專(zhuān)題6.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】 2【題型2分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】 4【題型3代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題】 5【題型4幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題】 7【題型5數(shù)字排列問(wèn)題】 9【題型6涂色問(wèn)題】 11【題型7兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用】 13【知識(shí)點(diǎn)1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理】1．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理(1)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的概念完成一件事直兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有n類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有種不同的方法，，在第n類(lèi)方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=+++種不同的方法.

(2)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理又稱分類(lèi)計(jì)數(shù)原理或加法原理，其特點(diǎn)是各類(lèi)中的每一種方法都可以完成要做的事情，我們可以用第一類(lèi)有種方法，第二類(lèi)有種方法，，第n類(lèi)有種方法，來(lái)表示分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，即強(qiáng)調(diào)每一類(lèi)中的任一種方法都可以完成要做的事，因此一共有+++種不同方法可以完成這件事.(3)分類(lèi)的原則

分類(lèi)計(jì)數(shù)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，確定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然后利用這個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，分類(lèi)時(shí)要注意兩個(gè)基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類(lèi)；二是不同類(lèi)的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個(gè)基本原則，就可以確保計(jì)數(shù)時(shí)不重不漏.2．分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=×××種不同的方法.

(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)

分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)是在所有的各步之中，每一步都要使用一種方法才能完成要做的事，可以利用圖形來(lái)表示分步乘法計(jì)數(shù)原理，圖中的“”強(qiáng)調(diào)要依次完成各個(gè)步驟才能完成要做的事情，從而共有×××種不同的方法可以完成這件事.

(3)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說(shuō)，弄清要經(jīng)過(guò)哪幾步才能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個(gè)步驟逐步去做，才能完成這件事，各個(gè)步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.3．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析(1)聯(lián)系

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問(wèn)題.

(2)區(qū)別

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計(jì)數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)別如下表：區(qū)別分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理①針對(duì)的是“分類(lèi)”問(wèn)題針對(duì)的是“分步”問(wèn)題②各種方法相互獨(dú)立各個(gè)步驟中的方法互相依存③用其中任何一種方法都可以完成這件事只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事(3)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的合理選擇分類(lèi)→將問(wèn)題分為互相排斥的幾類(lèi)，逐類(lèi)解決→分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理；分步→將問(wèn)題分為幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的步驟，逐步解決→分步乘法計(jì)數(shù)原理.在解決有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意合理分類(lèi)，準(zhǔn)確分步，同時(shí)還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.【題型1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】【例1】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二?？计谥校┩瓿梢豁?xiàng)工作，有兩種方法，有6個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)第二種方法，從這10個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（

）A．6種 B．10種 C．4種 D．60種【解題思路】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解即可.【解答過(guò)程】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，6+4=10.故選：B.【變式11】（2023下·黑龍江大慶·高二?？计谥校┩瓿梢患掠腥?lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有4種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有5種不同的方法，在第3類(lèi)方案中有6種不同的方法，那么完成這件事共有N種不同的方法，其中N=（

）A．15 B．6 C．24 D．120【解題思路】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理直接求解即可.【解答過(guò)程】由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得：N=4+5+6=15.故選：A.【變式12】（2023下·重慶·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有3幅不同的油畫(huà)，4幅不同的國(guó)畫(huà)，3幅不同的水彩畫(huà)，從這些畫(huà)中選一幅布置房間，則不同的選法共有（

）A．10種 B．12種 C．20種 D．36種【解題思路】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求得正確答案.【解答過(guò)程】依題意，不同的選法共有3+4+3=故選：A.【變式13】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．18 B．36C．72 D．48【解題思路】解法一二：利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可得解.解法三：考慮兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的大小關(guān)系，利用對(duì)應(yīng)思想解決．【解答過(guò)程】解法一：按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類(lèi)，在每一類(lèi)中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36個(gè)．解法二：按個(gè)位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類(lèi)，在每一類(lèi)中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1+2+3+4+5+6+7+8=36個(gè)．解法三：所有的兩位數(shù)共有90個(gè)，其中個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11，22，33，…，99，共9個(gè)；有10，20，30，…，90共9個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有90?18=72個(gè)．在這72個(gè)兩位數(shù)中，每一個(gè)個(gè)位數(shù)字（a）小于十位數(shù)字（b）的兩位數(shù)都有一個(gè)十位數(shù)字（a）小于個(gè)位數(shù)字（b）的兩位數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是72÷2=36.故選：B.【題型2分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】【例2】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）用0?1?A．18 B．24 C．30 D．48【解題思路】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【解答過(guò)程】由題意可知，首位數(shù)字有4種選擇，則中間的數(shù)位有4種選擇，末尾數(shù)字有3種選擇.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)4×4×3=48.故選:D.【變式21】（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）甲同學(xué)計(jì)劃從3本不同的文學(xué)書(shū)和4本不同的科學(xué)書(shū)中各選1本閱讀，則不同的選法共有（

）A．81種 B．64種 C．12種 D．7種【解題思路】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有3×4=12種.故選：C.【變式22】（2023下·河南·高二?？计谥校┌?個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，共有（

）種方法.A．81 B．64 C．12 D．7【解題思路】分析每一個(gè)小球的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解.【解答過(guò)程】對(duì)于第一個(gè)小球有4種不同的放法，第二個(gè)小球也有4種不同的放法，第三個(gè)小球也有4種不同的放法，即每個(gè)小球都有4種可能的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知不同放法共有4×4×4=64（種）.故選：B.【變式23】（2023上·高二單元測(cè)試）某小組有8名男生，6名女生，從中任選男生和女生各1名去參加座談會(huì)，則不同的選法有（

）A．48種 B．24種C．14種 D．12種【解題思路】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得正確答案.【解答過(guò)程】按照男生和女生分步完成，第一步：先選男生有8種方法；第二步：選女生有6種方法；完成這個(gè)事件的選法有8×6=48種.故選：A.【知識(shí)點(diǎn)2兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用】1．兩類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題的求解思路：(1)“類(lèi)中有步”計(jì)數(shù)問(wèn)題：完成一件事有幾類(lèi)方案，每一類(lèi)方案中分若干步，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求出每一類(lèi)方案中的方法數(shù)，再利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理把各類(lèi)方案的方法數(shù)相加，即可得出結(jié)果.(2)“步中有類(lèi)”計(jì)數(shù)問(wèn)題：完成一件事的過(guò)程分成若干步，完成每一步的方法分成若干類(lèi)，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求出完成每一步中的方法數(shù)，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理把每一步的方法數(shù)相乘，即可得出結(jié)果.2．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用主要包括四個(gè)方面：(1)\o"實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd29497/_blank"實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題；(2)\o"代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd29498/_blank"代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題；(3)\o"幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd29499/_blank"幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題；(4)\o"涂色問(wèn)題"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd29501/_blank"涂色問(wèn)題.【題型3\o"代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd29498/_blank"代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題】【例3】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如果正整數(shù)a的各位數(shù)字之和等于6，那么稱a為“好數(shù)”(如：6，24，2013等均為“好數(shù)”)，將所有“好數(shù)”從小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2013，則n＝（

）A．50 B．51 C．52 D．53【解題思路】2013是四位數(shù)，故“好數(shù)”按四位數(shù)，按三大類(lèi)分首位為0、1、2每一類(lèi)再分，然后把數(shù)量相加即可．【解答過(guò)程】解：本題可以把數(shù)歸為“四位數(shù)”(含0006等)，因此比2013小的“好數(shù)”為0×××，1×××，2004，共三類(lèi)數(shù)，第一類(lèi)可分為：00××，01××，…，0600，共7類(lèi)，共有7＋6＋…＋2＋1＝28個(gè)數(shù)；第二類(lèi)可分為：10××，11××，…，1500，共6類(lèi)，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21個(gè)數(shù)，第二類(lèi)可分為：2004，共1個(gè)故2013為第28+21+1+1=51個(gè)數(shù)，故n＝51.故選：B.【變式31】（2023下·重慶·高二統(tǒng)考期末）“回文聯(lián)”是對(duì)聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀.比如，一副描繪廈門(mén)鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天，由此定義“回文數(shù)”，n為自然數(shù)，且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)n′與n相等，這樣的n稱為“回文數(shù)”，如：1221，2413142.則所有6位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有（

A．900個(gè) B．891個(gè) C．810個(gè) D．648個(gè)【解題思路】先求得所有6位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)，再求得6位“回文數(shù)”中各位數(shù)字全相同的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到所有6位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的個(gè)數(shù).【解答過(guò)程】6位“回文數(shù)”中個(gè)位與十萬(wàn)位數(shù)字相同且不為0，十位與萬(wàn)位數(shù)字相同，百位與千位數(shù)字相同，第一步，確定個(gè)位與十萬(wàn)位數(shù)字，有9種可能，第二步，確定十位與萬(wàn)位數(shù)字，有10種可能，第三步，確定百位與千位數(shù)字，有10種可能，則6位“回文數(shù)”共有9×10×10=900（個(gè)），又6位“回文數(shù)”中各位數(shù)字全相同的共有9個(gè)，則所有6位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有900?9=891（個(gè)）.故選：B.【變式32】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，其中一個(gè)作為底數(shù)，另一個(gè)作為真數(shù)，則可以得到不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（

）A．64 B．56 C．53 D．51【解題思路】按所取的兩個(gè)數(shù)字中有數(shù)字1和沒(méi)有數(shù)字1分別計(jì)算對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)，再去掉對(duì)數(shù)值相等的個(gè)數(shù)即可得解.【解答過(guò)程】由于1只能作為真數(shù)，則以1為真數(shù)，從其余各數(shù)中任取一數(shù)為底數(shù)，對(duì)數(shù)值均為0，從除1外的其余各數(shù)中任取兩數(shù)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，共能組成8×7=56個(gè)對(duì)數(shù)式，其中，log24=log39，log所以得到不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為1+56?4=53.故選：C.【變式33】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于自然數(shù)n作豎式運(yùn)算n+(n+1)+(n+2)時(shí)不進(jìn)位，那么稱n是“良數(shù)”，如32是“良數(shù)”，由于計(jì)算32+33+34時(shí)不進(jìn)位，23是“良數(shù)”，由于計(jì)算23+24+25時(shí)要進(jìn)位，那么小于1000的“良數(shù)”有A．36個(gè) B．39個(gè) C．48個(gè) D．64個(gè)【解題思路】根據(jù)題意，進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】如果n是良數(shù)，則n的個(gè)位數(shù)字只能是0,1,2，非個(gè)位數(shù)字只能是0,1,2，3（首位不為0），而小于1000的數(shù)至多三位，一位的良數(shù)有0,1,2，共3個(gè)，二位良數(shù)個(gè)位可取0,1,2，十位可取1,2，3，共有3×3=9個(gè)，三位良數(shù)個(gè)位可取0,1,2，十位可取0,1,2，3，百位可取1,2，3，共有3×4×3=36，綜上，小于1000“良數(shù)”的個(gè)數(shù)為故選C.【題型4\o"幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd29499/_blank"幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題】【例4】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（

）.A．20種 B．16種 C．12種 D．8種【解題思路】正方體共有12條棱，每條棱對(duì)應(yīng)兩個(gè)相鄰面，與這兩個(gè)面不都相鄰的面有2個(gè)共有24組，再考慮重復(fù)情況得到答案.【解答過(guò)程】正方體共有12條棱，每條棱對(duì)應(yīng)兩個(gè)相鄰面，與這兩個(gè)面不都相鄰的面有2個(gè)共有24組，每組中包含兩條棱，故有24÷2=12故選：C.【變式41】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36【解題思路】根據(jù)給定條件，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算作答.【解答過(guò)程】正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12=24（個(gè)）；對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)，不存在四個(gè)頂點(diǎn)確定的平面與體對(duì)角線垂直，所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24+12=36（個(gè)）.故選：D.【變式42】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）從正十五邊形的頂點(diǎn)中選出3個(gè)構(gòu)成鈍角三角形，則不同的選法有（

）A．105種 B．225種 C．315種 D．420種【解題思路】首先選取一個(gè)點(diǎn)作為鈍角頂點(diǎn)，并該點(diǎn)與圓心連線將其余14個(gè)頂點(diǎn)分成左右各7個(gè)：在左側(cè)選取一個(gè)點(diǎn)作為第二頂點(diǎn)，依次選取右側(cè)7個(gè)點(diǎn)作為第三頂點(diǎn)判斷三角形形狀，依此步驟即可得當(dāng)前鈍角頂點(diǎn)下的鈍角三角形個(gè)數(shù)，最后乘以15即可得結(jié)果.【解答過(guò)程】如圖所示，以A為鈍角頂點(diǎn)，在直徑AA′的左邊取點(diǎn)B1，右邊依次取C1,同理，直徑AA′的左邊取點(diǎn)B2，右邊依次取C1,C2,???,C……在直徑AA′的左邊取點(diǎn)B6在直徑AA′的左邊取點(diǎn)故以A為鈍角頂點(diǎn)的三角形共有6+5+4+3+2+1=21（個(gè)）.以其余14個(gè)點(diǎn)為鈍角頂點(diǎn)的三角形也各有21個(gè)，所以總共有15×21=315（個(gè)）鈍角三角形.故選：C.【變式43】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△AOB三邊所在直線的方程分別為x=0,y=0,2x+3y=30，則△AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（

）A．95 B．91 C．88 D．75【解題思路】首先確定以AB為對(duì)角線的矩形中整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再確定2x+3y=30上的整點(diǎn)數(shù)，最后根據(jù)對(duì)稱性求出△AOB中整點(diǎn)的個(gè)數(shù).【解答過(guò)程】由題設(shè)，直線2x+3y=30分別交x、y軸于(15,0)、(10,0)，

以高為10，寬為15的矩形內(nèi)（含邊）整數(shù)點(diǎn)有176個(gè)，其中直線2x+3y=30上的整數(shù)點(diǎn)有(15,0)、(12,2)、(9,4)、(6,6)、(3,8)、(0,10)，共6個(gè)，所以，矩形對(duì)角線AB兩側(cè)的三角形中整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為176?62綜上，△AOB中整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為85+6=91個(gè).故選：B.【題型5\o"數(shù)字排列問(wèn)題"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd29500/_blank"數(shù)字排列問(wèn)題】【例5】（2023下·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）用1，2，3，4四個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，共有（）A．6個(gè) B．18個(gè) C．24個(gè) D．12個(gè)【解題思路】根據(jù)特殊位置優(yōu)先安排的原則，結(jié)合乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【解答過(guò)程】先排個(gè)位數(shù)，有2種選擇，再排十位和百位，由3×2=6種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有2×6=12個(gè)不重復(fù)的三位偶數(shù)，故選：D.【變式51】（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）由0，1，2，3，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有（

）A．42個(gè) B．48個(gè) C．54個(gè) D．120個(gè)【解題思路】分為五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是0,五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是2兩類(lèi)，依據(jù)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.【解答過(guò)程】若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是0，則有n1若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是2，由于0不排首位，因此只有1,3,5有3種情形，中間的三個(gè)位置有3×2×1=6種情形，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得n2由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得所有無(wú)重復(fù)五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為n=n故選：A．【變式52】（2023下·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）自然數(shù)n是一個(gè)三位數(shù)，其十位與個(gè)位、百位的差的絕對(duì)值均不超過(guò)1，我們就把n叫做“集中數(shù)”.那么，大于600的“集中數(shù)”的個(gè)數(shù)是（

）A．30 B．31 C．32 D．33【解題思路】根據(jù)已知條件，一一列舉即可.【解答過(guò)程】當(dāng)百位為6時(shí)，十位可以為5，6，7，當(dāng)十位為5時(shí)，個(gè)位可以為4，5，6；當(dāng)十位為6時(shí)，個(gè)位可以為5，6，7；當(dāng)十位為7時(shí)，個(gè)位可以為7，8，9；共9個(gè)；當(dāng)百位為7時(shí)，十位可以為6，7，8，當(dāng)十位為6時(shí)，個(gè)位可以為5，6，7；當(dāng)十位為7時(shí)，個(gè)位可以為6，7，8；當(dāng)十位為8時(shí)，個(gè)位可以為7，8，9；共9個(gè)；當(dāng)百位為8時(shí)，十位可以為7，8，9，當(dāng)十位為7時(shí)，個(gè)位可以為6，7，8；當(dāng)十位為8時(shí)，個(gè)位可以為7，8，9；當(dāng)十位為9時(shí)，個(gè)位可以為8，9；共8個(gè)；當(dāng)百位為9時(shí)，十位可以為8，9，當(dāng)十位為8時(shí)，個(gè)位可以為7，8，9；當(dāng)十位為9時(shí)，個(gè)位可以為8，9；共5個(gè)；綜上，總共9+9+8+5=31個(gè)，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.【變式53】（2023下·天津武清·高二?？计谥校┤绻匀粩?shù)n是一個(gè)三位數(shù)，而且十位與個(gè)位、百位的差的絕對(duì)值均不超過(guò)1，我們就把自然數(shù)n叫做“集中數(shù)”．那么數(shù)字0，1，2，3一共可以組成“集中數(shù)”個(gè)數(shù)有（

）A．20 B．21 C．25 D．26【解題思路】由分類(lèi)計(jì)數(shù)加法原理和分布計(jì)數(shù)乘法原理，分別討論十位是0，1，2，3，再確定百位和十位的可能情況即可．【解答過(guò)程】當(dāng)十位是0時(shí)，百位可選1，個(gè)位可選0和1，共2個(gè)，當(dāng)十位是1時(shí)，百位可選1和2，個(gè)位可選0，1和2，共2×3=6個(gè)，當(dāng)十位是2時(shí)，百位可選1，2和3，個(gè)位可選1，2和3，共3×3=9個(gè)，當(dāng)十位是3時(shí)，百位可選2和3，個(gè)位可選2和3，共2×2=4個(gè)，綜上所述，共2+6+9+4=21個(gè)，故選：B．【題型6\o"涂色問(wèn)題"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd29501/_blank"涂色問(wèn)題】【例6】（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）

A．240 B．360 C．480 D．600【解題思路】先涂區(qū)域②③④，再討論①與④的顏色是否相同，結(jié)合計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】將區(qū)域標(biāo)號(hào)，如下圖所示：

因?yàn)棰冖邰軆蓛上噜?，依次用不同的顏色涂色，則有6×5×4=120種不同的涂色方法，若①與④的顏色相同，則有1種不同的涂色方法；若①與④的顏色不相同，則有3種不同的涂色方法；所以共有120×1+3故選：C.【變式61】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上1種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色．如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法數(shù)為（

）

A．240 B．300C．420 D．480【解題思路】以S→A→B→C→D的順序分步染色,用分步乘法計(jì)數(shù)原理,同時(shí)注意根據(jù)A,C同色與不同色用分類(lèi)計(jì)算．【解答過(guò)程】以S→A→B→C→D的順序分步染色．第1步，對(duì)S點(diǎn)染色，有5種方法．第2步，對(duì)A點(diǎn)染色，A與S在同一條棱上，有4種方法．第3步，對(duì)B點(diǎn)染色，B與S，A分別在同一條棱上，有3種方法．第4步，對(duì)C點(diǎn)染色，但考慮到D點(diǎn)與S，A，C相鄰，需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類(lèi)．當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S，B也不同色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)也有2種染色方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(3＋2×2)＝420種．故選：C．【變式62】（2023上·江西南昌·高三?？茧A段練習(xí)）某植物園要在如圖所示的5個(gè)區(qū)域種植果樹(shù)，現(xiàn)有5種不同的果樹(shù)供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹(shù)，則共有（

）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480【解題思路】利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求解，按2與4兩區(qū)域種植果樹(shù)是否相同進(jìn)行分類(lèi)即可.【解答過(guò)程】分兩類(lèi)情況：第一類(lèi)：2與4種同一種果樹(shù)，第一步種1區(qū)域，有5種方法；第二步種2與4區(qū)域，有4種方法；第三步種3區(qū)域，有3種方法；最后一步種5區(qū)域，有3種方法，由分步計(jì)數(shù)原理共有5×4×3×3=180種方法；第二類(lèi)：2與4種不同果樹(shù)，第一步在1234四個(gè)區(qū)域，從5種不同的果樹(shù)中選出4種果樹(shù)種上，是排列問(wèn)題，共有A5第二步種5號(hào)區(qū)域，有2種方法，由分步計(jì)數(shù)原理共有120×2=240種方法.再由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有180+240=420種不同的方法.故選：C.【變式63】（2023下·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）中國(guó)是世界上最早發(fā)明雨傘的國(guó)家，傘是中國(guó)勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，..，8，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）

A．1050種 B．1260種 C．1302種 D．1512種【解題思路】由題意可得，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，先涂區(qū)域1，再涂區(qū)域2，再分區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同、區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同，最后根據(jù)分步乘法原理即可求解.【解答過(guò)程】由題意可得，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色.先涂區(qū)域1，有7種選擇；再涂區(qū)域2，有6種選擇.當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇.當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域4有6種選擇.故不同的涂色方案有7×6×5×5+6故選：C.【題型7兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用】【例7】（2023下·山東菏澤·高二校考階段練習(xí)）口袋中裝有8個(gè)白球和10個(gè)紅球每個(gè)球有不同編號(hào)，現(xiàn)從中取出2個(gè)球．(1)至少有一個(gè)白球的取法有多少種？(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？【解題思路】（1）根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理及分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；（2）根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理及分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；【解答過(guò)程】（1）根據(jù)題意分2類(lèi)完成任務(wù)：第一類(lèi)：白球紅球各一個(gè)有8×10=80種，第二類(lèi)：均為白球，12所以共有80+28=108種；（2）根據(jù)題意分2類(lèi)完成任務(wù)：第一類(lèi)：均為白球，12×8×7所以共有28+45=73種．【變式71】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路．那么，從甲地到丁地，如果每條路至多走一次，且每個(gè)地點(diǎn)至多經(jīng)過(guò)一次，有多少種不同的走法？

【解題思路】根據(jù)分類(lèi)加法原理以及分步乘法原理得出結(jié)果即可.【解答過(guò)程】從甲地到丁地的走法可以分成兩類(lèi)：第一類(lèi)：從甲地經(jīng)由乙地到丁地．這類(lèi)走法可以分成兩個(gè)步驟：先從甲地到乙地，有2種走法；再?gòu)囊业氐蕉〉?，?種走法．根據(jù)乘法原理，這一類(lèi)走法的種數(shù)為2×3=6．第二類(lèi)：從甲地經(jīng)由丙