第14頁（共14頁）2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之排列與組合一．選擇題（共7小題）1．（2024?臺(tái)灣）想在5×5的棋盤上擺放4個(gè)相同的西洋棋的城堡棋子．由于城堡會(huì)將同一行或是同一列的棋子吃掉，故擺放時(shí)規(guī)定每一行與每一列最多只能擺放一個(gè)城堡．在第一列的第一、三、五格（如圖示畫叉的格子）不擺放的情況下，試問共有多少種擺放方式？（）A．216 B．240 C．288 D．312 E．3602．（2023?新高考Ⅱ）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）A．C40045?C20015種C．C40030?C200303．（2023?甲卷）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）A．120 B．60 C．40 D．304．（2023?乙卷）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種5．（2022?新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種6．（2021?乙卷）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種7．（2020?山東）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）A．120種 B．90種 C．60種 D．30種二．填空題（共6小題）8．（2022?上海）用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個(gè)數(shù)為.（用數(shù)字作答）9．（2025?上海）4個(gè)家長和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長，則不同的排列個(gè)數(shù)有種．10．（2024?新高考Ⅱ）在如圖的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．11．（2024?全國）用1，2，…，9這9個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有個(gè)．12．（2024?上海）設(shè)集合A中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．13．（2023?新高考Ⅰ）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．

2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之排列與組合參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號(hào)1234567答案DDBCBCC一．選擇題（共7小題）1．（2024?臺(tái)灣）想在5×5的棋盤上擺放4個(gè)相同的西洋棋的城堡棋子．由于城堡會(huì)將同一行或是同一列的棋子吃掉，故擺放時(shí)規(guī)定每一行與每一列最多只能擺放一個(gè)城堡．在第一列的第一、三、五格（如圖示畫叉的格子）不擺放的情況下，試問共有多少種擺放方式？（）A．216 B．240 C．288 D．312 E．360【考點(diǎn)】其他排列形式及其計(jì)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列公式求解即可．【解答】解：在第一行擺放城堡有2×4×A4不在第一行擺放有A54故共有192+120＝312種擺法．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查排列問題，是中檔題．2．（2023?新高考Ⅱ）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）A．C40045?C20015種C．C40030?C20030【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)分層抽樣先進(jìn)行計(jì)算，然后利用組合公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵初中部和高中部分別有400和200名學(xué)生，∴人數(shù)比例為400：200＝2：1，則需要從初中部抽取40人，高中部取20人即可，則有C40040故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分層抽樣以及簡單的計(jì)數(shù)問題，利用組合公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．3．（2023?甲卷）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）A．120 B．60 C．40 D．30【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】先選連續(xù)參加兩天服務(wù)的人，再分別給星期六，星期日選人，然后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可．【解答】解：先從5人中選1人連續(xù)兩天參加服務(wù)，共有C51然后從剩下4人中選1人參加星期六服務(wù)，剩下3人中選取1人參加星期日服務(wù)，共有C41根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有5×12＝60種選法．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合簡單計(jì)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?乙卷）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)排列組合數(shù)公式，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可得滿足題意的選法種數(shù)為：C61故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合問題，屬基礎(chǔ)題．5．（2022?新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【考點(diǎn)】部分元素相鄰的排列問題．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】利用捆綁法求出丙和丁相鄰的不同排列方式，再減去甲站在兩端的情況即可求出結(jié)果．【解答】解：把丙和丁捆綁在一起，4個(gè)人任意排列，有A22甲站在兩端的情況有C21∴甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有48﹣24＝24種，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，本題運(yùn)用排除法，可以避免討論，簡化計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2021?乙卷）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【考點(diǎn)】簡單排列問題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】5名志愿者先選2人一組，然后4組全排列即可．【解答】解：5名志愿者選2個(gè)1組，有C52種方法，然后4組進(jìn)行全排列，有共有C52故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，利用先分組后排列的方法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．7．（2020?山東）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）A．120種 B．90種 C．60種 D．30種【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】讓場館去挑人，甲場館從6人中挑一人有：C61=6種結(jié)果；乙場館從余下的5人中挑2人有：C52【解答】解：因?yàn)槊棵瑢W(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，甲場館從6人中挑一人有：C61乙場館從余下的5人中挑2人有：C52余下的3人去丙場館；故共有：6×10＝60種安排方法；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合知識(shí)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二．填空題（共6小題）8．（2022?上海）用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個(gè)數(shù)為17.（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】17．【分析】根據(jù)題意，按四位數(shù)的千位數(shù)字分2種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，當(dāng)其千位數(shù)字為3或4時(shí)，有2A33＝12種情況，即有12個(gè)符合題意的四位數(shù)，當(dāng)其千位數(shù)字為2時(shí)，有6種情況，其中最小的為2134，則有6﹣1＝5個(gè)比2134大的四位數(shù)，故有12+5＝17個(gè)比2134大的四位數(shù)，故答案為：17．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（2025?上海）4個(gè)家長和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長，則不同的排列個(gè)數(shù)有288種．【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】288．【分析】先安排特殊位置，再安排剩下元素，最后由分步乘法計(jì)算原理即可求得．【解答】解：先選2個(gè)家長排在隊(duì)列的頭和尾的排法數(shù)為：A4剩下的家長和兒童全排的排法種數(shù)為：A4由分步乘法計(jì)算原理可得，不同的排列個(gè)數(shù)有12×24＝288種．故答案為：288．【點(diǎn)評(píng)】本題考查部分元素有限制的排列問題，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?新高考Ⅱ）在如圖的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有24種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個(gè)數(shù)之和的最大值是112．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用排列數(shù)公式能求出選法總數(shù)，在所有符合上述要求的選法中，分析各選項(xiàng)的數(shù)據(jù)，能求出選中方格的4個(gè)數(shù)之和的最大值．【解答】解：在如圖的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有A44每種選法可標(biāo)記為{a，b，c，d}，a，b，c，d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有可能的結(jié)果為：（11，22，33，44），（11，22，34，43），（11，22，33，44），（11，22，34，42），（11，24，33，43），（11，24，33，42），（12，21，33，44），（12，21，34，43），（12，22，31，44），（12，22，34，40），（12，24，31，43），（12，34，33，40），（13，21，33，44），（13，21，34，42），（13，22，31，44），（13，22，34，40），（13，24，31，42），（13，24，33，40），（15，21，33，43），（15，21，33，42），（15，22，31，43），（15，22，33，40），（15，22，31，42），（15，22，33，40），在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個(gè)數(shù)之和最大的是（15，21，33，43），最大值是：15+21+33+43＝112．故答案為：24；112．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．11．（2024?全國）用1，2，…，9這9個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有280個(gè)．【考點(diǎn)】簡單排列問題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】280．【分析】根據(jù)排列數(shù)公式，先排個(gè)位，再排其余，即可求解．【解答】解：∵1，2，…，9這9個(gè)數(shù)字中奇數(shù)共有5個(gè)，∴用1，2，…，9這9個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有A51故答案為：280．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．12．（2024?上海）設(shè)集合A中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值329．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】329．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合組合數(shù)、排列數(shù)公式，并分類討論，即可求解．【解答】解：由題可知，集合A中每個(gè)元素都互異，且元素中最多有一個(gè)奇數(shù)，剩余全是偶數(shù)，先研究集合中無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)：（1）若個(gè)位為0，這樣的偶數(shù)有P9（2）若個(gè)位不為0，這樣的偶數(shù)有C4所以集合元素個(gè)數(shù)最大值為256+72+1＝329種．故答案為：329．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，屬于中檔題．13．（2023?新高考Ⅰ）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有64種（用數(shù)字作答）．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】分類討論；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用分類計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：若選2門，則只能各選1門，有C4如選3門，則分體育類選修課選2，藝術(shù)類選修課選1，或體育類選修課選1，藝術(shù)類選修課選2，則有C41C4綜上共有16+48＝64種不同的方案．故答案為：64．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡單的計(jì)數(shù)問題，利用分類計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．?dāng)?shù)字問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣數(shù)字問題涉及數(shù)字的排列組合、數(shù)字的特性以及數(shù)位的安排．例如：求解由數(shù)字構(gòu)成的不同整數(shù)的數(shù)量、分析某一數(shù)字在特定數(shù)位上的可能性、或求解滿足特定條件的整數(shù)個(gè)數(shù)．﹣數(shù)字問題通常涉及到計(jì)數(shù)原理在數(shù)字排列中的應(yīng)用，以及整數(shù)的分配與組合．【解題方法點(diǎn)撥】﹣首先分析題目中的數(shù)字特性，如數(shù)字的范圍、允許的重復(fù)次數(shù)等．﹣使用排列數(shù)或組合數(shù)來計(jì)算數(shù)字的不同排列組合方式，必要時(shí)采用分類討論的方式處理特殊情況．﹣在涉及限制條件（如某些數(shù)位必須滿足特定要求）時(shí)，先處理限制條件，再進(jìn)行組合計(jì)算．【命題方向】﹣典型的數(shù)字問題命題包括：計(jì)算由給定數(shù)字組成的不同整數(shù)的數(shù)量，或者確定某一數(shù)位上特定數(shù)字出現(xiàn)的頻率．﹣可能涉及到數(shù)字排列的特殊情況，如求解滿足某些數(shù)位條件的整數(shù)個(gè)數(shù)，或計(jì)算某些數(shù)字在排列中的特定組合數(shù)量．﹣在更復(fù)雜的問題中，可能需要結(jié)合多種計(jì)數(shù)方法，如遞推公式或生成函數(shù)來處理數(shù)字的排列組合．2．簡單排列問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣簡單排列問題通常涉及無任何限制條件的排列情況．n個(gè)不同元素的全排列總數(shù)為An﹣該類問題通常是排列問題的基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)對(duì)基本排列公式的理解與應(yīng)用．【解題方法點(diǎn)撥】﹣直接應(yīng)用排列公式進(jìn)行計(jì)算．對(duì)于全排列問題，計(jì)算階乘即可得到排列數(shù)．﹣在計(jì)算過程中，注意排列數(shù)中的階乘表示法，并理解排列的意義．﹣對(duì)于涉及排列的實(shí)際問題，可以通過具體化問題，將其轉(zhuǎn)化為排列數(shù)計(jì)算．【命題方向】﹣基本排列問題的命題常見于簡單元素排列的計(jì)算，如全排列數(shù)的求解、特定位置的排列數(shù)計(jì)算．﹣可能涉及對(duì)排列數(shù)公式的直接應(yīng)用，以及對(duì)排列問題的基礎(chǔ)性理解與操作．3．部分位置的元素有限制的排列問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣部分位置的元素排列受限是指在排列問題中，某些元素只能出現(xiàn)在特定位置或區(qū)域．例如：特定元素只能出現(xiàn)在排列的前幾位或某些位置．﹣這種問題通常要求考生在處理排列時(shí)，先考慮限制條件，再進(jìn)行一般排列．【解題方法點(diǎn)撥】﹣處理此類問題時(shí)，首先對(duì)有限制的部分進(jìn)行排列，將有限制的元素排好位置，然后對(duì)剩余元素進(jìn)行排列組合．﹣使用乘法原理，將有限制的排列與剩余元素的排列相乘得到總數(shù)．﹣對(duì)于較復(fù)雜的限制條件，可能需要分類討論，并對(duì)每種情況進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算．【命題方向】﹣?？疾煸谔囟ㄎ恢没騾^(qū)域內(nèi)元素的排列，如規(guī)定某些元素必須在前幾位，或必須固定在某些位置的排列問題．﹣命題可能涉及多重限制條件的綜合分析，要求考生靈活運(yùn)用排列數(shù)公式．4．部分元素相鄰的排列問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣部分元素相鄰的排列問題要求在排列過程中，特定元素必須相鄰排列．例如：在排列中，兩個(gè)或多個(gè)元素必須排在一起．﹣這類問題通常通過將相鄰元素視為一個(gè)整體來簡化排列．【解題方法點(diǎn)撥】﹣通過將相鄰的元素看作一個(gè)整體，然后對(duì)這個(gè)整體和其他元素一起進(jìn)行排列．最后，再對(duì)這個(gè)整體內(nèi)部的元素進(jìn)行排列．﹣使用乘法原理，將整體的排列與內(nèi)部元素的排列相乘，得到總的排列數(shù)．﹣對(duì)于涉及多個(gè)相鄰元素的問題，可以進(jìn)行多重整體處理，逐層遞進(jìn)排列．【命題方向】﹣常見命題方向包括要求特定元素相鄰的排列問題，或多組元素必須相鄰排列的情況．﹣題目可能涉及多個(gè)相鄰條件的處理，要求考生靈活應(yīng)用相鄰元素排列的策略．5．其他排列形式及其計(jì)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣其他排列形式包括環(huán)形排列、多重排列等特殊形式的排列問題．環(huán)形排列是一種特殊排列，因首尾相連，所以排列數(shù)與線性排列不同．﹣多重排列指存在相同元素的排列問題，計(jì)算時(shí)需要考慮重復(fù)元素的排列數(shù)量．【解題方法點(diǎn)撥】﹣在環(huán)形排列中，n個(gè)元素的環(huán)形排列數(shù)為(n-1)!﹣在處理多重排列時(shí)，使用多重排列公式n!n1!n2!?nk!﹣對(duì)于涉及多個(gè)重復(fù)元素的排列問題，可能需要結(jié)合分步排列與組合計(jì)算．【命題方向】﹣可能要求考生計(jì)算環(huán)形排列、對(duì)稱排列或存在重復(fù)元素的排列問題．﹣命題可能涉及復(fù)雜排列形式的組合，如同時(shí)涉及環(huán)形排列和多重排列的問題，或要求證明特定排列形式的規(guī)律．6．排列組合的綜合應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、排列組合問題的一些解題技巧：①特殊元素優(yōu)先安排；②合理分類與準(zhǔn)確分步；③排列、組合混合問題先選后排；④相鄰問