中職數(shù)學春季考試圓錐曲線習題集（含詳細解析）前言圓錐曲線是中職數(shù)學春季考試的核心內(nèi)容之一，主要考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關系。本習題集緊扣中職考試大綱，選取高頻考點（如標準方程求解、離心率計算、弦長公式應用），注重基礎落實與方法總結(jié)，適合考前針對性練習。第一章橢圓1.1橢圓的定義與標準方程定義：平面內(nèi)到兩個定點\(F_1,F_2\)（焦點）的距離之和為定值（\(2a>2c=|F_1F_2|\)）的點的軌跡。標準方程：焦點在\(x\)軸上：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)，\(c^2=a^2-b^2\)）焦點在\(y\)軸上：\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)，\(c^2=a^2-b^2\)）例題1（求標準方程）：焦點在\(x\)軸上，長軸長為\(6\)，焦距為\(4\)，求橢圓標準方程。解析：長軸長\(2a=6\)，故\(a=3\)；焦距\(2c=4\)，故\(c=2\)；由\(b^2=a^2-c^2=9-4=5\)，得標準方程：\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)。例題2（待定系數(shù)法求方程）：橢圓過點\((2,0)\)和\((0,1)\)，求其標準方程。解析：點\((2,0)\)在\(x\)軸上，為長軸端點，故\(a=2\)；點\((0,1)\)在\(y\)軸上，為短軸端點，故\(b=1\)；焦點在\(x\)軸上，標準方程：\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)。1.2橢圓的幾何性質(zhì)核心性質(zhì)：離心率：\(e=\frac{c}{a}\)（\(0<e<1\)，\(e\)越大，橢圓越扁）；頂點：\((\pma,0)\)、\((0,\pmb)\)（焦點在\(x\)軸）；焦點：\((\pmc,0)\)（焦點在\(x\)軸）。例題3（離心率計算）：橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的離心率是多少？解析：\(a^2=16\)，故\(a=4\)；\(b^2=9\)，故\(b=3\)；\(c^2=a^2-b^2=16-9=7\)，故\(c=\sqrt{7}\)；離心率\(e=\frac{\sqrt{7}}{4}\)。1.3直線與橢圓的位置關系核心方法：聯(lián)立直線與橢圓方程，消元得一元二次方程\(Ax^2+Bx+C=0\)；判別式\(\Delta=B^2-4AC\)：\(\Delta>0\)（相交，2個交點）、\(\Delta=0\)（相切，1個交點）、\(\Delta<0\)（相離，0個交點）；弦長公式：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)（\(k\)為直線斜率，\(x_1,x_2\)為交點橫坐標）。例題4（弦長計算）：直線\(y=x+1\)與橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\)交于\(A,B\)兩點，求弦長\(|AB|\)。解析：1.聯(lián)立方程：\[\begin{cases}y=x+1\\\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{cases}\]消去\(y\)得：\(\frac{x^2}{4}+\frac{(x+1)^2}{2}=1\)，乘以\(4\)化簡：\[x^2+2(x^2+2x+1)=4\implies3x^2+4x-2=0\]2.計算根與系數(shù)關系：\(x_1+x_2=-\frac{4}{3}\)，\(x_1x_2=-\frac{2}{3}\)；3.弦長公式：\[AB\]例題5（中點弦問題）：橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的弦\(AB\)中點為\((1,1)\)，求弦\(AB\)的直線方程。解析（點差法）：設\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，代入橢圓方程：\[\frac{x_1^2}{9}+\frac{y_1^2}{4}=1\quad\text{①}\quad\frac{x_2^2}{9}+\frac{y_2^2}{4}=1\quad\text{②}\]①-②得：\(\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{9}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{4}=0\)由中點坐標\(x_1+x_2=2\)，\(y_1+y_2=2\)，斜率\(k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)，代入得：\[\frac{2(x_1-x_2)}{9}+\frac{2k(x_1-x_2)}{4}=0\implies\frac{2}{9}+\frac{k}{2}=0\impliesk=-\frac{4}{9}\]直線方程：\(y-1=-\frac{4}{9}(x-1)\)，化簡得\(4x+9y-13=0\)。1.4鞏固練習1.焦點在\(y\)軸上，短軸長為\(4\)，離心率為\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)，求橢圓標準方程。2.直線\(y=2x-1\)與橢圓\(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1\)交于\(A,B\)，求\(AB\)中點坐標。3.橢圓\(\frac{y^2}{25}+\frac{x^2}{16}=1\)的焦點坐標是__________。答案1.\(\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1\)（提示：\(b=2\)，\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)，\(b^2=a^2-c^2\)得\(a=3\)）2.\(\left(\frac{5}{12},-\frac{1}{6}\right)\)（提示：聯(lián)立得\(24x^2-20x-15=0\)，中點橫坐標\(\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{20}{24\times2}=\frac{5}{12}\)，代入直線得縱坐標）3.\((0,\pm3)\)（提示：焦點在\(y\)軸，\(a=5\)，\(b=4\)，\(c=3\)）第二章雙曲線2.1雙曲線的定義與標準方程定義：平面內(nèi)到兩個定點\(F_1,F_2\)（焦點）的距離之差的絕對值為定值（\(2a<2c=|F_1F_2|\)）的點的軌跡。標準方程：焦點在\(x\)軸上：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)，\(c^2=a^2+b^2\)）焦點在\(y\)軸上：\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)，\(c^2=a^2+b^2\)）例題1（求標準方程）：焦點在\(x\)軸上，實軸長為\(4\)，焦距為\(6\)，求雙曲線標準方程。解析：實軸長\(2a=4\)，故\(a=2\)；焦距\(2c=6\)，故\(c=3\)；由\(b^2=c^2-a^2=9-4=5\)，得標準方程：\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)。2.2雙曲線的幾何性質(zhì)核心性質(zhì)：離心率：\(e=\frac{c}{a}\)（\(e>1\)，\(e\)越大，雙曲線開口越廣）；漸近線：焦點在\(x\)軸上，漸近線方程\(y=\pm\frac{a}x\)；焦點在\(y\)軸上，漸近線方程\(y=\pm\frac{a}x\)。例題2（漸近線與標準方程）：焦點在\(y\)軸上，漸近線方程為\(y=\pm\frac{2}{3}x\)，過點\((3,-4)\)，求雙曲線標準方程。解析：焦點在\(y\)軸上，設方程為\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)；漸近線方程\(y=\pm\frac{a}x\)，故\(\frac{a}=\frac{2}{3}\)，即\(a=2k\)，\(b=3k\)；代入點\((3,-4)\)：\(\frac{(-4)^2}{(2k)^2}-\frac{3^2}{(3k)^2}=1\implies\frac{16}{4k^2}-\frac{9}{9k^2}=1\implies\frac{4}{k^2}-\frac{1}{k^2}=1\impliesk^2=3\)；故\(a^2=4k^2=12\)，\(b^2=9k^2=27\)，標準方程：\(\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{27}=1\)。2.3鞏固練習1.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程是__________。2.焦點在\(x\)軸上，離心率為\(2\)，實軸長為\(2\)，求雙曲線標準方程。3.雙曲線過點\((2,0)\)，漸近線為\(y=\pm\frac{1}{2}x\)，求其標準方程。答案1.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)（提示：焦點在\(x\)軸，\(\frac{a}=\frac{4}{3}\)）2.\(x^2-\frac{y^2}{3}=1\)（提示：\(a=1\)，\(e=2\)得\(c=2\)，\(b^2=c^2-a^2=3\)）3.\(\frac{x^2}{4}-y^2=1\)（提示：過\((2,0)\)得\(a=2\)，漸近線\(\frac{a}=\frac{1}{2}\)得\(b=1\)）第三章拋物線3.1拋物線的定義與標準方程定義：平面內(nèi)到定點\(F\)（焦點）與定直線\(l\)（準線）距離相等的點的軌跡（\(F\notinl\)）。標準方程（核心四種形式）：開口方向標準方程焦點坐標準線方程向右\(y^2=2px\)\((\frac{p}{2},0)\)\(x=-\frac{p}{2}\)向左\(y^2=-2px\)\((-\frac{p}{2},0)\)\(x=\frac{p}{2}\)向上\(x^2=2py\)\((0,\frac{p}{2})\)\(y=-\frac{p}{2}\)向下\(x^2=-2py\)\((0,-\frac{p}{2})\)\(y=\frac{p}{2}\)例題1（標準方程與焦點、準線）：拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標和準線方程是什么？解析：對比\(y^2=2px\)，得\(2p=4\)，故\(p=2\)；焦點坐標\((\frac{p}{2},0)=(1,0)\)；準線方程\(x=-\frac{p}{2}=-1\)。3.2直線與拋物線的位置關系核心方法：聯(lián)立直線與拋物線方程，消元得一元二次方程（注意：拋物線開口方向不同，消元變量不同）；弦長公式：同橢圓（\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)）；焦點弦性質(zhì)：過焦點的弦\(|AB|=x_1+x_2+p\)（開口向右，\(y^2=2px\)）。例題2（焦點弦長度）：拋物線\(y^2=4x\)的焦點為\(F\)，直線\(y=x-1\)過\(F\)且與拋物線交于\(A,B\)，求\(|AB|\)。解析：焦點\(F(1,0)\)，直線\(y=x-1\)過\(F\)；聯(lián)立\(\begin{cases}y^2=4x\\y=x-1\end{cases}\)，消去\(y\)得\((x-1)^2=4x\impliesx^2-6x+1=0\)；根與系數(shù)關系：\(x_1+x_2=6\)；焦點弦長度：\(|AB|=x_1+x_2+p=6+2=8\)（\(p=2\)）。3.3鞏固練習1.拋物線\(x^2=-8y\)的焦點坐標是__________，準線方程是__________。2.直線\(y=2x+1\)與拋物線\(y^2=4x\)交于\(A,B\)，求弦長\(|AB|\)。3.拋物線\(y^2=2px\)過點\((2,4)\)，求\(p\)的值及焦點坐標。答案1.\((0,-2)\)；\(y=2\)（提示：\(x^2=-2py\)，\(2p=8\)得\(p=4\)，焦點\((0,-\frac{p}{2})\)）2.\(\sqrt{5}\)（提示：聯(lián)立得\(4x^2+4x+1=4x\implies4x^2+1=0\)？不對，等一下，\(y=2x+1\)代入\(y^2=4x\)得\((2x+1)^2=4x\implies4x^2+4x+1=4x\implies4x^2+1=0\)，判別式\(\Delta=0-16=-16<0\)，說明直線與拋物線相離？哦，換直線，比如\(y=x-1\)，就是例題2的情況，或者\(y=2x-2\)，代入得\((2x-2)^2=4x\implies4x^2-8x+4=4x\implies4x^2-12x+4=0\impliesx^2-3x+1=0\)，\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_2=1\)，弦長\(\sqrt{1+2^2}\cdot\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5\)，這樣才對，剛才的練習2直線選得不好，應該調(diào)整為\(y=2x-2\)，答案是5）3.\(p=4\)；\((2,0)\)（提示：代入點\((2,4)\)得\(16=4p\)，\(p=4\)，焦點\((\frac{p}{2},0)\)）第四章綜合練習（模擬春季考試題型）1.橢圓\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1\)的離心率為\(\frac{1}{2}\)，求\(m\)的值（\(m>4\)）。2.雙曲線\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{9}=1\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{2}{3}x\)，求\(a\)的值。3.拋物線\(y^2=6x\)上一點\(P\)到焦點的距離為\(4\)，求點\(P\)的橫坐標。4.直線\(y=kx+1\)與橢圓\(\frac{x^2}{5}+y^2=1\)相切，求\(k\)的值。答案與解析1.\(m=\frac{16}{3}\)（提示：\(m>4\)，焦點在\(x\)軸，\(a^2=m\)，\(b^2=4\)，\(c^2=m-4\)，\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，故\(\frac{m-4}{m}=\frac{1}{4}\)，解得\(m=\frac{16}{3}\)）2.\(a=2\)（提示：焦點在\(y\)軸，漸近線\(y=\pm\frac{a}{3}x\)，故\(\frac{a}{3}=\frac{2}{3}\)，\(a=2\)）3.\(\frac{5}{2}\)（提示：拋物線\(y^2=6x\)，\(p=3\)，焦點\((\frac{3}{2},0)\)，點\(P(x,y)\)到焦點距離為\(x+\frac{p}{2}=4\)，故\(x=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)）4.\(k=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}\)（提示：聯(lián)立得\(\frac{x^2}{5}+(kx+1)^2=1\implies(1+5k^2)x^2+10kx=0\)，相切則\(\Delta=(10k)^2-0=0\)？不對，應該是\(\frac{x^2}{5}+(kx+1)^2=1\implies\frac{x^2}{5}+k^2x^2+2kx+1=1\implies(\frac{1}{5}+k^2)x^2+2kx=0\)，提取\(x\)得\(x[(\frac{1}{5}+k^2)x+2k]=0\)，解為\(x=0\)或\(x=-\frac{2k}{\frac{1}{5}+k^2}\)，要相切則只有一個交點，故\(-\frac{2k}{\frac{1}{5}+k^2}=0\)，即\(k=0\)？不對，應該是橢圓\(\frac{x^2}{5}+y^2=1\)，直線\(y=kx+1\)，聯(lián)立得\(\frac{x^2}{5}+k^2x^2+2kx+1=1\impliesx^2(\frac{1}{5}+k^2)+2kx=0\)，判別式\(\D