2025方差與標(biāo)準(zhǔn)差測試題及參考答案一、選擇題1.已知樣本數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的平均數(shù)為\(\overline{x}\)，方差為\(s^2\)，則數(shù)據(jù)\(2x_1+3,2x_2+3,\cdots,2x_n+3\)的平均數(shù)和方差分別為（）A.\(2\overline{x}+3,2s^2\)B.\(2\overline{x}+3,4s^2\)C.\(2\overline{x},2s^2\)D.\(2\overline{x},4s^2\)2.甲、乙兩人在相同條件下各射擊\(10\)次，他們成績的平均數(shù)相同，方差分別是\(s_{甲}^{2}=0.2\)，\(s_{乙}^{2}=0.5\)，則兩人中成績更穩(wěn)定的是（）A.甲B.乙C.一樣穩(wěn)定D.無法確定3.若一組數(shù)據(jù)\(1,2,3,x\)的方差是\(2\)，則另一組數(shù)據(jù)\(1+2,2+2,3+2,x+2\)的方差是（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)4.一組數(shù)據(jù)\(3,4,5,6,7\)的標(biāo)準(zhǔn)差是（）A.\(2\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(5\)D.\(\sqrt{5}\)5.已知樣本\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)的方差為\(3\)，則樣本\(4x_1+1,4x_2+1,4x_3+1,4x_4+1,4x_5+1\)的方差是（）A.\(12\)B.\(16\)C.\(48\)D.\(50\)6.某班\(50\)名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測試中的成績的頻率分布表如下：|成績分組|\([40,50)\)|\([50,60)\)|\([60,70)\)|\([70,80)\)|\([80,90)\)|\([90,100]\)||----|----|----|----|----|----|----||頻率|\(0.06\)|\(0.1\)|\(0.14\)|\(0.3\)|\(0.2\)|\(0.2\)|則該班學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A.\(13.8\)B.\(13.9\)C.\(14.0\)D.\(14.1\)7.若\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的方差為\(s^2\)，\(a,b\)為常數(shù)，則\(ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_n+b\)的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A.\(a^2s^2\)B.\(\verta\verts\)C.\(as\)D.\(a^2s\)8.已知數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,x_3\)的平均數(shù)為\(a\)，方差為\(b\)，則數(shù)據(jù)\(2x_1+3,2x_2+3,2x_3+3\)的平均數(shù)和方差分別為（）A.\(2a+3,2b\)B.\(2a+3,4b\)C.\(2a,2b\)D.\(2a,4b\)9.已知樣本數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_{10}\)的方差為\(4\)，則數(shù)據(jù)\(2x_1+1,2x_2+1,\cdots,2x_{10}+1\)的標(biāo)準(zhǔn)差是（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(16\)10.一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的方差為\(s^2\)，若將這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上\(a\)，得到一組新數(shù)據(jù)\(x_1+a,x_2+a,\cdots,x_n+a\)，則這組新數(shù)據(jù)的方差為（）A.\(s^2+a\)B.\(s^2\)C.\(s^2+a^2\)D.\(s^2-a^2\)二、填空題1.已知樣本數(shù)據(jù)\(2,3,5,7,8\)，則該樣本的方差為______。2.若一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)的平均數(shù)為\(2\)，方差為\(\frac{1}{3}\)，則數(shù)據(jù)\(3x_1-2,3x_2-2,3x_3-2,3x_4-2,3x_5-2\)的平均數(shù)和方差分別是______。3.已知樣本\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的方差為\(4\)，則樣本\(2x_1+3,2x_2+3,\cdots,2x_n+3\)的方差為______。4.一組數(shù)據(jù)\(1,2,3,4,5\)的標(biāo)準(zhǔn)差為______。5.若樣本\(x_1,x_2,x_3\)的方差為\(3\)，則樣本\(2x_1+1,2x_2+1,2x_3+1\)的標(biāo)準(zhǔn)差為______。6.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的方差為\(s^2\)，若將這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的\(3\)倍，得到一組新數(shù)據(jù)\(3x_1,3x_2,\cdots,3x_n\)，則這組新數(shù)據(jù)的方差為______。7.若數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,x_3\)的平均數(shù)為\(5\)，方差為\(2\)，則數(shù)據(jù)\(2x_1-1,2x_2-1,2x_3-1\)的平均數(shù)為______，方差為______。8.已知樣本\(x_1,x_2,x_3,x_4\)的方差為\(1\)，則\(2x_1+1,2x_2+1,2x_3+1,2x_4+1\)的方差為______。9.一組數(shù)據(jù)\(2,4,6,8,10\)的標(biāo)準(zhǔn)差為______。10.若樣本\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的標(biāo)準(zhǔn)差為\(s\)，則樣本\(ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_n+b\)（\(a\gt0\)）的標(biāo)準(zhǔn)差為______。三、解答題1.已知樣本數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)的平均數(shù)為\(3\)，方差為\(2\)，求數(shù)據(jù)\(3x_1-1,3x_2-1,3x_3-1,3x_4-1,3x_5-1\)的平均數(shù)和方差。2.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在相同條件下各射擊\(10\)次，成績?nèi)缦拢杭祝篭(8,6,7,8,6,5,9,10,4,7\)乙：\(6,7,7,8,6,7,8,7,9,5\)（1）分別計(jì)算甲、乙兩人成績的平均數(shù)和方差；（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，評(píng)價(jià)甲、乙兩人的射擊水平。3.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的平均數(shù)為\(\overline{x}\)，方差為\(s^2\)，求數(shù)據(jù)\(ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_n+b\)（\(a\neq0\)）的平均數(shù)和方差。4.某班\(40\)名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)測試成績統(tǒng)計(jì)如下：|成績（分）|\(50\)|\(60\)|\(70\)|\(80\)|\(90\)|\(100\)||----|----|----|----|----|----|----||人數(shù)|\(2\)|\(3\)|\(10\)|\(14\)|\(8\)|\(3\)|（1）求該班學(xué)生成績的平均數(shù)；（2）求該班學(xué)生成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。5.已知樣本數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,x_3\)的方差為\(4\)，求樣本數(shù)據(jù)\(2x_1+3,2x_2+3,2x_3+3\)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。6.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，在\(10\)天中，兩臺(tái)機(jī)床每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別如下：甲：\(0,1,0,2,2,0,3,1,2,4\)乙：\(2,3,1,1,0,2,1,1,0,1\)（1）分別計(jì)算甲、乙兩臺(tái)機(jī)床每天生產(chǎn)次品數(shù)的平均數(shù)和方差；（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，判斷哪臺(tái)機(jī)床的生產(chǎn)性能更穩(wěn)定。7.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)的方差\(s^{2}=\frac{1}{5}[(x_1-2)^{2}+(x_2-2)^{2}+(x_3-2)^{2}+(x_4-2)^{2}+(x_5-2)^{2}]\)，求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)\(\overline{x}\)和方差\(s^{2}\)。8.若樣本\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的平均數(shù)為\(\overline{x}\)，方差為\(s^2\)，證明：數(shù)據(jù)\(ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_n+b\)（\(a\neq0\)）的平均數(shù)為\(a\overline{x}+b\)，方差為\(a^{2}s^{2}\)。9.某公司員工的月工資情況如下表所示：|月工資（元）|\(5000\)|\(4000\)|\(3500\)|\(3000\)|\(2500\)|\(2000\)||----|----|----|----|----|----|----||人數(shù)|\(2\)|\(4\)|\(8\)|\(12\)|\(6\)|\(3\)|（1）求該公司員工月工資的平均數(shù)；（2）求該公司員工月工資的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。10.已知樣本數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_{10}\)的方差為\(8\)，求數(shù)據(jù)\(3x_1-2,3x_2-2,\cdots,3x_{10}-2\)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。參考答案一、選擇題1.B2.A3.A4.B5.C6.B7.B8.B9.B10.B二、填空題1.\(6.8\)2.平均數(shù)為\(4\)，方差為\(3\)3.\(16\)4.\(\sqrt{2}\)5.\(2\sqrt{3}\)6.\(9s^2\)7.平均數(shù)為\(9\)，方差為\(8\)8.\(4\)9.\(2\sqrt{2}\)10.\(as\)三、解答題1.-設(shè)數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)為數(shù)據(jù)\(A\)，數(shù)據(jù)\(3x_1-1,3x_2-1,3x_3-1,3x_4-1,3x_5-1\)為數(shù)據(jù)\(B\)。-已知\(\overline{x}_A=3\)，根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)：若\(y_i=ax_i+b\)（\(i=1,2,\cdots,n\)），則\(\overline{y}=a\overline{x}+b\)。對(duì)于數(shù)據(jù)\(B\)，\(a=3\)，\(b=-1\)，所以\(\overline{x}_B=3\overline{x}_A-1=3\times3-1=8\)。-已知\(s_{A}^{2}=2\)，根據(jù)方差的性質(zhì)：若\(y_i=ax_i+b\)（\(i=1,2,\cdots,n\)），則\(s_{y}^{2}=a^{2}s_{x}^{2}\)。對(duì)于數(shù)據(jù)\(B\)，\(a=3\)，所以\(s_{B}^{2}=3^{2}\timess_{A}^{2}=9\times2=18\)。2.-（1）-甲的平均數(shù)\(\overline{x}_甲=\frac{8+6+7+8+6+5+9+10+4+7}{10}=\frac{70}{10}=7\)。甲的方差\(s_{甲}^{2}=\frac{1}{10}[(8-7)^{2}+(6-7)^{2}+(7-7)^{2}+(8-7)^{2}+(6-7)^{2}+(5-7)^{2}+(9-7)^{2}+(10-7)^{2}+(4-7)^{2}+(7-7)^{2}]\)\(=\frac{1}{10}(1+1+0+1+1+4+4+9+9+0)=3\)。-乙的平均數(shù)\(\overline{x}_乙=\frac{6+7+7+8+6+7+8+7+9+5}{10}=\frac{70}{10}=7\)。乙的方差\(s_{乙}^{2}=\frac{1}{10}[(6-7)^{2}+(7-7)^{2}+(7-7)^{2}+(8-7)^{2}+(6-7)^{2}+(7-7)^{2}+(8-7)^{2}+(7-7)^{2}+(9-7)^{2}+(5-7)^{2}]\)\(=\frac{1}{10}(1+0+0+1+1+0+1+0+4+4)=1.2\)。-（2）甲、乙兩人的平均數(shù)相同，說明兩人的平均射擊水平相當(dāng)。但\(s_{甲}^{2}=3\gts_{乙}^{2}=1.2\)，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，所以乙的射擊成績比甲更穩(wěn)定。3.-設(shè)數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的平均數(shù)\(\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)\)。數(shù)據(jù)\(ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_n+b\)的平均數(shù)\(\overline{y}=\frac{1}{n}[(ax_1+b)+(ax_2+b)+\cdots+(ax_n+b)]\)\(=\frac{1}{n}[a(x_1+x_2+\cdots+x_n)+nb]=a\cdot\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)+b=a\overline{x}+b\)。-數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的方差\(s^{2}=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^{2}+(x_2-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_n-\overline{x})^{2}]\)。數(shù)據(jù)\(ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_n+b\)的方差\(s_{y}^{2}=\frac{1}{n}[(ax_1+b-(a\overline{x}+b))^{2}+(ax_2+b-(a\overline{x}+b))^{2}+\cdots+(ax_n+b-(a\overline{x}+b))^{2}]\)\(=\frac{1}{n}[(ax_1-a\overline{x})^{2}+(ax_2-a\overline{x})^{2}+\cdots+(ax_n-a\overline{x})^{2}]=\frac{1}{n}[a^{2}(x_1-\overline{x})^{2}+a^{2}(x_2-\overline{x})^{2}+\cdots+a^{2}(x_n-\overline{x})^{2}]=a^{2}\cdot\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^{2}+(x_2-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_n-\overline{x})^{2}]=a^{2}s^{2}\)。4.-（1）該班學(xué)生成績的平均數(shù)\(\overline{x}=\frac{50\times2+60\times3+70\times10+80\times14+90\times8+100\times3}{40}\)\(=\frac{100+180+700+1120+720+300}{40}=\frac{3120}{40}=78\)（分）。-（2）方差\(s^{2}=\frac{1}{40}[2\times(50-78)^{2}+3\times(60-78)^{2}+10\times(70-78)^{2}+14\times(80-78)^{2}+8\times(90-78)^{2}+3\times(100-78)^{2}]\)\(=\frac{1}{40}[2\times(-28)^{2}+3\times(-18)^{2}+10\times(-8)^{2}+14\times2^{2}+8\times12^{2}+3\times22^{2}]\)\(=\frac{1}{40}(2\times784+3\times324+10\times64+14\times4+8\times144+3\times484)\)\(=\frac{1}{40}(1568+972+640+56+1152+1452)\)\(=\frac{5840}{40}=146\)。標(biāo)準(zhǔn)差\(s=\sqrt{146}\approx12.08\)。5.-已知樣本數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,x_3\)的方差\(s_{x}^{2}=4\)。根據(jù)方差的性質(zhì)：若\(y_i=2x_i+3\)（\(i=1,2,3\)），則\(s_{y}^{2}=2^{2}\timess_{x}^{2}\)。所以\(s_{y}^{2}=4\times4=16\)。標(biāo)準(zhǔn)差\(s_y=\sqrt{16}=4\)。6.-（1）-甲的平均數(shù)\(\overline{x}_甲=\frac{0+1+0+2+2+0+3+1+2+4}{10}=\frac{15}{10}=1.5\)。甲的方差\(s_{甲}^{2}=\frac{1}{10}[(0-1.5)^{2}+(1-1.5)^{2}+(0-1.5)^{2}+(2-1.5)^{2}+(2-1.5)^{2}+(0-1.5)^{2}+(3-1.5)^{2}+(1-1.5)^{2}+(2-1.5)^{2}+(4-1.5)^{2}]\)\(=\frac{1}{10}(2.25+0.25+2.25+0.25+0.25+2.25+2.25+0.25+0.25+6.25)=1.65\)。-乙的平均數(shù)\(\overline{x}_乙=\frac{2+3+1+1+0+2+1+1+0+1}{10}=\frac{12}{10}=1.2\)。乙的方差\(s_{乙}^{2}=\frac{1}{10}[(2-1.2)^{2}+(3-1.2)^{2}+(1-1.2)^{2}+(1-1.2)^{2}+(0-1.2)^{2}+(2-1.2)^{2}+(1-1.2)^{2}+(1-1.2)^{2}+(0-1.2)^{2}+(1-1.2)^{2}]\)\(=\frac{1}{10}(0.64+3.24+0.04+0.04+1.44+0.64+0.04+0.04+1.44+0.04)=0.76\)。-（2）因?yàn)閈(s_{甲}^{2}=1.65\gts_{乙}^{2}=0.76\)，方差越小，生產(chǎn)性能越穩(wěn)定，所以乙機(jī)床的生產(chǎn)性能更穩(wěn)定。7.-由方差公式\(s^{2}=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^{2}+(x_2-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_n-\overline{x})^{2}]\)，已知\(s^{2}=\frac{1}{5}[(x_1-2)^{2}+(x_2-2)^{2}+(x_3-2)^{2}+(x_4-2)^{2}+(x_5-2)^{2}]\)，可得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)\(\overline{x}=2\)，方差\(s^{2}\)就是已知表達(dá)式中的值，這里\(s^{2}\)的值需要知道具體數(shù)據(jù)才能計(jì)算出具體數(shù)值，僅從表達(dá)式看，就是這個(gè)形式所代表的方差。8.-證明：-設(shè)樣本\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的平均數(shù)\(\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)\)。數(shù)據(jù)\(ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_n+b\)的平均數(shù)\(\overline{y}=\frac{1}{n}[(ax_1+b)+(ax_2+b)+\cdots+(ax_n+b)]\)\(=\frac{1}{n}[a(x_1+x_2+\cdots+x_n)+nb]=a\cdot\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)+b=a\overline{x}+b\)。-樣本\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的方差\(s^{2}=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^{2}+(x_2-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_n-\overline{x})^{2}]\)。數(shù)據(jù)\(ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_n+b\)的方差\(s_{y}^{2}=\frac{1}{n}[(ax_1+b-(a\overline{x}+b))^{2}+(ax_2+b-(a\overline{x}+b))^{2}+\cdots+(ax_n+b-(a\overline{x}+b))^{2}]\)\(=\frac{1}{n}[(ax_1-a\overline{x})^{2}+(ax_2-a\overline{x})^{2}+\cdots+(ax_n-a\overline{x})^{2}]\)\(=\frac{1}{n}[a^{2}(x_1-\overline{x})^{2}+a^{2}(x_2-\overline{x})^{2}+\cdots+a