第六章截面圖形的幾何性質本章內容靜矩和形心慣性矩和慣性積平行移軸公式回轉半徑為什么要研究截面圖形的幾何性質？在結構設計中，設計者在滿足強度、剛度和穩(wěn)定性的前提下通常選取截面面積小而承載能力較大的桿件，以取得較好的經濟效果。桿件的應力和變形，不僅取決于外載荷的大小和桿件的幾何尺寸，而且與桿件橫截面的形狀和幾何量有關。

包括：形心、靜矩、極慣性矩、慣性矩、慣性半徑、慣性積、主軸和形心主軸、主矩和形心主矩等截面的幾何性質6.1靜矩和形心一、靜矩oyzAdAyz截面對z軸的靜矩截面對y軸的靜矩單位：靜矩的數(shù)值可大于零、等于零或小于零。二、形心oyzAC如圖所示均質薄板，重心與形心C重合，由靜力學可知形心坐標在yoz：求靜矩的另一公式：（1）若則

yzACy、z軸稱為形心軸。討論若z軸、y軸通過截面形心。二、形心（2）若y,z軸均為圖形的對稱軸，則其交點即為圖形形心；如果y軸為圖形對稱軸，則圖形形心必在此軸上。則二、形心截面對稱軸一定是形心軸，那么形心軸一定是對稱軸嗎？例3-1求圖示半圓截面的靜矩Sy、Sz及形心C位置。己知圓的半徑為R。解：（1）因為y軸為對稱軸,半圓的形心在y軸上，即y軸為形心軸，所以靜矩；根據(jù)幾何關系，（2）形心二、形心dDyz整個圖形對某一軸的靜矩等于各個分圖形對同一軸的靜矩之和。三、組合截面的靜矩和形心三、組合截面的靜矩和形心靜矩形心例題3-3求圖示等腰梯形的形心以及圖形對底邊的靜矩三、組合截面的靜矩和形心解：建立如圖所示坐標系yOz,等腰梯形關于z軸對稱，則形心靜矩將梯形分為兩個三角形ABC和BCD,其形心分別為和，則形心縱坐標分別為6.2慣性矩和慣性積一、慣性矩與慣性積oyzAdAyz截面對y、z兩軸的慣性積單位：討論：（1）慣性積

可

0；0；0；（2）若圖形有一對稱軸，則截面對y軸的慣性矩截面對z軸的慣性矩慣性矩恒為正，量綱為長度的四次方二、極慣性矩oyzAdAyz截面對o點的極慣性矩單位：討論:例3-2試計算圖示矩形截面的

解:(1)y、z軸為形心軸(2)取平行于z軸的狹長條，同理y和z中只要有一根軸是截面的對稱軸，則yzbhzdzc三、區(qū)別例3-3

試計算圖示實心圓形的慣性矩、極慣性矩。解：實心圓截面三、區(qū)別四、組合截面的慣性矩與慣性積整個圖形對某一軸的慣性矩（慣性矩、慣性積…）等于各個分圖形對同一軸的慣性矩（慣性矩、慣性積…）之和。IIIIIIyz例如工字型截面例3-4試計算空心圓截面對形心軸z的慣性矩?？招膱A其中dDyz當截面面積相等時，試著比較矩形、實心圓和空心圓截面的慣性矩的大小。四、組合截面的慣性矩與慣性積例3-5試計算工字形截面對形心軸z的慣性矩。解：工字型截面可以看成圖b中面積為BH的矩形減去兩個陰影部分的小矩形。所以工字型截面對Z軸的慣性矩為：四、組合截面的慣性矩與慣性積小結（1）靜矩。靜矩是截面對某軸的一次矩。靜矩可正、可負、可為零，截面對形心軸的靜矩為零。（2）形心。截面形心的計算公式：（3）慣性矩。慣性矩是截面對某軸的二次矩,慣性矩恒為正。（4）極慣性矩。極慣性矩是截面對某點的二次矩。極慣性矩恒為正。極慣性矩與慣性矩之間的關系為：小結（5）慣性積。慣性積是截面對相互垂直的一對坐標軸的二次矩。慣性積可正、可負、可為零。在一對坐標中，至少一個是對稱軸時，慣性積恒為零。（6）組合截面靜矩和慣性矩。組合截面對某軸的靜矩、慣性矩等于各組成部分對同一軸的靜矩、慣性矩的代數(shù)和，即6.3平行移軸公式一、平行移軸公式ACyzdAyzoba已知:(y、z軸過形心C)求解：代入定義式：ACyzdAyzoba同理00一、平行移軸公式

注意：（1）兩平行軸中，必須有一軸為形心軸，截面對任意兩平行軸的慣性矩間的關系，應通過平行的形心軸慣性矩來換算；（2）截面圖形對所有平行軸的慣性矩中，以對通過形心軸的慣性矩最小。一、平行移軸公式形心求圖示面積為平面圖形對軸和軸的慣性矩之間的關系是否為一、平行移軸公式二、主慣性矩由慣性積的定義可知同一圖形對不同直角坐標軸的慣性矩和慣性積是不同的。則軸稱為主慣性軸（主軸）。因此可以找到某一角度

以及相應的坐標系使得平面圖形對于該對坐標軸的慣性積oyzAdAyz當主慣性軸通過圖形形心時,該主慣性軸為形心主軸，圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩討論：(1)當截面有兩個以上對稱軸時，任一對稱軸都是截面的形心主軸，且截面對任一形心軸的慣性矩都相等，如圓形、正方形、等邊三角形等。

（2）若平面圖形有兩個對稱軸，則此二軸均為形心主軸，如矩形、工字型。

（3）若平面圖形只有一個對稱軸，則該軸必為形心主軸，另一個形心主軸為通過截面形心且與對稱軸垂直的軸，如T形截面等。

（4）若平面圖形沒有對稱軸，可先求出平面圖形的形心位置，進而求出通過形心的任意一對正交軸的慣性矩和慣性積，然后再利用轉軸公式求得形心主慣性軸的位置及形心主慣性矩。二、主慣性矩例3－6：T字形截面,求其對形心軸的慣性矩。解:(1)求形心C的坐標選參考坐標系yOz,如圖所示形心軸yc與y軸的距離為zc組合截面的靜矩組合截面的形心y20cm3173zycCIIIO平行移軸公式(2)求根據(jù)平行移軸公式20cm3173zycCIIICICIIy平行移軸公式例3-7：在圓形截面中挖去陰影圓形截面后試求圖形對z軸的慣性矩。解：（1）如圖建立參考坐標系yOz陰影圓對自身形心軸zc和yc的慣性矩為：小圓形心C到O的距離為：面積為：所以陰影圓對Z軸的慣性矩為整個圖形對Z軸的慣性矩為：平行移軸公式6.4

回轉半徑回轉半徑任一平面圖形，其面積為A。y,z為圖形所在平面內的一對直角坐標軸。圖形對y,z軸的慣性矩分別為、（單位：）為平面圖形對z軸和y軸的回轉半徑或慣性半徑，工程中、寫為所以回轉半徑例3-8試計算矩形和圓形截面對形心主軸的回轉半徑。

解:（1）矩形矩形截面的對稱軸為形心主軸，yzbhc所以（2）圓形圓形截面的任一直徑軸都是形心主軸，所以cdyz回轉半徑小結（1）平行移軸公