考點(diǎn)規(guī)范練32平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用1.已知a,b為單位向量,其夾角為60°,則(2a-b)·b等于()A.-1 B.0 C.1 D.2答案:B解析:由已知得|a|=|b|=1,a與b的夾角θ=60°,則(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cosθ-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故選B.2.(多選)(2023新高考Ⅰ,3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),則()A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1答案:D解析:方法一:由題意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故選D.方法二:由題意得,a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0.∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故選D.因?yàn)閜+q=(2,-3)+(-4,6)=(-2,3),所以|p+q|=13.3.對(duì)任意平面向量a,b,下列關(guān)系式不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A項(xiàng),設(shè)向量a與b的夾角為θ,則a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立;B項(xiàng),當(dāng)a與b同向時(shí),|a-b|=||a|-|b||;當(dāng)a與b非零且反向時(shí),|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C項(xiàng),(a+b)2=|a+b|2恒成立;D項(xiàng),(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.故選B.4.在四邊形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),則該四邊形的面積為()A.5 B.25 C.5 D.10答案:C解析:依題意得,AC·BD=1×(-4)+2×2=0,則AC⊥BD.即四邊形ABCD的面積為12|AC5.若向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,且(a-b)⊥(2a+3b),則a與b夾角的余弦值為()A.112 B.336 C.215答案:D解析:由題意得(a-b)·(2a+3b)=2a2+a·b-3b2=0,而|a|=2,|b|=3,所以23cos<a,b>-1=0,故cos<a,b>=366.一條河流在流經(jīng)某區(qū)域時(shí),其南北兩岸平行,如圖所示.已知游船在靜水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4km/h,設(shè)v1和v2所成角為θ(0<θ<π),若游船要從南岸A碼頭航行到正北方向上位于北岸的B碼頭處,則cosθ等于()A.-215 B.-25 C.-35 D答案:B解析:由題意知(v1+v2)·v2=0,有|v1||v2|cosθ+v22=0,即10×4cosθ+42所以cosθ=-257.設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:A解析:m,n為非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即兩向量反向,夾角θ是180°,則m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反過來,若m·n<0,則兩向量的夾角θ∈π2,π,并不一定反向,即不一定存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn,所以是充分不必要條件.8.(多選)已知向量a=(3,1),b=(cosα,sinα)(α∈[0,π2]),則下列說法正確的有(A.|b|=1 B.若a∥b,則tanα=3C.a·b的最大值為2D.|a-b|的最大值為3答案:AC解析:對(duì)于A,|b|=cos2α+sin2α=1,A正確;對(duì)于B,若a∥b,則3sin則tanα=33,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,a·b=3cosα+sinα=2sin(α+π3因?yàn)棣痢?,π2,所以α所以當(dāng)α+π3=π2時(shí),對(duì)于D,|a-b|=(3因?yàn)棣痢?,π2,所以α則sinα+即|a-b|max=5-4×9.如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則AE·BE的最小值為(A.2116 B.32 C.2516答案:A解析:如圖,取AB的中點(diǎn)F,連接EF,AE·BE=(AE+BE)2-(AE當(dāng)EF⊥CD時(shí),|EF|最小,即AE·BE取最小值.過點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H,由AD⊥CD,EF⊥CD,可得EH=AD=1,∠DAH=90因?yàn)椤螪AB=120°,所以∠HAF=30°.在Rt△AFH中,易知AF=12,HF=1所以EF=EH+HF=1+14即(AE·BE)min=10.(多選)在日常生活中,我們會(huì)看到兩人共提一個(gè)行李包的情景.假設(shè)行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為F1,F2,且|F1|=|F2|,F1與F2的夾角為θ.以下結(jié)論正確的是()A.θ越大越費(fèi)力,θ越小越省力B.θ的范圍為[0,π]C.當(dāng)θ=π2時(shí),|F1|=|GD.當(dāng)θ=2π3時(shí),|F1|=|答案:AD解析:對(duì)于A,因?yàn)閨G|=|F1+F2|為定值,所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cosθ=2|F1|2(1+cosθ),解得|F1|2=|由題意知,當(dāng)θ∈(0,π)時(shí),y=cosθ單調(diào)遞減,所以|F1|2單調(diào)遞增,即θ越大越費(fèi)力,θ越小越省力,A正確.