完整高中數(shù)學(xué)公式匯編及應(yīng)用指導(dǎo)前言高中數(shù)學(xué)公式是解題的“工具庫(kù)”，其重要性不言而喻。但記憶公式≠掌握公式，關(guān)鍵是理解公式的推導(dǎo)邏輯、適用條件及應(yīng)用場(chǎng)景。本文將高中數(shù)學(xué)核心模塊的公式按知識(shí)體系梳理，附應(yīng)用指導(dǎo)與常見(jiàn)題型示例，幫助學(xué)生構(gòu)建“公式-應(yīng)用”的閉環(huán)思維。一、函數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的“主線”，覆蓋基本初等函數(shù)、函數(shù)性質(zhì)、圖像變換三大板塊。（一）基本初等函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)公式：\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）圖像與性質(zhì)：\(a>1\)時(shí)，單調(diào)遞增；\(0<a<1\)時(shí)，單調(diào)遞減。定義域\(\mathbb{R}\)，值域\((0,+\infty)\)，過(guò)定點(diǎn)\((0,1)\)。應(yīng)用指導(dǎo)：用于描述“指數(shù)增長(zhǎng)/衰減”（如細(xì)胞分裂、放射性衰變）。對(duì)數(shù)函數(shù)的逆函數(shù)，常與對(duì)數(shù)公式結(jié)合（如\(a^x=N\Leftrightarrowx=\log_aN\)）。2.對(duì)數(shù)函數(shù)公式：\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）圖像與性質(zhì)：\(a>1\)時(shí)，單調(diào)遞增；\(0<a<1\)時(shí)，單調(diào)遞減。定義域\((0,+\infty)\)，值域\(\mathbb{R}\)，過(guò)定點(diǎn)\((1,0)\)。常用恒等式：\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)（積的對(duì)數(shù)）\(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)（商的對(duì)數(shù)）\(\log_aM^n=n\log_aM\)（冪的對(duì)數(shù)）換底公式：\(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\)（\(c>0\)且\(c\neq1\)）應(yīng)用指導(dǎo)：用于簡(jiǎn)化“高次冪”或“指數(shù)式”計(jì)算（如\(\log_28=3\)）。解決“對(duì)數(shù)方程”（如\(\log_2(x+1)=3\Rightarrowx+1=8\Rightarrowx=7\)）。3.冪函數(shù)公式：\(y=x^\alpha\)（\(\alpha\in\mathbb{R}\)，\(x>0\)）常見(jiàn)類(lèi)型及性質(zhì)：\(\alpha>0\)：過(guò)定點(diǎn)\((1,1)\)，在\((0,+\infty)\)單調(diào)遞增（如\(y=x^2\)、\(y=x^{1/2}\)）。\(\alpha<0\)：過(guò)定點(diǎn)\((1,1)\)，在\((0,+\infty)\)單調(diào)遞減（如\(y=x^{-1}=1/x\)）。應(yīng)用指導(dǎo)：用于描述“冪次關(guān)系”（如面積與半徑的平方關(guān)系\(S=\pir^2\)）。比較冪值大?。ㄈ鏫(2^{0.5}>1^{0.5}>0.5^{0.5}\)）。（二）函數(shù)性質(zhì)1.單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有定義，若對(duì)任意\(x_1<x_2\inI\)，都有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞增（或遞減）。判定方法：定義法：作差\(f(x_1)-f(x_2)\)，判斷符號(hào)。導(dǎo)數(shù)法（見(jiàn)“導(dǎo)數(shù)”模塊）：若\(f'(x)>0\)，則單調(diào)遞增；若\(f'(x)<0\)，則單調(diào)遞減。應(yīng)用指導(dǎo)：求函數(shù)的值域（如\(f(x)=x^2+1\)在\([0,+\infty)\)單調(diào)遞增，值域\([1,+\infty)\)）。解不等式（如\(f(x)=\log_2x\)單調(diào)遞增，故\(\log_2x>1\Rightarrowx>2\)）。2.奇偶性定義：奇函數(shù)：\(f(-x)=-f(x)\)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（如\(y=x^3\)、\(y=\sinx\)）。偶函數(shù)：\(f(-x)=f(x)\)，圖像關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱(chēng)（如\(y=x^2\)、\(y=\cosx\)）。判定步驟：1.檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（若否，則非奇非偶）。2.計(jì)算\(f(-x)\)，與\(f(x)\)比較。應(yīng)用指導(dǎo)：簡(jiǎn)化函數(shù)求值（如奇函數(shù)\(f(-1)=-f(1)\)）。簡(jiǎn)化圖像繪制（如偶函數(shù)只需畫(huà)右半部分，對(duì)稱(chēng)到左半部分）。3.周期性定義：若存在常數(shù)\(T>0\)，使得\(f(x+T)=f(x)\)對(duì)所有\(zhòng)(x\)成立，則\(T\)為\(f(x)\)的周期（最小正周期記為\(T_0\)）。常見(jiàn)周期函數(shù)：正弦函數(shù)：\(\sin(x+2\pi)=\sinx\)，\(T_0=2\pi\)。余弦函數(shù)：\(\cos(x+2\pi)=\cosx\)，\(T_0=2\pi\)。正切函數(shù)：\(\tan(x+\pi)=\tanx\)，\(T_0=\pi\)。應(yīng)用指導(dǎo)：求周期函數(shù)的值（如\(\sin(10\pi+\pi/6)=\sin(\pi/6)=1/2\)）。分析函數(shù)的長(zhǎng)期行為（如三角函數(shù)的周期性波動(dòng)）。（三）函數(shù)圖像變換1.平移變換公式：向左平移\(h\)個(gè)單位：\(y=f(x+h)\)（\(h>0\)）。向右平移\(h\)個(gè)單位：\(y=f(x-h)\)（\(h>0\)）。向上平移\(k\)個(gè)單位：\(y=f(x)+k\)（\(k>0\)）。向下平移\(k\)個(gè)單位：\(y=f(x)-k\)（\(k>0\)）。應(yīng)用指導(dǎo)：繪制復(fù)雜函數(shù)圖像（如\(y=\sin(x-\pi/3)+1\)是\(y=\sinx\)向右平移\(\pi/3\)、向上平移1）。2.伸縮變換公式：橫向伸縮：\(y=f(ax)\)（\(a>0\)），若\(a>1\)，圖像橫向壓縮為原來(lái)的\(1/a\)；若\(0<a<1\)，橫向拉伸為原來(lái)的\(1/a\)。縱向伸縮：\(y=af(x)\)（\(a>0\)），若\(a>1\)，圖像縱向拉伸為原來(lái)的\(a\)倍；若\(0<a<1\)，縱向壓縮為原來(lái)的\(a\)倍。應(yīng)用指導(dǎo)：調(diào)整函數(shù)的“頻率”或“振幅”（如\(y=2\sin(2x)\)是\(y=\sinx\)縱向拉伸2倍、橫向壓縮1/2倍）。3.對(duì)稱(chēng)變換公式：關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱(chēng)：\(y=-f(x)\)。關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱(chēng)：\(y=f(-x)\)。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：\(y=-f(-x)\)。應(yīng)用指導(dǎo)：繪制對(duì)稱(chēng)函數(shù)圖像（如\(y=-x^2\)是\(y=x^2\)關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱(chēng)）。二、三角函數(shù)三角函數(shù)是“數(shù)形結(jié)合”的典型，覆蓋誘導(dǎo)公式、三角恒等式、解三角形三大板塊。（一）誘導(dǎo)公式核心原則：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”（\(k\cdot\pi/2+\alpha\)，\(k\in\mathbb{Z}\)）?！捌孀兣疾蛔儭保篭(k\)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦、余弦變正弦；\(k\)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變?！胺?hào)看象限”：將\(\alpha\)視為銳角，判斷原函數(shù)在目標(biāo)象限的符號(hào)。常見(jiàn)公式：\(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)（\(k=2\)，偶，符號(hào)：第二象限正弦正）\(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\)（\(k=2\)，偶，符號(hào)：第二象限余弦負(fù)）\(\sin(\pi/2-\alpha)=\cos\alpha\)（\(k=1\)，奇，符號(hào)：第一象限正弦正）\(\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha\)（\(k=2\)，偶，符號(hào)：第三象限正切正）應(yīng)用指導(dǎo)：將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)（如\(\sin(3\pi/2-\alpha)=-\cos\alpha\)）。（二）三角恒等式1.和差角公式公式：\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\)\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)\(\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)\(\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\)應(yīng)用指導(dǎo)：化簡(jiǎn)三角函數(shù)表達(dá)式（如\(\sin(\pi/6+\alpha)=\sin\pi/6\cos\alpha+\cos\pi/6\sin\alpha=(1/2)\cos\alpha+(\sqrt{3}/2)\sin\alpha\)）。求特殊角的和差（如\(\tan(75^\circ)=\tan(45^\circ+30^\circ)=\frac{1+\sqrt{3}/3}{1-1\cdot\sqrt{3}/3}=2+\sqrt{3}\)）。2.倍角公式公式：\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\)（降冪公式：\(\cos^2\alpha=(1+\cos2\alpha)/2\)，\(\sin^2\alpha=(1-\cos2\alpha)/2\)）\(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\)應(yīng)用指導(dǎo)：化簡(jiǎn)“二次項(xiàng)”三角函數(shù)（如\(\cos^2x=(1+\cos2x)/2\)，用于積分或求和）。求倍角值（如\(\sin60^\circ=2\sin30^\circ\cos30^\circ=2\cdot1/2\cdot\sqrt{3}/2=\sqrt{3}/2\)）。3.輔助角公式公式：\(a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi)\)，其中\(zhòng)(\tan\phi=b/a\)（\(\phi\)由\(a,b\)符號(hào)確定）。應(yīng)用指導(dǎo)：將“線性組合”轉(zhuǎn)化為單一三角函數(shù)，求最值（如\(\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\pi/4)\)，最大值為\(\sqrt{2}\)）。（三）解三角形1.正弦定理公式：\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)為外接圓半徑）適用條件：已知兩角及一邊（如\(A,B,a\)，求\(b\)）。已知兩邊及一邊對(duì)角（如\(a,b,A\)，求\(B\)）。注意事項(xiàng)：當(dāng)已知兩邊及一邊對(duì)角時(shí)，可能有兩解、一解或無(wú)解（如\(a=2\),\(b=3\),\(A=30^\circ\)，則\(\sinB=3/4\)，\(B=\arcsin(3/4)\)或\(\pi-\arcsin(3/4)\)）。2.余弦定理公式：\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)\(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB\)\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)適用條件：已知兩邊及夾角（如\(a,b,C\)，求\(c\)）。已知三邊（如\(a,b,c\)，求\(A\)）。3.面積公式公式：\(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ac\sinB\)（最常用）\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)（海倫公式，\(p=(a+b+c)/2\)）應(yīng)用指導(dǎo)：求三角形面積（如\(a=3\),\(b=4\),\(C=60^\circ\)，則\(S=1/2\cdot3\cdot4\cdot\sin60^\circ=3\sqrt{3}\)）。三、數(shù)列數(shù)列是“遞推關(guān)系”的載體，覆蓋等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式三大板塊。（一）等差數(shù)列1.通項(xiàng)公式公式：\(a_n=a_1+(n-1)d\)（\(a_1\)為首項(xiàng)，\(d\)為公差）推廣：\(a_n=a_m+(n-m)d\)（任意兩項(xiàng)關(guān)系）2.求和公式公式：\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)推導(dǎo)方法：倒序相加法（\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)，\(S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1\)，相加得\(2S_n=n(a_1+a_n)\)）。3.性質(zhì)若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)（中間項(xiàng)性質(zhì)）。前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)是關(guān)于\(n\)的二次函數(shù)（無(wú)常數(shù)項(xiàng)）：\(S_n=\frac664m62m{2}n^2+(a_1-\fracg6qgkyy{2})n\)。（二）等比數(shù)列1.通項(xiàng)公式公式：\(a_n=a_1q^{n-1}\)（\(a_1\)為首項(xiàng)，\(q\)為公比，\(q\neq0\)）推廣：\(a_n=a_mq^{n-m}\)（任意兩項(xiàng)關(guān)系）2.求和公式公式：\(S_n=\begin{cases}na_1&(q=1)\\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q}&(q\neq1)\end{cases}\)推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減法（\(S_n=a_1+a_1q+\cdots+a_1q^{n-1}\)，\(qS_n=a_1q+\cdots+a_1q^{n-1}+a_1q^n\)，相減得\((1-q)S_n=a_1(1-q^n)\)）。3.性質(zhì)若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)（中間項(xiàng)性質(zhì)）。若\(q>1\)且\(a_1>0\)，則數(shù)列單調(diào)遞增；若\(0<q<1\)且\(a_1>0\)，則數(shù)列單調(diào)遞減。（三）數(shù)列求和方法1.錯(cuò)位相減法適用類(lèi)型：等差×等比數(shù)列（如\(a_n=(2n-1)\cdot2^n\)）。步驟：1.寫(xiě)出\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)。2.乘以公比\(q\)，得\(qS_n=a_1q+\cdots+a_nq\)。3.相減得\((1-q)S_n=a_1+(a_2-a_1q)+\cdots+(a_n-a_{n-1}q)-a_nq\)（中間項(xiàng)為等差項(xiàng)）。4.化簡(jiǎn)求和。2.裂項(xiàng)相消法適用類(lèi)型：分式數(shù)列（如\(a_n=\frac{1}{n(n+1)}\)）。常見(jiàn)裂項(xiàng)公式：\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)\(\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})\)\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)步驟：1.將通項(xiàng)裂分為兩個(gè)項(xiàng)的差。2.累加時(shí)中間項(xiàng)抵消，只剩首尾項(xiàng)。3.分組求和法適用類(lèi)型：數(shù)列由多個(gè)等差/等比數(shù)列組成（如\(a_n=2n+3^n\)）。步驟：將數(shù)列拆分為等差部分和等比部分，分別求和再相加。三、不等式不等式是“邏輯推理”的核心，覆蓋基本不等式、線性規(guī)劃、絕對(duì)值不等式三大板塊。（一）基本不等式1.核心公式公式：\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a>0,b>0\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(a=b\)時(shí)取等號(hào)）推廣：三元基本不等式：\(\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[3]{abc}\)（\(a,b,c>0\)）?？挛鞑坏仁剑篭((a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\)（當(dāng)且僅當(dāng)\(ad=bc\)時(shí)取等號(hào)）。2.適用條件“一正二定三相等”：一正：\(a,b\)均為正數(shù)（若為負(fù)數(shù)，需調(diào)整符號(hào)）。二定：和\(a+b\)或積\(ab\)為定值（若不定，需湊定值）。三相等：當(dāng)且僅當(dāng)\(a=b\)時(shí)取等號(hào)（需驗(yàn)證等號(hào)是否成立）。3.應(yīng)用指導(dǎo)求最值：積定和最?。喝鏫(ab=4\)，則\(a+b\geq2\sqrt{4}=4\)（當(dāng)\(a=b=2\)時(shí)取最小值）。和定積最大：如\(a+b=6\)，則\(ab\leq(6/2)^2=9\)（當(dāng)\(a=b=3\)時(shí)取最大值）。湊定值技巧：拆項(xiàng)：如\(f(x)=x+1/(x-1)=(x-1)+1/(x-1)+1\geq2\sqrt{(x-1)\cdot1/(x-1)}+1=3\)（\(x>1\)）。乘系數(shù)：如\(f(x)=2x+3/(x^2)=x+x+3/(x^2)\geq3\sqrt[3]{x\cdotx\cdot3/(x^2)}=3\sqrt[3]{3}\)（\(x>0\)）。（二）線性規(guī)劃1.基本概念目標(biāo)函數(shù)：\(z=ax+by\)（線性函數(shù)，求最大值或最小值）。約束條件：一組線性不等式（如\(x+y\leq2\),\(x\geq0\),\(y\geq0\)）。可行域：約束條件所圍成的區(qū)域（凸多邊形）。最優(yōu)解：可行域頂點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值（線性規(guī)劃最優(yōu)解必在頂點(diǎn)取得）。2.解題步驟1.畫(huà)出可行域（根據(jù)約束條件，用直線劃分區(qū)域，取滿足不等式的部分）。2.畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)的等值線（如\(ax+by=k\)，\(k\)為常數(shù)）。3.平移等值線，找到與可行域相切的頂點(diǎn)（最大值對(duì)應(yīng)等值線向右上方平移的最遠(yuǎn)頂點(diǎn)，最小值對(duì)應(yīng)向左下方平移的最近頂點(diǎn)）。4.計(jì)算頂點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值，確定最優(yōu)解。3.應(yīng)用指導(dǎo)資源分配問(wèn)題（如用有限材料生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，求利潤(rùn)最大化）。成本最小化問(wèn)題（如運(yùn)輸貨物，求最短路徑或最低成本）。四、立體幾何立體幾何是“空間想象”的重點(diǎn)，覆蓋空間向量、表面積與體積、線面關(guān)系三大板塊。（一）空間向量1.向量運(yùn)算公式：加法：\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\)。減法：\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)\)。數(shù)乘：\(\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1,\lambdaz_1)\)（\(\lambda\in\mathbb{R}\)）。點(diǎn)積：\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=|\vec{a}||\vec|\cos\theta\)（\(\theta\)為夾角）。叉積：\(\vec{a}\times\vec=(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1)\)，模長(zhǎng)\(|\vec{a}\times\vec|=|\vec{a}||\vec|\sin\theta\)（表示以\(\vec{a},\vec\)為鄰邊的平行四邊形面積）。2.線面關(guān)系判定線線平行：\(\vec{a}\parallel\vec\Leftrightarrow\vec{a}=\lambda\vec\)（\(\lambda\in\mathbb{R}\)）。線線垂直：\(\vec{a}\perp\vec\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec=0\)。線面平行：直線方向向量與平面法向量垂直（\(\vec{a}\cdot\vec{n}=0\)），且直線不在平面內(nèi)。線面垂直：直線方向向量與平面法向量平行（\(\vec{a}\parallel\vec{n}\)）。面面平行：兩平面法向量平行（\(\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\)）。面面垂直：兩平面法向量垂直（\(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0\)）。3.距離公式點(diǎn)到平面距離：\(d=\frac{|\vec{Ax_0+By_0+Cz_0+D}|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)（平面方程\(Ax+By+Cz+D=0\)，點(diǎn)\((x_0,y_0,z_0)\)）。異面直線距離：\(d=\frac{|\vec{AB}\cdot(\vec{a}\times\vec)|}{|\vec{a}\times\vec|}\)（\(A,B\)分別為兩直線上的點(diǎn)，\(\vec{a},\vec\)為直線方向向量）。（二）表面積與體積1.棱柱表面積：\(S=2S_{底}+S_{側(cè)}\)（\(S_{側(cè)}=底面周長(zhǎng)\times高\(yùn))）。體積：\(V=S_{底}\times高\(yùn))。2.棱錐表面積：\(S=S_{底}+S_{側(cè)}\)（\(S_{側(cè)}=各側(cè)面三角形面積之和\)）。體積：\(V=\frac{1}{3}S_{底}\times高\(yùn))。3.圓柱表面積：\(S=2\pir^2+2\pirh\)（\(r\)為底面半徑，\(h\)為高）。體積：\(V=\pir^2h\)。4.圓錐表面積：\(S=\pir^2+\pirl\)（\(l\)為母線長(zhǎng)，\(l=\sqrt{r^2+h^2}\)）。體積：\(V=\frac{1}{3}\pir^2h\)。5.球表面積：\(S=4\piR^2\)（\(R\)為半徑）。體積：\(V=\frac{4}{3}\piR^3\)。五、解析幾何解析幾何是“用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”的典范，覆蓋直線、圓、圓錐曲線三大板塊。（一）直線1.直線方程點(diǎn)斜式：\(y-y_1=k(x-x_1)\)（過(guò)點(diǎn)\((x_1,y_1)\)，斜率\(k\)）。斜截式：\(y=kx+b\)（斜率\(k\)，截距\(b\)）。兩點(diǎn)式：\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)（過(guò)點(diǎn)\((x_1,y_1)\),\((x_2,y_2)\)）。一般式：\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時(shí)為0）。2.斜率與夾角斜率公式：\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)（兩點(diǎn)\((x_1,y_1)\),\((x_2,y_2)\)）。夾角公式：\(\tan\theta=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|\)（\(\theta\)為兩直線夾角，\(k_1,k_2\)為斜率）。3.平行與垂直平行：\(k_1=k_2\)（斜截式）或\(A_1B_2=A_2B_1\)（一般式）。垂直：\(k_1k_2=-1\)（斜截式）或\(A_1A_2+B_1B_2=0\)（一般式）。（二）圓1.圓的方程標(biāo)準(zhǔn)式：\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)（圓心\((a,b)\)，半徑\(r\)）。一般式：\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)（\(D^2+E^2-4F>0\)，圓心\((-D/2,-E/2)\)，半徑\(\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}\)）。2.直線與圓的位置關(guān)系判定方法：幾何法：計(jì)算圓心到直線的距離\(d\)，與半徑\(r\)比較：\(d<r\)：相交（兩個(gè)交點(diǎn)）。\(d=r\)：相切（一個(gè)交點(diǎn)）。\(d>r\)：相離（無(wú)交點(diǎn)）。代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元得二次方程，判斷判別式\(\Delta\)：\(\Delta>0\)：相交。\(\Delta=0\)：相切。\(\Delta<0\)：相離。3.圓與圓的位置關(guān)系判定方法：計(jì)算兩圓心距離\(d\)，與半徑\(r_1,r_2\)比較：\(d>r_1+r_2\)：外離（無(wú)交點(diǎn)）。\(d=r_1+r_2\)：外切（一個(gè)交點(diǎn)）。\(|r_1-r_2|<d<r_1+r_2\)：相交（兩個(gè)交點(diǎn)）。\(d=|r_1-r_2|\)：內(nèi)切（一個(gè)交點(diǎn)）。\(d<|r_1-r_2|\)：內(nèi)含（無(wú)交點(diǎn)）。（三）圓錐曲線1.橢圓定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)\(F_1,F_2\)（焦點(diǎn)）的距離之和為定值\(2a\)（\(2a>|F_1F_2|=2c\)）的點(diǎn)的軌跡。標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在\(x\)軸：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)，\(b^2=a^2-c^2\)）。焦點(diǎn)在\(y\)軸：\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）。性質(zhì)：頂點(diǎn)：\((\pma,0)\)（\(x\)軸）或\((0,\pma)\)（\(y\)軸）。離心率：\(e=c/a\)（\(0<e<1\)，\(e\)越小，橢圓越圓）。2.雙曲線定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)\(F_1,F_2\)（焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值為定值\(2a\)（\(2a<|F_1F_2|=2c\)）的點(diǎn)的軌跡。標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在\(x\)軸：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)，\(b^2=c^2-a^2\)）。焦點(diǎn)在\(y\)軸：\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）。性質(zhì)：頂點(diǎn)：\((\pma,0)\)（\(x\)軸）或\((0,\pma)\)（\(y\)軸）。漸近線：\(y=\pm(b/a)x\)（\(x\)軸焦點(diǎn)）或\(y=\pm(a/b)x\)（\(y\)軸焦點(diǎn)）。離心率：\(e=c/a\)（\(e>1\)，\(e\)越大，雙曲線開(kāi)口越寬）。3.拋物線定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)\(F\)（焦點(diǎn)）與定直線\(l\)（準(zhǔn)線）距離相等的點(diǎn)的軌跡。標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在\(x\)軸正方向：\(y^2=2px\)（\(p>0\)，焦點(diǎn)\((p/2,0)\)，準(zhǔn)線\(x=-p/2\)）。焦點(diǎn)在\(x\)軸負(fù)方向：\(y^2=-2px\)（\(p>0\)，焦點(diǎn)\((-p/2,0)\)，準(zhǔn)線\(x=p/2\)）。焦點(diǎn)在\(y\)軸正方向：\(x^2=2py\)（\(p>0\)，焦點(diǎn)\((0,p/2)\)，準(zhǔn)線\(y=-p/2\