湖北省荊門市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為（

）A．30 B．31 C．33 D．344．下列結(jié)論正確的是（

）A．用一個(gè)平面去截一個(gè)圓臺(tái)，得到的截面可能是平行四邊形B．有兩個(gè)面平行且相似，其余各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形D．用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)5．已知是兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°6．已知，則（

）A． B． C． D．7．規(guī)定工廠產(chǎn)生的廢氣必須過(guò)濾后才能排放，已知在過(guò)濾過(guò)程中，廢氣中的污染物（單位：毫克/升）與過(guò)濾時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為污染物的初始含量），過(guò)濾2小時(shí)后檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)污染物的含量為原來(lái)的，要使污染物的含量不超過(guò)初始值的，則至少需要過(guò)濾（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．8．已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，若，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．10．已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且，，則（

）A． B．C． D．11．閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，平面和平面為多而體的所有以為公共點(diǎn)的面.”解答問(wèn)題：已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則（

）A．直四棱柱是正方體，則直四棱柱在頂點(diǎn)A處的離散曲率為B．若，則三棱錐在頂點(diǎn)處的離散曲率為C．若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面D．若直四棱柱在頂點(diǎn)A處的離散曲率為，則與平面所成角的正切值為三、填空題12．若底面半徑為圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓面，則該圓錐的體積為.13．已知向量滿足，且，則.14．若函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的取值范圍為.四、解答題15．已知函數(shù).(1)求的最小值，并求取得最小值時(shí)的取值集合：(2)將的圖象向右平移單位長(zhǎng)度，得到的圖象，若的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，求的最小值.16．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若的面積，求面積的最小值.17．為了解游客五一假期來(lái)漳河旅游的體驗(yàn)滿意度，某研究性學(xué)習(xí)小組用問(wèn)卷調(diào)查的方式隨機(jī)調(diào)查了100名游客，該興趣小組將收集到的游客滿意度分值數(shù)據(jù)（滿分100分）分成六段：得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)100名游客滿意度分值的眾數(shù)和中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)已知滿意度分值落在的平均數(shù)，方差，在的平均數(shù)為，方差，試求滿意度分值在的平均數(shù)和方差.18．我們知道：函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱圖形.(1)求的值；(2)判斷的單調(diào)性，并用定義證明：(3)如果對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．如圖，已知四棱錐中，底面為平行四邊形，且，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，且.(1)求證：；(2)當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若記，記三棱錐的外接球表面積，當(dāng)函數(shù)取最小值時(shí)，求的長(zhǎng).

題號(hào)12345678910答案BADCBABCABDAC題號(hào)11答案BCD1．B根據(jù)補(bǔ)集概念計(jì)算.【詳解】全集，集合，則.故選：B.2．A利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則計(jì)算，進(jìn)而求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限.故選：A3．D利用上四分位數(shù)的定義，計(jì)算數(shù)據(jù)即可判斷．【詳解】樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為從小到大排列：，因?yàn)?，，所以上四分位?shù)是第8個(gè)數(shù)為34.故選：D.4．C根據(jù)截面性質(zhì)可判斷A，根據(jù)棱臺(tái)、棱柱、圓臺(tái)的定義可判斷BCD.【詳解】對(duì)于A：用一個(gè)平面去截一個(gè)圓臺(tái)，截面一定與圓臺(tái)側(cè)面相交，當(dāng)交線是母線時(shí)顯然對(duì)邊不平行，當(dāng)交線不是母線時(shí)，一定不是直線，更不會(huì)平行，說(shuō)明兩組對(duì)邊分別平行的截面不可能，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：根據(jù)棱臺(tái)定義知兩個(gè)面不僅要平行、相似，各條側(cè)棱所在直線要交于一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：根據(jù)棱柱的定義可知：C正確；對(duì)于D：用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)，故D錯(cuò)誤；故選：C.5．B由條件結(jié)合投影向量的定義可求，再根據(jù)向量夾角余弦公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，是兩個(gè)單位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量與向量的夾角為，即.故選：B.6．A根據(jù)兩角和差的余弦公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式求解即可.【詳解】，所以，得，，所以.故選：A.7．B根據(jù)，求得的值，即可得到的值，，化簡(jiǎn)整理，取以10為底的對(duì)數(shù)，計(jì)算即可得到所求最小值．【詳解】因?yàn)檫^(guò)濾2小時(shí)后檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)污染物的含量為原來(lái)的，根據(jù)題設(shè)，得，，可得，所以，，由，得，兩邊取10為底對(duì)數(shù)，整理得，，，因此，至少還需過(guò)濾20小時(shí)，故選：B.8．C根據(jù)已知條件求出函數(shù)的周期，進(jìn)而求得，化，再利用基本不等式即可求解最小值.【詳解】由得，即，所以的周期為，，，因?yàn)?，，所以，，由基本不等式有：，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.9．ABD利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義以及導(dǎo)數(shù)分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又為增函數(shù)，為減函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)：增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)椋栽谏蠟樵龊瘮?shù)，在上為減函數(shù)，故C不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以是奇函數(shù)，又，令，則為增函數(shù)，又函數(shù)為增函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.10．AC由求得，再根據(jù)求得判斷A；由結(jié)合正弦定理求得，再利用余弦定理求解、判斷B；根據(jù)，結(jié)合正弦定理判斷C；利用面積公式求解判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，，又因?yàn)椋?，所以，所以A正確；因?yàn)椋烧叶ɡ碛校?，由余弦定理有：，整理得：，解得或（舍），，所以，所以B錯(cuò)誤；，由正弦定理有：，所以C正確；因?yàn)椋訢錯(cuò)誤.故選：AC.11．BCD根據(jù)多面體M在點(diǎn)P處的離散率的定義，由各選項(xiàng)的條件分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，判斷垂直關(guān)系及計(jì)算直線與平面所成的角，判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】A.直四棱柱是正方體，則直四棱柱在頂點(diǎn)A處的離散曲率為，故A錯(cuò)誤；B.若，則三棱錐在頂點(diǎn)處的離散曲率為，故B正確；C.若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，即，則，故為正三角形，，所以，所以四邊形為正方形，所以直四棱柱是正方體，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，同理可得，又平面，平面，，則有平面，故C正確；D.若直四棱柱在頂點(diǎn)A處的離散曲率為：，則，如圖，設(shè)，，則，，由C可知，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又平面，平面，，所以平面，所以即與平面所成角，，，故，故D正確.故選：BCD.12．由側(cè)面積公式和半圓面積公式可計(jì)算母線長(zhǎng)，再計(jì)算高，即可求體積.【詳解】設(shè)圓錐的高為，母線長(zhǎng)為，根據(jù)側(cè)面積公式與半圓的面積公式可得：，因?yàn)椋?，由勾股定理得：，所以圓錐的體積為，故答案為：13．根據(jù)題意求出，再對(duì)進(jìn)行平方計(jì)算即可.【詳解】由題設(shè)可得，，故，，即，解得：，則，即.故答案為：.14．借助余弦函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】由，則，的值域?yàn)?，則，解得.故答案為：.15．(1)最小值為，(2)（1）借助三角恒等變換公式可將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，再借助正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得；（2）先求出平移后的函數(shù)解析式，再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算即可得.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為：所以函數(shù)的最小值為，此時(shí)的取值集合為；（2）由題知，，要使得的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，即，則的最小值為.16．(1).(2).（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；（2）由三角形面積公式得到，再由余弦定理和基本不等式得到，求出三角形面積的最小值.【詳解】（1）中，，由正弦定理得，即，故，又，則，即，又，可得；（2），則，由余弦定理得，即，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最小值為.17．(1)，眾數(shù)為85，中位數(shù)為82(2)81；30（1）由頻率分布直方圖可得，眾數(shù)為85，分別求滿意度分值在的頻率和在的頻率，根據(jù)題意求中位數(shù)即可.（2）由頻率分布直方圖計(jì)算得，分值在平均數(shù)，方差，在平均數(shù)，方差，在的平均數(shù)，根據(jù)方差的定義計(jì)算即可【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，，解得，由頻率分布直方圖可估計(jì)眾數(shù)為85.滿意度分值在的頻率為，在的頻率為，所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，所以中位數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖得，滿意度分值在的頻率為，人數(shù)為20；在的頻率為，人數(shù)為30，把滿意度分值在記為，其平均數(shù)，方差，在記為，其平均數(shù)，方差，所以滿意度分值在的平均數(shù)，根據(jù)方差的定義，滿意度分值在的方差為.18．(1).(2)在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析(3).（1）奇函數(shù)的定義列出等式，求解m即可；（2）由函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）根據(jù)題意得出是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，根據(jù)條件計(jì)算不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，則，即，即，對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)成立.即.（2）在上單調(diào)遞減，任取，且，因?yàn)椋瑒t，則，故在上單調(diào)遞減.（3）因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，由所以，所以所以，即對(duì)任意都成立，由于，其中，所以，即最小值為，所以，即，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．(1)證明見(jiàn)解析(2).(3).【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，則，且平面，所以平面，且平面，所以（2）作，垂足為，連接，過(guò)點(diǎn)作，若為等邊三角形，則為中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫瑒t，且，且平面，可得平