第11頁（共11頁）2021-2025年高考數學真題知識點分類匯編之復數（三）一．選擇題（共12小題）1．（2021?浙江）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i為虛數單位），則a＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．32．（2021?新高考Ⅰ）已知z＝2﹣i，則z（z+iA．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i3．（2021?乙卷）設2（z+z）+3（z-z）＝4+6i，則A．1﹣2i B．1+2i C．1+i D．1﹣i4．（2021?新高考Ⅱ）復數2-iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2021?北京）若復數z滿足（1﹣i）?z＝2，則z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i6．（2021?乙卷）設iz＝4+3i，則z＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i7．（2021?全國）z=2-i2+A．35+45i B．35-45i C8．（2020?新課標Ⅲ）復數11-3A．-310 B．-110 C．19．（2020?新課標Ⅰ）若z＝1+i，則|z2﹣2z|＝（）A．0 B．1 C．2 D．210．（2020?新課標Ⅲ）若z（1+i）＝1﹣i，則z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i11．（2020?新課標Ⅱ）（1﹣i）4＝（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i12．（2020?浙江）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i為虛數單位）是實數，則a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2二．填空題（共3小題）13．（2021?上海）已知z1＝1+i，z2＝2+3i，求z1+z2＝．14．（2021?天津）i是虛數單位，復數9+2i2+i=15．（2021?上海）已知z＝1﹣3i，則|z-i|＝

2021-2025年高考數學真題知識點分類匯編之復數（三）參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）題號1234567891011答案CCCADCADDDA題號12答案C一．選擇題（共12小題）1．（2021?浙江）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i為虛數單位），則a＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【考點】復數的運算．【專題】轉化思想；定義法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】C【分析】利用復數相等的定義求解即可．【解答】解：因為（1+ai）i＝3+i，即﹣a+i＝3+i，由復數相等的定義可得，﹣a＝3，即a＝﹣3．故選：C．【點評】本題考查了復數相等定義的理解和應用，屬于基礎題．2．（2021?新高考Ⅰ）已知z＝2﹣i，則z（z+iA．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i【考點】共軛復數；復數的運算．【專題】對應思想；定義法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】C【分析】把z＝2﹣i代入z（z+i【解答】解：∵z＝2﹣i，∴z（z+i）＝（2﹣i）（2+i+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝4+4i﹣2i﹣2i2＝6+2i故選：C．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．3．（2021?乙卷）設2（z+z）+3（z-z）＝4+6i，則A．1﹣2i B．1+2i C．1+i D．1﹣i【考點】共軛復數；復數的運算．【專題】方程思想；待定系數法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】C【分析】利用待定系數法設出z＝a+bi，a，b是實數，根據條件建立方程進行求解即可．【解答】解：設z＝a+bi，a，b是實數，則z=a﹣bi則由2（z+z）+3（z-z）＝4+6得2×2a+3×2bi＝4+6i，得4a+6bi＝4+6i，得4a=46b=6，得a＝1即z＝1+i，故選：C．【點評】本題主要考查復數的基本運算，利用待定系數法建立方程是解決本題的關鍵，是基礎題．4．（2021?新高考Ⅱ）復數2-iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】復數的代數表示法及其幾何意義；復數的運算．【專題】對應思想；數學模型法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】A【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出復數所對應點的坐標得答案．【解答】解：∵2-i∴在復平面內，復數2-i1-3i對應的點的坐標為（12故選：A．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．5．（2021?北京）若復數z滿足（1﹣i）?z＝2，則z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【考點】復數的除法運算．【專題】轉化思想；定義法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】D【分析】利用復數的除法運算法則進行求解即可．【解答】解：因為（1﹣i）?z＝2，所以z=故選：D．【點評】本題考查了復數的除法運算，解題的關鍵是掌握復數除法的運算法則，屬于基礎題．6．（2021?乙卷）設iz＝4+3i，則z＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【考點】復數的運算．【專題】對應思想；定義法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】C【分析】把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：由iz＝4+3i，得z=4+3故選：C．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，是基礎題．7．（2021?全國）z=2-i2+A．35+45i B．35-45i C【考點】復數的運算．【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】A【分析】根據已知條件，結合共軛復數的定義，以及復數的四則運算，即可求解．【解答】解：∵z=2-∴z=故選：A．【點評】本題主要考查共軛復數的定義，以及復數的四則運算，屬于基礎題．8．（2020?新課標Ⅲ）復數11-3A．-310 B．-110 C．1【考點】復數的運算；虛數單位i、復數．【專題】對應思想；定義法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】D【分析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：∵11-3∴復數11-3i的虛部是故選：D．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．9．（2020?新課標Ⅰ）若z＝1+i，則|z2﹣2z|＝（）A．0 B．1 C．2 D．2【考點】復數的模．【專題】轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】D【分析】由復數的乘方和加減運算，化簡z2﹣2z，再由復數的模的定義，計算可得所求值．【解答】解：若z＝1+i，則z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，則|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，故選：D．【點評】本題考查復數的運算，考查復數的模的求法，主要考查化簡運算能力，是一道基礎題．10．（2020?新課標Ⅲ）若z（1+i）＝1﹣i，則z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i【考點】共軛復數；復數的運算．【專題】對應思想；定義法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】D【分析】把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡，然后利用共軛復數的概念得答案．【解答】解：由z（1+i）＝1﹣i，得z=∴z＝i．故選：D．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．11．（2020?新課標Ⅱ）（1﹣i）4＝（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i【考點】復數的運算．【專題】對應思想；數學模型法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】A【分析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：（1﹣i）4＝[（1﹣i）2]2＝（﹣2i）2＝﹣4．故選：A．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，是基礎題．12．（2020?浙江）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i為虛數單位）是實數，則a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考點】復數的運算；虛數單位i、復數．【專題】計算題；轉化思想；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】C【分析】利用復數的虛部為0，求解即可．【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i為虛數單位）是實數，可得a﹣2＝0，解得a＝2．故選：C．【點評】本題考查復數的基本概念，是基礎題．二．填空題（共3小題）13．（2021?上海）已知z1＝1+i，z2＝2+3i，求z1+z2＝3+4i．【考點】復數的加、減運算及其幾何意義．【專題】對應思想；定義法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】直接根據復數的運算性質，求出z1+z2即可．【解答】解：因為z1＝1+i，z2＝2+3i，所以z1+z2＝3+4i．故答案為：3+4i．【點評】本題考查了復數的加法運算，屬基礎題．14．（2021?天津）i是虛數單位，復數9+2i2+i=4﹣【考點】復數的運算．【專題】轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】利用復數的運算法則即可得出．【解答】解：復數9+2i2+i=故答案為：4﹣i．【點評】本題考查了復數的運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．15．（2021?上海）已知z＝1﹣3i，則|z-i|＝5【考點】共軛復數；復數的模．【專題】對應思想；定義法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】5．【分析】由已知求得z-【解答】解：∵z＝1﹣3i，∴z-則|z-i|＝|1+2i|=故答案為：5．【點評】本題考查復數的加減運算，考查復數的基本概念，考查復數模的求法，是基礎題．

考點卡片1．虛數單位i、復數【知識點的認識】i是數學中的虛數單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a+bi的數叫做復數，把a＝0且b≠0的數叫做純虛數，a≠0，且b＝0叫做實數．復數的模為a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的數叫復數，其中2．復數的代數表示法及其幾何意義【知識點的認識】1、復數的代數表示法建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面．在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點（0，0），對應復數0．即復數z＝a+bi→復平面內的點z（a，b）→平面向量OZ→2、除了復數與復平面內的點和向量的一一對應關系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復數z對應的點到原點的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復數z對應的點與復數z0對應的點之間的距離．3、復數中的解題策略：（1）證明復數是實數的策略：①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?z=z（2）證明復數是純虛數的策略：①z＝a+bi為純虛數?a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0時，z-z=2bi為純虛數；③z是純虛數?z+z=0且3．共軛復數【知識點的認識】實部相等而虛部互為相反數的兩個復數，叫做互為共軛復數．如2+3i與2﹣3i互為共軛復數，用數學語言來表示即：復數Z＝a+bi的共軛復數Z=a﹣bi【解題方法點撥】共軛復數的常見公式有：|Z|=|Z|；|Z【命題方向】共軛復數在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現．試題難度不大，多為低檔題，要求能夠掌握共軛復數的性質，并能將復數的共軛加法運算和乘法運算進行推廣．運用共軛復數運算解決一些簡單的復數問題，提高數學符號變換的能力，培優(yōu)學生類比推廣思想，從特殊到一般的方法和探究方法．4．復數的模【知識點的認識】1．復數的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數叫復數，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a+bi為實數；若b≠0，則a+bi為虛數；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數．2、復數相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共軛復數：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、復數的模：OZ→的長度叫做復數z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=5．復數的運算【知識點的認識】復數的加、減、乘、除運算法則6．復數的加、減運算及其幾何意義【知識點的認識】﹣加法：兩個復數z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的和是（a1+a2）+（b1+b2）i．﹣減法：兩個復數z1和z2的差是（a1﹣a2）+（b1﹣b2）i．﹣幾何意義：加法和減法可以看作是復平面中向量的平移操作．【解題方法點撥】﹣坐標運算：直接對復數的實部和虛部進行加減．﹣幾何解釋：將復數加減看作平面上的向量操作，如平移或位移．【命題方向】﹣復數運算的幾何意義：考查復數的加減法在復平面中的幾何解釋．﹣向量運算的應用：如何利