第1頁、共2頁2014年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試上海數(shù)學試卷(理工農(nóng)醫(yī)類)考生注意：1.本試卷共4頁，23道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.2.本考試分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.3.答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準考證號，并將核對后的條形碼貼在指定位置上，在答題紙反面清楚地填寫姓名.一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.1.（2014）函數(shù)的最小正周期是.2.（2014）若復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則.3.（2014）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則該拋物線的準線方程為.4.（2014）設(shè)若，則的取值范圍為.5.（2014）若實數(shù)滿足，則的最小值為.6.（2014）若圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，則其母線與底面夾角的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.7.（2014）已知曲線的極坐標方程為，則與極軸的交點到極點的距離是.8.（2014）設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為，若，則.9.（2014）若，則滿足的的取值范圍是.10.（2014）為強化安全意識，某商場擬在未來的連續(xù)天中隨機選擇天進行緊急疏散演練，則選擇的天恰好為連續(xù)天的概率是（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）.11.（2014）已知互異的復(fù)數(shù)滿足，集合，則.12.（2014）設(shè)常數(shù)使方程在閉區(qū)間上恰有三個解，則.13.（2014）某游戲的得分為，隨機變量表示小白玩該游戲的得分.若，則小白得分的概率至少為.14.（2014）已知曲線，直線.若對于點，存在上的點和上的使得，則的取值范圍為.二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.15.（2014）設(shè)，則“”是“且”的 （）(A)充分條件. (B)必要條件.(C)充分必要條件. (D)既非充分又非必要條件.16.（2014）如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點，則的不同值的個數(shù)為（）(A).(B).(C).(D).17.（2014）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于和的方程組的解的情況是 （）(A)無論如何，總是無解. (B)無論如何，總有唯一解.(C)存在，使之恰有兩解. (D)存在，使之有無窮多18.（2014）設(shè)若是的最小值，則的取值范圍為（）(A). (B). (C). (D).三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19.（2014）(本題滿分12分)底面邊長為的正三棱錐，其表面展開圖是三角形，如圖.求的各邊長及此三棱錐的體積.20.（2014）(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.設(shè)常數(shù)，函數(shù).(1)若，求函數(shù)的反函數(shù)；(2)根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由.21.（2014）(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，某公司要在兩地連線上的定點處建造廣告牌，其中為頂端，長米，長米.設(shè)點在同一水平面上，從和看的仰角分別為和.(1)設(shè)計中是鉛垂方向.若要求，問的長至多為多少（結(jié)果精確到米）？ (2)施工完成后，與鉛垂方向有偏差．現(xiàn)在實測得，，求的長（結(jié)果精確到米）.22.（2014）(本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.在平面直角坐標系中，對于直線和點，記.若，則稱點被直線分割.若曲線與直線沒有公共點，且曲線上存在點被直線分割，則稱直線為曲線的一條分割線.(1)求證：點被直線分割；(2)若直線是曲線的分割線，求實數(shù)的取值范圍；(3)動點到點的距離與到軸的距離之積為，設(shè)點的軌跡為曲線.求證：通過原點的直線中，有且僅有一條直線是的分割線.（2014）(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分7分，第3小題滿分8分.已知數(shù)列滿足，，.(1)若，求的取值范圍；(2)設(shè)是公比為的等比數(shù)列，.若，，求的取值范圍；若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時相應(yīng)數(shù)列的公差.以下內(nèi)容，題后含答案、解析2014年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試上海數(shù)學試卷(理工農(nóng)醫(yī)類)一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.1.（2014）函數(shù)的最小正周期是.【解析】：原式＝，2.（2014）若復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則.【解析】：原式＝3.（2014）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則該拋物線的準線方程為.【解析】：橢圓右焦點為，即拋物線焦點，所以準線方程4.（2014）設(shè)若，則的取值范圍為.【解析】：根據(jù)題意，，∴5.（2014）若實數(shù)滿足，則的最小值為.【解析】：6.（2014）若圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，則其母線與底面夾角的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【解析】：設(shè)圓錐母線長為，底面圓半徑為，∵，∴，即，∴，即母線與底面夾角大小為7.（2014）已知曲線的極坐標方程為，則與極軸的交點到極點的距離是.【解析】：曲線的直角坐標方程為，與軸的交點為，到原點距離為8.（2014）設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為，若，則.【解析】：，∵，∴9.（2014）若，則滿足的的取值范圍是.【解析】：，結(jié)合冪函數(shù)圖像，如下圖，可得的取值范圍是10.（2014）為強化安全意識，某商場擬在未來的連續(xù)天中隨機選擇天進行緊急疏散演練，則選擇的天恰好為連續(xù)天的概率是（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）.【解析】：11.（2014）已知互異的復(fù)數(shù)滿足，集合，則.【解析】：第一種情況：，∵，∴，與已知條件矛盾，不符；第二種情況：，∴，∴，即；12.（2014）設(shè)常數(shù)使方程在閉區(qū)間上恰有三個解，則.【解析】：化簡得，根據(jù)下圖，當且僅當時，恰有三個交點，即13.（2014）某游戲的得分為，隨機變量表示小白玩該游戲的得分.若，則小白得分的概率至少為.【解析】：設(shè)得分的概率為，∴，且，∴，與前式相減得：，∵，∴，即14.（2014）已知曲線，直線.若對于點，存在上的點和上的使得，則的取值范圍為.【解析】：根據(jù)題意，是中點，即，∵，∴二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.15.（2014）設(shè)，則“”是“且”的 （）(A)充分條件. (B)必要條件.(C)充分必要條件. (D)既非充分又非必要條件.【解析】：B16.（2014）如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點，則的不同值的個數(shù)為（）(A).(B).(C).(D).【解析】：根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，等于乘以在方向上的投影，而在方向上的投影是定值，也是定值，∴為定值，∴選A17.（2014）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于和的方程組的解的情況是 （）(A)無論如何，總是無解. (B)無論如何，總有唯一解.(C)存在，使之恰有兩解. (D)存在，使之有無窮多解.【解析】：由已知條件，，，∴有唯一解，選B18.（2014）設(shè)若是的最小值，則的取值范圍為（）(A). (B). (C). (D).【解析】：先分析的情況，是一個對稱軸為的二次函數(shù)，當時，，不符合題意，排除AB選項；當時，根據(jù)圖像，即符合題意，排除C選項；∴選D；三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19.（2014）(本題滿分12分)底面邊長為的正三棱錐，其表面展開圖是三角形，如圖.求的各邊長及此三棱錐的體積.【解析】：根據(jù)題意可得共線，∵，，∴，∴，同理，∴△是等邊三角形，是正四面體，所以△邊長為4；∴20.（2014）(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.設(shè)常數(shù)，函數(shù).(1)若，求函數(shù)的反函數(shù)；(2)根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由.【解析】：（1）∵，∴，∴，∴，∴，（2）若為偶函數(shù)，則，∴，整理得，∴，此時為偶函數(shù)若為奇函數(shù)，則，∴，整理得，∵，∴，此時為奇函數(shù)當時，此時既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)21.（2014）(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，某公司要在兩地連線上的定點處建造廣告牌，其中為頂端，長米，長米.設(shè)點在同一水平面上，從和看的仰角分別為和.(1)設(shè)計中是鉛垂方向.若要求，問的長至多為多少（結(jié)果精確到米）？ (2)施工完成后，與鉛垂方向有偏差．現(xiàn)在實測得，，求的長（結(jié)果精確到米）.【解析】：（1）設(shè)的長為米，則，∵，∴，∴，∴，解得，∴的長至多為米（2）設(shè)，，則，解得，∴，∴的長為米22.（2014）(本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.在平面直角坐標系中，對于直線和點，記.若，則稱點被直線分割.若曲線與直線沒有公共點，且曲線上存在點被直線分割，則稱直線為曲線的一條分割線.(1)求證：點被直線分割；(2)若直線是曲線的分割線，求實數(shù)的取值范圍；(3)動點到點的距離與到軸的距離之積為，設(shè)點的軌跡為曲線.求證：通過原點的直線中，有且僅有一條直線是的分割線.【解析】：（1）將分別代入，得∴點被直線分割（2）聯(lián)立，得，依題意，方程無解，∴，∴或（3）設(shè)，則，∴曲線的方程為①當斜率不存在時，直線，顯然與方程①聯(lián)立無解，又為上兩點，且代入，有，∴是一條分割線；當斜率存在時，設(shè)直線為，代入方程得：，令，則，，，當時，，∴，即在之間存在實根，∴與曲線有公共點當時，，即在之間存在實根，∴與曲線有公共點∴直線與曲線始終有公共點，∴不是分割線，綜上，所有通過原點的直線中，有且僅有一條直線是的分割線（2014）(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分7分，第3小題滿分8分.已知數(shù)列滿足，，.(1)若，求的取值范圍；(2)設(shè)是公比為的等比數(shù)列，.若，，求的取值范圍；若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取