．(2)在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△APC的面積最大．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)和△APC的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：將B1,0，C0,3代入?1+b+c=0解得：b=?2∴y=?（2）解：對(duì)于y=?x2?2x+3，令y=0,解得，x1∴A?3,0∴OA=3,∵C0,3∴OC=3，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖，設(shè)Px,?x2∴OE=?x,AE=3+x,∴S===?∵?3∴S有最大值，∴當(dāng)x=?32時(shí)，S有最大值，最大值為27【變式1-2】（23-24九年級(jí)·云南臨滄·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax2+83x+c的圖像與y軸交于點(diǎn)B(0，4)，與(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求拋物線的頂點(diǎn)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△BOP的面積等于52【詳解】解：(1)把點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(0，4)代入二次函數(shù)y=ax0解得：a=?所以二次函數(shù)的解析式為：y=?4（2）根據(jù)（1）得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0），y=?43x∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，163(3)存在這樣的點(diǎn)P，設(shè)P的坐標(biāo)為P(x，y)，到y(tǒng)軸的距離為∣x∣∵S△BOP＝12?BO?∣x∴52＝12×4?∣解得：∣x∣＝54所以x＝±把x＝54代入y=?y=?即：y＝214把x＝－54代入y=?y=?即：y＝－17∴滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為P1(54，214)、P2(【變式1-3】（2024·山東煙臺(tái)·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?12x2+m?12?x+m2m>0與x(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得△POC的面積等于△PAB面積的215？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P(3)過點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得∠PAB=2∠DAB？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：∵A?1,0，OC=2OA，點(diǎn)C位于y∴C0,2將點(diǎn)C0,2代入得：m解得m=4，則拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=?1（2）解：由（1）可知，B4,0∵A?1,0，C∴AB=5,OC=2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為Pa,?∴△PAB的面積為12×5?12∵△POC的面積等于△PAB面積的215∴a=2解得a=1或a=?4<0（不符合題意，舍去），∴?1所以存在點(diǎn)P，使得△POC的面積等于△PAB面積的215，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,3（3）解：①如圖，在y軸上方作∠DAE=∠DAB，交直線CD于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)P1，則∠∵CD∥x軸，∴∠ADE=∠DAB，∴∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，當(dāng)y=2時(shí)，?1解得x=0或x=3，∴D3,2設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為Eb,2∴?1?b2解得b=1∴E1設(shè)直線AE的解析式為y=kx+c，將點(diǎn)A?1,0，E12,2代入得：則直線AE的解析式為y=4∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為0,②如圖，在y軸下方作∠P2AB=2∠DAB，交y∴∠P又∵AB⊥P∴∠AP∴△AP∴點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為0,?綜上，存在點(diǎn)P，使得∠PAB=2∠DAB，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,43或【題型2二次函數(shù)中周長最值的存在性問題】【例2】（23-24九年級(jí)·重慶·期末）如圖，拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)(1)求△ABC的面積；(2)直線y=2x?3與拋物線交于點(diǎn)C、D，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBD的周長最??？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：令y=0，即x2解得x=3或x=?∴A?1,0，B則AB=4，當(dāng)x=0時(shí)，y=?3∴C0,?3，OC=3∴S△ABC（2）存在這樣的點(diǎn)P，理由如下，聯(lián)立y=x解得x1=0y∴D4,5∵B3,0∴BD=26連接PB、PA，如圖，則C∵PB=PA∴C△PBD∴當(dāng)P、A、D三點(diǎn)共線時(shí)，C△PBD設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+b，則0=?k+b5=4k+b解得k=1b=1則直線AD的解析式為：y=x+1，∵x=?b2a=?∴P1,2【變式2-1】（23-24九年級(jí)·江蘇南通·假期作業(yè)）如圖拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAC的周長最小？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：把A1,0，B?3,0代入?1+b+c=0?9?3b+c=0解得：b=?2c=3∴該拋物線的解析式為：y=?（2）存在，連接BC交對(duì)稱軸于M，則此時(shí)，△MAC的周長最小，在y=?x2?2x+3中，令x=0∴C0,3設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，∴?3k+m=0m=3解得：k=1m=3∴直線BC的解析式為y=x+3，∵拋物線y=?x2?2x+3∴當(dāng)x=?1時(shí)，y=2，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為?1,2【變式2-2】（23-24九年級(jí)·四川德陽·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)C、D在y軸上，且OB=OC=3，OA=OD=1，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，直線AD(1)求這條拋物線的解析式；(2)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)N，使得△ANC的周長最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)E是直線AM上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上直線AM下方一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段PE的長度最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△AMP面積的最大值．【詳解】（1）∵OB=OC=3，OA=OD=1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為?3,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,?3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)將A1,0，B?3,0，a+b+c=09a?3b+c=0c=?3，解得：∴這條拋物線的解析式為y=x（2）∵y=x∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1，連接BC，交拋物線對(duì)稱軸點(diǎn)N，如圖1所示，∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=?1對(duì)稱，∴AN=BN，∴AN+CN=BN+CN∴當(dāng)點(diǎn)B，C，N三點(diǎn)共線時(shí)，BN+CN取得最小值，即△ANC的周長最小，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+dk≠0將B?3,0，C?3k+d=0d=?3，解得：k=?1∴直線BC的解析式為y=?x?3，當(dāng)x=?1時(shí)，y=??1∴在這條拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)N?1,?2（3）∵A1,0，D∴直線AD的解析式為y=?x+1，聯(lián)立直線AD和拋物線的解析式成方程組，得：y=?x+1y=解得：x1=?4y∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為?4,過點(diǎn)P作PE⊥x軸，交直線AD于點(diǎn)E，如圖2所示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,m2+2m?3(?4<m<1)∴PE=?m+1?m∴S△APM=1=?5S△APM∵?5∴當(dāng)m=?32時(shí)，△AMP的面積取最大值，最大值為∴當(dāng)△AMD面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為?32,【變式2-3】（23-24九年級(jí)·廣西南寧·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1)求拋物線的解析式(2)①求出當(dāng)?6≤x≤2時(shí)，y的最大值和最小值；②如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的左側(cè)交點(diǎn)為C，作直線AC，D為直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥OC于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F，作DM⊥AC于點(diǎn)M．是否存在點(diǎn)D，使△DMF【詳解】（1）解：把點(diǎn)A0,5和B1,12代入y=x∴b=6c=5∴拋物線解析式為y=x（2）解：①∵拋物線解析式為y=x∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=?3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為?3，∴當(dāng)x=?3時(shí)，y有最小值?4，且離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，當(dāng)x=2時(shí)，y=2當(dāng)x=?6時(shí)，y=?6∴?6≤x≤2時(shí)，最大值為21，最小值為?4；②在y=x2+6x+5中，當(dāng)y=x2∴C?5設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b∴?5k+b∴k=1b∴直線AC的解析式為y=x+5，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為m，m2∴DF=m+5?m∵A0∴OA=OC=5，∴∠OAC=45°，∵DF⊥OC，∴DF∥OA，∴∠DFM=∠OAC=45°，∴△DFM是等腰直角三角形，∴DM=FM=2∴△DMF的周長=DM+FM+DF=2∴當(dāng)DF最大時(shí)，△DMF的周長最大，∵DF=?m+52∴當(dāng)m=?52時(shí)，∴m2∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為?【題型3二次函數(shù)中全等三角形的存在性問題】【例3】（2024·陜西渭南·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?12x2+x+4的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為P

(1)求點(diǎn)A、P的坐標(biāo)；(2)連接AP，點(diǎn)D是該二次函數(shù)圖象第四象限上的動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F是x軸上一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△APH全等？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）∵二次函數(shù)y=?12x2+x+4的圖象與x軸交于A、B∴0=?1解得：x1=?2，∴點(diǎn)A?2,0，B∵y=?1∴頂點(diǎn)P1,（2）存在，理由如下：∵點(diǎn)H在二次函數(shù)y=?12x∴點(diǎn)H1,0∵A?2,0，P∴AH=3，PH設(shè)點(diǎn)Da,?∵過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F是x軸上一點(diǎn)，∴點(diǎn)Ea,0∴ED=∵以點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△APH全等，∴當(dāng)①△AHP≌△DEF時(shí)，AH=DE∴3=解得：a1=1+15∴當(dāng)a=1+15時(shí)，?∴點(diǎn)D1+當(dāng)②△AHP≌△FED時(shí)，PH=ED∴92解得：a1=32∴當(dāng)a=32+1時(shí)，∴點(diǎn)D3綜上所述，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：1+15,?3或32+1,?92時(shí)，存在以點(diǎn)D、【變式3-1】（2024·陜西咸陽·二模）已知拋物線L：y=x2+3x?4與y軸交于點(diǎn)A，拋物線L′與(1)求拋物線L′(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B是y軸正半軸上一點(diǎn)，OB=OA，點(diǎn)C是x軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是第二象限拋物線L′上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP,BP,是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)O,P,C為頂點(diǎn)的三角形與△OPB全等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P【詳解】（1）解：∵拋物線L:y=∴拋物線L的頂點(diǎn)為?3∵拋物線L′與L關(guān)于x∴拋物線L′的頂點(diǎn)為?∴拋物線L′的函數(shù)表達(dá)式為y=?（2）∵拋物線L：y=x2+3x?4與y∴A0,?4，即∴OB=0A=4，∵點(diǎn)B是y軸正半軸上一點(diǎn)，∴B由題意可知，△OPC與△OPB有一條公共邊OP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為p,?p分兩種情況：當(dāng)ΔOPB≌ΔPOC∴PB∥x軸，即點(diǎn)P與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)一樣，令?p2?3p+4=4∴P當(dāng)ΔOPB≌ΔOPC時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合，點(diǎn)C與點(diǎn)∴OP′平分∠BOC，即點(diǎn)P′到x∴?p=?p2?3p+4∴綜上，存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)O,P,C為頂點(diǎn)的三角形與△OPB全等，點(diǎn)P的坐標(biāo)為?3，4或?【變式3-2】（2024·甘肅隴南·一模）如圖，拋物線y=ax2?2x+c與x軸交于A?1,0，B兩點(diǎn)，與

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)已知點(diǎn)Pm,n在拋物線上，當(dāng)?1<m<3時(shí)，直接寫出n(3)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)D坐標(biāo)為2,3，試問在該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ABP與△ABD全等？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：把A?1,0和C0,?3代入0=a+2+c?3=c，解得：a=1∴拋物線的函數(shù)解析式為y=x（2）解：把x=3代入y=x2?2x?3∴B3,0∵y=x2?2x?3=∴當(dāng)x=1時(shí)，該函數(shù)有最小值?4，∵Pm,n∴當(dāng)?1<m<3時(shí)，n的取值范圍為?4≤n<0；（3）解：∵y=x?1∴拋物線解析式為直線x=1，∵D2,3∴點(diǎn)D到對(duì)稱軸距離為1，到x軸距離為3，∵△ABP≌△ABD，點(diǎn)P在拋物線上，∴點(diǎn)P在x軸下方，對(duì)稱軸距離為1，到x軸距離為3，∴點(diǎn)P2,?3或P把y=?3代入y=x2?2x?3解得，x1∴P2,?3或P綜上：存在，P2,?3或P【變式3-3】（2024·陜西咸陽·三模）如圖，拋物線y=14x2?2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為直線l，l

(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，點(diǎn)N在y軸上，且點(diǎn)N在點(diǎn)M上方，是否存在這樣的點(diǎn)P、N，使得以點(diǎn)P、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD全等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：∵拋物線y=14x2?2x+3與x∴令y=0，則14x2?2x+3=0，解得∴A2,0，B∵拋物線y=1∴C4,?1（2）解：如圖所示：

∵C4,?1∴對(duì)稱軸l:x=4，∴l(xiāng)交x軸于點(diǎn)D2,0，則CD=1，BD=2根據(jù)題意可得∠CDB=∠PMN=90°，若以點(diǎn)P、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD全等，則點(diǎn)M與點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,14m①當(dāng)PM與BD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，則PM=BD=2，MN=DC=1，即m=2∴m=2或?2，當(dāng)m=2時(shí)，14當(dāng)m=?2時(shí)，14∴P12,0、N10,1，②當(dāng)PM與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，則PM=CD=1，MN=BD=2，即m=1∴m=1或?1，當(dāng)m=1時(shí)，14當(dāng)m=?1時(shí)，14具體情況，如圖所示：

∴P31,54、N3綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P、N，使得以點(diǎn)P、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD全等，點(diǎn)P、N的坐標(biāo)為P12,0、N10,1或P2?2,8、N20,9或【題型4二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題】【例4】（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(?3，0)，B(1，0)(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PHC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)若M是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O，A重合），連接AC，過點(diǎn)M作DM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在線段DE=CE？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x?1)(a≠0)，將C(0，3)代入得，解得，a=?1，∴y=?(x+3)(x?1)=?x∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為?1，（2）解：由（1）可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1，則H?1設(shè)P?1，m，則PH2由題意知，當(dāng)△PHC是等腰三角形，分①PH=HC，②PH=PC，③HC=PC，三種情況求解；①當(dāng)PH=HC時(shí)，則m2解得，m=±10∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?1，10)②當(dāng)PH=PC，則m2解得，m=5∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為?1，③當(dāng)HC=PC時(shí)，則10=1+m?3解得，m=6或m=0（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為?1，綜上所述，存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?1，10)或(?1，?（3）解：如圖，作EK⊥OC于K，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A(?3，0)，解得，k=1b=3∴直線AC的解析式為y=x+3；設(shè)Mn，0，則E∴DE=?n2?3n∵OA=OC=3，∴∠OCA=45°，∴CE=?2∴?n解得，n=2?3或∴存在，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2?3【變式4-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，拋物線w:y=ax2+bx?3（a、b為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于點(diǎn)A?1,0，B3,0，與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線w的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接AC，探究拋物線w′的對(duì)稱軸直線l上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P【詳解】（1）解：將點(diǎn)?1,0，3,0代入y=ax0=a?b?30=9a+3b?3解得：a=1b=?2∴拋物線w的函數(shù)表達(dá)式為y=x（2）解：存在由（1）知：拋物線w的對(duì)稱軸為：x=1，C0,?3∴拋物線w′的對(duì)稱軸為：x=2令P2,y∴AC2=10，A①當(dāng)AC=AP時(shí)，10=9+y解得：y1=1，∴P12,1，②當(dāng)AC=CP時(shí)，10=y解得：y3=?3+6∴P32,?3+6③當(dāng)AP=CP時(shí)，9+y解得：y5∴P綜上，滿足要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,1，2,?1，2,?3+6，2,?3?6，【變式4-2】（2024·云南·模擬預(yù)測）已知拋物線y=?x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，與y(1)求b，c的值；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）∵拋物線y=?x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，∴?b∴b=2,c=3；（2）存在，

由（1）得y=?x2+2x+3，∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴B0,3存在點(diǎn)P，使得△ACP是等腰三角形，設(shè)P1,a則AP2=a?42情況1：當(dāng)AP=BP時(shí)，即a2解得a=3，所以，P1情況2：當(dāng)AP=AB時(shí)，即a2解得a=4±2所以P21,4+2情況3：當(dāng)BP=AB時(shí)，即a2解得a=2或a=4，所以P41,2，綜上得：滿足條件的P點(diǎn)有P11,3，P21,4+2【變式4-3】（2024·西藏日喀則·一模）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A?1,0、B3,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，(1)求拋物線的解析式；(2)求△DBC的面積；(3)在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使P，B，C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解∶由拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A?1,0、B則0=1?b+c0=9+3b+c，解得：b=?2所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是：y=x2?2x?3．（2）解：∵y=x∴D1當(dāng)x=0時(shí)，y=?3，即C0由待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為y=x?3．如圖：過D作x軸的垂線交BC于E，垂足為F．則E1,?2∴DE=?2??4∴S△BDC（3）解：存在．如圖：設(shè)點(diǎn)P1，aPB2=1?32①若PC=PB，則PC2=P解得a=?1．即P1②若PC=BC，則PC2=BC2解得：a1=?3+17③若PB=BC，則PB2=B解得：a1=14綜上，符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為1，?1，1,【題型5二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題】【例5】（2024·甘肅酒泉·二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A?1，0和點(diǎn)B3，0(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，過動(dòng)點(diǎn)D作DP∥AC交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接PA，PB，記△PAD與△PBD的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)(3)如圖2，是否存在點(diǎn)D，使得以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：將A(?1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c解得：a=?1&&∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=?x（2）解：如圖1，連接PC，作PE⊥x軸交BC于點(diǎn)E，∵DP∥AC，∴S△APD∵S=S∴S=S設(shè)直線BC的解析式為y=kx+e，將B(3,0),C(0,3)代入得，3k+e=0e=3解得，k=?1e=3∴直線BC的解析式為y=?x+3，設(shè)Pm,?m2+2m+3(0<m<3)∴S=1∵?32<0∴當(dāng)m=32時(shí)，S取得最大值．此時(shí)（3）解：設(shè)D(n,?n+3)，則AC2=10，C①當(dāng)∠ACD=90°時(shí)，AC解得，n=0（舍去）；②當(dāng)∠CAD=90°時(shí)，AC2+A解得，n=5，∴D5③當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，CD2+A解得，n1=0（舍去），∴D(1,2)；綜上所述，存在點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)是5，【變式5-1】（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）如果二次函數(shù)y1的圖象的頂點(diǎn)在二次函數(shù)為y2的圖象上，同時(shí)二次函數(shù)y2(1)若二次函數(shù)y1=x2?2x?3(2)如圖，已知二次函數(shù)y1=14(x+1)2?2的圖象的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將二次函數(shù)y1的圖象繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)①求二次函數(shù)y2②點(diǎn)Q為y軸上一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)Q，使得△MNQ為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y1∴該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,?4)，∴將(1,?4)代入y2=?x解得b=4．∴二次函數(shù)的解析式為y2∴二次函數(shù)y2=?x∴將(2,?3)代入入y1=x∴b=4符合要求，故答案為：4；（2）解：①∵旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)函數(shù)互為“頂點(diǎn)相容函數(shù)”，∴y2的圖象的頂點(diǎn)N必在二次函數(shù)y∵y2的圖象是二次函數(shù)為y1=14∴這兩個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)M,N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，如圖，分別過M,N作MA⊥x軸，NB⊥x軸，垂足分別為A,B，在△APM和△BPN中，∠MAP=∠NBP,∴△APM≌△BPN(AAS)∴NB=AM=2．當(dāng)y2=2時(shí)，解得x1∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2)，當(dāng)點(diǎn)N是y2的圖象的頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)y把M(?1,?2)代入y2解得a=?1∴二次函數(shù)y2的解析式為為y②設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,m)，則MNNQ當(dāng)∠QNM=90°時(shí)，MN∴32+m解得m=5；當(dāng)∠QMN=90°時(shí)，MN∴32+m解得m=?3；當(dāng)∠NQM=90°時(shí)，MQ∴m2解得m1綜上所述，存在一點(diǎn)Q，使得△MNQ為直角三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)(0,5),(0,?3),(0,7)或【變式5-2】（2024·四川巴中·一模）已知，點(diǎn)A?2,0，點(diǎn)B8,0，點(diǎn)C0,4，拋物線y=ax2+bx+c過A，(1)求拋物線的解析式；(2)若∠CAP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)∠CAP=45°時(shí)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△PBM為直角三角形．若存在請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：把將點(diǎn)A?2,0，點(diǎn)B8,0，點(diǎn)可得0=4a?2b+c0=64a+8b+c解得a=?1∴拋物線的解析式為y=?1（2）解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AC交AP與點(diǎn)F，過點(diǎn)C作x軸的平行線，過A,F作DE的垂線段，分別交于點(diǎn)D,E，，∵∠CAP=45°,AC⊥CF，∴CA=FC，∠DCA+∠ECF=90°，∵∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECF，∵∠ADC=∠CEF=90°，∴△ADC≌△CEFAAS∴AD=CE,DC=EF，根據(jù)A?2,0CE=AD=4,EF=DC=2，∴F4,2設(shè)直線AF的解析式為y=kx+b，把A?2,0,F4,2解得k=1∴直線AF的解析式為y=1故可得13解得x1y=1∴P20（3）解：?b∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，設(shè)M3,m則MP2=3?20①當(dāng)∠PMB=90°時(shí)，P可得方程3?20方程無解，故不成立；②當(dāng)∠MPB=90°時(shí)，PM可得方程3?解得m=140③當(dāng)∠PBM=90°，BM可得方程25+m解得m=?30綜上所述，m=140117或【變式5-3】（2024·山東淄博·模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，BC⊥x軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)A?1，(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)及S△ABF(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的P點(diǎn)，使△ABP成為直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A?1，0∴AC=5，OC=4，∵AC=BC=5，∴B4把A?1，0和B1?b+c=016+4b+c=5解得：b=?2c=?3∴二次函數(shù)的解析式為：y=x（2）解：如圖1，∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A?1，0設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，∴?k+b=04k+b=5解得：k=1b=1∴直線AB的解析式為：y=x+1，∵二次函數(shù)y=∴設(shè)點(diǎn)Et,t+1，則F∴EF=t+1∴當(dāng)t=32時(shí)，EF的最大值為∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為32∴S（3）解：存在，∵y=x∴對(duì)稱軸為直線x=1，設(shè)P1,m①點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：PB∴4?12解得：m=8，∴P1②點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：PA∴1+12解得：m=?2，∴P1③點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：PB∴1+12解得：m=6或m=?1，∴P1，6綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為1，8或1，?2或【題型6二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題】【例6】（2024·遼寧阜新·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，拋物線y=?x2+bx+c過點(diǎn)A和點(diǎn)C，與x(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)拋物線對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)D，若P是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合），求△PAD面積的最大值；(3)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得△ANM是以AN為直角邊的等腰直角三角形；若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：對(duì)于直線y=x+4，令x=0，則y=4；令y=0，則x=?4；∴A?4，0，C0，4，把?16?4b+c=0c=4解得b=?3c=4∴y=?x（2）解：過P作PK∥y軸交AC于在y=?x2?3x+4當(dāng)x=?32時(shí)，∴D?設(shè)P(m,?m2?3m+4)∴PK=?m∴S=?5∵?5∴當(dāng)m=?2時(shí)，SΔ∴△PAD面積的最大值為5；（3）解：∵A?4，0設(shè)Nt,?當(dāng)∠ANM=90°，AN=MN，過點(diǎn)N作x軸的平行線交對(duì)稱軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作y軸的平行線交NF于點(diǎn)E，如圖，∴∠ANE=90°?∠FNM=∠NMF，∴△ANE≌△NMFAAS∴AE=NF，EN=FM，∴AE=NF=x整理得t2解得t=?2±∴點(diǎn)N坐標(biāo)為?2?262,當(dāng)∠MAN=90°，AM=AN，過點(diǎn)N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)F，對(duì)稱軸直線x=?32交x軸于點(diǎn)同理△AME≌△NAF，則AE=NF，即?3整理得t2解得t=?3±∴點(diǎn)N坐標(biāo)為?3+262,綜上，點(diǎn)N坐標(biāo)為?3+262,52或?3?【變式6-1】（2024春·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?2與x軸交于點(diǎn)A?1,0和點(diǎn)B4,0，與y軸交于點(diǎn)C，過動(dòng)點(diǎn)D0,m作平行于x軸的直線l，直線l與拋物線

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求m的取值范圍；(3)直線l上是否存在一點(diǎn)P，使得△BCP是以BC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx?2經(jīng)過點(diǎn)A∴a?b?2=0，解得a=∴拋物線的表達(dá)式為y=1（2）解：y=1∴y的最小值為?25∵直線l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴m>?25（3）解：存在．當(dāng)x=0時(shí)，y=1∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,?2．①如圖，當(dāng)∠BCP=90°，BC=PC時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，∴∠BOC=∠CGP=90°．∵∠BCO+∠PCG=90°，∠GPC+∠PCG=90°，∴∠BCO=∠CPG．

在△BCO和△CPG中，∠BOC=∠CGP，∴△BCO≌△CPG．∴CG=BO=4．∵CO=2，∴m=OG=4?2=2．延長PC至P′使得CP′易得，此時(shí)m=?6．（不合題意，舍去）②如圖，當(dāng)∠CBP=90°，BC=BP時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，

∵∠BOC=∠BMP=90°，∠BCO+∠OBC=90°，∠PBM+∠OBC=90°，∴∠BCO=∠PBM．∴△BCO≌△PBM．∴PM=BO=4．∴m=PM=4．延長PB，使得BP′=BP同理可得，m=?4．（不合題意，舍去）綜上所述，直線l上存在一點(diǎn)P，使得△BCP是以BC為直角邊的等腰直角三角形．m的值為2或4．【變式6-2】（2024·新疆昌吉·模擬預(yù)測）【建立模型]（1）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線m經(jīng)過點(diǎn)C，分別過點(diǎn)A，B作直線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：△ACD≌△CBE；【類比遷移]（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,?4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為8,0，求B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；【拓展延伸]（3）如圖3，拋物線y=12x2?2x?6與x軸交于點(diǎn)A?2,0，點(diǎn)B6,0，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)M【詳解】（1）證明:∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°.∵AD⊥CE,∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD，在△ACD和△CBE中，∠CAD=∠BCE,∠ADC=∠CEB,AC=CB∴△ACD≌△CBE（2）解:如圖,過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F.

由題意,得OC=4,OA=8.∵∠BFC=∠AOC=∠ACB=90°，∴.∠BCF+∠ACO=90°,∠BCF+∠CBF=90°,∴∠ACO=∠CBF又∵CB=CA,∠CFB=∠AOC,∴△CFB≌△AOCAAS∴.BF=CO=4,CF=AO=8∴OF=4∴.B?4,4.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+bk≠0將A8,0,B?4,4代入y=kx+b解得k=?∴直線AB的解析式為y=?1當(dāng)x=0時(shí)，y=8∴D（3）解:∵y=∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，①當(dāng)點(diǎn)M在x軸的下方時(shí),如圖，

∵∠PBM=90°,PH⊥AB,∴∠BPH+∠PBH=∠MBN+∠PBH∴∠BPH=∠MBN又∵∠PHB=∠BNM,PB=BM，∴△PBH≌△BMNAAS∴.BH=MN,PH=BN.設(shè)P2,t∴BN=PH=t,MN=BH=6?2=4，∴ON=t?6，∴M6?t,?4將M6?t,?4代入y=得12解得t=4+22或∴.點(diǎn)M的坐標(biāo)為2?22,?4或②當(dāng)點(diǎn)M在x軸的上方時(shí),如圖,

同理可得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為2?26,4或綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為2?22,?4或2+22,?4或【變式6-3】（2024春·福建漳州·九年級(jí)校考期中）如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)B1,0，與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱軸為直線l：x=2，過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的角平分線交線段AC于點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連接PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；(3)如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：依題意，x=?b∴b=?4a，∴拋物線解析式為y=ax將點(diǎn)B1,0代入得解得：a=1，∴拋物線的解析式；y=x（2）如圖2，設(shè)P(m，∵OE平分∠AOB，∠∴∠∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E(3,3)，設(shè)直線OE的解析式為y=kx，∴3=3k，解得：k=1，則直線OE的解析式為：y=x，過P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)∴G(m,m)，∴PG=m?(m∴S=12×3×3+12=92+12=?32m2+15=32m?52∵?32<0∴當(dāng)m=52時(shí)，S有最大值是75（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，∵∠OMP=∠OPF=∠FNP=90°∴∠MOP=90°?∠OPM=∠NPF∴△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P(m,m則?m解得：m=5+52∴P的坐標(biāo)為(5+52,1+52)或(5?52如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，連接PF．同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則?m解得：x=3+52P的坐標(biāo)為(3+52，1?52)或(3?綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：P1(3+52,1?52)，P2(3?52,1+52)，P3(5+5【題型7二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題】【例7】（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C．連接BC、AC．已知A(?1,0)，B(5,0)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)D為線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD、CD．連接AD，分別交y軸與BC于點(diǎn)E、F．當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求直線AD的表達(dá)式及此時(shí)△BEF的面積；(3)點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸x=m上是否存在點(diǎn)Q，使得四邊形CDPQ為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出平行四邊形CDPQ的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：∵B(5,0)，tan∠BCO=∴C設(shè)拋物線的表達(dá)式的拋物線為：y=ax+1將C0,5解得：a=?∴y=?（2）解：設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則b=5解得：b=5∴直線BC的解析式為：y=?1過點(diǎn)D作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)G，如圖所示：設(shè)點(diǎn)Dm,?12m∴S∴當(dāng)m=52，即點(diǎn)D52,∵S四邊ABCD=∴此時(shí)S四邊設(shè)直線AD的解析式為：y=k則?k解得：b′∴直線AD的解析式為：y=5令x=0可得y=514聯(lián)立y=?12∴F∴S（3）解：由A(?1,0)，B(5,0)可知：拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1+5由（2）可得D5設(shè)P若四邊形CDPQ為平行四邊形，則0+p=5解得：p=∴Q設(shè)直線CD的解析式為：y=k則b′解得：b′∴直線CD的解析式為：y=?1過點(diǎn)Q作y軸的平行線交直線CD于點(diǎn)H，如圖所示：則H2,?1∴S【變式7-1】（23-24九年級(jí)·四川瀘州·期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A(?1,0)、B(3,0)，與y(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；(2)若其頂點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與直線CD相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)E為拋物線上一點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得以B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出E點(diǎn)和F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1）解：由題意得：y=a(x+1)(x?3)=a(x則?3a=3，則a=?1，則拋物線的表達(dá)式為：y=?x（2）解：如圖1，設(shè)直線CD切⊙P于點(diǎn)E．連接PE、PA，作CF⊥DQ于點(diǎn)F．∴PE⊥CD，由y=?x對(duì)稱軸為直線x=1，C(0，∴DF=4?3=1，∴DF=CF，∴△DCF為等腰直角三角形．∴∠CDF=45°，∴∠EDP=∠EPD=45°，∴DE=EP，∴△DEP為等腰三角形．設(shè)P(1,m)，∴EP在△APQ中，∠PQA=90°，∴AP∴12整理，得m2解得，m=?4±26∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,?4+26)或（3）解：存在，理由：設(shè)點(diǎn)E(m,?m2+2m+3)，點(diǎn)當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：3=m+13=t?m2則點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為：(2,3)、(1，當(dāng)BF或BE為對(duì)角線時(shí)，同理可得：3+1=mt=?m2解得：m=4t=?2或m=?2則點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為：(4,?5)、(1,?2)或(?2,?5)、(1,?8)；綜上，E、F的坐標(biāo)分別為：(2,3)、(1，0)或(4,?5)、(1,?2)或【變式7-2】（2024·海南·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A0,?5,C?4,0，以O(shè)C,OA為邊作矩形OABC，點(diǎn)D?32,?5為邊AB上一點(diǎn)，將△BCD(1)求經(jīng)過O,D,C三點(diǎn)的拋物線的解析式；(2)求四邊形CDEO的面積；(3)一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，沿EC以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，DP=DQ；(4)若點(diǎn)N在（2）中的拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使得以M,N,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【詳解】（1）解：設(shè)過O，D，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=axx+4∵D?∴?5=?3∴a=4∴經(jīng)過O，D，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=4（2）點(diǎn)A0,?5,C?4,0，D?32,?5∴CE=CB=OA=5，CO=AB=4，AD=3在Rt△COEOE=C∴E0,?3∴AE=5?3?2，∴S==49（3）由運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則EQ=t，CP=2t，則BP=5?2t∵△BCD沿直線CD折疊得到△ECD，∴BD=ED，若DP=DQ，則Rt△PBD≌∴PB=QE，即CB?CP=EQ．∴5?2t=t，解得t=5（4）①如下圖，當(dāng)M點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)，即為M1當(dāng)M1N∥CE且M1過M1作M1F垂直對(duì)稱軸于點(diǎn)F∴FM1=OC=4∴此時(shí)點(diǎn)M1對(duì)于y=4當(dāng)x=2時(shí)，y=16，∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為2,16②如下圖，當(dāng)M點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)，即為M2當(dāng)M2N∥CE且M2過M2作M2F垂直對(duì)稱軸于點(diǎn)F∵FM2=OC=4∴此時(shí)點(diǎn)M2的橫坐標(biāo)為?6對(duì)于y=4當(dāng)x=?6時(shí)，y=16，∴點(diǎn)M2的坐標(biāo)為?6,16③如解圖，當(dāng)M點(diǎn)在拋物線的頂點(diǎn)上，即為點(diǎn)M3當(dāng)CN∥M3E且CN=CE與NM3相交于點(diǎn)O'，則O'為線段又∵點(diǎn)M3在對(duì)稱軸上，則M3的橫坐標(biāo)為對(duì)于y=4當(dāng)x=?2時(shí)，y