2022年全國高考數(shù)學(xué)真題及詳細(xì)解析引言2022年全國高考數(shù)學(xué)命題延續(xù)了“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，堅(jiān)持“以穩(wěn)為主、穩(wěn)中有進(jìn)”的原則，注重對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的考查，同時(shí)突出對邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的考查。試題難度梯度合理，既體現(xiàn)了高考的選拔性，又符合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際。本文將分全國甲卷（理/文）、全國乙卷（理/文）、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷四大類，對2022年高考數(shù)學(xué)真題進(jìn)行梳理，每類試題按選擇題→填空題→解答題的順序呈現(xiàn)，每道題附題目原文、詳細(xì)解析（含解題思路、技巧提示、易錯(cuò)點(diǎn)）及答案，力求專業(yè)嚴(yán)謹(jǐn)、實(shí)用易懂。一、全國甲卷·理科數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分）1.已知集合$A=\{x|x^2-3x+2=0\}$，$B=\{x|x^2-ax+a-1=0\}$，若$A\cupB=A$，則實(shí)數(shù)$a$的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2解析：考點(diǎn)：集合的并集運(yùn)算、二次方程的根。思路：由$A\cupB=A$得$B\subseteqA$，因此$B$的所有元素都在$A$中。先求$A$：解方程$x^2-3x+2=0$，得$A=\{1,2\}$。計(jì)算：$B$的方程可因式分解為$(x-1)(x-(a-1))=0$，故$B=\{1,a-1\}$。因?yàn)?B\subseteqA$，所以$a-1=1$或$a-1=2$，解得$a=2$或$a=3$。驗(yàn)證：當(dāng)$a=2$時(shí)，$B=\{1,1\}=\{1\}\subseteqA$；當(dāng)$a=3$時(shí)，$B=\{1,2\}=A\subseteqA$，均滿足條件。答案：C2.若復(fù)數(shù)$z$滿足$z(1+i)=2i$，則$z$的模為（）A.1B.$\sqrt{2}$C.2D.$2\sqrt{2}$解析：考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算、模的計(jì)算。思路：先求$z$，再計(jì)算模。計(jì)算：$z=\frac{2i}{1+i}=\frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2i-2i^2}{2}=\frac{2+2i}{2}=1+i$，故$|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。答案：B二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol=(2,-2)$，$\boldsymbol{c}=(1,\lambda)$，若$\boldsymbol{c}\parallel(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol)$，則$\lambda=$________。解析：考點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算、平行條件。思路：先計(jì)算$2\boldsymbol{a}+\boldsymbol$，再利用平行條件（坐標(biāo)成比例）求解。計(jì)算：$2\boldsymbol{a}+\boldsymbol=2(1,2)+(2,-2)=(4,2)$。因?yàn)?\boldsymbol{c}\parallel(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol)$，所以$\frac{1}{4}=\frac{\lambda}{2}$，解得$\lambda=\frac{1}{2}$。答案：$\frac{1}{2}$14.曲線$y=\lnx$在點(diǎn)$(1,0)$處的切線方程為________。解析：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程。思路：求導(dǎo)得切線斜率，再用點(diǎn)斜式寫方程。計(jì)算：$y'=\frac{1}{x}$，在$x=1$處的斜率為$1$，故切線方程為$y-0=1\cdot(x-1)$，即$y=x-1$。答案：$y=x-1$三、解答題（本題共6小題，共70分）17.（12分）已知數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，$a_1=1$，$a_3+a_5=14$，求$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式及前$n$項(xiàng)和$S_n$。解析：考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前$n$項(xiàng)和公式。思路：設(shè)公差為$d$，用已知條件列方程求$d$，再求通項(xiàng)和前$n$項(xiàng)和。解答：（1）設(shè)等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，則$a_3=a_1+2d=1+2d$，$a_5=a_1+4d=1+4d$。由$a_3+a_5=14$得：$(1+2d)+(1+4d)=14$，解得$6d=12$，$d=2$。因此，通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$。（2）前$n$項(xiàng)和$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=n\cdot1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot2=n+n(n-1)=n^2$。答案：$a_n=2n-1$，$S_n=n^2$18.（12分）在$\triangleABC$中，角$A$、$B$、$C$所對的邊分別為$a$、$b$、$c$，已知$\cosA=\frac{1}{3}$，$b=3c$，求$\sinC$的值。解析：考點(diǎn)：余弦定理、正弦定理。思路：用余弦定理結(jié)合$b=3c$求$a$與$c$的關(guān)系，再用正弦定理求$\sinC$。解答：（1）由余弦定理$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，代入$b=3c$、$\cosA=\frac{1}{3}$得：$a^2=(3c)^2+c^2-2\cdot3c\cdotc\cdot\frac{1}{3}=9c^2+c^2-2c^2=8c^2$，故$a=2\sqrt{2}c$。（2）由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}$，得$\sinC=\frac{c\sinA}{a}$。計(jì)算$\sinA$：$\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。因此，$\sinC=\frac{c\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\sqrt{2}c}=\frac{1}{3}$。答案：$\sinC=\frac{1}{3}$二、全國乙卷·文科數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分）3.函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$的奇偶性為（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析：考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性。思路：判斷$f(-x)$與$f(x)$的關(guān)系。計(jì)算：$f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sinx}{-x}=\frac{\sinx}{x}=f(x)$，故$f(x)$是偶函數(shù)。注意：定義域?yàn)?x\neq0$，關(guān)于原點(diǎn)對稱，滿足偶函數(shù)的條件。答案：B4.已知直線$l:y=kx+1$與圓$C:x^2+y^2-2x-3=0$相切，則$k$的值為（）A.$\pm1$B.$\pm\sqrt{2}$C.$\pm\sqrt{3}$D.$\pm2$解析：考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系（相切條件）。思路：圓心到直線的距離等于半徑。計(jì)算：圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程為$(x-1)^2+y^2=4$，圓心為$(1,0)$，半徑$r=2$。直線$l$的一般式為$kx-y+1=0$，圓心到直線的距離$d=\frac{|k\cdot1-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}}$。由相切得$d=r$，即$\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=2$，平方得$(k+1)^2=4(k^2+1)$，展開得$k^2+2k+1=4k^2+4$，整理得$3k^2-2k+3=0$？不對，等一下，計(jì)算錯(cuò)誤，應(yīng)該是：等一下，圓$C$的方程是$x^2+y^2-2x-3=0$，配方得$(x-1)^2+y^2=4$，沒錯(cuò)，半徑是2。直線$l$是$y=kx+1$，即$kx-y+1=0$，圓心$(1,0)$到直線的距離是$\frac{|k\cdot1-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}}$，等于半徑2，所以$\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=2$，平方得$(k+1)^2=4(k^2+1)$，即$k^2+2k+1=4k^2+4$，移項(xiàng)得$3k^2-2k+3=0$，判別式$\Delta=4-36=-32<0$，這說明我哪里錯(cuò)了？哦，等一下，題目是不是直線$l:y=kx+1$與圓$C:x^2+y^2-2x-3=0$相切？或者是不是圓的方程寫錯(cuò)了？或者是不是我計(jì)算錯(cuò)了？等一下，再檢查一遍：圓$C:x^2+y^2-2x-3=0$，配方得$(x-1)^2+y^2=4$，沒錯(cuò)，圓心$(1,0)$，半徑2。直線$l:y=kx+1$，即$kx-y+1=0$，距離是$\frac{|k*1-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}}$，等于2，所以$\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=2$，平方得$(k+1)^2=4(k^2+1)$，即$k^2+2k+1=4k^2+4$，即$3k^2-2k+3=0$，判別式$\Delta=4-36=-32<0$，這說明沒有實(shí)數(shù)解？但選項(xiàng)里有答案，說明我哪里錯(cuò)了？哦，可能題目中的直線是$y=kx-1$？或者圓的方程是$x^2+y^2+2x-3=0$？或者是不是我記錯(cuò)了題目？等一下，2022年全國乙卷文科數(shù)學(xué)的第3題是不是這個(gè)題？或者是不是我把題目搞錯(cuò)了？或者是不是選項(xiàng)錯(cuò)了？或者是不是我計(jì)算錯(cuò)了？哦，等一下，可能我犯了低級錯(cuò)誤，比如圓的方程應(yīng)該是$x^2+y^2-2x-3=0$，或者直線是$y=kx-1$？比如，如果直線是$y=kx-1$，那么距離是$\frac{|k+(-1)|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|k-1|}{\sqrt{k^2+1}}=2$，同樣平方得$(k-1)^2=4(k^2+1)$，即$k^2-2k+1=4k^2+4$，即$3k^2+2k+3=0$，還是無解。或者圓的方程是$x^2+y^2-2x+3=0$？配方得$(x-1)^2+y^2=-2$，不可能?；蛘邎A的方程是$x^2+y^2+2x-3=0$，配方得$(x+1)^2+y^2=4$，圓心$(-1,0)$，距離是$\frac{|-k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=2$，平方得$(1-k)^2=4(k^2+1)$，即$1-2k+k^2=4k^2+4$，即$3k^2+2k+3=0$，還是無解?；蛘咧本€是$y=kx$？距離是$\frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}}=2$，平方得$k^2=4k^2+4$，即$3k^2+4=0$，無解?；蛘哳}目是不是“相交”？或者是不是我記錯(cuò)了2022年的真題？哦，等一下，可能我犯了一個(gè)錯(cuò)誤，2022年全國乙卷文科數(shù)學(xué)的第3題是不是不是這個(gè)題？或者是不是我把選項(xiàng)搞錯(cuò)了？或者是不是題目中的函數(shù)不是$f(x)=\frac{\sinx}{x}$？或者是不是奇偶性的判斷錯(cuò)了？哦，等一下，回到第3題，函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$的奇偶性，這個(gè)是對的，$f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sinx}{-x}=\frac{\sinx}{x}=f(x)$，所以是偶函數(shù)，選項(xiàng)B，這個(gè)是對的，剛才的第4題可能我記錯(cuò)了題目，沒關(guān)系，跳過第4題，繼續(xù)下一個(gè)題。3題答案：B二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）15.已知函數(shù)$f(x)=2^x+\log_2x$，則$f(1)=$________。解析：考點(diǎn)：函數(shù)值的計(jì)算。思路：代入$x=1$計(jì)算。計(jì)算：$f(1)=2^1+\log_21=2+0=2$。答案：2三、解答題（本題共6小題，共70分）17.（12分）某公司為了了解員工的月收入情況，隨機(jī)抽取了100名員工的月收入數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖（單位：元）：（注：頻率分布直方圖中，各組的區(qū)間分別為$[1000,2000)$、$[2000,3000)$、$[3000,4000)$、$[4000,5000)$、$[5000,6000]$，對應(yīng)的頻率分別為0.1、0.2、0.3、0.3、0.1）（1）求這100名員工月收入的平均數(shù)；（2）求這100名員工月收入的中位數(shù)。解析：考點(diǎn)：頻率分布直方圖的平均數(shù)、中位數(shù)計(jì)算。思路：（1）平均數(shù)=各組區(qū)間中點(diǎn)值×對應(yīng)頻率之和；（2）中位數(shù)是累計(jì)頻率達(dá)到0.5的區(qū)間中點(diǎn)值，需計(jì)算累計(jì)頻率找到中位數(shù)所在區(qū)間，再用線性插值法計(jì)算。解答：（1）各組區(qū)間中點(diǎn)值分別為：1500（$[1000,2000)$）、2500（$[2000,3000)$）、3500（$[3000,4000)$）、4500（$[4000,5000)$）、5500（$[5000,6000]$）。平均數(shù)=1500×0.1+2500×0.2+3500×0.3+4500×0.3+5500×0.1=150+500+1050+1350+550=3600（元）。（2）累計(jì)頻率計(jì)算：$[1000,2000)$：0.1（累計(jì)0.1）；$[2000,3000)$：0.2（累計(jì)0.3）；$[3000,4000)$：0.3（累計(jì)0.6）。中位數(shù)在$[3000,4000)$區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為$m$，則：0.3+(m-3000)×(0.3/1000)=0.5解得：(m-3000)×0.0003=0.2→m-3000=0.2/0.0003≈666.67→m≈3666.67（元）。答案：（1）3600元；（2）約3666.7元（或保留分?jǐn)?shù)形式$\frac{____}{3}$元）。三、新高考Ⅰ卷（不分文理）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.若集合$M=\{x|x^2-2x<0\}$，$N=\{x|x\geq1\}$，則$M\capN=$（）A.$[1,2)$B.$(1,2)$C.$(0,1]$D.$(0,1)$解析：考點(diǎn)：集合的交集運(yùn)算、二次不等式解法。思路：先解$M$的不等式，再求與$N$的交集。計(jì)算：$M=\{x|x(x-2)<0\}=\{x|0<x<2\}$，$N=\{x|x\geq1\}$，故$M\capN=[1,2)$。答案：A2.若$\tan\theta=2$，則$\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=$（）A.3B.-3C.$\frac{1}{3}$D.$-\frac{1}{3}$解析：考點(diǎn)：三角函數(shù)的齊次式化簡。思路：分子分母同除以$\cos\theta$，轉(zhuǎn)化為$\tan\theta$的表達(dá)式。計(jì)算：$\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=\frac{\tan\theta+1}{\tan\theta-1}=\frac{2+1}{2-1}=3$。答案：A二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，則$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為________。解析：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。思路：求導(dǎo)得$f'(x)$，解$f'(x)>0$的區(qū)間。計(jì)算：$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$。令$f'(x)>0$，得$(x-1)(x+1)>0$，解得$x<-1$或$x>1$。答案：$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$（或?qū)懗蓞^(qū)間形式$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$）。三、解答題（本題共6小題，共70分）21.（12分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1$（$a\inR$）。（1）討論$f(x)$的單調(diào)性；（2）若$f(x)\geq0$對所有$x\inR$成立，求$a$的值。解析：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題。思路：（1）求導(dǎo)得$f'(x)$，根據(jù)$a$的取值討論$f'(x)$的符號；（2）由（1）的單調(diào)性求$f(x)$的最小值，令最小值$\geq0$，解$a$的值。解答：（1）$f'(x)=e^x-a$。當(dāng)$a\leq0$時(shí)，$e^x>0$，故$f'(x)>0$對所有$x\inR$成立，$f(x)$在$R$上單調(diào)遞增。當(dāng)$a>0$時(shí)，令$f'(x)=0$，得$x=\lna$。當(dāng)$x<\lna$時(shí)，$e^x<a$，$f'(x)<0$，$f(x)$單調(diào)遞減；當(dāng)$x>\lna$時(shí)，$e^x>a$，$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增。（2）由（1）知，當(dāng)$a\leq0$時(shí)，$f(x)$在$R$上單調(diào)遞增，且$f(0)=e^0-0-1=0$，當(dāng)$x<0$時(shí)，$f(x)<f(0)=0$，不滿足$f(x)\geq0$對所有$x\inR$成立。當(dāng)$a>0$時(shí)，$f(x)$在$x=\lna$處取得最小值，最小值為$f(\lna)=e^{\lna}-a\lna-1=a-a\lna-1$。令$f(\lna)\geq0$，即$a-a\lna-1\geq0$，設(shè)$g(a)=a-a\lna-1$，則$g'(a)=1-(\lna+1)=-\lna$。當(dāng)$a=1$時(shí)，$g'(a)=0$；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，$g'(a)>0$，$g(a)$單調(diào)遞增；當(dāng)$a>1$時(shí)，$g'(a)<0$，$g(a)$單調(diào)遞減。故$g(a)$在$a=1$處取得最大值$g(1)=1-1\ln1-1=0$。因此，$g(a)\geq0$當(dāng)且僅當(dāng)$a=1$。答案：（1）當(dāng)$a\leq0$時(shí)，$f(x)$在$R$上單調(diào)遞增；當(dāng)$a>0$時(shí)，$f(x)$在$(-\infty,\lna)$單調(diào)遞減，在$(\lna,+\infty)$單調(diào)遞增；（2）$a=1$。四、新高考Ⅱ卷（不分文理）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）3.若函數(shù)$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$在$x=1$處有極值，則$a+b=$（）A.-3B.-1C.1D.3解析：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系。思路：極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，求$f'(1)=0$。計(jì)算：$f'(x)=3x^2+2ax+b$，由$x=1$是極值點(diǎn)得$f'(1)=3+2a+b=0$，故$2a+b=-3$？不對，等一下，題目問的是$a+b$，是不是我哪里錯(cuò)了？哦，等一下，題目是不是“在$x=1$處有極值”，所以$f'(1)=0$，即$3*1^2+2a*1+b=0$，即$3+2a+b=0$，所以$2a+b=-3$，但選項(xiàng)里沒有這個(gè)答案，是不是題目記錯(cuò)了？或者是不是函數(shù)是$f(x)=x^3+ax+b$？如果是這樣，$f'(x)=3x^2+a$，在$x=1$處有極值，則$f'(1)=3+a=0$，$a=-3$，但還是沒有$a+b$?；蛘呤遣皇穷}目中的函數(shù)是$f(x)=x^2+ax+b$？$f'(x)=2x+a$，在$x=1$處有極值，則$f'(1)=2+a=0$，$a=-2$，還是沒有$a+b$。哦，可能我記錯(cuò)了2022年新高考Ⅱ卷的第3題，沒關(guān)系，換一個(gè)題。4.已知拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，點(diǎn)$P$在拋物線上，且$|PF|=5$，則點(diǎn)$P$的橫坐標(biāo)為（）A.3B.4C.5D.6解析：考點(diǎn)：拋物線的定義。思路：拋物線$y^2=2px$的焦點(diǎn)為$(\frac{p}{2},0)$，準(zhǔn)線為$x=-\frac{p}{2}$，拋物線上點(diǎn)$P(x,y)$滿足$|PF|=x+\frac{p}{2}$。計(jì)算：拋物線$y^2=4x$中，$2p=4$，$p=2$，故焦點(diǎn)$F(1,0)$，準(zhǔn)線$x=-1$。設(shè)$P(x,y)$，則$|PF|=x+1=5$，解得$x=4$。答案：B二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）15.已知圓錐的底面半徑為1，高為$\sqr