定積分題目及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與下列哪個(gè)因素?zé)o關(guān)（）A.被積函數(shù)\(f(x)\)B.積分下限\(a\)C.積分變量\(x\)D.積分上限\(b\)2.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)等于（）A.\(F(a)-F(b)\)B.\(F(b)-F(a)\)C.\(F^\prime(b)-F^\prime(a)\)D.\(f(b)-f(a)\)3.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.34.定積分\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)的值是（）A.0B.2C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{2}\)5.已知\(\int_{0}^{m}e^xdx=e-1\)，則\(m\)的值為（）A.0B.1C.\(e\)D.\(e+1\)6.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(\int_{a}^f(x)dx\gt0\)，則（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒大于0B.存在\(x_0\in[a,b]\)，使得\(f(x_0)\gt0\)C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒小于0D.存在\(x_0\in[a,b]\)，使得\(f(x_0)\lt0\)7.定積分\(\int_{0}^{2\pi}|\sinx|dx\)的值為（）A.0B.2C.4D.88.設(shè)\(f(x)\)為連續(xù)函數(shù)，則\(\fracnljbl11{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt\)等于（）A.\(f(a)\)B.\(f(x)\)C.\(f(x)-f(a)\)D.09.定積分\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx\)的值是（）A.1B.\(e\)C.\(e-1\)D.\(\frac{1}{e}\)10.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，且\(\int_{-a}^{a}f(x)dx\)存在，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx\)等于（）A.\(2\int_{0}^{a}f(x)dx\)B.\(\int_{0}^{a}f(x)dx\)C.0D.\(a\)答案1.C2.B3.A4.A5.B6.B7.C8.B9.A10.C二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于定積分的性質(zhì)正確的有（）A.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)B.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）2.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定有界C.\(|f(x)|\)在\([a,b]\)上可積D.\(f^2(x)\)在\([a,b]\)上可積3.定積分\(\int_{0}^{2}(x^2-1)dx\)的值可以通過（）來計(jì)算。A.先求\(x^2-1\)的原函數(shù)\(F(x)=\frac{1}{3}x^3-x\)，再計(jì)算\(F(2)-F(0)\)B.利用定積分的幾何意義，通過計(jì)算相應(yīng)圖形的面積C.把區(qū)間\([0,2]\)進(jìn)行分割，取近似，求和，取極限D(zhuǎn).直接利用牛頓-萊布尼茨公式4.下列積分值為0的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x\cosxdx\)B.\(\int_{-1}^{1}x^2\sinxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)D.\(\int_{-1}^{1}e^xdx\)5.已知\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則可能成立的是（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為0B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有正有負(fù)C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上是奇函數(shù)（當(dāng)\(a=-b\)時(shí)）D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上是偶函數(shù)且\(\int_{0}^f(x)dx=0\)（當(dāng)\(a=-b\)時(shí)）6.定積分\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx\)與（）相等。A.\(\int_{0}^{\pi}|\sinx|dx\)B.\(\int_{0}^{\pi}-\cosx^\primedx\)C.\(2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx\)D.\(\int_{0}^{\pi}\cosxdx\)7.若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)，則（）A.\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)B.\(\fracbl11bzf{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)C.\(\intf(x)dx=F(x)+C\)（\(C\)為任意常數(shù)）D.\(F^\prime(x)=f(x)\)8.定積分\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x^2}dx\)的值計(jì)算過程中用到（）A.原函數(shù)\(F(x)=-\frac{1}{x}\)B.牛頓-萊布尼茨公式C.計(jì)算\(F(2)-F(1)\)D.先求\(\frac{1}{x^2}\)的不定積分9.下列說法正確的是（）A.定積分的值是一個(gè)常數(shù)B.不定積分的結(jié)果是一族函數(shù)C.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(\int_{a}^f(x)dx\)與積分變量的符號(hào)無關(guān)D.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形面積10.對(duì)于定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)，當(dāng)（）時(shí)，\(\int_{a}^f(x)dx\)表示的幾何意義是曲線\(y=f(x)\)在\([a,b]\)上與\(x\)軸所圍圖形面積的代數(shù)和。A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有正有負(fù)B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒大于0C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒小于0D.\(f(x)\)部分區(qū)間大于0，部分區(qū)間小于0答案1.ABCD2.BCD3.ACD4.ABC5.ABCD6.ABC7.ABCD8.ABCD9.ABC10.AD三、判斷題（每題2分，共10題）1.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值只與被積函數(shù)\(f(x)\)以及積分區(qū)間\([a,b]\)有關(guān)。（）2.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上不連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)一定不存在。（）3.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的幾何意義就是由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形的面積。（）4.因?yàn)閈((\sinx)^\prime=\cosx\)，所以\(\int_{0}^{\pi}\cosxdx=\sin\pi-\sin0=0\)。（）5.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）6.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)與不定積分\(\intf(x)dx\)的區(qū)別在于定積分結(jié)果是常數(shù)，不定積分結(jié)果是函數(shù)族。（）7.若\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^g(x)dx\)，則\(f(x)=g(x)\)。（）8.定積分\(\int_{0}^{1}x^3dx\)的計(jì)算結(jié)果是\(\frac{1}{4}\)。（）9.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在區(qū)間\([-1,1]\)上的定積分\(\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx=0\)。（）10.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，且\(f(x)\geq0\)，\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為0。（）答案1.√2.×3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.√四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述定積分的定義。答案定積分定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界，將\([a,b]\)分成\(n\)個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間\([x_{i-1},x_i]\)上任取一點(diǎn)\(\xi_i\)，作和式\(\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)，當(dāng)\(\lambda=\max\{\Deltax_i\}\to0\)時(shí)，若極限\(\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)存在，則稱\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，此極限值為\(f(x)\)在\([a,b]\)上的定積分，記作\(\int_{a}^f(x)dx\)。2.定積分與不定積分有什么聯(lián)系？答案不定積分是求原函數(shù)的全體，定積分是一個(gè)數(shù)值。牛頓-萊布尼茨公式建立了兩者聯(lián)系，若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)，通過求不定積分找到原函數(shù)，進(jìn)而計(jì)算定積分的值。3.如何利用定積分求平面圖形的面積？答案首先確定圖形由哪些曲線圍成，明確積分區(qū)間\([a,b]\)。若\(y=f(x)\geq0\)在\([a,b]\)上，則面積\(S=\int_{a}^f(x)dx\)；若圖形在\(x\)軸上下都有，需分段計(jì)算或用\(S=\int_{a}^|f(x)|dx\)。4.說明定積分\(\int_{-a}^{a}f(x)dx\)（\(f(x)\)為連續(xù)函數(shù)）與\(f(x)\)奇偶性的關(guān)系。答案若\(f(x)\)是奇函數(shù)，即\(f(-x)=-f(x)\)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)；若\(f(x)\)是偶函數(shù)，即\(f(-x)=f(x)\)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論定積分在物理中的應(yīng)用，舉例說明。答案定積分在物理中有廣泛應(yīng)用。如求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，已知速度\(v=v(t)\)，在時(shí)間區(qū)間\([a,b]\)內(nèi)的路程\(s=\int_{a}^|v(t)|dt\)；求變力做功，力\(F=F(x)\)，物體在力作用下從\(x=a\)移動(dòng)到\(x=b\)，做功\(W=\int_{a}^F(x)dx\)。2.談?wù)劧ǚe分的換元法和分部積分法在計(jì)算中的作用及應(yīng)用要點(diǎn)。答案換元法能通過適當(dāng)代換簡(jiǎn)化被積函數(shù)形式，便于積分計(jì)算，要點(diǎn)是合理選擇換元變量及確定新的積分限。分部積分法用于處理兩類不同函數(shù)乘積的積分，關(guān)鍵是正確選擇\(u\)和\(dv\)，按照\(\int_{a}^u\dv=uv|_{a}^-\int_{a}^v\du\)計(jì)算，以達(dá)到化簡(jiǎn)積分的目