夯基專題2函數(shù)及其性質(zhì)考向一函數(shù)及其表示考向一函數(shù)及其表示考點一：函數(shù)的概念函數(shù)兩個集合A設(shè)A，B對應(yīng)關(guān)系f如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合函數(shù)記法函數(shù)y=1\*GB2⑴函數(shù)的三要素=1\*GB3①定義域：x的取值范圍；=2\*GB3②值域：y的取值范圍.=3\*GB3③對應(yīng)關(guān)系f：A→B.=2\*GB2⑵函數(shù)的表示法：解析法、圖象法和列表法．=3\*GB2⑶分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．考點二：定義域、值域、解析式的求解=1\*GB2⑴定義域：函數(shù)問題定義域優(yōu)先，在解答函數(shù)問題時要先考慮定義域；=2\*GB2⑵值域：函數(shù)的值域應(yīng)用性較強，如恒成立問題、有解問題、數(shù)形結(jié)合問題等轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值解決；與其他知識點綜合，如求數(shù)列的最大項與最小項、向量與復(fù)數(shù)的四則運算及模的最值、向量與復(fù)數(shù)的幾何意義的最值、解析幾何的函數(shù)性研究問題等，都需要轉(zhuǎn)化為求最值問題.常用方法：=1\*GB3①單調(diào)性法：借助單調(diào)性性質(zhì)或?qū)?shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，若函數(shù)y＝f(x)有多個單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大(小)值．=2\*GB3②配方法：主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)，注意自變量的取值范圍.=3\*GB3③換元法：換元法是將函數(shù)解析式中關(guān)于x的部分表達式視為一個整體，并用新元t代替，將解析式化歸為熟悉的函數(shù)，進而解出最值(值域)．=4\*GB3④分離常數(shù)法：主要用于含有一次的分式函數(shù)，形如y=ax+bcx+d或y=ax2+bx+dcx+e（ac≠0至少有一個不為=3\*GB2⑶解析式：函數(shù)解析式在高考中較少單獨考查，常用的方法有：=1\*GB3①待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法．=2\*GB3②換元法：主要用于解決已知fgx的解析式，求函數(shù)fx的解析式的問題=3\*GB3③方程組法：主要解決已知fx與f-x、f1x與f-1x=4\*GB3④由奇偶性求解析式.【典例精講】例1.(2023·重慶市市轄區(qū)聯(lián)考)已知f(x)=x2+3x+6x+1(x>0)，則f(x)的最小值是(

)A.2 B.3 C.4 D.5例2.(2023·吉林省長春市月考)已知函數(shù)f(x)滿足以下條件：=1\*GB3①在R上單調(diào)遞增;=2\*GB3②對任意x1，x2，均有f(x1)?f(x2)=4f(x1+x2【拓展提升】練11(2023·廣東省廣州市月考)數(shù)列{an}中，a1=12，(n+1)an+1=nan練12(2023·江蘇省南通市模擬)如圖，某校學(xué)生在開展數(shù)學(xué)建模活動時，用一塊邊長為12dm的正方形鋁板制作一個無底面的正n棱錐(側(cè)面為等腰三角形，底面為正n邊形)道具，他們以正方形的幾何中心為圓心，6dm為半徑畫圓，仿照我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)裁剪出m份，再從中取n份，并以O(shè)為正n(n≥3)棱錐的頂點，且O落在底面的射影為正n邊形的幾何中心O1,∠A1O1A2=2πn，側(cè)面等腰三角形的頂角為∠A1考向考向二函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【核心知識】考點一：函數(shù)的性質(zhì)1.單調(diào)性：=1\*GB2⑴確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法：定義法、導(dǎo)數(shù)法、性質(zhì)法、圖象法.=2\*GB2⑵函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型：比較大小、求最值、解不等式、利用單調(diào)性求參數(shù)．2.奇偶性：=1\*GB2⑴確定函數(shù)奇偶性的三種方法：定義法、性質(zhì)法、圖象法.=2\*GB2⑵函數(shù)奇偶性應(yīng)用問題的常見類型：求函數(shù)值、求解析式、求解析式中的參數(shù)、函數(shù)圖象.3．周期性=1\*GB2⑴周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x+T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y=2\*GB2⑵函數(shù)周期性常用結(jié)論：對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x+a)＝－f(x)，則(2)若fx+a(3)若fx+a(4)若fx+a+f(x)＝4．對稱性對稱性的三個常用結(jié)論：(1)若函數(shù)f(x)滿足fa+x=f(b(2)若函數(shù)f(x)滿足fa+x=－(3)若函數(shù)f(x)滿足fa+x+f考點二：常考題型1.解雙f

不等式：=1\*GB3①函數(shù)單調(diào)，可以直接“脫f

”；=2\*GB3②函數(shù)圖象有對稱軸，通過比較“自變量到對稱軸的距離”來“脫f”，而距離可以用“絕對值”來表示.還要結(jié)合函數(shù)定義域.2.“奇函數(shù)+常函數(shù)”型函數(shù)：若fx不為奇函數(shù)，但fx可轉(zhuǎn)化為fx=gx+c（3.奇偶性、周期性、對稱性之間的推演轉(zhuǎn)換：任意給出這三個性質(zhì)中的某兩個，要能推出函數(shù)具有第三個性質(zhì).=1\*GB3①將已知的性質(zhì)都用標準公式寫出來，再聯(lián)立就能推出新的性質(zhì)，=2\*GB3②結(jié)合條件畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合觀察出函數(shù)的新性質(zhì).【典例精講】例3.(2023·湖北省武漢市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ln1-x1+x+sinx+1，則f(1例4.(2023·河北省衡水市模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x∈[0,1]時，f(x)=a-cosπ2x，若函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的為A.a=1 B.f(x)的最小正周期為T=4

C.y=f(x)-|log6x|有4個零點【拓展提升】練21(2023·江蘇省徐州市模擬)（多選）已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(1-x)=-f(1+x)，且當x∈[0,1]時，f(x)=x2+x-2，則下列說法正確的是(

)A.f(x)是以4為周期的周期函數(shù)

B.f(2018)+f(2021)=-2

C.函數(shù)y=log2(x+1)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象有且僅有3個交點

D.當練22(2023·湖北省十堰市月考)已知函數(shù)f(x)=e|x|+cosx，若flnab+flnbA.0,1e?(e,+∞) B.0,1考向三抽象函數(shù)考向三抽象函數(shù)考點一：抽象函數(shù)的解題策略1.賦值法：對變量賦予特殊值或特殊式，從而解決問題2.模型法：根據(jù)題設(shè)所給抽象函數(shù)的性質(zhì)，通過類比，得到抽象函數(shù)的模型函數(shù)，借助具體的函數(shù)解題；3.數(shù)形結(jié)合：結(jié)合題設(shè)所給抽象函數(shù)的性質(zhì)，畫出符合題意的圖象，減少推理計算量；4.回歸定義：探究抽象函數(shù)的的性質(zhì)時，因沒有解析式，就要回歸到函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性的定義中，靈活等價轉(zhuǎn)化.【典例精講】例5.(2023·福建省泉州市模擬)已知函數(shù)fx的定義域為R，值域為0,+∞，且fx-yfx+y=f2x,fA.12 B.24 C.42 D.126例6.(2023·浙江省杭州市月考)（多選）已知函數(shù)f(x)，?x∈R，都有f(x)=f(x+4)+f(2)，若函數(shù)y=f(x+3)的圖象關(guān)于直線x=-3對稱，且?x1，x2A.f(2)=0 B.f(x)是偶函數(shù)

C.f(x)是周期為4的周期函數(shù) D.f(3)【拓展提升】練31(2023·江蘇省鎮(zhèn)江市模擬)已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx=f2-x，其圖象經(jīng)過點2,0，且對任意x1、x2∈1,+∞，且x1≠A.-∞,1 B.1,+∞ C.-∞,0∪1,2 練32(2023·廣東省珠海市模擬)己知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R，記g(x)=f'(x).若f(x+3)為奇函數(shù)，g32+2x為偶函數(shù)，且g(0)=-3,g(1)=2，則i=12023gA.670 B.672 C.674 D.676解：∵f(x+3)為奇函數(shù)，

∴f(-x+3)=-f(x+3)，

∴-f'(-x+3)=-f'(x+3)，即：f'(-x+3)=f'(x+3)，

又∵g(x)=f'(x)，

∴g(-x+3)=g(x+3)，=1\*GB3①

又∵g(32+2x)為偶函數(shù)，

∴g(32-2x)=g(32+2x)，=2\*GB3②

∴將=2\*GB3②中2x換成x得：g(32-x)=g(32+x)，=3\*GB3③

∴將=3\*GB3③中x換成32-x得：g(x)=g(3-x)，=4\*GB3④由=1\*GB3①=4\*GB3④得：g(x)=g(x+3)，

∴g(x)的一個周期為3，∴g(3)=g(0)=-3，

將x=12代入=3\*GB3③得：g(1)=g(2)=2，

∴g(1)+g(2)+g(3)=2+2-3=1，

又∵2023=3×674+1，

∴i=12023g(i)=674×1+g(1)=674+2=676．

故選：D．【答案解析】例1.解：由題意知，f(x)=x因為x>0，所以x+1>1，

則x+1+4x+1+1≥24+1=5(當且僅當x+1=4x+1，即x=1時，取“=”)，例2.解：因為函數(shù)f(x)滿足對任意x1，x2，均有f(x1)f(x2)=4f(x1+x2)，

故考慮基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)，

又f(x)在R上單調(diào)遞增，

則指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，

所以f(x)的一個解析式可以為f(x)=2x+2，

經(jīng)檢驗此函數(shù)滿足以下條件：=1\*GB3①在R上單調(diào)遞增；=2\*GB3②對任意x練11.解：由(n+1)an+1=nannan+1(n∈N*)，

得1(n+1)an+1-1nan=1(n∈N*)，

則{1nan}(n∈N*)是等差數(shù)列，

∵1a1=2，∴1nan=2+(n-1)×1=n+1，則an=1n(n+1)，

不等式4練12.解：設(shè)A1O1=b，

由題意可得，A1A22=b2+b2-2b2cos2πn=62+62-2×62cosα，

則b2

例3.解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=ln1-x1+x+sinx+1，

則f(-x)=ln1+x1-x+sin(-x)+1=-例4.解：由題意得f(-x+1)=f(x+1)，即f(-x)=f(x+2)，f(x)關(guān)于x=1對稱，

又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，即f(-x)=-f(x)，

則f(x)=-f(x+2)=f(x+4)，即f(x)是周期為4的奇函數(shù)，

由f(0)=a-cos0=a-1=0，得a=1，故A，B正確；

f(2022)=f(4×505+2)=f(2)=f(0)=0，

f(2023)=f(4×506-1)=f(-1)=-f(1)=-1，故f(2023)<f(2022)，故D錯誤；

y=f(x)-|log6x|的零點個數(shù)即y=f(x)的圖象與y=|log6x|的圖象的交點個數(shù)，

作出函數(shù)y=f(x)與y=|log6x|的大致圖象如圖所示，

由圖可知，y=f(x)的圖象與y=|log6x|練21.解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，f(x)滿足f(1-x)=-f(1+x)，即f(-x)=-f(2+x)，又由f(x)為偶函數(shù)，則f(2+x)=-f(x)，則有f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，則f(x)是周期為4的周期函數(shù)，A正確；

對于B，由A知f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則f(2018)=f(2)=-f(0)=-(-2)=2，f(2021)=f(1)=0，則f(2018)+f(2021)=2，B錯誤；

對于C，根據(jù)題意，由f(1-x)=-f(1+x)知函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱，再由y=f(x)是偶函數(shù)，可作出函數(shù)y=log2(x+1)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象，結(jié)合圖象可得兩個函數(shù)有3個交點，C正確；

對于D，當x∈[3,4]時，則則f(4-x)=(4-x)2+(4-x)-2=x2-9x+18，

又由f(x)為周期為4的周期函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，則f(x)=f(x-4)=f(4-x)=練22.解：∵f(x)=e|x|+cosx

∴f(-x)=e|-x|+cos(-x)=e|x|+cosx=f(x)

則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，

由f(lnab)+f(lnba)-2f(1)>0得f(lnab)+f(-lnba)>2f(1)，

即2f(lnab)>2f(1)，得f(lnab)>f(1)，

當x≥0，f(x)=ex+cosx，例5.解：(方法一)賦值法：令

x=0

，有

f-yfy=f20

，則

又因為

fx+f-x≥2fxf-x所以

f0=1因為

fx-yf所以

fx+yf所以

2=f(1所以

k=16f(方法二)特殊函數(shù)法：

令

fx=所以k=16f故選：D例6.解：y=f(x+3)的圖象關(guān)于直線x=-3對稱，故y=f(x)關(guān)于y軸對稱，f(x)是偶函數(shù)，B正確;

f(x)=f(x+4)+f(2)中，令x=-2得f(-2)=2f(2)，因為f(-2)=f(2)，所以f(2)=2f(2)，

解得f(2)=0，A正確;

故f(x)=f(x+4)，f(x)是周期為4的周期函數(shù)，C正確;

?x1，x2∈[0,2]，當x1≠x2時，都有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))>0，故f(x)在練31.解：根據(jù)f(x)=f(2-x)，可得f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱．

由圖象經(jīng)過點(2,0)，可得函數(shù)f(x)的圖象還經(jīng)過點(0,0)．

根據(jù)對任意x1，x2∈(1,+∞)，且x1≠x2，(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立，