考點(diǎn)07對數(shù)函數(shù)（12種題型2個易錯考點(diǎn)）一、一、真題多維細(xì)目表考題考點(diǎn)考向2022·北京·統(tǒng)考高考真題對數(shù)的運(yùn)算對數(shù)的運(yùn)算解決實(shí)際問題2022·天津·統(tǒng)考高考真題對數(shù)的運(yùn)算對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用二二、命題規(guī)律與備考策略【解題方法點(diǎn)撥】1、4種方法﹣﹣解決對數(shù)運(yùn)算問題的方法（1）將真數(shù)化為底數(shù)（或已知對數(shù)的數(shù)）的冪的積，再展開；（2）將同底對數(shù)的和、差、倍合并；（3）利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用；（4）利用常用對數(shù)中的lg2+lg5＝1．2、3個基本點(diǎn)﹣﹣對數(shù)函數(shù)圖象的三個基本點(diǎn)（1）當(dāng)a＞1時，對數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當(dāng)0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)的圖象“下降”．（2）對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）的圖象過定點(diǎn)（1，0），且過點(diǎn)（a，1），（，﹣1）函數(shù)圖象只在第一、四象限．（3）底數(shù)的大小與對數(shù)函數(shù)的圖象位置之間的關(guān)系．3、2個應(yīng)用﹣﹣對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（1）比較對數(shù)式的大?。孩偃舻讛?shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，需對底數(shù)進(jìn)行分類討論．②若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較．③若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1，0等中間量進(jìn)行比較．（2）解對數(shù)不等式：形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．形如logax＞b的不等式，需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式．三三、2022真題搶先刷，考向提前知4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當(dāng)，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當(dāng)，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當(dāng)，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)5．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）化簡的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．6四四、考點(diǎn)清單一．對數(shù)的概念1．對數(shù)的定義如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．（2）幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對數(shù)底數(shù)為a（a＞0且a≠1）logaN常用對數(shù)底數(shù)為10lgN自然對數(shù)底數(shù)為elnN二．指數(shù)式與對數(shù)式的互化ab＝N?logaN＝b；alogaN＝N；logaaN＝N指數(shù)方程和對數(shù)方程主要有以下幾種類型：（1）af（x）＝b?f（x）＝logab；logaf（x）＝b?f（x）＝ab（定義法）（2）af（x）＝ag（x）?f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）?f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）af（x）＝bg（x）?f（x）logma＝g（x）logmb；（兩邊取對數(shù)法）（4）logaf（x）＝logbg（x）?logaf（x）＝；（換底法）（5）Alogx+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（設(shè)t＝logax或t＝ax）（換元法）三．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．四．換底公式的應(yīng)用換底公式及換底性質(zhì)：（1）logaN＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）logab＝，（3）logab?logbc＝logac，（4）loganbm＝logab．五．對數(shù)函數(shù)的定義一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．即ab＝N，logaN＝b．底數(shù)則要大于0且不為1．六．對數(shù)函數(shù)的定義域一般地，我們把函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞），值域是R．七．對數(shù)函數(shù)的值域與最值一般地，我們把函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞），值域是R．定點(diǎn)：函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)（1，0）八．對數(shù)值大小的比較1、若兩對數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同，則利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較．2、若兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量（1，﹣1，0）進(jìn)行比較3、若兩對數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)也不同，則利用函數(shù)圖象或利用換底公式化為同底的再進(jìn)行比較．（畫圖的方法：在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象的底數(shù)由左到右逐漸增大）九．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)十．對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)：1、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)a＞1時，y＝logax在（0，+∞）上為增函數(shù)當(dāng)0＜a＜1時，y＝logax在（0，+∞）上為減函數(shù)2、特殊點(diǎn)對數(shù)函數(shù)恒過點(diǎn)（1，0）十一．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系（1）對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的定義域、值域互換，圖象關(guān)于直線y＝x對稱．（2）它們都是單調(diào)函數(shù)，都不具有奇偶性．當(dāng)a＞l時，它們是增函數(shù)；當(dāng)O＜a＜l時，它們是減函數(shù)．（3）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：十二．對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用1、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)：a＞10＜a＜1圖象定義域（0，+∞）值域R定點(diǎn)過點(diǎn)（1，0）單調(diào)性在（0，+∞）上是增函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)函數(shù)值正負(fù)當(dāng)x＞1時，y＞0；當(dāng)0＜x＜1，y＜0當(dāng)x＞1時，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時，y＞02、由對數(shù)函數(shù)的圖象確定參數(shù)的方法已知對數(shù)型函數(shù)的圖象研究其解析式及解析式中所含參數(shù)的取值范圍問題，通常是觀察圖象，獲得函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、奇偶性、經(jīng)過的特殊點(diǎn)等，由此確定函數(shù)解析式以及其中所含參數(shù)的取值范圍．五五、題型方法一．對數(shù)的概念（共2小題）1．（2022秋?寶應(yīng)縣校級月考）若對數(shù)ln（x2﹣5x+6）存在，則x的取值范圍為．2．（2022春?閔行區(qū)校級期中）從1，2，3，4，9這五個數(shù)中任取兩個數(shù)分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以得到種不同的對數(shù)值．二．指數(shù)式與對數(shù)式的互化（共4小題）3．（2023?河西區(qū)模擬）已知3a＝4b＝m，，則m的值為（）A．36 B．6 C． D．（多選）4．（2023?宣城模擬）已知3x＝5y＝15，則實(shí)數(shù)x，y滿足（）A．x＞y B．x+y＜4 C． D．xy＞45．（2023?濱海新區(qū)模擬）已知，4b＝n，若，則n的值為（）A． B．5 C． D．256．（2023?天津模擬）已知4x＝3y＝m，且＝2，則m＝（）A．2 B．4 C．6 D．9三．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（共7小題）7．（2023?江西二模）已知a＞1，b＞1，a3b＝100，則loga10+3logb10的最小值為（）A．4 B．6 C．8 D．128．（2023?貴州模擬）1707年Euler發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系：當(dāng)a＞0，a≠1時，ax＝N等價(jià)于x＝logaN．若ex＝25，lg2≈0.3010，lge≈0.4343，則x的值約為（）A．3.2190 B．2.3256 C．3.1775 D．2.73169．（2023?河北模擬）斯特林公式（Stirling'sapproximation）是由英國數(shù)學(xué)家斯特林提出的一條用來取n的階乘的近似值的數(shù)學(xué)公式，即n!≈（）n，其中π為圓周率，e為自然對數(shù)的底數(shù)．一般來說，當(dāng)n很大的時候，n的階乘的計(jì)算量十分大，所以斯特林公式十分好用．斯特林公式在理論和應(yīng)用上都具有重要的價(jià)值，對于概率論的發(fā)展也有著重大的意義．若利用斯特林公式分析100！計(jì)算結(jié)果，則該結(jié)果寫成十進(jìn)制數(shù)時的位數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lgπ≈0.497，lge≈0.434）A．154 B．158 C．164 D．17210．（2023?淄博二模）設(shè)p＞0，q＞0，滿足log4p＝log6q＝log9（2p+q），則＝．11．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知一個15位正整數(shù)N＝a×1014（1≤a＜10），且N的30次方根仍是一個整數(shù)，則這個30次方根為（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3＝0.48，lg5≈0.7）（）A．3 B．4 C．5 D．612．（2023?懷化二模）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足e2﹣a＝a，b（lnb﹣1）＝e3，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則ab的值為．（多選）13．（2023?山東模擬）對于兩個均不等于1的正數(shù)m和n，定義：m*n＝min{logmn，lognm}，則下列結(jié)論正確的是（）A．若a＞1，且3*a＝2*4，則a＝9 B．若a≥b≥c＞1，且，則b＝c C．若0＜a＜b＜c＜1，則 D．若0＜a＜b＜c＜1，x＞y＞z＞0，則（ax*by）?（by*cz）＝2（ax*cz）四．換底公式的應(yīng)用（共2小題）14．（2022秋?襄城區(qū)校級期末）a克糖水中含有b克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為，這個質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會變甜，對應(yīng)的不等式為＞（a＞b＞0，m＞0）．若x1＝log32，x2＝log1510，x3＝log4520，則（）A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x1＜x2 D．x3＜x2＜x115．（2023春?寶山區(qū)校級月考）已知log189＝a，18b＝5．則log3645等于（）A． B． C． D．五．對數(shù)函數(shù)的定義（共2小題）16．（2022秋?黃浦區(qū)校級期中）對數(shù)表達(dá)式log（x﹣1）（5﹣x）中的x的取值范圍是．17．（2022秋?玄武區(qū)校級期中）在y＝log（a﹣2）（5﹣a）中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．六．對數(shù)函數(shù)的定義域（共3小題）18．（2023?廣陵區(qū)校級模擬）已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x|y＝ln（4﹣x2）}，則（?UA）∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） B．[﹣1，2） C．[﹣1，4] D．（﹣∞，4]19．（2022?渭南一模）已知集合A＝{x|y＝ln（1﹣2x）}，B＝{x|y＝}，則A∩B＝（）A．[﹣2，） B．[﹣2，] C．[0，） D．[0，]20．（2022?張掖模擬）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，A∪B＝（）A．{x|x＞1} B．{x|x＜1} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}七．對數(shù)函數(shù)的值域與最值（共3小題）21．（2022秋?杭州期末）函數(shù)的定義域是（）A．[1，+∞） B．[，1] C．（，1] D．（0，]22．（2023春?滁州期中）函數(shù)y＝log（x2﹣6x+11）的值域?yàn)椋?3．（2022秋?西安區(qū)期末）已知函數(shù)f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在上的最大值為3．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若a＞1，求函數(shù)g（x）＝a2x﹣5ax+4的值域．八．對數(shù)值大小的比較（共5小題）24．（2023?靖遠(yuǎn)縣模擬）已知a＝1.30.1，b＝log25，c＝0.92.3，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b25．（2023?榆林三模）已知a＝log3.43.5+log3.53.4，b＝log3.53.6+log3.63.5，c＝logπ3.7，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞c＞a26．（2023?遼陽二模）若a＝log0.30.4，b＝1.20.3，c＝log2.10.9，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞a＞c27．（2023?益陽模擬）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a28．（2023?廣東二模）已知，，，則（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7）（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b九．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（共5小題）29．（2023?攀枝花一模）若對數(shù)函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)B（8，t），且p＝log0.1t，q＝0.2t，r＝t0.1．則（）A．r＜p＜q B．q＜p＜r C．r＜q＜p D．p＜q＜r30．（2023?平頂山模擬）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝log2x的圖象關(guān)于直線x＝2對稱的是（）A．y＝log2（2+x） B．y＝log2（2﹣x） C．y＝log2（4+x） D．y＝log2（4﹣x）31．（2023?吉州區(qū)校級一模）函數(shù)f（x）＝log3|x+a|的圖象的對稱軸方程為x＝2，則常數(shù)a＝．32．（2023?贛州模擬）已知函數(shù)y＝1+loga（2﹣x）（a＞0且a≠1）的圖像恒過定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在圓x2+y2+mx+m＝0外，則符合條件的整數(shù)m的取值可以為．（寫出一個值即可）33．（2023?江西模擬）已知函數(shù)f（x）＝log3（3﹣x）﹣log3（1+x）﹣x+3，則函數(shù)f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成圖形的面積是（）A．4 B．4ln3 C．6 D．6ln3一十．對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)（共6小題）34．（2023?臨高縣模擬）函數(shù)f（x）＝loga（2x﹣3）﹣4（a＞0）且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（）A．（1，0） B．（1，﹣4） C．（2，0） D．（2，﹣4）35．（2023?天津一模）已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，若實(shí)數(shù)a滿足f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1），則a的最小值是（）A． B．1 C． D．236．（2022?浙江模擬）已知a＞0，b＞0，則“”是“l(fā)n（a+1）＞lnb”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件37．（2021?涼州區(qū)校級模擬）已知a＝30.1，b＝，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a38．（2022?呼倫貝爾模擬）函數(shù)y＝loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)P，若點(diǎn)P在直線mx+ny﹣1＝0上，其中mn＞0，則的最小值為．39．（2021?翠屏區(qū)校級模擬）函數(shù)y＝loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+2＝0上（其中m，n＞0），則的最小值等于（）A．10 B．8 C．6 D．4一十一．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系（共2小題）40．（2023?大通縣一模）已知2a＝5，則lg40＝（）A． B． C． D．41．（2020?碑林區(qū)校級三模）已知x1＝ln，x2＝，x3滿足＝lnx3，則下列各選項(xiàng)正確的是（）A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2一十二．對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用（共3小題）42．（2022秋?錦州期末）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足關(guān)系式m1﹣m2＝，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k＝1，2）．已知牛郎星的星等是0.75，織女星的星等是0，則牛郎星與織女星的亮度的比值為（）A． B． C． D．43．（2022秋?東勝區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝b+logax（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，1）和（1，﹣1）（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）令g（x）＝2f（x+1）﹣f（x），求g（x）的最小值及取最小值時x的值．44．（2022秋?和平區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x（1）如果x∈[1，2]，求函數(shù)h（x）＝[f（x）+1]g（x）的值域；（2）求函數(shù)M（x）＝的最大值．（3）如果對任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k?g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．六六、易錯分析易錯點(diǎn)1：對數(shù)函數(shù)中忽視對底數(shù)的討論致錯1．已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．易錯點(diǎn)2：忽視對數(shù)式中真數(shù)大于零致錯2．函數(shù)y＝log5(x2＋2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．3．已知函數(shù)f(x)＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為()A.∪[2，＋∞) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))∪(1,2]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(1,3)))∪[2，＋∞) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(1,3)))∪(1,2]七七、刷基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·內(nèi)蒙古阿拉善盟·統(tǒng)考一模）已知集合，，則等于（

）A． B．C． D．2．（2023·甘肅白銀·甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知，，，則（

）A． B．C． D．3．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）人們用分貝（dB）來劃分聲音的等級，聲音的等級（單位：dB）與聲音強(qiáng)度x（單位：）滿足.一般兩人正常交談時，聲音的等級約為60dB，燃放煙花爆竹時聲音的等級約為150dB，那么燃放煙花爆竹時聲音強(qiáng)度約為兩人正常交談時聲音強(qiáng)度的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍4．（2023·北京朝陽·二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．5．（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．6．（2023·山西·統(tǒng)考二模）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）請寫出滿足方程的一組實(shí)數(shù)對：______．8．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（且）的圖像過定點(diǎn)A，若拋物線也過點(diǎn)A，則拋物線的準(zhǔn)線方程為__________.9．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)，）是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為______.10．（2023·全國·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）大氣壓強(qiáng)，它的單位是“帕斯卡”（Pa，），已知大氣壓強(qiáng)隨高度的變化規(guī)律是，其中是海平面大氣壓強(qiáng)，.當(dāng)?shù)馗呱缴弦惶幋髿鈮簭?qiáng)是海平面處大氣壓強(qiáng)的，則高山上該處的海拔為___________米.（答案保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)）11．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）展開式的常數(shù)項(xiàng)為___________.（用最簡分?jǐn)?shù)表示）12．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為_____________．三、解答題13．（2022·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知（其中且）．(1)若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，的最大值大于1，求的取值范圍．14．（2022·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)校考一模）(1)；(2