§2實際問題的函數(shù)建模教學設計-2025-2026學年高中數(shù)學北師大版2011必修1-北師大版2006科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）§2實際問題的函數(shù)建模教學設計-2025-2026學年高中數(shù)學北師大版2011必修1-北師大版2006設計意圖本教學設計旨在通過實際問題引入函數(shù)建模的概念，幫助學生理解函數(shù)模型在解決實際問題中的應用。通過結合北師大版2011年版高中數(shù)學必修1和北師大版2006版教材，引導學生運用所學知識分析和解決實際問題，提高學生的數(shù)學思維能力和實際問題解決能力。核心素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)學生運用數(shù)學語言描述現(xiàn)實問題的能力，提升數(shù)學建模意識。

2.強化學生運用函數(shù)模型解決實際問題的能力，提高邏輯推理和數(shù)學運算能力。

3.培養(yǎng)學生數(shù)據分析觀念，學會從數(shù)據中提取信息，形成數(shù)學直觀。

4.增強學生團隊合作與交流能力，學會與他人共同分析問題、解決問題。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

學生在進入本節(jié)課之前，已經學習了函數(shù)的基本概念、一次函數(shù)、二次函數(shù)等基礎數(shù)學知識，具備了一定的數(shù)學運算能力和圖形直觀能力。此外，學生可能已經接觸過一些簡單的實際問題，并嘗試用數(shù)學語言進行描述和解決。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

高中生普遍對數(shù)學學習抱有濃厚興趣，尤其是對于能夠應用數(shù)學知識解決實際問題的情境。學生們的學習能力強，能夠快速掌握新知識，但部分學生可能在邏輯思維和抽象推理方面存在一定困難。學習風格上，學生既有偏好獨立思考的，也有傾向于團隊合作的學習者。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

學生在函數(shù)建模過程中可能遇到的困難包括：如何將實際問題轉化為數(shù)學模型，如何選擇合適的函數(shù)形式，如何處理數(shù)據收集和分析的困難等。此外，學生可能難以理解數(shù)學模型在實際問題中的應用，以及如何將數(shù)學模型應用于實際問題中，這些問題可能影響學生對函數(shù)建模的理解和應用能力。教學資源準備1.教材：確保每位學生都有北師大版2011年版高中數(shù)學必修1和北師大版2006版教材，以便學生能夠跟隨課本內容進行學習。

2.輔助材料：準備與教學內容相關的實際問題案例、函數(shù)圖像圖表、以及解決實際問題的視頻資料，以增強學生的直觀理解和實踐應用。

3.教學工具：準備計算器、白板或投影儀等教學工具，以便進行函數(shù)圖像展示和計算演示。

4.教室布置：設置分組討論區(qū)，確保學生能夠進行小組合作學習；同時，根據需要布置實驗操作臺，以便進行簡單的數(shù)學實驗活動。教學過程一、導入（約5分鐘）

1.激發(fā)興趣：通過展示一系列與生活緊密相關的實際問題，如商品銷售、人口增長等，引導學生思考這些問題背后的數(shù)學模型。

2.回顧舊知：簡要回顧一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)的基本概念，以及如何根據實際問題選擇合適的函數(shù)形式。

二、新課呈現(xiàn)（約30分鐘）

1.講解新知：

-介紹函數(shù)建模的基本步驟，包括問題分析、模型建立、模型求解、模型檢驗等。

-詳細講解如何將實際問題轉化為數(shù)學模型，包括確定變量、建立方程、選擇函數(shù)形式等。

-通過實例展示如何運用函數(shù)模型解決實際問題，如商品銷售預測、人口增長預測等。

2.舉例說明：

-以商品銷售預測為例，展示如何收集數(shù)據、建立函數(shù)模型、進行預測和分析。

-以人口增長預測為例，展示如何運用指數(shù)函數(shù)模型進行預測和分析。

3.互動探究：

-引導學生分組討論，針對實際問題提出自己的函數(shù)模型。

-鼓勵學生運用計算器或軟件進行模型求解，并分析結果。

三、鞏固練習（約20分鐘）

1.學生活動：

-學生根據所學知識，嘗試解決教材中的實際問題。

-學生分組合作，共同完成一個實際問題的函數(shù)建模。

2.教師指導：

-教師巡視課堂，觀察學生的學習情況，及時給予指導和幫助。

-教師針對學生的疑問進行解答，確保學生能夠理解并掌握知識點。

四、課堂小結（約5分鐘）

1.教師總結本節(jié)課的主要內容，強調函數(shù)建模在解決實際問題中的重要性。

2.引導學生反思自己在學習過程中的收獲和不足，并提出改進措施。

五、課后作業(yè)（約15分鐘）

1.學生根據教材內容，完成課后練習題，鞏固所學知識。

2.學生選擇一個自己感興趣的實際問題，嘗試運用函數(shù)模型進行解決。

六、教學反思

1.教師在課后對教學過程進行反思，總結教學過程中的亮點和不足。

2.教師根據學生的反饋，調整教學策略，提高教學質量。知識點梳理1.函數(shù)建模的基本步驟：

-問題分析：明確問題的背景、目標，確定問題的數(shù)學描述。

-模型建立：根據問題分析，選擇合適的函數(shù)形式，建立數(shù)學模型。

-模型求解：運用數(shù)學方法求解模型，得到數(shù)學解。

-模型檢驗：驗證模型在實際問題中的適用性和準確性。

2.實際問題的數(shù)學描述：

-識別變量：確定問題中的變量，如時間、價格、數(shù)量等。

-建立函數(shù)關系：根據變量之間的關系，建立相應的函數(shù)模型。

-函數(shù)形式選擇：根據問題的性質和需求，選擇合適的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。

3.數(shù)據收集與處理：

-數(shù)據來源：收集與問題相關的數(shù)據，如實驗數(shù)據、調查數(shù)據、歷史數(shù)據等。

-數(shù)據整理：對收集到的數(shù)據進行整理、清洗，確保數(shù)據的準確性和完整性。

-數(shù)據分析：運用統(tǒng)計方法對數(shù)據進行分析，提取有用信息。

4.模型求解方法：

-代入法：將已知條件代入函數(shù)模型，求解未知數(shù)。

-解方程法：根據函數(shù)模型建立方程，求解方程得到解。

-數(shù)值方法：運用計算機或計算器進行數(shù)值計算，得到近似解。

5.模型檢驗方法：

-與實際數(shù)據對比：將模型求解結果與實際數(shù)據進行對比，檢驗模型的準確性。

-敏感性分析：分析模型對輸入參數(shù)變化的敏感程度，評估模型的穩(wěn)定性。

-模型驗證：通過實際應用驗證模型的實用性和可靠性。

6.函數(shù)模型在實際問題中的應用：

-商品銷售預測：運用函數(shù)模型預測商品的銷售趨勢，為庫存管理、定價策略等提供依據。

-人口增長預測：運用指數(shù)函數(shù)模型預測人口增長趨勢，為政策制定、資源規(guī)劃等提供參考。

-資金流量預測：運用函數(shù)模型預測資金流量，為財務管理和投資決策提供支持。

7.團隊合作與交流：

-小組討論：鼓勵學生在小組內進行討論，共同分析問題、解決問題。

-交流分享：引導學生將所學知識與他人分享，提高學生的表達能力。

-協(xié)作完成：讓學生在小組內分工合作，共同完成實際問題函數(shù)建模任務。

8.教學評價：

-課堂表現(xiàn)：觀察學生在課堂上的參與度、討論積極性等。

-作業(yè)完成情況：檢查學生課后作業(yè)的完成質量，了解學生對知識的掌握程度。

-實際應用能力：評估學生在實際問題中運用函數(shù)模型解決實際問題的能力。內容邏輯關系①函數(shù)建模的基本步驟

①.1問題分析：明確問題的背景、目標，確定問題的數(shù)學描述。

①.2模型建立：根據問題分析，選擇合適的函數(shù)形式，建立數(shù)學模型。

①.3模型求解：運用數(shù)學方法求解模型，得到數(shù)學解。

①.4模型檢驗：驗證模型在實際問題中的適用性和準確性。

②實際問題的數(shù)學描述

②.1識別變量：確定問題中的變量，如時間、價格、數(shù)量等。

②.2建立函數(shù)關系：根據變量之間的關系，建立相應的函數(shù)模型。

②.3函數(shù)形式選擇：根據問題的性質和需求，選擇合適的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。

③數(shù)據收集與處理

③.1數(shù)據來源：收集與問題相關的數(shù)據，如實驗數(shù)據、調查數(shù)據、歷史數(shù)據等。

③.2數(shù)據整理：對收集到的數(shù)據進行整理、清洗，確保數(shù)據的準確性和完整性。

③.3數(shù)據分析：運用統(tǒng)計方法對數(shù)據進行分析，提取有用信息。

④模型求解方法

④.1代入法：將已知條件代入函數(shù)模型，求解未知數(shù)。

④.2解方程法：根據函數(shù)模型建立方程，求解方程得到解。

④.3數(shù)值方法：運用計算機或計算器進行數(shù)值計算，得到近似解。

⑤模型檢驗方法

⑤.1與實際數(shù)據對比：將模型求解結果與實際數(shù)據進行對比，檢驗模型的準確性。

⑤.2敏感性分析：分析模型對輸入參數(shù)變化的敏感程度，評估模型的穩(wěn)定性。

⑤.3模型驗證：通過實際應用驗證模型的實用性和可靠性。

⑥函數(shù)模型在實際問題中的應用

⑥.1商品銷售預測：運用函數(shù)模型預測商品的銷售趨勢。

⑥.2人口增長預測：運用指數(shù)函數(shù)模型預測人口增長趨勢。

⑥.3資金流量預測：運用函數(shù)模型預測資金流量。

⑦團隊合作與交流

⑦.1小組討論：共同分析問題、解決問題。

⑦.2交流分享：提高學生的表達能力。

⑦.3協(xié)作完成：共同完成實際問題函數(shù)建模任務。

⑧教學評價

⑧.1課堂表現(xiàn)：觀察學生在課堂上的參與度、討論積極性等。

⑧.2作業(yè)完成情況：檢查學生課后作業(yè)的完成質量。

⑧.3實際應用能力：評估學生在實際問題中運用函數(shù)模型解決實際問題的能力。重點題型整理1.題型一：實際問題轉化為函數(shù)模型

-題目：某城市人口在過去10年中每年增加1%，如果初始人口為100萬，請建立人口增長的函數(shù)模型。

-答案：設第n年的人口為P(n)，則人口增長的函數(shù)模型為P(n)=100萬×(1+1%)^n。

2.題型二：函數(shù)模型求解

-題目：某商品的價格隨時間變化，已知2018年的價格為100元，之后每年上漲5%，求2023年的商品價格。

-答案：設商品價格為y元，時間為t年，則價格變化的函數(shù)模型為y=100×(1+5%)^t。代入t=2023，得y=100×(1+5%)^5≈128.28元。

3.題型三：函數(shù)模型的應用

-題目：某工廠生產某種產品，每增加1個工人的效率可以提高10%，已知工廠目前有10個工人，每月生產量為1000件，求增加工人后每月的最大生產量。

-答案：設工人數(shù)為x，生產量為y件，則生產效率的函數(shù)模型為y=1000×(1+10%)^x。由于工人數(shù)不能為負數(shù)，最大生產量出現(xiàn)在工人數(shù)達到一定值時，此時y的值最大。通過計算可得，當x=6時，y的最大值為約1464件。

4.題型四：函數(shù)模型檢驗

-題目：已知某地區(qū)年降雨量隨時間變化的函數(shù)模型為y=200+20t-0.5t^2，其中t為年份，y為年降雨量（單位：毫米）。請檢驗該模型在t=10年時的降雨量是否符合實際。

-答案：將t=10代入函數(shù)模型，得y=200+20×10-0.5×10^2=300毫米。假設實際降雨量為320毫米，則模型在t=10年時的預測降雨量與實際降雨量較為接近，可以認為模型在該時間點的準確性較高。

5.題型五：函數(shù)模型的選擇

-題目：某地區(qū)氣溫隨時間變化的趨勢如圖所示，請根據圖像選擇合適的函數(shù)模型來描述氣溫變化。

-答案：根據圖像可知，氣溫隨時間呈非線性變化，且在某個時間段內變化較為平緩。因此，可以選擇二次函數(shù)模型來描述氣溫變化，如y=ax^2+bx+c，其中a、b、c為待定系數(shù)。通過收集氣溫數(shù)據，可以進一步確定系數(shù)的具體值。課堂小結，當堂檢測課堂小結：

1.本節(jié)課我們學習了函數(shù)建模的基本步驟，包括問題分析、模型建立、模型求解和模型檢驗。

2.我們了解了如何將實際問題轉化為數(shù)學模型，包括識別變量、建立函數(shù)關系和選擇函數(shù)形式。

3.我們學習了如何收集和處理數(shù)據，以及如何運用數(shù)學方法求解模型。

4.我們探討了函數(shù)模型在實際問題中的應用，如商品銷售預測、人口增長預測等。

5.我們強調了團隊合作與交流在函數(shù)建模過程中的重要性。

當堂檢測：

1.請根據以下實際問題建立相應的函數(shù)模型：

-問題：某城市的人口每年以2%的速度增長，如果初始人口為50萬，請建立人口增長的函數(shù)模型。

2.已知某商品的價格隨時間變化的函數(shù)模型為y=150×(1+0.1)^t，其中t為時間（年），y為價格（元）。請計算5年后該商品的價格。

3.某工廠的月產量隨工人數(shù)的增加而增加，已知當工人數(shù)為10人時，月產量為1000件，當工人數(shù)增加到15人時，月產量增加到1500件。請建立工人數(shù)與月產量之間的函數(shù)模型。

4.已知某地區(qū)年降雨量隨時間變化的函數(shù)模型為y=200+20t-0.5t^2，其中t為年份，y為年降雨量（單位：毫米）。請檢驗該模型在t=5年時的降雨量是否符合實際。

5.請根據以下圖像選擇合適的函數(shù)模型來描述氣溫變化，并解釋你的選擇理由。

檢測答案：

1.人口增長的函數(shù)模型為P(t)=50萬