PAGE1專題03冪函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用(一）題型一：求冪函數(shù)的定義域、值域及解析式題型二：冪函數(shù)圖像過定點(diǎn)問題題型三：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題題型四：由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小題型五：二次函數(shù)模型題型六：分段函數(shù)模型題型一：求冪函數(shù)的定義域、值域及解析式1．已知冪函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若,則不等式的解集是A． B． C． D．3．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．4．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．定義域?yàn)?B．值域?yàn)镃．奇函數(shù) D．減函數(shù)5．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)，則（

）A．存在實(shí)數(shù)，使的定義域?yàn)镽B．若函數(shù)在區(qū)間上遞增，則C．函數(shù)一定有最小值D．對(duì)任意的負(fù)實(shí)數(shù)，的值域?yàn)?．已知冪函數(shù)，則（

）A． B．定義域?yàn)镃． D．8．已知冪函數(shù)．(1)若的定義域?yàn)镽，求的解析式；(2)若為奇函數(shù)，，使成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．9．已知冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.(1)求的解析式及定義域；(2)設(shè)函數(shù)，求證：在上單調(diào)遞減.10．已知冪函數(shù)(m∈N＋)．(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；(2)若該函數(shù)f(x)經(jīng)過點(diǎn)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)>f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．題型二：冪函數(shù)圖像過定點(diǎn)問題11．下列命題中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像是一條直線；B．冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過和點(diǎn)；C．冪函數(shù)的定義域?yàn)?；D．冪函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限．12．下列命題正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過、兩點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是一條直線C．如果兩個(gè)冪函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)函數(shù)一定相同D．如果冪函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象一定經(jīng)過點(diǎn)13．已知冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)B．函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限C．若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增D．若，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有14．約定：如果一個(gè)函數(shù)的圖象上存在一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，那么就稱該點(diǎn)為該函數(shù)的一個(gè)回歸點(diǎn)，稱該函數(shù)是一個(gè)具有回歸點(diǎn)的函數(shù).如果一個(gè)函數(shù)有且僅有個(gè)回歸點(diǎn)，那么就稱該函數(shù)為一個(gè)具有個(gè)回歸點(diǎn)的函數(shù).例如，點(diǎn)和都是函數(shù)的回歸點(diǎn)，函數(shù)是一個(gè)具有兩個(gè)回歸點(diǎn)的函數(shù).根據(jù)約定，下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．函數(shù)是一個(gè)具有回歸點(diǎn)的函數(shù)B．具有回歸點(diǎn)的函數(shù)有無數(shù)個(gè)C．存在無數(shù)個(gè)具有無數(shù)個(gè)回歸點(diǎn)的函數(shù)D．已知點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)回歸點(diǎn)，則點(diǎn)也是函數(shù)的一個(gè)回歸點(diǎn)15．關(guān)于冪函數(shù)，下列命題正確的是（填序號(hào)）．①當(dāng)時(shí)，圖象是一條直線；

②圖象都過點(diǎn)和；③若是奇函數(shù)，則一定是增函數(shù)；

④圖象不可能出現(xiàn)在第四象限．16．下列命題中正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是一條直線B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過，兩點(diǎn)C．冪函數(shù)圖象不可能在第四象限內(nèi)D．若冪函數(shù)為奇函數(shù)，則是定義域內(nèi)的嚴(yán)格增函數(shù)17．下列命題中正確的是（

）①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)；②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是一條直線；④冪函數(shù)當(dāng)是增函數(shù)；⑤當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)值隨值的增大而減少.A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤18．下列關(guān)于冪函數(shù)的命題中正確的有（

）A．冪函數(shù)圖象都通過點(diǎn)B．當(dāng)冪指數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過第一、三象限C．當(dāng)冪指數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是增函數(shù)D．若，則函數(shù)圖象不通過點(diǎn)19．下列命題正確的是（

）A．的圖像是一條直線B．冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)C．若冪函數(shù)是奇函數(shù)，則是增函數(shù)D．冪函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限20．下列關(guān)于冪函數(shù)說法不正確的是（

）A．一定是單調(diào)函數(shù) B．可能是非奇非偶函數(shù)C．圖像必過點(diǎn) D．圖像不會(huì)位于第三象限題型三：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題21．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B．C． D．22．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．23．“冪函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“”的（

）A．既不充分也不必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．充要條件24．已知冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則等于（

）A．1 B．2 C．1或3 D．325．冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則等于（

）A． B．3 C．或3 D．26．下列說法正確的是（

）A．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則B．函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．已知，，，則恒成立D．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱27．已知函數(shù)是在上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A．4 B．5 C． D．728．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，29．已知函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意，，且，滿足.若，，且的值為負(fù)值，則下列結(jié)論可能成立的有（

）A．， B．，C．， D．，30．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍；(3)設(shè)，求的最大值.題型四：由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小31．冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，且，則的值（

）A．無法判斷 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于032．若，則下列不等式中成立的是（

）A． B． C． D．33．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷34．設(shè)，，則下列不等式中不正確的是（

）A． B．C． D．35．已知函數(shù)那么不等式的解集為（

）A． B． C． D．36．若對(duì)任意，都有成立，則的值可能是（

）A． B． C．1 D．237．山東省青島第二中學(xué)始建于1925年，悠悠歷史翻開新篇：2025年，青島二中將迎來百年校慶.在2023年11月8日立冬這天，二中學(xué)子摩拳擦掌，開始階段性考試.若是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)于任意給定的不等正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，且，設(shè)為“立冬函數(shù)”，則滿足“立冬函數(shù)”的x的取值范圍是（

）A．B． C． D．38．若函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，為奇函數(shù)C．當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，為偶函數(shù)D．存在，使得39．已知，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．40．已知冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)．(1)求的值；(2)若，試比較與的大?。}型五：二次函數(shù)模型41．某汽車銷售公司在，兩地銷售同一品牌的汽車，在地的銷售利潤(rùn)（單位：萬元），在地的銷售利潤(rùn)（單位：萬元），其中，分別為地，地的銷售量（單位：輛），若該公司在兩地共銷售16輛該品牌的汽車，則能獲得的最大利潤(rùn)是A．萬元 B．11萬元C．43萬元 D．萬元42．某商品的進(jìn)貨價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為50元/件時(shí)，一個(gè)月能賣出500件．通過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若該商品的單價(jià)每提高1元，則該商品一個(gè)月的銷售量就會(huì)減少10件，為使銷售該商品的月利潤(rùn)最高，商店應(yīng)將每件商品定價(jià)為A．45元 B．55元 C．65元 D．70元43．已知圖像開口向上的二次函數(shù)對(duì)任意都滿足，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．44．二次函數(shù)滿足，且．（1）求的解析式；（2）若在區(qū)間上，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．45．某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程，二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤(rùn)（萬元）與銷售時(shí)間（月）之間的關(guān)系（即前個(gè)月的利潤(rùn)總和與之間的關(guān)系）.根據(jù)圖象提供的信息解答下列問題：（1）由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤(rùn)（萬元）與時(shí)間（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求截止到第幾個(gè)月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到萬元；（3）求第八個(gè)月公司所獲得的利潤(rùn).46．二次函數(shù)在區(qū)間上有最大值4，最小值0.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若在上有解，求k的取值范圍.47．已知是一元二次函數(shù)，滿足且(1)求函數(shù)的解析式．(2)函數(shù)在數(shù)學(xué)史上稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，其中表示不大于x的最大整數(shù)，如，，，設(shè)若使成立的實(shí)數(shù)a，b，c有且僅有三個(gè)且互不相等．求的取值范圍．48．某公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品每件成本為22元，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量（件）與（天）的關(guān)系如表：時(shí)間（天）1361036日銷售量（件）9490847624未來40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格（且為整數(shù)），后20天每天的價(jià)格（且為整數(shù)）．(1)請(qǐng)利用一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的知識(shí)，直接寫出日銷售量與時(shí)間（天）之間的關(guān)系式；(2)請(qǐng)預(yù)測(cè)未來40天中哪一天的日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少?(3)在實(shí)際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈(zèng)元利潤(rùn)（）給希望工程．公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間（天）的增大而增大，求的取值范圍．49．我縣提出了“科技強(qiáng)縣”的發(fā)展目標(biāo)，通江縣工業(yè)園區(qū)為響應(yīng)這一號(hào)召，計(jì)劃在年投資新技術(shù)，生產(chǎn)某種機(jī)器零件，通過市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此種機(jī)器零件全年需投入固定成本萬元，每生產(chǎn)萬件機(jī)器零件，需另投入變動(dòng)成本萬元，且由市場(chǎng)調(diào)研知每件機(jī)器零件的批發(fā)價(jià)為元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的機(jī)器零件當(dāng)年能全部銷售完．(1)試寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．（注：年利潤(rùn)=年銷售收入固定成本變動(dòng)成本）50．近幾年打印手辦深受青少年的喜愛，某工廠計(jì)劃在2024年利用新技術(shù)生產(chǎn)手辦，通過調(diào)查分析：生產(chǎn)手辦全年需投入固定成本12萬元，生產(chǎn)（千件）手辦，需另投入成本（萬元），且由市場(chǎng)調(diào)研知每件手辦售價(jià)90元，且每年內(nèi)生產(chǎn)的手辦當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2024年的利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的表達(dá)式；(2)2024年年產(chǎn)量為多少（千件）時(shí)，該工廠所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？題型六：分段函數(shù)模型51．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第件產(chǎn)品所用的時(shí)間（單位：分鐘）為（為常數(shù)）．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第件產(chǎn)品用時(shí)5分鐘，那么和的值分別是A．75，25 B．75，16 C．60，144 D．60，1652．某服裝廠生產(chǎn)一批羽絨服，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品，其次品率p與日產(chǎn)量x（萬件）之間滿足關(guān)系：（其中m為小于24的正整數(shù)）．已知每生產(chǎn)1萬件合格的羽絨服可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量（注：次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品）．(1)試將生產(chǎn)這批羽絨服每天的盈利額y（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？53．某地結(jié)合實(shí)際情況，因地制宜發(fā)展生態(tài)產(chǎn)業(yè)，計(jì)劃未來五年內(nèi)在當(dāng)?shù)亟ㄔ煲慌鷳B(tài)農(nóng)場(chǎng).經(jīng)過調(diào)研得知，初期需投入固定成本300萬元，除此之外，建造個(gè)生態(tài)農(nóng)場(chǎng)需另投入成本萬元，且初步估計(jì)未來五年內(nèi)每個(gè)生態(tài)農(nóng)場(chǎng)能帶來30萬元的利潤(rùn).(1)求該期間生態(tài)農(nóng)場(chǎng)帶來的利潤(rùn)（萬元）關(guān)于農(nóng)場(chǎng)數(shù)目的函數(shù)關(guān)系式；(2)建造多少個(gè)生態(tài)農(nóng)場(chǎng)能給當(dāng)?shù)貛碜畲罄麧?rùn)？并求最大利潤(rùn).54．2024年9月29日，渝昆高鐵正式開通運(yùn)行，重慶到瀘州最快30分鐘，完成了川渝兩地旅客高鐵出行的最后一塊拼圖.現(xiàn)在已知列車的發(fā)車時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)列車為滿載狀態(tài)，載客量為720人；當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)，（k為常數(shù)），且發(fā)車時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)的載客減少量為324人.記列車載客量為.(1)求的表達(dá)式；(2)為響應(yīng)低碳出行，若載客量至少達(dá)到524人時(shí)，列車才發(fā)車，問列車發(fā)車間隔時(shí)間至少多少分鐘？(3)若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.55．某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí)，某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當(dāng)S中的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)