1/142025年秋季高二開學(xué)摸底考試模擬卷數(shù)學(xué)?全解全析第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（24高一下·浙江杭州·期末）若，則的虛部為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù),再根據(jù)虛部的概念進(jìn)行選擇.【詳解】由.所以復(fù)數(shù)的虛部為：2.故選：D2．已知全集，集合和的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（

）

A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．無窮多個(gè)【答案】B【分析】由圖知，陰影部分所示的集合為，根據(jù)條件求出，利用集合的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由圖知，陰影部分所示的集合為，由，得到，所以，又，所以，得到陰影部分所示的集合的元素共有個(gè)，

故選：B.3．已知，，：，：，則是的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)解出，再利用充分性和必要性即可判斷.【詳解】解：因?yàn)?，，：即，即，則，而：，所以，是的充分不必要條件，故選：.4．（24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】由，列出方程，求出的值，再檢驗(yàn)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱即可.【詳解】由得：，解得，.當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，故符合題意，故選：B.5．一個(gè)正四面體的玩具，各面分別標(biāo)有1，2，3，4中的一個(gè)數(shù)字，甲、乙兩同學(xué)玩游戲，每人拋擲一次，朝下一面的數(shù)字和為奇數(shù)甲勝，否則乙勝，則甲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)古典概率模型，列舉基本事件，求解概率即可.【詳解】解：根據(jù)題意，每人拋擲一次，朝下一面的數(shù)字的所有情況有：，，，，共16種，其中朝下一面的數(shù)字和為奇數(shù)的情況為，，，，共8種，所以，甲獲勝的概率為，故選：B6．海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞.若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，需要在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測得CD=50，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，則A，B兩點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在中，由余弦定理可得AC，在中，由余弦定理可得CE，然后可得BC，最后在中，由余弦定理可得AB.【詳解】記AC與BD的交點(diǎn)為E，由題可知，在中，，所以由余弦定理可得，則在中，易知，，由余弦定理有解得在中，易知，所以在中，由余弦定理可得，所以m，故選：C7．已知函數(shù)，將圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，將圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合各選項(xiàng)，只需即可，所以，即，又因?yàn)椋?故選：C.8．已知正四面體中，是棱上一點(diǎn)，過作平面，滿足，若到平面的距離分別是3和9，則正四面體的外接球被平面截得的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】補(bǔ)形成正方體，求出正方體棱長，然后可得外接球半徑，然后可解.【詳解】將正四面體補(bǔ)形成正方體，如圖，因?yàn)?，，所以，又是平面?nèi)的相交直線，所以平面平面，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x分別是3和9，所以正方體棱長為，結(jié)合正方體對稱性可知，球心到平面的距離為3，記正四面體的外接球的半徑為，則，解得，則外接球被平面截得的截面半徑，所以，截面面積為.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（23嘉興高二開學(xué)考）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最小正周期為B．關(guān)于點(diǎn)對稱C．關(guān)于直線對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】CD【分析】由輔助角公式化簡求出函數(shù)的解析式，再逐個(gè)判斷函數(shù)的周期，對稱性及單調(diào)性即可．【詳解】對于A，因?yàn)?，故函?shù)的周期，故A錯誤；對于B，因?yàn)椋春瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯誤；對于C，當(dāng)時(shí)，則取得最值，即函數(shù)關(guān)于直線對稱，故C正確；對于D，令，，則，當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，而，故D正確.故選：CD.10．一個(gè)袋子中有紅、黃、藍(lán)、紫四種顏色的球各一個(gè)，除顏色外無其他差異，從中任意摸出一個(gè)球，設(shè)事件“摸出紅色球或藍(lán)色球”，事件“摸出紫色球或藍(lán)色球”，事件“摸出黃色球或藍(lán)色球”，則下面結(jié)論正確的是：（

）A． B．與相互獨(dú)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【答案】BCD【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】由題意可得，，所以與相互獨(dú)立，故B正確；，所以與相互獨(dú)立，故C正確；，所以與相互獨(dú)立，故D正確；，故A錯誤.故選：BCD.11．長方體中，，，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，且不與點(diǎn)重合，為平面內(nèi)一動點(diǎn)，將繞旋轉(zhuǎn)，得到圓錐，則下列說法正確的是（

）A．若，，則圓錐被長方體所截得幾何體的體積為B．若，則存在點(diǎn)，使得直線平面C．若圓錐表面積為，則圓錐體積最大值為D．若，，則長方體內(nèi)還可完全放入一個(gè)半徑為的小球【答案】AC【分析】A利用圓錐的體積公式即可；B先證平面平面，再將問題轉(zhuǎn)化為判斷直線與平面的位置關(guān)系；C設(shè)圓錐的底面半徑、高、母線長，根據(jù)表面積列出關(guān)系式，再利用消元法求體積的最值；D根據(jù)對稱性，若存在，則球心在平面內(nèi)，在其截面中研究其存在性即可.【詳解】對于A，所求幾何體體積為，故A正確；對于B，連結(jié)，

在長方體中，，平面，平面，則平面，因，則同理可證平面，又因，則平面平面，又點(diǎn)在底面的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故線段的軌跡為以為底面半徑的圓錐的側(cè)面，

假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，則有平面或平面，由圖可知點(diǎn)的軌跡與線段不存在交點(diǎn)，故直線與平面的位置關(guān)系為相交，故假設(shè)不成立，則不存在點(diǎn)，使得平面，故B錯誤；對于C，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長，則其表面積為，，可得，則可得當(dāng)，即時(shí)，圓錐體積取得最大值，最大值為，故C正確；對于D，此時(shí)圓錐即圓錐，記圓錐在正方形內(nèi)與相交于點(diǎn)，連，

易知圓錐，長方體均關(guān)于平面對稱，若取到完全能放入的最大球，則只需考慮球心在平面內(nèi)的情況，取截面四邊形，延長，交于點(diǎn)，

顯然為中點(diǎn)，故直角三角形中，，，故，故直角三角形的內(nèi)切圓半徑為，內(nèi)切圓直徑為，恰與梯形上下底同時(shí)相切，則半徑為的圓為梯形內(nèi)能放入的最大圓，此時(shí)半徑為的小球與圓錐側(cè)面上直線，長方體側(cè)棱相切，且與長方體上下底面相切，但同時(shí)，長方體內(nèi)完全放入的小球必不能與側(cè)棱相切，故D錯誤，故選：AC．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則實(shí)數(shù)的值是．【答案】2【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)求出的值，再通過的圖象關(guān)于軸對稱來確定的值.【詳解】由為冪函數(shù)，則，解得，或，當(dāng)時(shí)，，其圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)時(shí)，，其圖象關(guān)于對稱，因此，故答案為：2.13．已知實(shí)數(shù)滿足，且，則.【答案】【分析】由對數(shù)式的定義，利用對數(shù)的運(yùn)算律與換底公式，可得答案.【詳解】由可知，所以，即，所以.故答案為：.14．正三棱錐中，底面邊長，側(cè)棱，向量，滿足，，則的最大值為.【答案】4【分析】利用向量運(yùn)算化簡變形，設(shè)，將向量等式轉(zhuǎn)化為兩動點(diǎn)軌跡為均為球面，再利用球心距求兩球面上任意兩點(diǎn)間距離最大值即可.【詳解】已知正三棱錐，則，且，由化簡得，由化簡得.設(shè)，代入，，分別化簡得，且，故點(diǎn)在以為直徑的球面上，半徑；點(diǎn)在以為直徑的球面上，半徑分別取線段、的中點(diǎn)、，則，故.故答案為：4四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（24高二上·浙江杭州·開學(xué)考試）為了了解某項(xiàng)活動的工作強(qiáng)度，隨機(jī)調(diào)查了參與活動的100名志愿者，統(tǒng)計(jì)他們參加志愿者服務(wù)的時(shí)間（單位：小時(shí)），并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖．(1)估計(jì)志愿者服務(wù)時(shí)間不低于18小時(shí)的概率；(2)估計(jì)這100名志愿者服務(wù)時(shí)間的眾數(shù)，平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；(3)估計(jì)這100名志愿者服務(wù)時(shí)間的第75百分位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）．【答案】(1)(2)20；20.32(3)23.86【分析】（1）用頻率估計(jì)概率可得；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出的值，然后根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念計(jì)算；（3）先根據(jù)各區(qū)間頻率，確定75百分位數(shù)所在區(qū)間，再由比例關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】（1）由志愿者服務(wù)時(shí)間低于18小時(shí)的頻率為，，所以估計(jì)志愿者服務(wù)時(shí)間不低于18小時(shí)的概率為.（2）由頻率分布直方圖可看出最高矩形底邊上的中點(diǎn)值為20，故估計(jì)眾數(shù)是20；由，解得，估計(jì)平均數(shù)為；（3），，由，第75百分位數(shù)位于之間，設(shè)上四分位數(shù)為，則，解得．估計(jì)這100名志愿者服務(wù)時(shí)間的第75百分位數(shù)為.16．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用兩角和的正、余弦公式及誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式，再由整體角范圍求解不等式可得單調(diào)區(qū)間；（2）由伸縮變換與平移變換得解析式，得，根據(jù)整體角范圍求余弦值，再由角的關(guān)系，利用兩角和的余弦公式求解可得.【詳解】（1）.由，解得即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），則得到函數(shù)的圖象，再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，所以.若，則，.由，得，又，所以，則，故.故的值為.17．如圖，在四棱錐中，，．（1）在棱上是否存在點(diǎn)E，使得平面？說明理由；（2）若平面平面，，，求點(diǎn)A到平面的距離．【答案】（1）存在；理由見解析；（2）．【分析】（1）取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，，，易證四邊形為平行四邊形，再由線面平行的判定證平面.（2）由等體積法有，取的中點(diǎn)O，連接，，易得面，求出、、，進(jìn)而可求A到平面的距離．【詳解】（1）存在的中點(diǎn)E，使得平面，證明如下：分別取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，，，則，∵，∴，∵，，∴，故四邊形為平行四邊形，即，又∵平面，平面，∴平面．（2）取的中點(diǎn)O，連接，，∴，則，∵面面，面面，平面，∴面，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為d，則，∴，又面，∴，，，可得，易知，∴，，，∴，，∴，可得，即點(diǎn)A到平面的距離為．18．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在直線方程為，求：（1）直線方程；（2）頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）直線的方程【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】試題分析：（1）由,設(shè)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求解直線方程；（2）聯(lián)立所在的直線方程與所在直線方程，即可求得點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)，得中點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)滿足所在的直線方程為，代入方程組，求解點(diǎn)，進(jìn)而得到直線的方程.試題解析：（1）,設(shè)方程為：，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，所以直線.（2）聯(lián)立所在的直線方程與所在直線方程，,得點(diǎn)坐標(biāo).（3）設(shè)，則中點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)滿足所在的直線方程為所在直線方程，代入得方程組，故點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)式，得直線方程為：.19．已知a，b，c，，且，定義的“區(qū)間長度”為﹐函數(shù)的定義域?yàn)椋?1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式解集的“區(qū)間長度”，(2)已知，設(shè)關(guān)于x的不等式解集的“區(qū)間長度”為I．（?。┤?，求t；（ⅱ）求I的最大值．【答案】(1)；(2)（?。┗?；（ⅱ）【分析】（1）解不等式得到或，的定義域?yàn)?，所以或，從而求出區(qū)間長度；（2）（ⅰ）不等式解集為或，設(shè)的兩個(gè)根為，的兩個(gè)根為，求出，其中，即，解得或，故或，所以或，結(jié)合正弦和差公式得到答案；（ⅱ）由