專題22.4二次函數(shù)y=ax?h2的圖象與性質教學目標教學重難點重點2.難點（1）函數(shù)圖象的共存問題；（2）函數(shù)圖象上的點的特征；知識點01y=a函數(shù)平移規(guī)律：函數(shù)分為左右平移和上下平移；左右平移在自變量上進行加減，規(guī)律為左加右減；上下平移在函數(shù)解析式整體上進行加減，規(guī)律為上加下減。由函數(shù)的平移可知：【即學即練1】1．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2向左平移1個單位長度得到的拋物線為（）A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1【答案】A【解答】解：拋物線y＝x2向左平移1個單位長度得到的拋物線為：y＝（x+1）2．故選：A．知識點02y=ax??大致圖象（向左平移）（向右平移）（向左平移）（向右平移）開口方向開口向上開口向下開口大小的絕對值越大，開口越小的絕對值越小，開口越大頂點坐標（h，0）（h，0）對稱軸x=?離對稱軸越遠的函數(shù)值越大離對稱軸越近的函數(shù)值越小x=?離對稱軸越遠的函數(shù)值越小離對稱軸越近的函數(shù)值越大增減性對稱軸右邊y隨x的增大而增大。對稱軸左邊y隨x的增大而減小。對稱軸右邊y隨x的增大而減小。對稱軸左邊y隨x的增大而增大。最值函數(shù)軸最小值這個值是0。函數(shù)軸最大值這個值是0?！炯磳W即練1】2．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝a（x+h）2（a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：二次函數(shù)y＝a（x+h）2（a≠0）的頂點坐標為（﹣h，0），它的頂點坐標在x軸上，故選：C．【即學即練2】3．拋物線y＝﹣（x﹣1）2的圖象一定經(jīng)過（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】D【解答】解：∵拋物線y＝﹣（x﹣1）2的頂點為（1，0）且開口向下，當x＝0時，y＝﹣1，∴拋物線一定經(jīng)過第三，四象限．故選：D．【即學即練3】4．拋物線y＝﹣2（x﹣3）2的頂點坐標為（）A．（3，0） B．（0，3） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0）【答案】A【解答】解：∵拋物線y＝﹣2（x﹣3）2∴頂點坐標為（3，0）．故選：A．【即學即練4】5．已知函數(shù)y＝（x+1）2，當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大．（填“增大”或“減小”）【答案】增大．【解答】解：∵y＝（x+1）2，∴該函數(shù)圖象開口向上，當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，故答案為：增大．【即學即練5】6．對于二次函數(shù)y＝﹣2（x+3）2的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．對稱軸是直線x＝3 C．當x＞﹣3時，y隨x的增大而減小 D．頂點坐標為（﹣2，﹣3）【答案】C【解答】解：由y＝﹣2（x+3）2得拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝﹣3，頂點坐標為（﹣3，0），x≤﹣3時y隨x增大而增大，x＞﹣3時y隨x增大而減小．故選：C．【即學即練6】7．在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+b和二次函數(shù)y＝b（x+k）2的大致圖象是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：對于一次函數(shù)y＝kx+b和二次函數(shù)y＝b（x+k）2的圖象，①當k＞0，b＞0時，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過第一、二、三象限，二次函數(shù)y＝b（x+k）2的圖象開口向上，對稱軸在y軸左側，沒有選項符合題意；②當k＞0，b＜0時，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過第一、三、四象限，二次函數(shù)y＝b（x+k）2的圖象開口向下，對稱軸在y軸左側，沒有選項符合題意；③當k＜0，b＞0時，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過第一、二、四象限，二次函數(shù)y＝b（x+k）2的圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，選項B符合題意；④當k＜0，b＜0時，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過第二、三、四象限，二次函數(shù)y＝b（x+k）2的圖象開口向下，對稱軸在y軸右側，沒有選項符合題意；故選：B．【即學即練7】8．若A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）為二次函數(shù)y＝3（x+1）2的圖象上的三點，則y1、y2、y3的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2【答案】A【解答】解：∵拋物線解析式為y＝3（x+1）2，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，∴當點離著對稱軸越遠，對應點的縱坐標越大，∵點C離著對稱軸最遠，點A在對稱軸上，∴y1＜y2＜y3．故選：A．題型01y=a【典例1】二次函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象的頂點坐標為（1，0）．【答案】（1，0）．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x﹣1）2，∴該函數(shù)圖象的頂點坐標為（1，0），故答案為：（1，0）．【變式1】拋物線y＝﹣2（x﹣1）2的頂點坐標和對稱軸是（）A．（﹣1，0），直線x＝﹣1 B．（1，0），直線x＝1 C．（0，1），直線x＝﹣1 D．（0，1），直線x＝1【答案】B【解答】解：∵拋物線解析式為y＝﹣2（x﹣1）2，∴頂點坐標為（1，0），對稱軸為x＝1．故選：B．【變式2】對于二次函數(shù)y＝5（x+3）2的圖象，下列說法不正確的是（）A．開口向上 B．對稱軸是直線x＝﹣3 C．頂點坐標為（﹣3，0） D．當x＜﹣3時，y隨x的增大而增大【答案】D【解答】解：因為二次函數(shù)的表達式為y＝5（x+3）2，所以拋物線的開口向上．故A說法正確；又拋物線的對稱軸是直線x＝﹣3，故B說法正確；因為拋物線的頂點坐標為（﹣3，0），故C說法正確；因為拋物線對稱軸為直線x＝﹣3，且開口向上，所以當x＜﹣3時，y隨x的增大而減小．故D說法不正確；故選：D．【變式3】已知二次函數(shù)y＝﹣2（x﹣a）2（a為常數(shù)），當x＞3時，y隨x的增大而減小，則a的取值范圍是a≤3．【答案】a≤3．【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣2（x﹣a）2（a為常數(shù)）的圖象的對稱軸為直線x＝a，而拋物線開口向下，所以當x＞a時，y隨x的增大而減小，又因為x＞3時，y隨x的增大而減小，所以a≤3．故答案為：a≤3．題型02y=a【典例1】二次函數(shù)y＝﹣2（x﹣1）2的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣2（x﹣1）2的圖象開口向下，對稱軸是直線x＝1，頂點坐標為（1，0），故選：B．【變式1】在平面直角坐標系中，函數(shù)y＝﹣x+1與y=?3A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵y＝﹣x+1的圖象過第一、二、四象限，y=?3∴同時符合條件的圖象只有選項D．故選：D．【變式2】在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝ax+c和二次函數(shù)y＝a（x+c）2的圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、函數(shù)y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A錯誤；B、函數(shù)y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＞0，故B正確；C、函數(shù)y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C錯誤；D、函數(shù)y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D錯誤．故選：B．【變式3】在同一平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝m（x+n）2和一次函數(shù)y＝mx+n（m≠0，n≠0）的圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：從一次函數(shù)y＝mx+n（m≠0，n≠0）的圖象開始：A、由圖可知，一次函數(shù)中，m＜0，n＞0，∴對于二次函數(shù)y＝m（x+n）2，由m＜0可知，拋物線開口向下；由n＞0可知，拋物線對稱軸x＝﹣n＜0，對稱軸在y軸左側，與選項圖象一致，故A圖象正確，符合題意；B、由圖可知，一次函數(shù)中，m＞0，n＞0，∴對于二次函數(shù)y＝m（x+n）2，由m＞0可知，拋物線開口向上；由n＞0可知，拋物線對稱軸x＝﹣n＜0，對稱軸在y軸左側，與選項圖象不一致，故B圖象錯誤，不符合題意；C、由圖可知，一次函數(shù)中，m＞0，n＜0，∴對于二次函數(shù)y＝m（x+n）2，由m＞0可知，拋物線開口向上；由n＜0可知，拋物線對稱軸x＝﹣n＞0，對稱軸在y軸右側，與選項圖象不一致，故C圖象錯誤，不符合題意；D、由圖可知，一次函數(shù)中，m＜0，n＞0，∴對于二次函數(shù)y＝m（x+n）2，由m＜0可知，拋物線開口向下；由n＞0可知，拋物線對稱軸x＝﹣n＜0，對稱軸在y軸左側，與選項圖象不一致，故D圖象錯誤，不符合題意；故選：A．題型03y=a【典例1】點A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）在二次函數(shù)y＝（x+1）2的圖象上，則（）A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．0＜y1＜y2 D．0＜y2＜y1【答案】D【解答】解：∵點A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）在二次函數(shù)y＝（x+1）2的圖象上，∴y1＝（﹣3+1）2＝4，y2＝（﹣2+1）2＝1，∴0＜y2＜y1．故選：D．【變式1】已知二次函數(shù)y＝（x﹣1）2，（0，y1），（2，y2），（3，y3）為該二次函數(shù)圖象上的點，則y1，y2，y3為的大小關系為（）A．y1＝y(tǒng)2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y(tǒng)3 D．y3＜y1＝y(tǒng)2【答案】A【解答】解：由條件可知該拋物線圖象開口向上，對稱軸為直線x＝1，開口向上的拋物線，離對稱軸的距離越遠，函數(shù)值越大可得：∵|0﹣1|＝|2﹣1|＜|3﹣1|，∴y1＝y(tǒng)2＜y3，故選：A．【變式2】拋物線y＝2（x﹣1）2的圖象經(jīng)過點A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），則y1，y2，y3大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1【答案】D【解答】解：∵拋物線的解析式為y＝2（x﹣1）2，∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴離對稱軸越遠的點，函數(shù)值越大．∵點A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）是拋物線y＝2（x﹣1）2上的點，且|﹣3﹣1|＝4，|1﹣1|＝0，|4﹣1|＝3，0＜3＜4，∴y2＜y3＜y1．故選：D．【變式3】若點A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函數(shù)y＝a（x+1）2（a＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2【答案】D【解答】解：∵y＝a（x+1）2（a＜0），∴圖象的開口向下，對稱軸是直線x＝﹣1，∴在對稱軸的右側y隨x的增大而增大．∴C（2，y3）關于直線x＝﹣1的對稱點是（﹣4，y3），∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜﹣1，∴y2＞y1＞y3，故選：D．題型04y=ax2【典例1】二次函數(shù)y＝2（x+3）2的圖象是由函數(shù)y＝2x2的圖象向左（左、右、上、下）平移3個單位長度而得到．【答案】左．【解答】解：由“左加右減”的原則，將二次函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移3個單位長度，所得函數(shù)解析式為y＝2（x+3）2．故答案為：左．【變式1】在平面直角坐標系中，若拋物線y＝（x+3）2平移后經(jīng)過原點O，則平移的方式可能是（）A．向上平移3個單位長度 B．向下平移3個單位長度 C．向左平移3個單位長度 D．向右平移3個單位長度【答案】D【解答】解：由拋物線y＝（x+3）2向右平移3個單位，得到拋物線解析式為：y＝x2，此時拋物線y＝x2經(jīng)過原點．故選：D．【變式2】將拋物線y=12xA．向上平移1個單位 B．向下平移1個單位 C．向左平移1個單位 D．向右平移1個單位【答案】D【解答】解：由“左加右減”的法則可知，將拋物線y=12x故選：D．【變式3】將函數(shù)y＝x2的圖象向左、右平移后，得到的新圖象的解析式不可能是（）A．y＝（x+1）2 B．y＝x2+4x+4 C．y＝x2+4x+3 D．y＝x2﹣4x+4【答案】C【解答】解：將函數(shù)y＝x2的圖象向左平移1個單位得到y(tǒng)＝（x+1）2；將函數(shù)y＝x2的圖象向左平移2個單位得到y(tǒng)＝（x+2）2，即y＝x2+4x+4；將函數(shù)y＝x2的圖象向右平移2個單位得到y(tǒng)＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣4x+4；將函數(shù)y＝x2的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到y(tǒng)＝（x+2）2﹣1，即y＝x2+4x+3．故選：C．1．拋物線y＝（x﹣1）2的頂點坐標為（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）【答案】B【解答】解：由拋物線的頂點坐標可知，拋物線y＝（x﹣1）2的頂點坐標是（1，0）．故選：B．2．將拋物線y＝3x2向左平移1個單位長度，平移后拋物線的解析式為（）A．y＝3（x+1）2 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝3x2+1 D．y＝3x2﹣1【答案】A【解答】解：y＝3x2向左平移1個單位長度得到y(tǒng)＝3（x+1）2，故選：A．3．在下列二次函數(shù)中，其圖象的對稱軸為直線x＝1的是（）A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝﹣（x﹣1）2【答案】D【解答】解：A和B的對稱軸為y軸，C的對稱軸為直線x＝﹣1，D的對稱軸為直線x＝1，故選：D．4．關于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2的圖象，下列說法正確的是（）A．圖象經(jīng)過原點 B．開口向上 C．對稱軸是直線x＝﹣2 D．最高點是（2，0）【答案】D【解答】解：把（0，0）點代入，二次函數(shù)，發(fā)現(xiàn)﹣（0﹣2）2≠0，∴圖象不經(jīng)過原點，故A不正確；對于二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），當a＞0時，開口向上，當a＜0時，開口向下，y＝﹣（x﹣2）2二次項系數(shù)a＝﹣1，∴圖象開口向下，故B不正確；二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的對稱軸為直線x＝h，y＝﹣（x﹣2）2中，h＝2，∴對稱軸是直線x＝2，故C不正確；∵a＝﹣1＜0，二次函數(shù)開口向下，∴函數(shù)有最大值，當x＝h＝2時，y取最大值k＝0，即最高點是（2，0），故D正確．故選：D．5．由拋物線y＝x2平移得到拋物線y＝（x+4）2，則下列平移方式可行的是（）A．向左平移4個單位長度 B．向右平移4個單位長度 C．向下平移4個單位長度 D．向上平移4個單位長度【答案】A【解答】解：拋物線y＝x2向左平移4個單位長度得到拋物線y＝（x+4）2，故選：A．6．如圖，二次函數(shù)y＝（x+a）2與一次函數(shù)y＝ax﹣a的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、由拋物線可知，x＝﹣a＞0，由直線可知，a＜0，﹣a＜0，故本選項錯誤；B、由拋物線可知，x＝﹣a＞0，由直線可知，a＞0，故本選項錯誤；C、由拋物線可知，x＝﹣a＜0，由直線可知，a＜0，﹣a＞0，故本選項錯誤；D、由拋物線可知，x＝﹣a＜0，由直線可知，a＞0，﹣a＜0，故本選項正確．故選：D．7．已知y是關于x的二次函數(shù)，部分y與x的對應值如表所示：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…m1﹣2﹣3n16…則當﹣4＜x＜0時，y的取值范圍是（）A．﹣3＜y＜6 B．﹣2＜y＜6 C．﹣3≤y＜6 D．﹣2≤y＜6【答案】C【解答】解：設y＝ax2+bx+c，將點（1，1）、（2，6）、（﹣2，﹣2）代入得：a+b+c=14a+2b+c=64a?2b+c=?2，解得∴y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3，∴拋物線的頂點為（﹣1，﹣3），開口向上，當x＝﹣4時，y＝6，當x＝0時，y＝﹣2，∴當﹣4＜x＜0時，﹣3≤y＜6；故選：C．8．已知（﹣3，y1）、（0，y2）和（1，y3）都在拋物線y＝（x+2）2上，那么y1、y2和y3的大小關系為（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2【答案】A【解答】解：拋物線y＝（x+2）2圖象開口向上，對稱軸為直線x＝﹣2，（﹣3，y1）距離對稱軸1個單位長度，（0，y2）距離對稱軸2個單位長度；（1，y3）距離對稱軸3個單位長度，根據(jù)開口向上，距離對稱軸越遠，函數(shù)值越大可得：y1＜y2＜y3．故選：A．9．設函數(shù)y1=?(x?a1)2，y2=?(x?a2)2，直線x＝1的圖象與函數(shù)y1，yA．若1＜a1＜a2，則c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，則c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，則c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，則c2＜c1【答案】C【解答】解：由題意可得：A．若1＜a1＜a2，如圖所示，則c1＞c2B．若a1＜1＜a2，如圖所示，則c1＞c2則c1＜c2，故B選項不合題意，C．若a1＜a2＜1，如圖所示，∴c1＜c2，故C選項正確，D選項不正確；故選：C．10．設拋物線y＝ax2（a＞0）與直線y＝kx+b相交于兩點，它們的橫坐標為x1，x2，而x3是直線與x軸交點的橫坐標，那么x1、x2、x3的關系是（）A．x3＝x1+x2 B．x3=1C．x1x2＝x2x3+x3x1 D．x1x3＝x2x3+x1x2【答案】C【解答】解：由題意得x1和x2為方程kx+b＝ax2的兩個根，即ax2﹣kx﹣b＝0，∴x1+x2=ka，x1x2∴1x∵直線與x軸交點的橫坐標為：x3=?b∴1x∴x1x2＝x2x3+x3x1．故選：C．11．將拋物線y＝x2向右平移3個單位長度，那么平移后所得的拋物線的解析式為y＝（x﹣3）2．【答案】y＝（x﹣3）2．【解答】解：由平移特征可知：平移后所得的拋物線的解析式為y＝（x﹣3）2，故答案為：y＝（x﹣3）2．12．下面是三位同學對某個二次函數(shù)的描述．甲：圖象的形狀、開口方向與y＝﹣2x2的相同；乙：頂點在x軸上；丙：對稱軸是直線x＝﹣3．請你寫出這個二次函數(shù)y＝﹣2（x+3）2．【答案】y＝﹣2（x+3）2．【解答】解：設函數(shù)解析式為y＝a（x﹣h）2，根據(jù)題意得，a＝﹣2，h＝﹣3，二次函數(shù)解析式是：y＝﹣2（x+3）2，故答案為：y＝﹣2（x+3）2．13．如果二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2（a≠0）的圖象在它的對稱軸右側部分是上升的，那么a的取值范圍是a＞0．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵二次函數(shù)的圖象在對稱軸x＝1的右側部分是上升的，∴這個二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)，∴a＞0，故答案為a＞0．14．若點A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函數(shù)y＝a（x+1）2（a＞0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是y2＜y1＜y3．【答案】y2＜y1＜y3．【解答】解：由條件可知拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，開口向上，則圖象上的點離對稱軸越遠則y的值越大，∵|﹣3﹣（﹣1）|＝2，|﹣2﹣（﹣1）|＝1，|2﹣（﹣1）|＝3，∴1＜2＜3，∴y2＜y1＜y3，故答案為：y2＜y1＜y3．15．已知二次函數(shù)y＝3（x﹣5）2，當x分別取x1，x2時，函數(shù)的值相等，則當x取x1+x【答案】27．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝3（x﹣5）2，∴該函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線x=x∵當x分別取x1，x2（x1≠x2）時，函數(shù)值相等，∴當x=x故答案為：27．16．請在同一坐標系中畫出二次函數(shù)①y=12x2；②【答案】見試題解答內容【解答】解：如圖：，①向右平移兩個單位得到②，②的開口方向向上，對稱軸是直線x＝2，頂點坐標為（2，0）．17．已知點P（m，a）是拋物線y＝a（x﹣1）2上的點，且點P在第一象限內．（1）求m的值；（2）過P點作PQ∥x軸交拋物線y＝a（x﹣1）2于點Q，若a的值為3，試求P點，Q點及原點O圍成的三角形的面積．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵點P（m，a）是拋物線y＝a（x﹣1）2上的點，∴a＝a（m﹣1）2，解得：m＝2或m＝0，∵點P在第一象限內，∴m＝2；（2）∵a的值為3，∴二次函數(shù)的解析式為：y＝3（x﹣1）2，∵點P的橫坐標為2，∴點P的縱坐標y＝3（x﹣1）2＝3，∴點P的坐標為（2，3），∵PQ∥x軸交拋物線y＝a（x﹣1）2于點Q，∴3＝3（x﹣1）2，解得：x＝2或x＝0，∴點Q的坐標為（0，3），∴PQ＝2，∴S△PQO=118．已知二次函數(shù)y＝ax2，當x＝3時，y＝3．（1）求當x＝﹣2時，y的值；（2）