5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教學(xué)設(shè)計(jì)）高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)同步高效課堂（人教A版2019）主備人備課成員設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課旨在幫助學(xué)生掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，通過(guò)具體實(shí)例和推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生理解并熟練運(yùn)用正弦、余弦、正切函數(shù)之間的關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.發(fā)展數(shù)學(xué)抽象思維，通過(guò)探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，提升學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力。

2.培養(yǎng)邏輯推理能力，通過(guò)演繹和歸納，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)邏輯進(jìn)行推理。

3.強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題解決，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)知識(shí)：學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，包括正弦、余弦、正切函數(shù)的定義及其圖像的基本特征。此外，學(xué)生對(duì)直角三角形和銳角三角形的性質(zhì)也有所了解。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：高中一年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科普遍保持較高的興趣，但個(gè)體差異較大。部分學(xué)生邏輯思維能力較強(qiáng)，善于抽象思維，能較快地理解和掌握抽象概念；而部分學(xué)生可能更偏向于形象思維，需要更多直觀的例子來(lái)輔助理解。學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格也各有不同，有的學(xué)生喜歡獨(dú)立思考，有的則更傾向于合作學(xué)習(xí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難：一是理解函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)過(guò)程，二是將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)用于具體的實(shí)際問(wèn)題中。此外，學(xué)生可能對(duì)三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性理解不夠深入，影響了對(duì)函數(shù)圖像的把握。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都擁有人教A版2019版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教材。

2.輔助材料：準(zhǔn)備同角三角函數(shù)關(guān)系的示意圖、函數(shù)圖像變化過(guò)程的動(dòng)畫(huà)視頻，以及相關(guān)問(wèn)題的解題步驟圖表。

3.實(shí)驗(yàn)器材：無(wú)需實(shí)驗(yàn)器材。

4.教室布置：設(shè)置小組討論區(qū)，方便學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)；在黑板上繪制函數(shù)圖像，便于學(xué)生直觀理解。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課

詳細(xì)內(nèi)容：利用多媒體展示不同角度的三角形，引導(dǎo)學(xué)生回顧三角函數(shù)的定義，并提出問(wèn)題：“在同一個(gè)角度下，正弦、余弦、正切函數(shù)之間有什么關(guān)系？”以此激發(fā)學(xué)生的興趣，引入新課。

2.新課講授

（1）介紹同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，包括正弦、余弦、正切函數(shù)的定義和關(guān)系式，通過(guò)舉例說(shuō)明如何在直角三角形中計(jì)算這些函數(shù)值。

用時(shí)：5分鐘

（2）推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以正弦和余弦函數(shù)為例，引導(dǎo)學(xué)生觀察它們的圖像，并通過(guò)三角形的幾何性質(zhì)推導(dǎo)出正弦和余弦函數(shù)之間的關(guān)系。

用時(shí)：8分鐘

（3）講解正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系，通過(guò)幾何變換和代數(shù)運(yùn)算，使學(xué)生理解正切函數(shù)是如何由正弦和余弦函數(shù)得出的。

用時(shí)：6分鐘

3.實(shí)踐活動(dòng)

（1）給出幾個(gè)特定角度的正弦、余弦、正切函數(shù)值，讓學(xué)生獨(dú)立計(jì)算并驗(yàn)證它們之間的關(guān)系。

用時(shí)：10分鐘

（2）設(shè)計(jì)幾個(gè)應(yīng)用題，讓學(xué)生運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算建筑高度、測(cè)量距離等。

用時(shí)：8分鐘

（3）讓學(xué)生觀察函數(shù)圖像，分析不同角度下正弦、余弦、正切函數(shù)值的增減規(guī)律。

用時(shí)：7分鐘

4.學(xué)生小組討論

（1）舉例回答：在直角三角形中，如果知道其中一個(gè)角的正弦值，如何求出其余角的余弦值？

（2）舉例回答：在直角三角形中，如果知道其中一個(gè)角的正切值，如何求出其余角的余弦值？

（3）舉例回答：如何根據(jù)已知的一個(gè)角的正弦、余弦、正切函數(shù)值，確定該角的象限？

用時(shí)：5分鐘

5.總結(jié)回顧

內(nèi)容：對(duì)本節(jié)課所學(xué)的同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)其推導(dǎo)過(guò)程和應(yīng)用價(jià)值。通過(guò)回顧本節(jié)課的重難點(diǎn)，如函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)、函數(shù)圖像的分析等，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)。

用時(shí)：3分鐘

總計(jì)用時(shí)：35分鐘學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.理解與掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)之間的關(guān)系，能夠熟練地推導(dǎo)出這些函數(shù)的基本關(guān)系式，并能夠在實(shí)際問(wèn)題中運(yùn)用這些關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算。

2.提升數(shù)學(xué)抽象思維能力：學(xué)生在學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)，需要從具體的幾何圖形中抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系，這一過(guò)程有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力。

3.增強(qiáng)邏輯推理能力：通過(guò)推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，學(xué)生能夠?qū)W會(huì)如何運(yùn)用邏輯推理來(lái)證明數(shù)學(xué)命題，這對(duì)于培養(yǎng)他們的邏輯思維能力具有重要意義。

4.提高數(shù)學(xué)建模能力：學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，能夠?qū)⑼侨呛瘮?shù)的基本關(guān)系應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算建筑物的高度、測(cè)量角度等，這有助于提高他們的數(shù)學(xué)建模能力。

5.加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，從而增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

6.改善學(xué)習(xí)策略：學(xué)生在學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)，可能會(huì)遇到一些困難，如理解函數(shù)圖像的變化規(guī)律等。通過(guò)克服這些困難，學(xué)生能夠調(diào)整自己的學(xué)習(xí)策略，提高學(xué)習(xí)效率。

7.培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)習(xí)慣：在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生需要與同伴合作解決問(wèn)題，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高他們的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

8.增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)的趣味性和實(shí)用性，從而增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)知識(shí)的動(dòng)力。

9.提升問(wèn)題解決能力：學(xué)生在學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)，需要不斷地提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，這一過(guò)程有助于提升他們的問(wèn)題解決能力。

10.培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠?qū)W會(huì)如何自主學(xué)習(xí)，如查閱資料、獨(dú)立思考、總結(jié)歸納等，這對(duì)于他們今后的學(xué)習(xí)和生活具有長(zhǎng)遠(yuǎn)的意義。板書(shū)設(shè)計(jì)①同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

-正弦函數(shù)：sin(θ)=對(duì)邊/斜邊

-余弦函數(shù)：cos(θ)=鄰邊/斜邊

-正切函數(shù)：tan(θ)=對(duì)邊/鄰邊

②三角函數(shù)關(guān)系式

-sin2θ+cos2θ=1

-tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)

③特殊角的三角函數(shù)值

-0°：sin(0°)=0,cos(0°)=1,tan(0°)=0

-30°：sin(30°)=1/2,cos(30°)=√3/2,tan(30°)=1/√3

-45°：sin(45°)=cos(45°)=1/√2,tan(45°)=1

-60°：sin(60°)=√3/2,cos(60°)=1/2,tan(60°)=√3

④三角函數(shù)圖像特征

-正弦函數(shù)：周期性，對(duì)稱(chēng)性，從0到π/2單調(diào)遞增

-余弦函數(shù)：周期性，對(duì)稱(chēng)性，從0到π單調(diào)遞減

-正切函數(shù)：周期性，無(wú)界，從0到π/2單調(diào)遞增

⑤應(yīng)用實(shí)例

-計(jì)算直角三角形邊長(zhǎng)

-解決實(shí)際問(wèn)題，如建筑高度、測(cè)量距離等教學(xué)評(píng)價(jià)1.課堂評(píng)價(jià)

（1）提問(wèn)：在課堂教學(xué)中，通過(guò)提問(wèn)的方式檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的理解和掌握程度。問(wèn)題可以包括基礎(chǔ)知識(shí)的提問(wèn)、應(yīng)用問(wèn)題的解決等，以了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況。

（2）觀察：教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的參與度、表達(dá)能力和思維過(guò)程。通過(guò)觀察學(xué)生的互動(dòng)、提問(wèn)和回答，評(píng)估他們的學(xué)習(xí)效果。

（3）測(cè)試：設(shè)計(jì)簡(jiǎn)短的隨堂測(cè)試題，如選擇題、填空題等，以評(píng)估學(xué)生對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的記憶和應(yīng)用能力。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)

（1）批改：對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行仔細(xì)批改，檢查他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)的準(zhǔn)確性和邏輯性。

（2）點(diǎn)評(píng)：在作業(yè)批改后，給出具體的評(píng)價(jià)和建議，指出學(xué)生在解題過(guò)程中的優(yōu)點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方。

（3）反饋：及時(shí)將批改結(jié)果反饋給學(xué)生，鼓勵(lì)他們針對(duì)作業(yè)中的問(wèn)題進(jìn)行復(fù)習(xí)和鞏固。

3.成績(jī)?cè)u(píng)定

（1）形成性評(píng)價(jià)：根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)、提問(wèn)回答、小測(cè)驗(yàn)成績(jī)以及作業(yè)完成情況，綜合評(píng)定學(xué)生的形成性學(xué)習(xí)成果。

（2）總結(jié)性評(píng)價(jià)：在課程結(jié)束后，通過(guò)期末考試或綜合評(píng)價(jià)來(lái)評(píng)定學(xué)生的總結(jié)性學(xué)習(xí)成果。

4.教學(xué)反思

（1）教師應(yīng)定期進(jìn)行教學(xué)反思，分析學(xué)生在學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)基本關(guān)系時(shí)所遇到的困難和問(wèn)題。

（2）根據(jù)學(xué)生的反饋和自己的教學(xué)觀察，調(diào)整教學(xué)策略和方法，以提高教學(xué)效果。

5.學(xué)生活動(dòng)參與

（1）鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂討論，提出自己的見(jiàn)解和疑問(wèn)。

（2）通過(guò)小組合作活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生的交流與合作，提升他們的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

6.教學(xué)資源利用

（1）評(píng)估學(xué)生在使用多媒體教學(xué)資源時(shí)的效果，如視頻、圖像、圖表等。

（2）引導(dǎo)學(xué)生如何有效地利用這些資源來(lái)輔助學(xué)習(xí)和理解抽象概念。課后作業(yè)1.題型：直角三角形中的三角函數(shù)值計(jì)算

題目：在直角三角形ABC中，∠C是直角，AB=10cm，BC=8cm，求∠A的正弦值、余弦值和正切值。

答案：sin(A)=BC/AB=8/10=0.8

cos(A)=AC/AB=√(AB2-BC2)/AB=√(102-82)/10=√(100-64)/10=√36/10=3/5=0.6

tan(A)=BC/AC=8/√(AB2-BC2)=8/√(100-64)=8/√36=8/6=4/3

2.題型：三角函數(shù)值的比較

題目：比較sin(60°)和sin(45°)的大小。

答案：sin(60°)=√3/2≈0.866

sin(45°)=1/√2≈0.707

因?yàn)椤?>1，所以sin(60°)>sin(45°)。

3.題型：三角函數(shù)值的計(jì)算

題目：在直角三角形ABC中，∠A是銳角，AB=15cm，AC=20cm，求∠A的正切值。

答案：tan(A)=BC/AC=√(AC2-AB2)/AB=√(202-152)/15=√(400-225)/15=√175/15≈1.531

4.題型：三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用

題目：在等腰直角三角形中，如果腰長(zhǎng)為a，求斜邊上的高。

答案：設(shè)等腰直角三角形為ABC，其中∠A=∠B=45°，∠C=90°，腰長(zhǎng)為a。

斜邊BC=a√2

高AD=(BC*AC)/2=(a√2*a)/2=a2/√2=a√2/2

5.題型：三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用

題目：一個(gè)物體在水平面上以恒定速度v移動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，求物體移動(dòng)的距離。

答案：設(shè)物體移動(dòng)的距離為s，速度為v，時(shí)間為t。

根據(jù)速度的定義，s=v*t

因?yàn)樗俣仁呛愣ǖ?，所以物體移動(dòng)的距離與時(shí)間成正比。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.結(jié)合實(shí)際案例：在教學(xué)過(guò)程中，我嘗試將同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與實(shí)際生活中的案例相結(jié)合，如建筑設(shè)計(jì)、物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題等，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中理解和應(yīng)用這些數(shù)學(xué)知識(shí)。

2.多媒體輔助教學(xué)：利用多媒體資源，如動(dòng)畫(huà)、圖像等，直觀展示三角函數(shù)的圖像變化，幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的性質(zhì)和關(guān)系。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生理解難度：部分學(xué)生對(duì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系理解不夠深入，尤其是在推導(dǎo)過(guò)程中，容易出現(xiàn)概念混淆。

2.實(shí)踐活動(dòng)不足：課堂上的實(shí)踐活動(dòng)相對(duì)較少，學(xué)生缺乏實(shí)際操作和動(dòng)手能力鍛煉的機(jī)會(huì)。

3.評(píng)價(jià)方式單一：目前主要依靠作業(yè)和測(cè)試來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，缺乏多元化的評(píng)價(jià)方式，無(wú)法全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況。

反思改進(jìn)措施（三）

1.深化概念教學(xué)：針對(duì)學(xué)生對(duì)概念理解不深的問(wèn)題，我將通過(guò)組織學(xué)生進(jìn)行小組討論、角色扮演等方式，讓學(xué)生在互動(dòng)中加深