8.2-8.3一元線性回歸模型與獨立性檢驗

【考點1：解釋回歸直線方程的意義】

【考點2：求回歸直線方程】

【考點3：用回歸直線方程對總體進行估計】

【考點4：樣本中心點的有關計算】

【考點5：列聯(lián)表分析】

【考點6：獨立性檢驗】知識點1：回歸分析與回歸方程（1）回歸分析的定義：對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．（2）最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．（3）回歸方程：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點的中心．【考點1：解釋回歸直線方程的意義】【典例1】小亮的爸爸記錄了小亮從4歲到10歲的身高，建立了小亮身高與年齡的回歸模型y=73.85+6.9x，他用的這個模型預測小亮11歲時的身高，則下面的敘述正確的是（

A．小亮11歲時的身高在149.75cm左右 B．小亮11歲時的身高在149.75cm以下C．小亮11歲時的身高一定是149.75cm D．小亮11歲時的身高在149.75cm以上【變式1-1】為了研究兒子身高與父親身高的關系，某機構(gòu)調(diào)查了某所高校14名男大學生的身高及其父親的身高（單位：cm），得到的數(shù)據(jù)如表所示.編號1234567891011121314父親身高x174170173169182172180172168166182173164180兒子身高y176176170170185176178174170168178172165182父親身高的平均數(shù)記為x，兒子身高的平均數(shù)記為y，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，得到兒子身高關于父親身高的回歸直線方程為y=0.839x+28.957.則下列結(jié)論中正確的是（

A．y與x正相關，且相關系數(shù)為0.839B．點(xC．x每增大一個單位，y增大0.839個單位D．當x=176時，y≈177【變式1-2】在線性回歸方程y=a+bx中，b為回歸系數(shù)，下列關于b的說法中不正確的是（

）A．b為回歸直線的斜率B．b>0，表示隨x增加，y值增加，b<0，表示隨x增加，y值減少C．b是唯一確定的值D．回歸系數(shù)b的統(tǒng)計意義是當x每增加（或減少）一個單位，y平均改變b個單位【考點2：求回歸直線方程】【典例2】春節(jié)將至，某商家統(tǒng)計了去年某商品的日營銷費用x（單位：百元）與日銷售量y（單位：百件），為今年的營銷方案制定提供相關的數(shù)據(jù)參考，得到的數(shù)據(jù)如下表：日營銷費用x/百元23456日銷售量y/百件11.11.51.82.1已知y與x線性相關.(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求y關于x的經(jīng)驗回歸方程；(2)請利用（1）中的經(jīng)驗回歸方程，試估計當今的日銷售費用為1000元時，日銷售量為多少百件.參考公式：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)xi,yi（i=1,2,?,n）.其經(jīng)驗回歸直線y=bx+【變式2-1】近年來我國新能源汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，新能源汽車不僅對環(huán)境保護具有重大的意義，而且還能夠減少對不可再生資源的開發(fā)，是全球汽車發(fā)展的重要方向．“保護環(huán)境，人人有責”，在政府和有關企業(yè)的努力下，某地區(qū)近幾年新能源汽車的購買情況如下表所示：年份x20192020202120222023新能源汽車購買數(shù)量y（萬輛）0.400.701.101.501.80(1)計算y與x的相關系數(shù)r（保留三位小數(shù)）；(2)求y關于x的線性回歸方程，并預測該地區(qū)2025年新能源汽車購買數(shù)量．參考公式r=i=1nxi?參考數(shù)值：13≈3.6056，i=1【變式2-2】某騎行愛好者近段時間在專業(yè)人士指導下對騎行情況進行了統(tǒng)計，各次騎行期間的身體綜合指標評分x與對應用時y（單位：小時）如下表：身體綜合指標評分x12345用時（y/小時）9.58.67.876.1(1)由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數(shù)加以說明；(2)建立y關于x的回歸方程.參考數(shù)據(jù)和參考公式：相關系數(shù)r=i=1nxi?x【考點3：用回歸直線方程對總體進行估計】【典例3】從某大學隨機選取8名女大學生，其身高X（單位：cm）和體重Y（單位：kg）的回歸方程為Y=0.849X?85.712，則身高172cm的女大學生，由回歸方程可以預測其體重（

）A．為60.316kg B．約為60.316kgC．大于60.316kg D．小于60.316kg【變式3-1】設某中學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,?,n，用最小二乘法建立的經(jīng)驗回歸方程為yA．47.69kg B．48.69kg C．57.69kg【變式3-2】已知x1=1,x2【變式3-3】從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高x（單位：cm）與體重y（單位：kg）的數(shù)據(jù)如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y與x的線性回歸方程為y^=0.85x?85.71，那么選取的女大學生身高為175cm時，相應的殘差為

【考點4：樣本中心點的有關計算】【典例4】某種兼職工作雖然以計件的方式計算工資，但是對于同一個人的工資與其工作時間還是存在一定的相關關系，已知小孫的工作時間X（單位：小時）與工資Y（單位：元）之間的關系如表：工作時間X24568工資Y304050m70若Y對X的線性回歸方程為Y=6.5X+17.5，則m的值為（

）A．56.5 B．58 C．60 D．62.5【變式4-1】隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，西安某地對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2023年6月18日，該地很多商場都在搞“6?18”促銷活動.市物價局派人對某商品同一天的銷售量及其價格進行調(diào)查，得到該商品的售價x（單位：元）和銷售量y（單位：百件）之間的一組數(shù)據(jù)：x2025303540y578911用最小二乘法求得y與x之間的經(jīng)驗回歸方程是y=0.28x+a，當售價為45元時，預測該商品的銷售量件數(shù)大約為（A．11.2 B．11.75 C．12 D．12.2【變式4-2】具有線性相關關系的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)xi,yi（xi=2i?1，i=1，2，…，5），其經(jīng)驗回歸方程為A．40 B．32 C．8 D．12.8【變式4-3】某市2018年至2022年新能源汽車年銷量y（單位：千臺）與年份代號x的數(shù)據(jù)如下表：年份2019202020212022年份代號x1234年銷量y1520m35若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關于x的經(jīng)驗回歸直線方程為y=7x+7.5，則表中m的值為（

A．25 B．28 C．30 D．32知識點2：獨立性檢驗（1）分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表：假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表總計總計（3）獨立性檢驗：計算隨機變量利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗．0．100．050．0100．0050．0012．7063．8416．6357．87910．828【考點5：列聯(lián)表分析】【典例5】下面是2×2列聯(lián)表：yy合計xa2173x222547合計b46120則表中a，b的值分別為（

）A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52【變式5-1】下面是一個2×2列聯(lián)表：yy總計x35a70x151530總計50b100其中a、b處填的值分別為．【變式5-2】下面是一個2×2列聯(lián)表：XY合計Y=0Y=1X=0a2173X=182533合計b46則表中a，b處的值分別為；．【考點6：獨立性檢驗】【典例6】2025年1月1日，某地舉行馬拉松比賽，某服務部門為提升服務質(zhì)量，隨機采訪了120名參賽人員，得到下表：滿意度性別合計女性男性比較滿意rs50非常滿意t4070合計60l120(1)求r?sl?t(2)依據(jù)小概率值α=0.1的獨立性檢驗，能否認為不同性別的參賽人員對該部門服務質(zhì)量的評價有差異？(3)用頻率估計概率，現(xiàn)隨機采訪1名女性參賽人員與1名男性參賽人員，設X表示這2人中對該部門服務質(zhì)量非常滿意的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.附：χ2=nα0.10.010.001x2.7066.63510.828【變式6-1】近年來，隨著智能手機的普及，網(wǎng)上買菜迅速進入了我們的生活，某小區(qū)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的居民認定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的居民認定為“不喜歡網(wǎng)上買菜”.為了解該社區(qū)居民網(wǎng)上買菜的情況，工作人員隨機抽取了該社區(qū)100名居民，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計年齡不超過45歲的居民401050年齡超過45歲的居民203050合計6040100(1)試根據(jù)a=0.05的χ2(2)居民小張周一、二均在網(wǎng)上買菜，且周一等可能地從兩個買菜平臺隨機選擇一個下單買菜．如果周一選擇在A平臺買菜，那么周二選擇在A平臺買菜的概率為45；如果周一選擇在B平臺買菜，那么周二選擇在A平臺買菜的概率為13，求小張周二選擇在(3)用頻率估計概率，現(xiàn)從該社區(qū)隨機抽取10名居民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的居民人數(shù)為隨機變量X，并記隨機變量Y=2X+3，求X，Y的數(shù)學期望和方差．參考公式及數(shù)據(jù)：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【變式6-2】文旅部門統(tǒng)計了某網(wǎng)紅景點在2022年3月至7月的旅游收入y（單位：萬），得到以下數(shù)據(jù)：月份x34567旅游收入y1012111220(1)根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用相關系數(shù)r加以判斷，是否可用線性回歸模型擬合y與x的