第一章

集合與常用邏輯1.3集合的基本運(yùn)算第2課時

全集和補(bǔ)集教學(xué)目標(biāo)1.了解全集的定義和它的記法.理解補(bǔ)集的概念,能正確運(yùn)用補(bǔ)集的符號和表示形式,會用圖形表示一個集合及其子集的補(bǔ)集.2.會求一個給定集合在全集中的補(bǔ)集,并能解答簡單的應(yīng)用題.3.體會數(shù)學(xué)抽象的過程,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的素養(yǎng).溫故知新1.對于集合A，B，A∪B

和A∩B

的含義？2.對于任意兩個集合，是否都可以進(jìn)行交與并的運(yùn)算？3．并集、交集的性質(zhì).并集的運(yùn)算性質(zhì)交集的運(yùn)算運(yùn)算A?B=B?AA?B=B?AA?A=AA?A=A

A?A?B,B?A?BA?A?B,B?A?BA?B?A?B=BA?B?A?B=A4.兩個集合之間的運(yùn)算除了“并”與“交”以外，還有其他運(yùn)算嗎？新知導(dǎo)入問題思考思考1:方程在有理數(shù)范圍內(nèi)的解集是什么？在實數(shù)范圍內(nèi)的解集是什么？思考2:不等式在實數(shù)范圍內(nèi)的解集是什么？在整數(shù)范圍內(nèi)的解集是什么？提示:整數(shù)集范圍內(nèi)、有理數(shù)集范圍內(nèi)或?qū)崝?shù)集范圍內(nèi)是指所研究問題的所有元素組成的集合,即全集.

一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集(universalset），通常記作：U．探究一：全集新知講解問題思考探究二：補(bǔ)集（1）U

={1，2，3，4，…，10}，A

={1，3，5，7，9}，

B

={2，4，6，8，10}；（2）U

={x|x是西安南開中學(xué)高一（5）班的同學(xué)}，

A

={x|x是西安南開中學(xué)高一（5）班的男同學(xué)}，

B

={x|x是西安南開中學(xué)高一（5）班的女同學(xué)}；（3）U

=，A=，B

=.思考3:.在上述各組集合中，集合U，A，B

三者之間有哪些關(guān)系？提示:1.A?U,B?U,A∪B=U，A∩B=?；2.B中元素都屬于集合U,它是由U中不屬于集合A的元素組成的.新知講解

在上述各組集合中，把集合U看成全集，我們稱集合B

為集合A

相對于全集U

的補(bǔ)集．一般地，集合A相對于全集U

的補(bǔ)集是由哪些元素組成的？

由全集U

中不屬于集合A

的所有元素組成的集合稱為集合A

相對于全集U

的補(bǔ)集(complementaryset)．記作：

CUA

即：CUA={x|x∈U

且xA}Venn圖表示：AUCUA新知講解探究三：補(bǔ)集的性質(zhì)問題思考提示:先求?UA,然后再求?UA的補(bǔ)集即集合A.1.設(shè)集合A={1,2},那么相對于集合M={0,1,2,3}和N={1,2,3},?MA和?NA相等嗎?由此說說你對全集與補(bǔ)集的認(rèn)識.?MA={0,3},?NA={3},?MA≠?NA.

補(bǔ)集是一個相對的概念,研究補(bǔ)集必須在全集的條件下研究,而全集因研究問題不同而不同,同一個集合相對于不同的全集,其補(bǔ)集也就不同.2.?U(?UA)=A是如何得來的?新知講解補(bǔ)集的性質(zhì)⑴A∪(?UA)=U;⑵A∩(?UA)=?;⑶?UU=?,?U?=U,?U(?UA)=A;⑷(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B);⑸(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B).明辨是非×√√【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)全集一定是實數(shù)集R.(

)(2)全集一定包含所有元素.(

)(3)若B=?UA,則A?U.(

)(4)若集合A={3,4,m},B={3,4},?AB={5},則m=5.(

)×新知講解【例1】

(1)設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},則?UA=

.(2)若全集U=R,集合A={x|x≥1},則?UA=

.

根據(jù)補(bǔ)集的定義,當(dāng)集合中元素離散時,可借助Venn圖;當(dāng)集合中元素連續(xù)時,可借助數(shù)軸,利用數(shù)軸分析法求解.解：(1)∵U={1,2,3,4,5},A={1,2},∴?UA={3,4,5}.(2)由補(bǔ)集的定義,結(jié)合數(shù)軸可得?UA={x|x<1}.延伸探究【變式訓(xùn)練1】

已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-3<x≤4},則?UA=

.

解析:借助數(shù)軸得?UA={x|x=-3,或x>4}.新知講解【例2】

(1)已知全集U={x|x≤9,x∈N+},集合A={1,2,3},B={3,4,5,6},則?U(A∪B)=(

)

A.{3} B.{7,8}

C.{7,8,9} D.{1,2,3,4,5,6}解：全集U={x|x≤9,x∈N+}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},∵集合A={1,2,3},B={3,4,5,6},∴A∪B={1,2,3,4,5,6},∴?U(A∪B)={7,8,9}.故選C.新知講解(2)已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(?UA)∪B,A∩(?UB).解:在數(shù)軸上分別表示出全集U及集合A,B,如圖.則A∩B={x|-2<x≤2},?UA={x|x≤-2,或3≤x≤4},?UB={x|x<-3,或2<x≤4}.所以(?UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4};A∩(?UB)={x|2<x<3}.反思感悟1.解決與不等式有關(guān)的集合問題時,畫數(shù)軸(這也是集合的圖形語言的常用表示方式)可以使問題變得形象直觀,要注意求解時端點的值是否能取到.2.解決集合的混合運(yùn)算時,一般先計算括號內(nèi)的部分,再計算其他部分,如本例(2)求(?UA)∪B時,可先求出?UA,再求并集.變式訓(xùn)練解:【訓(xùn)練2】

設(shè)全集為R,集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求?R(A∪B)及(?RA)∩B.全集R和集合A,B在數(shù)軸上表示如下.由圖知,A∪B={x|2<x<10},?RA={x|x<3,或x≥7},所以?R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10},(?RA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}.新知探究分析:求N的補(bǔ)集→討論集合M→借助數(shù)軸求解【例3】

設(shè)全集U=R,M={x|3a<x<2a+5},N={x|-2≤x≤1},若M??UN,求實數(shù)a的取值范圍.新知探究解:?UN={x|x<-2,或x>1},因為M??UN,所以分M=?和M≠?兩種情況討論.⑴當(dāng)M=?時,有3a≥2a+5,解得a≥5.⑵當(dāng)M≠?時,在數(shù)軸上表示出集合M,?UN,如圖.或

拓展延伸1.例3中,若集合M={x|x+a≥0},且(?UM)∩N=?,其他條件不變,求實數(shù)a的取值范圍.解:由已知M={x|x≥-a},得?UM={x|x<-a},又因為N={x|-2≤x≤1},(?UM)∩N=?,在數(shù)軸上表示出集合N,?UM,如圖.由圖可得-a≤-2,即a≥2,所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥2}.變式訓(xùn)練【訓(xùn)練3】

設(shè)全集為R,集合A={x|a≤x≤a+3},?RB={x|-1≤x≤5}.

(1)若A∩B≠?,求a的取值范圍;(2)若A∩B≠A,求a的取值范圍.解:因為全集為R,?RB={x|-1≤x≤5},所以B={x|x<-1,或x>5}.

則a的取值范圍是{a|a<-1,或a>2}.(2)若A∩B≠A,則A?B,結(jié)合數(shù)軸,得a+3<-1,或a>5,解得a<-4,或a>5.所以當(dāng)A∩B≠A時,a的取值范圍是{a|-4≤a≤5}.小結(jié)歸納1.全集和補(bǔ)集的概念和求法．2.常借助于數(shù)軸或Venn圖進(jìn)行集合的補(bǔ)集運(yùn)算．初試身手1.設(shè)全集U={x|x≥0},集合P={1},則?UP等于(

)A.{x|0≤x<1,或x>1} B.{x|x<1}C.{x|x<1,或x>1} D.{x|x>1}2.若全集U={1,2,3,4,5},且?UA={x∈N|1≤x≤3},則集合A的真子集共有(

)個.A.3 B.4

C.7

D.83.已知U={x|x>0},A={x|2≤x<6},則?UA=

.4.設(shè)全集U

={x∈N+|x<9}，A

={1,2,3,4}，B

={3,4,5,6,7}，求?U(

A∩B)

,(?UA)∪B.

5.設(shè)全集U=R,集合A={x|1≤x≤3},B={x|2a<x<a+3}.(1)當(dāng)a=1時,求(?UA)∩B;(2)若(?UA)∩B=B,求實數(shù)a的取值范圍.作業(yè)布置作業(yè)：1.P14習(xí)題1.3第4、6題.2.解答下列各題：⑴設(shè)集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|-2x-3≤0},則A∩（CRB）=()

A.(1,4)

B.(3,4)

C.(1,3)

D.(1,2)∪（3,4）⑵設(shè)全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，2}，B={x|x2-4x+3=0