小升初數(shù)學(xué)行程題專項訓(xùn)練解析一、引言：行程題為何是小升初的“拉分王”？在小升初數(shù)學(xué)試卷中，行程問題始終占據(jù)15%-20%的分值，且常以“壓軸題”形式出現(xiàn)。其核心考查學(xué)生對“路程、速度、時間”三者關(guān)系的理解，以及“數(shù)形結(jié)合、邏輯推理”的能力。相較于計算、幾何等題型，行程題更注重情境分析——如何從“相遇、追及、流水”等場景中提取關(guān)鍵條件，是學(xué)生能否突破的關(guān)鍵。本文將從“基礎(chǔ)概念”到“進(jìn)階題型”，逐一拆解行程題的解題邏輯，結(jié)合典型例題+實戰(zhàn)技巧，幫助學(xué)生建立系統(tǒng)的解題框架。二、基礎(chǔ)概念回顧：行程題的“底層邏輯”所有行程問題的核心公式均來自：\[\text{路程}=\text{速度}\times\text{時間}\quad(S=v\timest)\]\[\text{速度}=\text{路程}\div\text{時間}\quad(v=S\divt)\]\[\text{時間}=\text{路程}\div\text{速度}\quad(t=S\divv)\]關(guān)鍵提醒：單位必須統(tǒng)一（如速度用“千米/小時”，時間需用“小時”，路程用“千米”）；“速度”是指平均速度（總路程÷總時間），而非瞬時速度；所有衍生題型（相遇、追及等）均是此公式的變形。三、核心題型拆解：逐一突破高頻考點（一）相遇問題：“相向而行”的路程和邏輯核心公式：\[\text{路程和}=\text{速度和}\times\text{相遇時間}\quad(S_{\text{和}}=(v_1+v_2)\timest)\]\[\text{相遇時間}=\text{路程和}\div\text{速度和}\quad(t=S_{\text{和}}\div(v_1+v_2))\]解題思路：1.確定“路程和”：通常為兩地之間的總距離（或未相遇時的剩余距離）；2.計算“速度和”：兩人（或物體）的速度相加；3.根據(jù)公式求相遇時間或未知速度。典型例題：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行。甲的速度是每小時6千米，乙的速度是每小時4千米，A、B兩地相距20千米。問：兩人幾小時后相遇？解析：路程和：A、B兩地距離20千米；速度和：6+4=10（千米/小時）；相遇時間：20÷10=2（小時）。答案：2小時。舉一反三（進(jìn)階題）：甲從A地出發(fā)，每小時走5千米，1小時后乙從B地出發(fā)，每小時走6千米，A、B兩地相距30千米。乙出發(fā)后幾小時兩人相遇？提示：甲先出發(fā)1小時，走了5×1=5千米，剩余路程和為30-5=25千米；速度和：5+6=11千米/小時；相遇時間：25÷11≈2.27小時（或?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)11/25小時？不，等一下，25÷11是2余3，所以是2又3/11小時）。（二）追及問題：“同向而行”的路程差邏輯核心公式：\[\text{路程差}=\text{速度差}\times\text{追及時間}\quad(S_{\text{差}}=(v_{\text{快}}-v_{\text{慢}})\timest)\]\[\text{追及時間}=\text{路程差}\div\text{速度差}\quad(t=S_{\text{差}}\div(v_{\text{快}}-v_{\text{慢}}))\]解題思路：1.確定“路程差”：初始時兩者之間的距離（或追及時需要彌補的差距）；2.計算“速度差”：快者速度減去慢者速度；3.根據(jù)公式求追及時間或未知速度。典型例題：甲、乙兩人同時從同一地點出發(fā)，同向而行。甲的速度是每小時8千米，乙的速度是每小時5千米。問：甲出發(fā)后幾小時能追上乙？解析：路程差：初始時兩人在同一地點，路程差為0？不，等一下，應(yīng)該是乙先出發(fā)？不，題目是同時出發(fā)，同向而行，那甲速度快，會逐漸拉開距離，不是追及。哦，這里我犯了一個錯誤，追及問題的路程差應(yīng)該是慢者先出發(fā)的路程或初始距離。比如修改題目：乙先出發(fā)1小時，甲再出發(fā)追乙，這樣路程差是乙1小時走的5×1=5千米，速度差是8-5=3千米/小時，追及時間是5÷3≈1.67小時。糾正后的典型例題：乙從A地出發(fā)，每小時走5千米，1小時后甲從A地出發(fā)，每小時走8千米，同向而行。問：甲出發(fā)后幾小時能追上乙？解析：路程差：乙先出發(fā)1小時走的路程，即5×1=5千米；速度差：8-5=3（千米/小時）；追及時間：5÷3=5/3≈1.67（小時）。答案：5/3小時（或1小時20分鐘）。關(guān)鍵提醒：追及問題的核心是“速度快的物體彌補與慢者的初始差距”，因此路程差=初始距離（或慢者先出發(fā)的路程），速度差=快者速度-慢者速度。（三）流水行船問題：“水速影響”的速度變形核心公式：\[\text{順?biāo)俣葈=\text{靜水速度}+\text{水流速度}\quad(v_{\text{順}}=v_{\text{靜}}+v_{\text{水}})\]\[\text{逆水速度}=\text{靜水速度}-\text{水流速度}\quad(v_{\text{逆}}=v_{\text{靜}}-v_{\text{水}})\]\[\text{靜水速度}=(\text{順?biāo)俣葈+\text{逆水速度})\div2\quad(v_{\text{靜}}=(v_{\text{順}}+v_{\text{逆}})\div2)\]\[\text{水流速度}=(\text{順?biāo)俣葈-\text{逆水速度})\div2\quad(v_{\text{水}}=(v_{\text{順}}-v_{\text{逆}})\div2)\]解題思路：1.明確“順?biāo)薄澳嫠睜顟B(tài)，選擇對應(yīng)速度公式；2.根據(jù)題目中的“路程不變”（如往返同一航線）建立等式；3.若未知靜水速度或水流速度，用上述公式聯(lián)立求解。典型例題：一艘船在靜水中的速度是每小時10千米，水流速度是每小時2千米。這艘船從A港順?biāo)叫械紹港用了5小時，從B港逆水返回A港需要多少小時？解析：順?biāo)俣龋?0+2=12（千米/小時）；A、B兩港距離：12×5=60（千米）；逆水速度：10-2=8（千米/小時）；返回時間：60÷8=7.5（小時）。答案：7.5小時（或7小時30分鐘）。舉一反三：一艘船往返于A、B兩港，順?biāo)叫行枰?小時，逆水航行需要5小時，已知水流速度是每小時2千米，求A、B兩港之間的距離。提示：設(shè)靜水速度為\(v\)，則順?biāo)俣葹閈(v+2\)，逆水速度為\(v-2\)；路程不變，故\(3(v+2)=5(v-2)\)；解方程得\(v=8\)千米/小時；距離：3×(8+2)=30千米。（四）火車過橋問題：“車身長度”的隱藏條件核心公式：\[\text{過橋路程}=\text{橋長}+\text{火車長}\quad(S=L_{\text{橋}}+L_{\text{車}})\]\[\text{時間}=(\text{橋長}+\text{火車長})\div\text{火車速度}\quad(t=(L_{\text{橋}}+L_{\text{車}})\divv_{\text{車}})\]解題思路：1.火車“完全通過”橋的定義：從車頭進(jìn)入橋到車尾離開橋；2.因此，行駛的總路程必須包含火車自身長度；3.若題目中未給出火車長度，需通過其他條件（如過隧道、錯車）推導(dǎo)。典型例題：一列火車長150米，以每小時60千米的速度通過一座長450米的橋，需要多少分鐘？解析：單位統(tǒng)一：60千米/小時=60÷60=1千米/分鐘=1000米/分鐘；過橋路程：150+450=600（米）；時間：600÷1000=0.6（分鐘）=36秒。答案：0.6分鐘（或36秒）。關(guān)鍵提醒：火車過“短橋”或“隧道”時，車身長度不可忽略；若兩列火車“錯車”（相向而行），總路程為兩列火車長度之和，速度為兩車速度之和；若兩列火車“超車”（同向而行），總路程為兩列火車長度之和，速度為兩車速度之差。（五）環(huán)形跑道問題：“循環(huán)相遇”的周期規(guī)律核心公式：相遇問題（相向而行）：每相遇一次，路程和為一圈長度；相遇次數(shù)\(n\)，總路程和為\(n\times\text{跑道長}\)；追及問題（同向而行）：每追上一次，路程差為一圈長度；追及次數(shù)\(n\)，總路程差為\(n\times\text{跑道長}\)。解題思路：1.確定運動方向（相向/同向），判斷是相遇還是追及；2.計算每圈的“相遇時間”或“追及時間”；3.根據(jù)總時間求相遇/追及次數(shù)。典型例題：甲、乙兩人在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，甲的速度是每小時120米，乙的速度是每小時80米。（1）若兩人同時同地出發(fā)，相向而行，多少分鐘后第一次相遇？（2）若兩人同時同地出發(fā)，同向而行，多少分鐘后甲第一次追上乙？解析：（1）相向而行（相遇問題）：速度和：120+80=200（米/分鐘）；相遇時間：400÷200=2（分鐘）。（2）同向而行（追及問題）：速度差：120-80=40（米/分鐘）；追及時間：400÷40=10（分鐘）。答案：（1）2分鐘；（2）10分鐘。舉一反三：若甲、乙兩人在環(huán)形跑道上同時同地出發(fā)，相向而行，每2分鐘相遇一次；同向而行，每10分鐘甲追上乙。求甲、乙的速度。提示：設(shè)甲速度為\(v_1\)，乙速度為\(v_2\)；相向而行：\(2(v_1+v_2)=400\)；同向而行：\(10(v_1-v_2)=400\)；聯(lián)立解得\(v_1=120\)米/分鐘，\(v_2=80\)米/分鐘。四、解題技巧總結(jié)：提升效率的“關(guān)鍵法門”1.畫線段圖：將抽象的行程問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，標(biāo)注“路程、速度、時間”，快速找到等量關(guān)系；2.設(shè)未知數(shù)用方程：對于復(fù)雜問題（如不同時出發(fā)、往返相遇），設(shè)未知量（如時間、速度），根據(jù)路程關(guān)系列方程；3.單位統(tǒng)一：先將速度、時間、路程的單位轉(zhuǎn)換為一致（如千米/小時→米/分鐘），再計算；4.識別關(guān)鍵詞：“相向而行”→相遇問題；“同向而行”→追及問題；“順?biāo)?逆水”→流水行船；“過橋/過隧道”→火車問題；“環(huán)形跑道”→循環(huán)相遇/追及。五、實戰(zhàn)演練：綜合題訓(xùn)練題目：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，甲的速度是每小時5千米，乙的速度是每小時4千米，相遇時甲比乙多走了2千米。求A、B兩地之間的距離。解析：設(shè)相遇時間為\(t\)小時；甲走的路程：5\(t\)千米，乙走的路程：4\(t\)千米；甲比乙多走2千米，故\(5t-4t=2\)，解得\(t=2\)小時；總距離：\(5×2+4×2=18\)千米。答案：18千米。題目：一列火車通過一座長300米的橋用了20秒，通過一條長180米的隧道用了15秒，求火車的長度和速度。解析：設(shè)火車長為\(L\)米，速度為\(v\)米/秒；過橋：\(20v=300+L\)；過隧道：\(15v=180+L\)；聯(lián)立方程，用第一個減第二個得：\(5v=120\)，解得\(v=24\)米/秒；代入第二個方程：\(15×24=180+L\)，解得\(L=180\)米。答案：火車長180米，速度24米/秒。六、結(jié)語：行程題的復(fù)習(xí)建議1.熟練公式：將相遇、追及、流水行船、火車過橋