20212022學(xué)年人教版五年級下冊同步重難點講義精講精練第三單元長方體和正方體知識點一：長方體和正方體的認(rèn)識1、兩個面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點叫做頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。2、由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形叫做長方體。在一個長方體中，相對的面完全相同，相對的棱長度相等。3、由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體（也叫做立方體）。正方體有12條棱，它們的長度都相等，所有的面都完全相同。4、長方體和正方體都有6個面、12條棱和8個頂點，只是正方體的棱長都相等。正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。知識點二：長方體和正方體的表面積1、長方體或正方體6個面的總面積叫做它的表面積。2、長方體公式：棱長和＝（長＋寬＋高）×4底面積（占地面積）＝長×寬側(cè)面積（左面、右面）＝寬×高前（后）面積＝長×高表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2沒蓋的表面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×23、正方體公式：棱長和＝棱長×12棱長＝棱長和÷12表面積＝棱長×棱長×6（任意一個面積×6）沒蓋的表面積＝棱長×棱長×5知識點三：長方體和正方體的體積1、物體所占空間的大小叫做物體的體積。2、容器所能容納物體的體積通常叫做它們的容積。10、長方體的體積（容積）＝長×寬×高＝底面積×高字母公式：v=abhv=sh3、正方體的體積（容積）＝棱長×棱長×棱長＝底面積×棱長4、讀作“a的立方”表示3個a相乘，（即a×a×a）。5、計量體積要用體積單位，常用的體積單位有立方厘米，立方分米和立方米，可以寫成，，。6、計量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫升，也可以寫成L和ml。7、高級單位化成低級單位乘進(jìn)率；低級單位化成高級單位除以進(jìn)率。8、、體積和容積單位之間的進(jìn)率：1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米1立方分米＝1升1立方厘米＝1毫升1升＝1000毫升字母表示：1=10001=10001L=1000ml1L=11ml=19、長方體或正方體容積的計算方法，跟體積計算方法相同。但要從容器里面量長、寬、高?？键c1：長方體的特征【典例分析01】（2022春?興仁市校級月考）一個長方體長13厘米，寬8厘米，高6厘米，把它切成一個盡可能大的正方體，這個正方體的棱長是（）A．13厘米 B．8厘米 C．7厘米 D．6厘米【思路引導(dǎo)】比較長方體的長、寬、高的大小，切成的正方體棱長最長不能超過它們中最小的數(shù)據(jù)，據(jù)此解答?！就暾獯稹拷猓?3＞8＞6，所以正方體的棱長最大是6厘米。故選：D?！究疾熳⒁恻c】主要考查把一個長方體切成一個最大的正方體，根據(jù)長方體的長、寬、高來確定正方體的最大棱長。【典例分析02】小青過生日了。小亞給小青準(zhǔn)備的生日禮物（如圖），你知道小亞包扎禮物盒用的絲帶有多長嗎？【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意和圖形可知，所需絲帶的長度等于2條長，2條寬，4條高，再加打結(jié)處用的20厘米；由此列式解答。【完整解答】解：8×2+6×2+5×4+20＝16+12+20+20＝68（cm）答：小亞包扎禮物盒用的絲帶有68厘米長?！究疾熳⒁恻c】此題屬于長方體的棱長總和的實際應(yīng)用，解答關(guān)鍵是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的長度和。【變式訓(xùn)練11】（2021秋?武山縣期末）中秋節(jié)，好利來蛋糕房用一根70米長的紅絲帶包裝月餅盒．每個月餅盒要用1.6米長的絲帶．這根紅絲帶最多可以包裝多少盒月餅？【思路引導(dǎo)】用絲帶的總米數(shù)除以包裝每盒月餅所用絲帶的米數(shù)即能求出可包裝多少盒．【完整解答】解：70÷1.6＝43.75（盒）43.75取整為43盒．答：這根紅絲帶最多可以包裝43盒月餅．【考察注意點】由于是求具體事物的個數(shù)，所以最后應(yīng)取整．【變式訓(xùn)練12】（2021秋?萊蕪區(qū)期末）李叔叔用一根52厘米長的鐵絲做一個高5厘米的長方體模型，能做成多少種不同的長方體？（長、寬均為整厘米數(shù)）請你用合適的方式把所有不同的長方體都列舉出來吧!【思路引導(dǎo)】先求長、寬、高的和是多少，52÷4＝13（厘米）；再求長與寬的和是多少，13﹣5＝8（厘米）；計算求出合適的長與寬，據(jù)此分析即可?！就暾獯稹拷猓?2÷4＝13（厘米）13﹣5＝8（厘米）7+1＝8（厘米）6+2＝8（厘米）5+3＝8（厘米）4+4＝8（厘米）所以共四種情況；長寬高分別為：①7cm，1cm，5cm；②6cm，2cm，5cm；③5cm，3cm，5cm；④4cm，4cm，5cm。答：共四種情況；長寬高分別為：①7cm，1cm，5cm；②6cm，2cm，5cm；③5cm，3cm，5cm；④4cm，4cm，5cm?！究疾熳⒁恻c】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征及棱長總和公式：（長+寬+高）×4，注意靈活運用。考點2：正方體的特征【典例分析03】（2022春?播州區(qū)月考）用一根36cm長的鐵絲做一個正方體框架，這個正方體的棱長是_______cm。（）A．3 B．4 C．6 D．12【思路引導(dǎo)】根據(jù)正方體的特征，12條棱的長度都相等，用棱長總和除以12即可?！就暾獯稹拷猓?6÷12＝3（厘米）答：這個正方體的棱長是3厘米。故選：A。【考察注意點】此題考查的目的是理解掌握正方體的特征，以及棱長總和公式的靈活運用。【典例分析04】（2021春?德惠市期中）用一根長120厘米的鐵絲圍成一個正方體框架，棱長最長為（）厘米。A．15 B．20 C．12 D．10【思路引導(dǎo)】根據(jù)正方體的特征，12條棱的長度都相等，用棱長總和除以12即可。【完整解答】解：120÷12＝10（厘米）答：棱長最長為10厘米。故選：D?！究疾熳⒁恻c】此題考查的目的是理解掌握正方體的特征，以及棱長總和公式的靈活運用?！咀兪接?xùn)練21】（2021秋?福綿區(qū)期末）一個正方體木箱的棱長是米，將木箱的每條棱釘上木條，一共用9米木條。【思路引導(dǎo)】正方體有12條棱，這些棱都相等，將木箱的每條棱釘上木條，求一共用多少米木條，即是求正方體棱長之和，根據(jù)正方體棱長之和＝棱長×12，列式計算即可?！就暾獯稹拷猓骸?2＝9（米）答：一共用9米木條。故答案為：9?！究疾熳⒁恻c】本題主要考查正方體的特征，正方體棱長之和＝棱長×12?！咀兪接?xùn)練22】（2022春?播州區(qū)月考）蛋糕店用彩帶包裝一個生日蛋糕盒（如圖），包裝好后還預(yù)留60cm彩帶打蝴蝶結(jié)，這根彩帶一共長多少厘米？【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知：需要彩帶的長度＝這個蛋糕盒的兩條長+兩條寬+4條高+接頭處用的60厘米，因為蛋糕盒長、寬、高都相等，是正方體，所以彩帶長度＝蛋糕盒的邊長×8+接頭處用的60厘米，列式計算解答即可?！就暾獯稹拷猓?5×8+60＝360+60＝420（厘米）答：這根彩帶一共長420厘米。【考察注意點】此題考查的目的是理解掌握正方體的特征，解答關(guān)鍵是弄清這個禮品盒是如何捆扎的，需要求哪幾條棱的長度和?？键c3：表面積的認(rèn)識【典例分析05】用兩個長、寬、高分別是3厘米，2厘米，1厘米的長方體拼成一個大長方體，這個大長方體的表面積最小是（）平方厘米．A．44 B．40 C．32 D．38【思路引導(dǎo)】要使拼組后的表面積最小，則可以把這兩個長方體的最大面（3×2的面）相粘合，這樣表面積就比原來的表面積減少了2個最大面的面積，由此利用長方體的表面積公式先求出這兩個長方體的表面積之和，再減去兩個3×2面的面積即可解答．【完整解答】解：（3×2+3×1+1×2）×2×2﹣3×2×2＝11×4﹣12＝44﹣12＝32（平方厘米），答：表面積最小是32平方厘米．故選：C．【考察注意點】兩個相同的長方體拼組大長方體，要使拼組后的表面積最小，則把最大面相粘合．【典例分析06】（2019春?章丘區(qū)期末）一個長方體的底是面積為4平方分米的正方形，它的側(cè)面展開圖正好是一個正方形，這個長方體的側(cè)面積是（）平方分米．A．18 B．48 C．64【思路引導(dǎo)】根據(jù)正方形的面積公式：S＝a2，已知長方體的底面是正方形，面積是4平方分米，由此可以求出底面邊長，再根據(jù)正方形的周長公式：C＝4a，求出底面周長，它的側(cè)面展開圖正好是一個正方形，說明這個長方體的底面周長和高相等，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可．【完整解答】解；因為2的平方是4，所以底面邊長是2分米，2×4＝8（分米）8×8＝64（平方分米）答：這個長方體的側(cè)面積是64平方分米．故選：C．【考察注意點】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征，以及正方形的面積公式、周長公式的靈活運用．【變式訓(xùn)練31】（2021春?陽信縣期末）體積相等的長方體，表面積一定相等．×．（判斷對錯）【思路引導(dǎo)】若兩個長方體形的箱子，它的長5厘米、寬4厘米、高3厘米，另一個的長是12厘米，寬是5厘米，高是1厘米，分別算出它們的體積和表面積進(jìn)行比較．據(jù)此解答．【完整解答】解：長5厘米、寬4厘米、高3厘米長方體的體積是：5×4×3＝60（立方厘米），長5厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體的表面積是：（5×4+5×3+4×3）×2，＝（20+15+12）×2，＝47×2，＝94（平方厘米）．長12厘米，寬是5厘米，高是1厘米的長方體的體積是：12×5×1＝60（立方厘米），長12厘米，寬是5厘米，高是1厘米的長方體的表面積是：（12×5+5×1+12×1）×2，＝（60+5+12）×2，＝77×2，＝154（平方厘米）．它們的體積相等，表面積不相等．故答案為：×．【考察注意點】本題的關(guān)鍵是通過舉例驗證體積相等的長方體，它們的表面積不一定相等．【變式訓(xùn)練32】（2020春?湯陰縣期中）一種長方體鐵皮通風(fēng)管長3m，管口是邊長為2dm的正方形．做20根這樣的通風(fēng)管至少需要多少平方米的鐵皮？（接口忽略不計）【思路引導(dǎo)】由于通風(fēng)管沒有底面，所以只求它的側(cè)面積即可，長方體的側(cè)面積＝底面周長×高，據(jù)此列式解答．【完整解答】解：2分米＝0.2米0.2×4×3×20＝2.4×20＝48（平方米）答：做20根這樣通風(fēng)管至少要48平方米鐵皮．【考察注意點】解答有關(guān)長方體計算的實際問題，一定要搞清所求的是什么（體積、表面積還是幾個面的面積），再進(jìn)一步選擇合理的計算方法進(jìn)行計算解答問題．考點4：體積、容積進(jìn)率及單位換算【典例分析07】（2021秋?欽北區(qū)期末）在橫線上填上“＞”“＜”或“＝”。3升2500毫升1001毫升999升360÷6÷3360÷9÷2【思路引導(dǎo)】3升＝3000毫升，3000毫升＞2500毫升；999升＝999000毫升，1001毫升＜999000毫升；360÷6÷3＝360÷（6×3）＝360÷18，360÷9÷2＝360÷（9×2）＝360÷18，360÷6÷3＝360÷9÷2?！就暾獯稹拷猓?升＞2500毫升1001毫升＜999升360÷6÷3＝360÷9÷2故答案為：＞，＜，＝?！究疾熳⒁恻c】不同單位的名數(shù)的大小比較通常是先化成相同的單位名數(shù)，再根據(jù)數(shù)值的大小進(jìn)行比較。算式的大小比較通常是口算或估算出結(jié)果再根據(jù)結(jié)果進(jìn)行比較，或先找規(guī)律或性質(zhì)，然后再根據(jù)規(guī)律或性質(zhì)進(jìn)行比較?！镜淅治?8】立方米和立方分米單位間的進(jìn)率是，立方分米和立方厘米單位間的進(jìn)率是?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)對常用體積（容積）單位的認(rèn)識，立方米和立方分米單位間的進(jìn)率是1000，立方分米和立方厘米單位間的進(jìn)率是1000。【完整解答】解：立方米和立方分米單位間的進(jìn)率是1000，立方分米和立方厘米單位間的進(jìn)率是1000。故答案為：1000，1000?！究疾熳⒁恻c】立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）相鄰單位之間的進(jìn)率是1000。【變式訓(xùn)練41】（2021秋?鐘樓區(qū)校級期末）把一瓶凈含量是2升的果汁倒進(jìn)容量是250毫升的杯子，倒?jié)M2杯后，瓶中還剩毫升，剩下的果汁還能再倒?jié)M杯。【思路引導(dǎo)】把一瓶凈含量是2升的果汁倒進(jìn)容量是250毫升的杯子，倒?jié)M2杯后，倒出果汁的體積是2個500毫升，用乘法可求得倒出的毫升數(shù)，把2升化成2000毫升，用2000毫升減倒出的毫升數(shù)，就是瓶內(nèi)剩下的毫升數(shù)；再用剩下的毫數(shù)除以250毫升?！就暾獯稹拷猓?升＝2000毫升2000﹣250×2＝2000﹣500＝1500（毫升）1500÷250＝6（杯）答：瓶中還剩1500毫升，剩下的果汁還能再倒?jié)M6杯。故答案為：1500，6?！究疾熳⒁恻c】此題考查了體積（容積）的單位換算、整數(shù)除法的應(yīng)用。【變式訓(xùn)練42】（2021秋?侯馬市期末）15升＝15000毫升；5升﹣200毫升＝4800毫升?！舅悸芬龑?dǎo)】高級單位升化低級單位毫升乘進(jìn)率1000；把5升乘進(jìn)率1000化成5000毫升再計算，只把數(shù)值相減，單位不變。【完整解答】解：15升＝15000毫升；5升﹣200毫升＝4800毫升。故答案為：15000，4800?！究疾熳⒁恻c】升與毫升之間的進(jìn)率是1000，由高級單位化低級單位乘進(jìn)率，反之，除以進(jìn)率。不同單位的名數(shù)加減計算要先化成相同單位的名數(shù)再計算。相同單位的名數(shù)相加減，只把數(shù)值相加減，單位不變?？键c5：長方體和正方體的表面積【典例分析09】（2022春?興仁市校級月考）商場有一個長方體的柜臺，長10米，寬0.6米，高0.9米。這個柜臺的占地面積是（）平方米。A．5.4 B．6 C．9 D．0.54【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知，這個柜臺的占地面積指的是這個長方體的底面積，根據(jù)長方形的面積＝長×寬，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【完整解答】解：10×0.6＝6（平方米）答：這個柜臺的占地面積是6平方米。故選：B?！究疾熳⒁恻c】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征，以及長方形面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式?！镜淅治?0】（2022春?播州區(qū)月考）一個裝鈣奶餅干的長方體盒子高20厘米，底面是100cm2的正方形，一張商標(biāo)紙正好貼滿盒子四周，這張商標(biāo)紙至少有_______cm2。（）A．200 B．400 C．800 D．2000【思路引導(dǎo)】根據(jù)長方體的側(cè)面積＝底面周長×高，已知長方體盒子的底面是正方形，底面積是100平方厘米，根據(jù)正方形的面積公式：S＝a2，據(jù)此可以求出底面邊長，進(jìn)而求出這張商標(biāo)紙的面積。【完整解答】解：因為10的平方是100，所以長方體的底面邊長是10厘米，10×4×20＝40×20＝800（平方厘米）答：這張商標(biāo)紙的至少800平方厘米。故選：C?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查正方形的面積公式、長方體的側(cè)面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式，重點是求出長方體的底面邊長?！咀兪接?xùn)練51】（2022春?興仁市校級月考）一個長方體，如果高減少2cm就變成了一個正方體，表面積比原來減少72cm2。原來長方體的表面積是多少平方厘米？【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知：一個長方體，如果高減少2cm，就變成一個正方體，說明原來長方體的底面是正方形；又表面積比原來減少了72cm2，表面積減少的是高為2cm的長方體的4個側(cè)面的面積，由此可以求出減少部分的1個側(cè)面的面積，進(jìn)而求出底面邊長和高，再根據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可。【完整解答】解：原長方體的底面邊長是：72÷4÷2＝18÷2＝9（cm）高是：9+2＝11（cm）（9×9+9×11+9×11）×2＝（81+99+99）×2＝279×2＝558（cm2）答：原來長方體的表面積是558平方厘米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查長方體的表面積公式的靈活運用，解答的關(guān)鍵是求出原來長方體的底面邊長和高?！咀兪接?xùn)練52】（2022春?興仁市校級月考）下面是兩個無蓋的紙盒，分別求出它們的棱長總和和表面積。（單位：cm）【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)長方體的棱長總和＝（a+b+h）×4，根據(jù)無蓋長方體的表面積公式：S＝ab+2ah+2bh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）根據(jù)正方體的棱長總和＝棱長×12，無蓋正方體的表面積公式：S＝5a2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓海?）（13+4+3）×4＝20×4＝80（厘米）13×4+13×3×2+4×3×2＝52+78+24＝154（平方厘米）答：這個長方體的棱長總和是80厘米，表面積是154平方厘米。（2）5×12＝60（厘米）5×5×5＝25×5＝125（平方厘米）答：這個正方體的棱長總和是60厘米，表面積是125平方厘米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查長方體、正方體的棱長總和公式、表面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式?？键c6：長方體和正方體的體積【典例分析11】（2022春?浠水縣校級月考）由一個正方體木塊加工成最大的圓柱，它的底面直徑是10厘米，這個正方體的體積是（）立方厘米。A．8000 B．4000 C．1000 D．314【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知，把一個正方體加工成一個最大的圓柱，這個圓柱的底面直徑和高都等于正方體的棱長，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【完整解答】解；10×10×10＝1000（立方厘米）答：這個正方體的體積是1000立方厘米。故選：C?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查正方體體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式?！镜淅治?2】學(xué)校運來8.4m3的沙子，鋪在一個長6m、寬28dm的沙坑里，可以鋪0.5m厚。【思路引導(dǎo)】先把28dm化成2.8m，由長方體的體積＝長×寬×高，可知長方體的高＝體積÷（長×寬），代入數(shù)據(jù)解答即可?！就暾獯稹拷猓?8dm＝2.8m8.4÷（6×2.8）＝8.4÷16.8＝0.5（m）答：可以鋪0.5m厚。故答案為：0.5?！究疾熳⒁恻c】熟練掌握長方體的體積的計算方法是解題的關(guān)鍵，解決此題要注意先統(tǒng)一單位?！咀兪接?xùn)練61】（2021秋?泗洪縣期末）一根長方體木料，長5米，橫截面是一個邊長為0.4米的正方形。這根木料橫截面的面積是0.16平方米，體積是0.8立方米?！舅悸芬龑?dǎo)】由題意可知：橫截面是一個正方形，其邊長為0.4米，利用正方形的面積公式S＝邊長×邊長即可求解；再據(jù)長方體的體積V＝Sh，即可求出木料的體積。【完整解答】解：0.4×0.4＝0.16（平方米）0.16×5＝0.8（立方米）答：這根木料的橫截面面積是0.16平方米，體積是0.8立方米。故答案為：0.16，0.8?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查正方形和長方體的體積的計算方法的實際應(yīng)用?！咀兪接?xùn)練62】為了迎接建校95周年，幸福小學(xué)五年級學(xué)生用棱長4cm的正方體木塊拼插積木，在宣傳欄旁邊搭起一面長8m、寬12cm、高2m的宣傳墻，這面墻一共用了多少塊積木？【思路引導(dǎo)】長方體的體積＝長×寬×高，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，據(jù)此分別求出長方體宣傳墻的體積和正方體木塊的體積，再用長方體的體積除以正方體的體積即可。【完整解答】解：8m＝800cm，2m＝200cm800×12×200÷43＝9600×200÷64＝1920000÷64＝30000（塊）答：這面墻一共用了30000塊積木?！究疾熳⒁恻c】熟練掌握長方體、正方體體積的計算方法是解題的關(guān)鍵。考點7：長方體、正方體表面積與體積計算的應(yīng)用【典例分析13】四張長方形紙的長、寬分別如下，把這四張紙分別以長邊為底面周長，短邊為高卷成圓柱，體積最大的是（）A． B． C． D．【思路引導(dǎo)】圓柱的體積＝底面積×高，分別求出體積進(jìn)行比較即可。【完整解答】解：A.π×（24÷π÷2）2×1＝π××1＝（cm3）B.π×（6÷π÷2）2×4＝π××4＝（cm3）C.π×（12÷π÷2）2×2＝π××2＝（cm3）D.π×（8÷π÷2）2×3＝π××3＝（cm3）＞＞＞故選：A?！究疾熳⒁恻c】此題考查的目的是理解掌握圓柱側(cè)面展開圖的特征，圓柱體積的計算方法及應(yīng)用?！镜淅治?4】（2021秋?伊川縣期末）做一個長方體紙盒，需要用多少平方厘米的硬紙板，是求長方體紙盒的（）A．體積 B．容積 C．表面積【思路引導(dǎo)】根據(jù)長方體的表面積的意義，長方體的6個面的總面積叫做長方體的表面積。據(jù)此解答即可?！就暾獯稹拷猓鹤鲆粋€長方體紙盒，需要用多少平方厘米的硬紙板，是求長方體紙盒的表面積。故選：C?！究疾熳⒁恻c】此題考查的目的是理解掌握長方體表面積的意義及應(yīng)用。【變式訓(xùn)練71】（2021秋?鹿邑縣期末）有一個長方體游泳池，從里面量長50米，寬25米，池深2米。（1）這個游泳池最多能蓄水2500立方米。（2）在游泳池的底面和四壁貼瓷磚，瓷磚是邊長0.5米的正方形，一共需要6200塊這樣的瓷磚?！舅悸芬龑?dǎo)】（1）求這個游泳池最多能蓄水多少立方米，就是求這個游泳池的容積，根據(jù)長方體的容積（體積）公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）由于游泳池是無蓋的，所以貼瓷磚的是游泳池的一個底面和4個側(cè)面，根據(jù)長方體的表面積的計算方法求出這5個面的面積，然后用貼瓷磚的面積除以每塊瓷磚的面積即可求出所需塊數(shù)?！就暾獯稹拷猓海?）50×25×2＝1250×2＝2500（立方米）答：這個游泳池最多能蓄水2500立方米。（2）[50×25+（50×2+25×2）×2]÷（0.5×0.5）＝[1250+（100+50）×2]÷0.25＝[1250+150×2]÷0.25＝[1250+300]÷0.25＝1550÷0.25＝6200（塊）答：一共需要6200塊這樣的瓷磚。故答案為：2500；6200。【考察注意點】本題主要考查了長方體體積和表面積計算在實際中的運用，要靈活掌握?！咀兪接?xùn)練72】（2022春?岷縣月考）火柴盒大家一定很熟悉吧，麗麗測得如圖這個火柴盒外殼的長是5cm，寬是4cm，高是1.6cm。（1）火柴盒外殼的上、下兩個面都貼有商標(biāo)紙，這兩個面的面積和是多少？（2）外殼的前、后兩個面上貼的是擦火柴的專用紙，該專用紙的面積共是多少？（3）外殼用硬紙板做成，做這個外殼共需多少硬紙板？（4）外殼的里面是內(nèi)盒，忽略紙板厚度，做這個內(nèi)盒要用多少硬紙板？【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)長方形的面積公式S＝ab，用（5×4）求出一個面的面積，再乘上2，即可求出這兩個面的面積；（2）根據(jù)長方形的面積公式S＝ab，用（5×1.6）求出一個面的面積，再乘上2，即可求出專用紙的面積；（3）求這個外殼共需多少硬紙板，就是求上、下兩個面、前、后兩個面和一個左面的面積和；根據(jù)長方體的表面積公式S＝（ab+ah+bh）×2，進(jìn)行解答即可；（4）求這個內(nèi)盒共需多少硬紙板，就是求一個底面、前、后兩個面和左右兩個米的面積和；根據(jù)長方體的表面積公式S＝（ab+ah+bh）×2，進(jìn)行解答即可?！就暾獯稹拷猓海?）5×4×2＝20×2＝40（平方厘米）答：這兩個面的面積和是40平方厘米。（2）5×1.6×2＝8×2＝16（平方厘米）答：專用紙的面積共是16平方厘米。（3）5×4×2+5×1.6×2＝40+16＝56（平方厘米）答：做這個外殼共需56平方厘米硬紙板。（4）5×4+5×1.6×2+4×1.6×2＝20+16+12.8＝48.8（平方厘米）答：做這個內(nèi)盒要用48.8平方厘米硬紙板?！究疾熳⒁恻c】解答此題的關(guān)鍵是弄清楚：內(nèi)盒和外盒各由哪些面組成，然后運用長方體表面積公式即可得解?；A(chǔ)練一．選擇題1．（2022春?成武縣校級月考）這個長方體上有（）種不同的長方形。A．2 B．3 C．6【思路引導(dǎo)】長方體有6個面．有三組相對的面完全相同．一般情況下六個面都是長方形，左右面相等，上下面相等，前后面相等，因此長方體上有3種不同的長方形。【完整解答】解：這個長方體上有3種不同的長方形，上下面相等的長方形，左右面相等的長方形，前后面相等的長方形。故選：B。2．（2022春?興化市月考）把一個半徑和高都是1分米的圓柱沿底面半徑平均分成若干等份，切開拼成一個近似的長方體，表面積增加（）平方分米。A．2 B．3.14 C．4 D．4.14【思路引導(dǎo)】切開后拼成一個近似的長方體，長方體的表面積比原來圓柱的表面積增加了2個以圓柱的底面半徑為寬，高為長的長方形的面積，由此解答即可?！就暾獯稹拷猓?×1×2＝2（平方分米）答：表面積增加2平方分米。故選：A。3．（2021秋?合山市期末）下面說法正確的是（）A．1000毫升水比10升水多 B．1430毫升油比1升油少 C．毫升是比升小的容量單位【思路引導(dǎo)】1升＝1000毫升，據(jù)此進(jìn)率利用單位之間的換算方法，大單位換算成小單位要乘它們之間的進(jìn)率；小單位換算成大單位要除以它們之間的進(jìn)率?！就暾獯稹拷猓?0升＝10000毫升，因此10升大于1000毫升，原題說法錯誤；1升＝1000毫升，1430毫升比1升多，原題說法錯誤；升是比毫升大的容積單位，毫升是比升小的容積單位。原題說法正確。故選：C。二．填空題4．（2022春?成武縣校級月考）一個長方體長10cm，寬3cm，高7cm，這個長方體右面的面積是21平方厘米，前面的面積是70平方厘米，下面的面積是30平方厘米，表面積是242平方厘米?！舅悸芬龑?dǎo)】一個長方體長10cm，寬3cm，高7cm，這個長方體右面是一個長和寬分別為7厘米和3厘米的長方形，前面是一個長和寬分別為10厘米和7厘米的長方形，下面是一個長和寬分別為10厘米和3厘米的長方形，據(jù)此根據(jù)長方形面積＝長×寬可求出各個面的面積，用長方體右面、前面、下面的面積相加的和乘2，即可求出長方體的表面積。【完整解答】解：3×7＝21（平方厘米）10×7＝70（平方厘米）10×3＝30（平方厘米）（21+70+30）×2＝121×2＝242（平方厘米）答：這個長方體右面的面積是21平方厘米，前面的面積是70平方厘米，下面的面積是30平方厘米，表面積是242平方厘米。故答案為：21，70，30，242。5．（2022春?興化市月考）0.05立方分米＝50立方厘米1.6升＝1升600毫升【思路引導(dǎo)】根據(jù)1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，解答此題即可?！就暾獯稹拷猓?.05立方分米＝50立方厘米1.6升＝1升600毫升故答案為：50；1；600。6．（2021秋?陵水縣期末）一個長方體正好平均分成兩個正方體，正方體的棱長是4厘米，則這個長方體的體積是128立方厘米。【思路引導(dǎo)】由圖可知：原來長方體的長為4×2＝8厘米，寬為4厘米，高為4厘米；求這個長方體的體積，根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高進(jìn)行解答即可。【完整解答】解：4×2＝8（厘米）體積：8×4×4＝32×4＝128（立方厘米）答：這個長方體的體積是128立方厘米。故答案為：128立方厘米。7．（2021秋?徐州期末）如圖是一個長方體禮品盒，把長方體禮品盒沿虛線捆扎，至少需要38厘米長的彩帶?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)長方體的特征，12條棱分為互相平行的（相對的）3組，每組4條棱的長度相等，據(jù)此觀察虛線部分是指哪條棱的長度，有幾條，就用乘加方法計算。【完整解答】解：6×2+5×2+4×4＝12+10+16＝22+16＝38（厘米）答：至少需要38厘米長的彩帶。故答案為：38。三．判斷題8．（2021秋?赫章縣期末）長方體（除正方體外）最多有4條棱相等?！粒ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導(dǎo)】長方體有12條棱，相對的四條棱長度相等，按長度可分為三組，每一組有4條棱，當(dāng)有兩個面是正方形時，那么此時最多有8條棱相等，據(jù)此解答?！就暾獯稹拷猓洪L方體（除正方體外）最少有4條棱相等。原題說法錯誤。故答案為：×。9．（2021秋?南充期末）有一個面是正方形的立體圖形一定是正方體．×（判斷對錯）【思路引導(dǎo)】根據(jù)長方體、正方體的特征，長方體的6個面一般都是長方形，特殊情況有兩個相對的面是正方形；正方體的6個面都是正方形；據(jù)此判斷．【完整解答】解：因為長方體在特殊情況有兩個相對的面是正方形，所以有一個面是正方形的立體圖形一定是正方體．這種說法是錯誤的．故答案為：×．10．（2021秋?魯山縣期末）一個長方體和一個正方體的體積相等，那么它們的表面積也相等×（判斷對錯）【思路引導(dǎo)】長方體的體積＝abh，正方體的體積＝a3，長方體表面積公式：S＝2ab+2ah+2bh，正方體表面積公式：S＝6a2，此題可以采用舉例說明的方法進(jìn)行判斷．【完整解答】解：一個長方體和正方體的體積相等，都是8，所以正方體的棱長是2，表面積是2×2×6＝24；長方體的長寬高可以分別是：1、2、4，表面積是：1×2×2+1×4×2+2×4×2＝4+8+16＝28，所以“一個長方形和一個正方體的體積相等，那么它們的表面積也相等”說法錯誤．故答案為：×．四．計算題11．（2021秋?鹿邑縣月考）下面是由一個長方體和一個正方體組合成的零件，求這個零件的體積?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)分別代入公式進(jìn)行解答即可?！就暾獯稹拷猓?×8×8+4×4×12＝512+192＝704（立方分米）答：它的體積是704立方分米。五．應(yīng)用題12．（2022春?成武縣校級月考）李師傅要做一個棱長是4dm的正方體通風(fēng)管，至少需要多少平方分米的鐵皮？【思路引導(dǎo)】通風(fēng)管兩端需要通風(fēng)，不需要用鐵皮做，所以求做正方體形狀的通風(fēng)管需要的鐵皮面積，就是求4個邊長為4dm的正方形面積的和?！就暾獯稹拷猓?×4×4＝16×4＝64（平方分米）答：至少需要64平方分米的鐵皮。13．（2021秋?宿城區(qū)期末）某小學(xué)修建一座長50米，寬15米，深1.4米的游泳池。（1）這個游泳池的占地面積多少平方米？（2）如果在游泳池的四周和底面貼瓷磚，貼瓷磚的面積是多少平方米？（3）如果將900立方米的水注入游泳池，水面距離池口多少米？【思路引導(dǎo)】（1）求占地面積，即底面積，根據(jù)“長方體的底面積＝長×寬”進(jìn)行解答即可；（2）求貼瓷磚的面積就等于水池的四個面的面積加上底面的面積，即可求解；（3）先根據(jù)水的體積和長方體水池的底面積，求水池中水的高度，然后用水池的高度減去水的高度即可求出水離池口多少米?！就暾獯稹拷猓海?）50×15＝750（平方米）答：泳池占地面積750平方米。（2）50×15+50×1.4×2+15×1.4×2＝750+140+42＝932（平方米）答：貼瓷磚面積是932平方米。（3）900÷（50×15）＝900÷750＝1.2（米）1.4﹣1.2＝0.2（米）答：水面距離池口0.2米。14．（2021春?蘭山區(qū)期末）一個長方體的茶葉盒，長6cm，寬5cm，高10cm，如果圍著它貼一圈商標(biāo)紙（上、下面不貼），這張商標(biāo)紙的面積至少有多少平方厘米？【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知：在這個長方體餅干盒的側(cè)面貼一圈商標(biāo)紙（上、下面不貼），也就是求這個長方體的前后、左右四個面的總面積，根據(jù)長方形的面積公式：S＝ab，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓海?×10+5×10）×2＝（60+50）×2＝110×2＝220（平方厘米）答：這張商標(biāo)紙的面積至少有220平方厘米。15．（2021春?青羊區(qū)期末）下面是一個長方體的展開圖，請同學(xué)們看圖列式計算它的體積和表面積。（單位：厘米）【思路引導(dǎo)】根據(jù)長方體的展開圖，可以求出長方體的寬是：21﹣6×2＝9（厘米），然后根據(jù)長方體的體積公式V＝abh和表面積公式S＝（ab+ah+bh）×2即可解答?！就暾獯稹拷猓洪L方體的寬是：21﹣6×2＝9（厘米）長方體的體積：11×9×6＝99×6＝594（立方厘米）長方體的表面積：（11×9+9×6+11×6）×2＝（99+54+66）×2＝219×2＝438（平方厘米）答：長方體的體積是594立方厘米，表面積是438平方厘米。16．（2021春?肥鄉(xiāng)區(qū)期中）一個無蓋的長方體食品盒，長15厘米，寬15厘米，高20厘米，如果在它的外面全部貼上商標(biāo)紙，至少需要準(zhǔn)備多少平方厘米的商標(biāo)紙？【思路引導(dǎo)】先要明確貼商標(biāo)紙的是5個面，即下面、前面、后面、左面、右面，長方體的長、寬、高已知，從而利用長方體的表面積公式，S＝a×b+（a×c+b×c）×2，即可求解?！就暾獯稹拷猓?5×20+（15×15+15×20）×2＝300+（225+300）×2＝300+525×2＝300+1050＝1350（平方厘米）答：至少需要準(zhǔn)備1350平方厘米的商標(biāo)紙?zhí)岣呔氁唬x擇題1．（2021秋?杏花嶺區(qū)期末）在一個長方體木塊上挖掉一個小正方體（如圖），則剩下部分的表面積（）A．比原來大 B．比原來小 C．和原來一樣大 D．無法比較【思路引導(dǎo)】由題意可知：挖去一個小正方體后，減少了小正方體的3個面，同時又增加了小正方體的3個面，因此挖掉一個小正方體的表面積就等于原長方體的表面積，據(jù)此解答即可?！就暾獯稹拷猓和谌ヒ粋€小正方體后，減少了小正方體的3個面，同時又增加了小正方體的3個面，因此挖掉一個小正方體的表面積就等于原長方體的表面積，所以剩下部分的表面積和原來的表面積一樣大。故選：C。2．（2021秋?左云縣期末）東東將一塊棱長6厘米的正方體橡皮泥捏成一個長9厘米，寬4厘米的長方體，那這個長方體的高是（）厘米。A．6 B．5 C．12【思路引導(dǎo)】根據(jù)體積的意義可知，把正方體橡皮泥捏成長方體，只是形狀變了，體積不變，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，長方體的體積公式：V＝abh，那么h＝V÷（ab），把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓?×6×6÷（9×4）＝216÷36＝6（厘米）答：這個長方體的高是6厘米。故選：A。3．（2021秋?秦淮區(qū)期末）下面是一個長方體的四個面，另兩個面的面積和是（）A．70平方厘米 B．20平方厘米 C．35平方厘米 D．40平方厘米【思路引導(dǎo)】根據(jù)長方體的特征，長方體的6個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對面的面積相等。通過觀察長方體的4個面的長和寬，可以確定另外兩個面是長7厘米、寬5厘米的長方形。根據(jù)長方形的面積公式：S＝ab，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓?×5×2＝35×2＝70（平方厘米）答：另外兩個面的面積和是70平方厘米。故選：A。二．填空題4．（2022春?興仁市校級月考）把三個棱長2分米的正方體拼成一個長方體，表面積會減少1600cm2，這個長方體的棱長總和是400cm?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)題意可知，把三個棱長2分米的正方體拼成一個長方體，表面積減少了正方體的4個面的面積，根據(jù)正方形的面積公式：S＝a2，求出正方體的一個面的面積，然后再乘4就是減少的表面積；拼成的長方體，長方體的長和寬等于正方體的棱長，高是正方體的棱長的3倍，即（3×2）厘米，根據(jù)長方體的棱長總和＝（長+寬+高）×4，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【完整解答】解：2×2×4＝4×4＝16（平方分米）（2+2+3×2）×4＝（2+2+6）×4＝10×4＝40（分米）16平方分米＝1600平方厘米40分米＝400厘米答：表面積減少1600平方厘米，這個長方體的棱長總和是400厘米。故答案為：1600，400。5．（2021秋?鹿邑縣期末）用一根48厘米長的鐵絲正好做成一個正方體框架，如果在這個框架的表面糊上一層紙，至少需要96平方厘米的紙，這個正方體的體積是64立方厘米?！舅悸芬龑?dǎo)】48厘米是正方體的棱長和，根據(jù)正方體的棱長之和等于12乘棱長，用48除以12，即可求出正方體的棱長，再用棱長乘棱長乘6，即可求出正方體6個面的面積，即表面糊上一層紙至少需要的面積；再用棱長乘棱長乘棱長求出正方體的體積；由此列式解答即可。【完整解答】解：48÷12＝4（厘米）4×4×6＝16×6＝96（平方厘米）4×4×4＝64（立方厘米）答：至少需要96cm2的紙，這個正方體的體積是64cm3。故答案為：96，64。6．（2021秋?沭陽縣期末）一個長方體水池，長是6米，寬是4米，深是2米。在這個水池里放入54立方米水，水深2米?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，那么h＝V÷a÷b，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【完整解答】解：54÷6÷4＝9÷4＝2.25（米）2.25＞2答：水深2米。所以水會溢出。故答案為：2。7．（2021秋?堯都區(qū)期末）如圖，將一個正方體沿虛線切三刀表面積增加了150平方厘米，這個正方體原來的表面積是150平方厘米，體積是125立方厘米。【思路引導(dǎo)】根據(jù)正方體的特征，6個面是完全相同的正方形，如圖將一個立方體沿虛線切三刀后，表面積增加了150平方厘米，每切一刀就增加兩個切面的面積，切三刀就增加了6個切面的面積，也就是這個正方體的表面積是150平方厘米，根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，首先求出棱長，再根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓哼@個正方體原來的表面積是150平方厘米，150÷6＝25（平方厘米）因為5的平方是25，所以正方體的棱長是5厘米；5×5×5＝125（立方厘米）答：這個正方體原來的表面積是150平方厘米，體積是125立方厘米。故答案為：150，125。三．判斷題8．（2021秋?東臺市期末）一盒果汁的包裝盒上標(biāo)注“凈含量600ML”，從外面量，長方體包裝盒的長是10厘米，寬4厘米，高15厘米，這個標(biāo)注是真實的?！粒ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導(dǎo)】根據(jù)長方體的體積（容積）公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式求出這個包裝盒的體積，然后與所標(biāo)注的凈含量進(jìn)行比較，如果標(biāo)注的凈含量小于包裝盒的體積，說明標(biāo)注真實，否則就不真實。據(jù)此判斷?！就暾獯稹拷猓?0×4×15＝600（立方厘米）600立方厘米＝600毫升所以，這個標(biāo)注不真實。因此，題干中的結(jié)論是錯誤的。故答案為：×。9．（2021秋?涿鹿縣校級期末）一個棱長是6分米的鐵皮箱，它的體積和表面積相等?！粒ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導(dǎo)】根據(jù)體積、表面積的意義，物體所占空間的大小叫做物體的體積，物體表面的大小叫做物體的表面積。因為體積和表面積不是同類量，所以無法比較。據(jù)此判斷?！就暾獯稹拷猓阂驗轶w積和表面積不是同類量，所以無法比較。因此，題干中的結(jié)