東莞威遠(yuǎn)職中文化課數(shù)學(xué)教案：極限與導(dǎo)數(shù)

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1.極限定義：(1)若數(shù)列｛u.｝滿足，對(duì)任意給定的正數(shù)￡,總存在正數(shù)m,當(dāng)

n〉m且n《N時(shí)，恒有|u「A|〈￡成立(A為常數(shù))，則稱A為數(shù)列u.當(dāng)n趨向于無(wú)

窮大時(shí)的極限，記為lim/(x),lim/(x),另外limf(x)=A表示x大于x()且趨向

x->+coX->XQ

于X。時(shí)f(x)極限為A,稱右極限。類似地lim/(x)表示x小于X。且趨向于x。時(shí)

X—>%0

f(x)的左極限。

2.極限的四則運(yùn)算:如果limf(x)=a,limg(x)=b,那么lim[f(x)±g(x)]=a

x—>x0x—>X0

±b,lim[f(x)*g(x)]=ab,lim=—(b0).

g(x)b

3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且limf(x)存在，并且limf(x)=f數(shù)0),

X—>xoX—>XQ

則稱f(x)在X=Xo處連續(xù)。

4.最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在［a,b］

上有最大值和最小值。

5.導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在xO附近有定義，當(dāng)自變量x在X。處取得一個(gè)增量Ax時(shí)

(Ax充分小)，因變量y也隨之取得增量Ay(Ay=f(x°+Ax)-f(X。)).若lim包存

心f。Ax

在，則稱f(x)在X。處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)，

記作/'(X。)或y卜=/或立，即尸(Xo)=lim"x)—"砧。由定義知f(x)在

dx%』一o

點(diǎn)X。連續(xù)是f(x)在X?？蓪?dǎo)的必要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點(diǎn)

可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點(diǎn)X。處導(dǎo)數(shù)［(X。)

等于曲線y=f(X)在點(diǎn)P(X。,f(X。))處切線的斜率。

6.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(c)=O(c為常數(shù))；(2)(x/=ax〃T(a為任意常

數(shù))；(3)(sinx)'=cosx;(4)(cosx)f=-sinx;(5)(axy=ax]na;(6)(exy=ex;(7)

(logxy=-logx；(8)(lnx)'=-.

flXflX

7.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo),且u(x)W0,則

(1)[“(％)±v(x)]'=u\x)±v\x)；(2)[w(x)v(x)]*="'(])(%)+u(x)v\x)；(3)

［cu(x)］'=c-u\x)(c為常數(shù))；(4)［―］,=^^；(5)

M(X)U(X)

產(chǎn),,_M(X)V'(X)-(X)V(X)

M(X)M2(X)

8.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=0(x),已知0(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對(duì)

應(yīng)的點(diǎn)u(u=0(x))處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f［°(x)］在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且

(f［°(x)］)'=1n9(x)］°'(x).

9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：(1)若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；(2)

若對(duì)一切xE(a,b)有尸(x)〉0,則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增;(3)若對(duì)一切xe(a,b)

有尸(x)<0,則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。

10.極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在X。處可導(dǎo)，且在X。處取得極值，則f'(x0)=0.

11.極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在X。鄰域(x。-6,x0+6)內(nèi)可導(dǎo)，

(1)若當(dāng)xG(x-6,x。)時(shí)尸(x)?0,當(dāng)xW(x°,Xo+6)時(shí)廣⑺20,則f(x)在

X。處取得極小值；(2)若當(dāng)XG(XO-6,Xo)時(shí)廣(x)20,當(dāng)xe(Xo,Xo+3)時(shí)

f'(x)<0,則f(x)在x。處取得極大值。

12.極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在X。的某領(lǐng)域(x。-6,x°+6)內(nèi)一階可導(dǎo)，在

x=x。處二階可導(dǎo)，且/'(Xo)=OJ"(Xo)#O。(1)若/”(/)〉0,則f(x)在x。處

取得極小值；(2)若/"(/)<0,則f(x)在X。處取得極大值。

13.羅爾中值定理:若函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b),

則存在&e(a,b),使尸6)=0.

［證明］若當(dāng)x?(a,b),f(x)=f(a),則對(duì)任意x?(a,b),尸(%)=0.若當(dāng)*6

(a,b)時(shí)，f(x)Wf(a),因?yàn)閒(x)在［a,b］上連續(xù)，所以f(x)在［a,b］上有最大值

和最小值，必有一個(gè)不等于f(a),不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m,則cG(a,b),

且f(c)為最大值，故尸(c)=0,綜上得證。

14.Lagrange中值定理：若f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則存在&G

(a,b),使「(0=/(切―/(°).

b-a

［證明］令F(x)=f(x)-―△2(x-a),則F(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)上可

b-a

導(dǎo)，且F(a)=F(b),所以由13知存在&G(a,b)使尸0=0,即「?/⑸”⑷.

b-a

15.曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，(1)如果

對(duì)任意X?I,/"(X)〉0,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；(2)如果對(duì)任意XG

I,/"(x)<0,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為

凹函數(shù)。

+

16.琴生不等式：設(shè)a1，a2,…，anGR,aa2+---+an=l0(1)若f(x)是［a,b］

上的凸函數(shù)，則Xi,X2,…，XnG［a,b］有f(aiXi+a/X2+…+anxjWaif(xj+a2f(X2)+…

+anf(xn).

二、方法與例題

1.極限的求法。

例1求下列極限：(1)lim［二+之+…+=］；(2)lim/L(a〉0)；(3)

n

(2)當(dāng)a>l時(shí)，lim--a--=lim=1.

n—>oo]+n—>oo

lim+1

n—>co

〃limann

當(dāng)0<a〈l時(shí)，=——=，-=0.

〃-°°1+Q"l+1+0

n—>oo

當(dāng)a=l時(shí)，lim———二lim一一.

+foi+i2

(3)因?yàn)?^-

例2求下列極限：(1)lim(l+x)(l+x2)(l+x22)***(l+x2)(lxl<l)；

n-?oo

(2)limf-r-----—；(3)lim.————：。

-管1-xJa1j3-x-Jl+x

[解](1)lim(l+x)(l+x2)(l+/)???(1+，”)

n—>oo

(1—X)(l+X)(l+/)...(1+%2'j1-X2，，+I1

=lim-------------------------------------=lim----------=------.

381-X281-X1-X

J12A

A3—1—x—x2、l—X+1—X

(2)-=lim=lim3

3x->l3x-^1Il-^J

1-x1-xk1-x7

[.2+x

=lim----------T=1.

—i1+x+x

x2-1(x2-l)(j3-x+Jl+x)

(3)lim=lim

X->1(，3—x-A/1+X)(A/3—x+Jl+x)

(x—l)(x+1)(A/3—X+y/1+x).—(x+1)(J3-X+Jl+x)

lim------------------------------------=lim-------------------------------

Xf12(1-X)—I2

=-2A/2.

2.連續(xù)性的討論。

例3設(shè)f(x)在(-8,+8)內(nèi)有定義,且恒滿足f(x+l)=2f(x),又當(dāng)xG[0,1)

時(shí),f(x)=x(l-x):試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。

[解]當(dāng)xG[0,1)時(shí),有f(x)=x(l-x)2,在f(x+l)=2f(x)中令x+l=t,則x=t-l,

當(dāng)xG[l,2)時(shí)，利用f(x+l)=2f(x)有f(t)=2f(t-1),因?yàn)閠-lG[0,1),再由

f(x)=x(1-X)2得f(t-l)=(t-1)(2-t)2,從而tG[1,2)時(shí)，有f(t)=2(t-1),(2-t)2；

同理，當(dāng)xG[1,2)時(shí)，令x+l=t,則當(dāng)tG[2,3)時(shí)，有

f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=|2(%T)Q-%)：，%e[U);所以

4(x-2)(3-x)2,xe[2,3).

limf(x)=lim2(x-1)(2-x)2=0,limf(x)=lim4(x-2)(3-x)2=0,所以

x—^2—x—^2—x-^2+x—^2+

limf(x)=limf(x)=f(2)=0,所以f(x)在x=2處連續(xù)。

x->2—x―^2+

3.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。

［解］因?yàn)辄c(diǎn)⑵0）不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x°,y。），則為=,，切線的斜率

%

為“=-1，所以切線方程為y?=-」（x-/），即廣,

—(x-xo)O又

40

因?yàn)榇饲芯€過點(diǎn)(2,0),所以一上=一3(2-/)，所以x°=l,所以所求的切線

方程為y=-(x-2),即x+y-2=0.

4.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。

5+3xcos2x

例5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(l)y=sin(3x+l)；(2)y=^~^.(3)y=e；

X

(4)y=ln(x+7x2-1)；(5)y=(l-2x)"(x>0且x<；)。

[解](1)y'=cos(3x+1)-(3x+l)f=3cos(3x+l).

(5%2+3x——(5%2+3x—Vx),(x)1

尸----------------------5---------------

10%+3——512+3%+-\J~X

(3)y'=*s2].(cos2x)'=ecos2x?(—sin2x)?(2x)'=—2*s2%?$缶2工

(4)y=——^==.a+7x2-iy=——^==

x+Vx2-1x+Vx2-1

1

(5)y=[(l-2x[]'=[]皿1-2])]，=2x)(xin(i_2x)y

2x

=(l-2x)xln(l-2x)------.

_l-2x_

5.用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。

例6設(shè)a>0,求函數(shù)f(x)=Vx-ln(x+a)(x^(0,+°°))的單調(diào)區(qū)間。

［解］f\x)=-^=———(x>0),因?yàn)閤〉O,a〉O,所以

2jxx+a

1(x)>0<4>X2+(2a-4)x+a2>0；f\x)<0<4>x2+(2a-4)x+a+<0.

(1)當(dāng)a>l時(shí),對(duì)所有x〉0,Wx2+(2a-4)x+a2>0,即/'(x)>0,f(x)在(0,+8)

上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)a=l時(shí),對(duì)xWl,有x?+(2a-?x+a?>。，即尸(x)〉0,所以

f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+8)內(nèi)遞增，又f(x)在x=l處連續(xù)，因

此f(x)在(0,+8)內(nèi)遞增;(3)當(dāng)0〈a〈l時(shí)，令/'(x)〉O,即x'+(2a-4)x+a2>0,

解得x〈2-a-2VlW或x〉2-a+2VT^,因此，f(x)在(0,內(nèi)單調(diào)遞

增，在(2-2+271二］,+8)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當(dāng)2-a-2&^〈x〈2-a+2VT工時(shí)，

x?+(2a-4)x+a2〈0,即f\x)<0,所以f(x)在(2-a-2Jl-a,2-a+2jl-a)內(nèi)單調(diào)

遞減。

6.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。

TT

例7設(shè)x￡(0,—),求證：sinx+tanx>2x.

［證明］設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x,則r(x)=cosx+sec、-？，當(dāng)(0,()時(shí)，

1Ii2

cosxd--------->2/cosx----------=,>2(因?yàn)?<cosx<l),所以

cosXVcosXVCOSX

/*(x)=cosx+sec2x-2=cosx+一---2>0.又f(x)在(03］上連續(xù)，所以f(x)在

cosxI2)

1°'2上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x￡時(shí)，f(x)>f(0)=0,即sinx+tanx>2x.

7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。

2

例8設(shè)f(x)=alnx+bx+x在Xi=l和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指

出這時(shí)f(X)在X1與X2處是取得極大值還是極小值。

［解］因?yàn)閒(x)在(0,+8)上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x)在xLl,X2=2處取得極值，所

f2

ra+2b+1—0,a=—,

以廣⑴=尸(2)=0,又「(x)=@+2bx+l,所以°解得；

x-+4Z?+1=0,,1

［2b=~~.

Io

所以于(x)=--Inx--x2+x,/*(x)=----—x+1=――—―.

363x33x

所以當(dāng)xG(0,1)時(shí)，f'(x)<0,所以f(x)在(0,1]上遞減;

當(dāng)xG(1,2)時(shí),f(x)>0,所以f(x)在[1,2]上遞增;

當(dāng)xG(2,+8)時(shí),所以f(x)在[2