3.2.2幾何中的代數(shù)式求值在幾何學(xué)習(xí)中，我們常常需要計(jì)算圖形的周長(zhǎng)、面積、體積等幾何量。當(dāng)圖形的邊長(zhǎng)、半徑、高等量用字母表示時(shí)，這些幾何量可以用代數(shù)式來(lái)描述。幾何中的代數(shù)式求值，就是將圖形中字母的具體數(shù)值代入對(duì)應(yīng)的代數(shù)式，計(jì)算出圖形的周長(zhǎng)、面積、體積等實(shí)際結(jié)果的過(guò)程。這一過(guò)程不僅能鞏固代數(shù)式求值的基本方法，還能深化對(duì)幾何公式的理解和應(yīng)用。一、幾何中代數(shù)式的表示幾何圖形的周長(zhǎng)、面積、體積等公式本身就是代數(shù)式的重要應(yīng)用。用字母表示圖形的邊長(zhǎng)、角度、半徑等基本量后，可通過(guò)幾何公式得到對(duì)應(yīng)的代數(shù)式：平面圖形：長(zhǎng)方形：若長(zhǎng)為\(a\)，寬為\(b\)，則周長(zhǎng)\(C=2(a+b)\)，面積\(S=ab\)。正方形：若邊長(zhǎng)為\(a\)，則周長(zhǎng)\(C=4a\)，面積\(S=a^2\)。三角形：若底為\(a\)，高為\(h\)，則面積\(S=\frac{1}{2}ah\)。圓：若半徑為\(r\)，則周長(zhǎng)\(C=2\pir\)，面積\(S=\pir^2\)（\(\pi\)為圓周率，通常取\(3.14\)）。梯形：若上底為\(a\)，下底為\(b\)，高為\(h\)，則面積\(S=\frac{1}{2}(a+b)h\)。立體圖形：長(zhǎng)方體：若長(zhǎng)、寬、高分別為\(a,b,c\)，則棱長(zhǎng)總和\(L=4(a+b+c)\)，表面積\(S=2(ab+bc+ac)\)，體積\(V=abc\)。正方體：若棱長(zhǎng)為\(a\)，則棱長(zhǎng)總和\(L=12a\)，表面積\(S=6a^2\)，體積\(V=a^3\)。圓柱：若底面半徑為\(r\)，高為\(h\)，則側(cè)面積\(S_{??§}=2\pirh\)，表面積\(S=2\pir(r+h)\)，體積\(V=\pir^2h\)。圓錐：若底面半徑為\(r\)，高為\(h\)，則體積\(V=\frac{1}{3}\pir^2h\)。示例：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多\(3\)厘米，設(shè)寬為\(x\)厘米，則長(zhǎng)為\((x+3)\)厘米，周長(zhǎng)可表示為\(2[x+(x+3)]=2(2x+3)=4x+6\)厘米，面積可表示為\(x(x+3)=x^2+3x\)平方厘米。二、幾何中代數(shù)式求值的基本步驟幾何中的代數(shù)式求值需結(jié)合幾何公式和代數(shù)式求值的基本方法，具體步驟如下：確定幾何量與字母表示：明確要求的幾何量（如周長(zhǎng)、面積），并用字母表示圖形中的未知量（如邊長(zhǎng)、半徑），根據(jù)幾何公式列出代數(shù)式。例如：求半徑為\(r\)的圓的面積，代數(shù)式為\(S=\pir^2\)。獲取字母的具體數(shù)值：根據(jù)題目條件，得到字母的具體取值（如已知長(zhǎng)方形的寬為\(5\)厘米，即\(x=5\)）。注意單位需統(tǒng)一，若題目未明確單位，結(jié)果需注明單位。代入代數(shù)式計(jì)算：將字母的數(shù)值代入代數(shù)式，按照運(yùn)算順序計(jì)算結(jié)果。若代數(shù)式涉及幾何公式，需確保公式應(yīng)用正確，避免混淆周長(zhǎng)與面積、表面積與體積等概念。示例：已知長(zhǎng)方形的寬\(x=4\)厘米（長(zhǎng)為\(x+3\)厘米），求其面積。面積代數(shù)式為\(x^2+3x\)，代入\(x=4\)得：\(4^2+3??4=16+12=28\)平方厘米。驗(yàn)證結(jié)果的合理性：結(jié)合幾何圖形的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果，例如長(zhǎng)度、面積、體積不能為負(fù)數(shù)，計(jì)算結(jié)果的單位需與幾何量匹配（如面積單位為平方厘米，體積單位為立方厘米）。三、常見(jiàn)幾何場(chǎng)景的代數(shù)式求值平面圖形的周長(zhǎng)與面積求值：示例1：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為\(a=6\)米，求其周長(zhǎng)和面積。解：周長(zhǎng)\(C=4a=4??6=24\)米；面積\(S=a^2=6^2=36\)平方米。示例2：一個(gè)梯形的上底\(a=3\)厘米，下底\(b=5\)厘米，高\(yùn)(h=4\)厘米，求其面積。解：面積\(S=\frac{1}{2}(a+b)h=\frac{1}{2}??(3+5)??4=\frac{1}{2}??8??4=16\)平方厘米。立體圖形的表面積與體積求值：示例1：一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)\(a=2\)分米，求其表面積和體積。解：表面積\(S=6a^2=6??2^2=6??4=24\)平方分米；體積\(V=a^3=2^3=8\)立方分米。示例2：一個(gè)圓柱的底面半徑\(r=5\)厘米，高\(yùn)(h=10\)厘米，求其體積（\(\pi\)取\(3.14\)）。解：體積\(V=\pir^2h=3.14??5^2??10=3.14??25??10=785\)立方厘米。含動(dòng)態(tài)關(guān)系的幾何求值：當(dāng)圖形的邊長(zhǎng)或角度隨某個(gè)量變化時(shí)，需先列出含變量的代數(shù)式，再代入具體數(shù)值。示例：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為\(x\)厘米，寬為\(y\)厘米，若長(zhǎng)增加\(2\)厘米，寬減少\(1\)厘米，求新長(zhǎng)方形的面積當(dāng)\(x=8\)，\(y=5\)時(shí)的值。解：新長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為\((x+2)\)厘米，寬為\((y-1)\)厘米，面積代數(shù)式為\((x+2)(y-1)\)。代入\(x=8\)，\(y=5\)得：\((8+2)??(5-1)=10??4=40\)平方厘米。組合圖形的代數(shù)式求值：組合圖形的幾何量可表示為基本圖形幾何量的和或差，列出代數(shù)式后再求值。示例：一個(gè)由正方形和半圓組成的圖形，正方形邊長(zhǎng)為\(a=4\)厘米，半圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)，求該圖形的面積（\(\pi\)取\(3.14\)）。解：正方形面積為\(a^2\)，半圓面積為\(\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^2\)，總面積代數(shù)式為\(a^2+\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^2\)。代入\(a=4\)得：\(4^2+\frac{1}{2}??3.14??(\frac{4}{2})^2=16+\frac{1}{2}??3.14??4=16+6.28=22.28\)平方厘米。四、幾何中代數(shù)式求值的技巧與注意事項(xiàng)公式記憶與準(zhǔn)確應(yīng)用：熟練掌握各類(lèi)幾何圖形的周長(zhǎng)、面積、體積公式是求值的基礎(chǔ)，避免混淆相似公式（如長(zhǎng)方形面積與周長(zhǎng)公式、圓柱側(cè)面積與表面積公式）。例如：長(zhǎng)方形面積是\(ab\)，周長(zhǎng)是\(2(a+b)\)，不可將面積計(jì)算為\(2(a+b)\)。單位統(tǒng)一與規(guī)范標(biāo)注：幾何量的單位需統(tǒng)一，計(jì)算結(jié)果必須注明單位，且單位需與幾何量類(lèi)型匹配（長(zhǎng)度單位：厘米、米等；面積單位：平方厘米、平方米等；體積單位：立方厘米、立方米等）。例如：計(jì)算圓的面積時(shí)，結(jié)果單位應(yīng)為“平方\(+\)長(zhǎng)度單位”。動(dòng)態(tài)圖形的變量關(guān)系分析：當(dāng)圖形的部分量變化時(shí)，需明確變量之間的關(guān)系（如“長(zhǎng)增加\(m\)”表示為\(a+m\)，“寬減少到原來(lái)的一半”表示為\(\frac{2}\)），再列出代數(shù)式。例如：“一個(gè)三角形的底擴(kuò)大到原來(lái)的\(2\)倍，高不變”，新面積代數(shù)式為\(\frac{1}{2}??2a??h=ah\)（原面積為\(\frac{1}{2}ah\)）。組合圖形的分解技巧：組合圖形求值時(shí)，先將其分解為基本圖形（如三角形、矩形、圓），分別表示各部分的幾何量，再通過(guò)加、減關(guān)系得到總幾何量的代數(shù)式。例如：求圓環(huán)的面積，可表示為外圓面積減去內(nèi)圓面積，即\(\piR^2-\pir^2=\pi(R^2-r^2)\)（\(R\)為外圓半徑，\(r\)為內(nèi)圓半徑）。\(\pi\)的取值處理：涉及圓、圓柱、圓錐等含\(\pi\)的圖形時(shí)，題目通常會(huì)明確\(\pi\)的取值（如取\(3.14\)或\(\frac{22}{7}\)），若未明確可保留\(\pi\)在結(jié)果中（如“面積為\(4\pi\)平方厘米”）。例如：半徑為\(2\)的圓面積，未說(shuō)明\(\pi\)取值時(shí)，結(jié)果可表示為\(4\pi\)。五、典型例題解析基礎(chǔ)圖形求值：一個(gè)三角形的底為\(a=10\)厘米，高為\(h=6\)厘米，求其面積。若底增加\(2\)厘米，高減少\(1\)厘米，新面積是多少？解：原面積\(S_1=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}??10??6=30\)平方厘米；新底為\(10+2=12\)厘米，新高為\(6-1=5\)厘米，新面積\(S_2=\frac{1}{2}??12??5=30\)平方厘米。含字母關(guān)系的求值：已知一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為\(24\)厘米，長(zhǎng)比寬多\(2\)厘米，設(shè)寬為\(x\)厘米，求長(zhǎng)方形的面積。解：長(zhǎng)為\((x+2)\)厘米，周長(zhǎng)代數(shù)式為\(2[x+(x+2)]=24\)，化簡(jiǎn)得\(2(2x+2)=24\)，即\(4x+4=24\)，解得\(x=5\)；長(zhǎng)為\(5+2=7\)厘米，面積\(S=5??7=35\)平方厘米。立體圖形求值：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為\(a=3\)米，\(b=2\)米，\(c=1\)米，求其表面積和體積。若長(zhǎng)、寬、高都擴(kuò)大到原來(lái)的\(2\)倍，表面積和體積各變?yōu)槎嗌伲拷猓涸砻娣e\(S_1=2(ab+bc+ac)=2(3??2+2??1+3??1)=2(6+2+3)=22\)平方米；原體積\(V_1=abc=3??2??1=6\)立方米；擴(kuò)大后長(zhǎng)、寬、高為\(6\)米、\(4\)米、\(2\)米，新表面積\(S_2=2(6??4+4??2+6??2)=2(24+8+12)=88\)平方米（是原表面積的\(4\)倍）；新體積\(V_2=6??4??2=48\)立方米（是原體積的\(8\)倍）。組合圖形求值：如圖，一個(gè)正方形內(nèi)有一個(gè)最大的圓，正方形邊長(zhǎng)為\(a=8\)厘米，求陰影部分（正方形減去圓）的面積（\(\pi\)取\(3.14\)）。解：正方形面積為\(a^2=8^2=64\)平方厘米；圓的直徑等于正方形邊長(zhǎng)，半徑\(r=4\)厘米，圓面積為\(\pir^2=3.14??4^2=50.24\)平方厘米；陰影面積\(=64-50.24=13.76\)平方厘米。幾何中的代數(shù)式求值是代數(shù)方法與幾何知識(shí)的結(jié)合，其核心是用代數(shù)式表示幾何量，再通過(guò)代入計(jì)算解決實(shí)際問(wèn)題。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，需熟練掌握幾何公式，明確圖形中各量的關(guān)系，規(guī)范處理單位和運(yùn)算順序。通過(guò)解決不同類(lèi)型的幾何求值問(wèn)題，不僅能提高代數(shù)式求值的技能，還能培養(yǎng)空間想象能力和幾何直觀，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的幾何知識(shí)和代數(shù)應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。2024人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

3.2.2幾何中的代數(shù)式求值第三章

代數(shù)式aiTujmiaNg掌握幾何中的代數(shù)式求值有些同類(lèi)事物中的某種數(shù)量關(guān)系常常可以用公式來(lái)描述.面積：體積：周長(zhǎng)公式正方形：長(zhǎng)方形：C=4a（a

為正方形的邊長(zhǎng)）C=2(a+b)（a，b

分別為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬）圓：C=2πr（r

為圓的半徑）面積公式正方形：三角形：長(zhǎng)方形：圓：梯形：S=ah（h

為底邊a

上的高）S=a2（a

為正方形的邊長(zhǎng)）S=ab（a，b

分別為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬）S=πr2（r

為圓的半徑）S=(a+b)（a，b，h

分別為上底、下底、高）體積公式長(zhǎng)方形：正方形：V=abc（a，b，c

分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高）V=a3（a為長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)）新知探索例3

如圖，某學(xué)校操場(chǎng)最內(nèi)側(cè)的跑道由兩段直道和兩段半圓形的彎道組成，其中直道的長(zhǎng)為a，半圓形彎道的直徑為b.（1）用代數(shù)式表示這條跑道的周長(zhǎng)；（2）當(dāng)a

=67.3m，b=52.6m時(shí)，求這條跑道的周長(zhǎng)（π取3.14，結(jié)果取整數(shù)）.跑道的周長(zhǎng)是兩段直道和兩段彎道的長(zhǎng)度和.由圓的周長(zhǎng)公式可以求出彎道的長(zhǎng)度解：（1）兩段直道的長(zhǎng)為2a；兩段彎道組成一個(gè)圓，它的直徑為b，周長(zhǎng)為πb.因此，這條跑道的周長(zhǎng)為2a+πb.（1）用代數(shù)式表示這條跑道的周長(zhǎng)；（2）當(dāng)a

=67.3m，b=52.6m時(shí)，求這條跑道的周長(zhǎng)（π取3.14，結(jié)果取整數(shù)）.（2）當(dāng)a=67.3m，b=52.6m時(shí)，2a+πb=2×67.3+3.14×52.6

≈300（m）因此，這條跑道的周長(zhǎng)約為300m.（1）用代數(shù)式表示這條跑道的周長(zhǎng)；（2）當(dāng)a

=67.3m，b=52.6m時(shí)，求這條跑道的周長(zhǎng)（π取3.14，結(jié)果取整數(shù)）.例題【教材P81】例4一個(gè)三角尺的形狀和尺寸如圖所示，用代數(shù)式表示這個(gè)三角尺的面積S.當(dāng)a=10cm，b=17.3cm，r=2cm時(shí)，求這個(gè)三角尺的面積（π取3.14）rab分析：三角尺的面積=三角形的面積-圓的面積.根據(jù)三角形、圓的面積公式可以求出三角尺的面積.解：三角形的面積為ab，圓的面積為πr2，這個(gè)三角尺的面積（單位：cm2）S=ab=πr2.當(dāng)a=10cm，b=17.3cm，r=2cm時(shí)，因此，這個(gè)三角尺的面積是73.94cm2.rabS=×10×17.3-3.14×22=73.94(cm2).鞏固練習(xí)如圖是一個(gè)長(zhǎng)為x，寬為y的長(zhǎng)方形休閑廣場(chǎng)，在它的四角各修建一塊半徑為r

的四分之一圓形的花壇（陰影部分），其余部分作為休閑區(qū).（1）用代數(shù)式表示休閑區(qū)的面積；（2）若長(zhǎng)方形休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)為50m，寬為20m，四分之一圓形花壇的半徑為8

m，求休閑區(qū)

的面積（π取3.14，結(jié)果取整數(shù)）.數(shù)量關(guān)系休閑區(qū)的面積=長(zhǎng)方形休閑廣場(chǎng)的面積-花壇的面積花壇的面積=4×圓的面積（1）用代數(shù)式表示休閑區(qū)的面積；（2）若長(zhǎng)方形休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)為50m，寬為20m，四分之一圓形花壇的半徑為8

m，求休閑區(qū)的面積（π取3.14，結(jié)果取整數(shù)）.解:（1）休閑區(qū)的面積為xy-πr2.（2）當(dāng)x=50m，y

=20m，r

=8

m時(shí)，xy-

πr2

=50×20-3.14×82≈799(m2).因此，休閑區(qū)的面積約為799

m2.用代數(shù)式解決與圖形面積有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，通常將圖形分解成幾部分，根據(jù)它們的構(gòu)成利用和差關(guān)系求解.

對(duì)于不能直接求得的圖形面積，常運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化成其他規(guī)則圖形面積的和或差進(jìn)行求解.練習(xí)【教材P81】1.填空題.（1）若a，b

分別表示平行四邊形的底和高，則面積S=_____；當(dāng)a=2cm，b=3cm時(shí)，S=____cm2.ab6（2）若a，b分別表示梯形的上底和下底，h表示梯形的高，則面積S=_________；當(dāng)a

=2cm，b=4cm，h

=5cm時(shí)，S

=________cm2.(a+b)h2152.一個(gè)長(zhǎng)方體紙箱的長(zhǎng)是a，寬與高都是b，用代數(shù)式表示這個(gè)紙箱的體積V.當(dāng)a

=60cm，b

=40cm時(shí)，求這個(gè)紙箱的體積。解：這個(gè)紙箱的體積V

=

ab2

.當(dāng)a=60

cm，b

=40

cm時(shí)，V=ab2=60×402

=96000(cm3).因此，這個(gè)紙箱的體積是96000cm3

.3.如圖，用代數(shù)式表示圓環(huán)的面積.當(dāng)R=15cm，r

=10cm時(shí)，求圓環(huán)的面積（π取3.14).解：圓環(huán)的面積為πR2-πr2

.當(dāng)R=15cm，r=10

cm時(shí)，πR2

–πr2

=3.14×152

-3.14×102

=392.5(cm2).因此，圓環(huán)的面積為392.5cm2

.習(xí)題3.21.填空題.【教材P82】（1）當(dāng)a=-1時(shí)，代數(shù)式2-a

的值是______；（2）當(dāng)b=-

時(shí)，代數(shù)式1-b2

的值是______；32.已知a=12，b=-18，求下表中代數(shù)式的值：代數(shù)式a+ba-bab代數(shù)式的值-630-2163.根據(jù)下列a，b

的值，分別求代數(shù)式a2+b2

與(a+b)2

的值：（1）a=3，b=-2；（2）a=-3，b=2.解：（1）當(dāng)a=3，b=-2時(shí)，a2+b2=32+(-2)2=13，(a+b)2=[3+(-2)]2=1.3.根據(jù)下列a，b

的值，分別求代數(shù)式a2+b2

與(a+b)2

的值：（1）a=3，b=-2；（2）a=-3，b=2.（2）當(dāng)a=-3，b=2時(shí)，a2+b2=(-3)2+22=13，(a+b)2=(-3+2)2=1.4.求下列代數(shù)式的值：（1），其中n=4；（2）(a-c)2+b，其中a=7，b=3，c=5.（2）當(dāng)a=7，b=3，c=5時(shí)，(a-c)2+b

=

(7-5)2+×3=.解：（1）當(dāng)n=4，5.已知圓錐的體積V=πr2h，其中r

為底面半徑，h為圓錐的高.當(dāng)r=15cm，h=16cm時(shí)，求圓錐的體積（π取3.14）解：當(dāng)r=15cm