高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點(diǎn)專題13導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合的解答題題型1分段分析法 1題型2放縮法 15題型1分段分析法【例題1】（2023秋·福建廈門·高三福建省廈門第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)，（1）f'(x)在區(qū)間（2）f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在-1,π2上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷出?x0∈0,π2，使得g'x0=0，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在-1,π2上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可知x=0為fx在-1,0上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)x∈0,π【詳解】（1）由題意知：fx定義域?yàn)椋?1,+∞且令gx=∴g'∵1x+12在-1,π2∴g'x又g'0∴?x0∴當(dāng)x∈-1,x0時(shí)，g'即gx在-1,x0則x=x0為即：f'x在區(qū)間-1,π（2）由（1）知：f'x①當(dāng)x∈-1,0時(shí)，由（1）可知f'x∴f'x≤f又f∴x=0為fx在-1,0②當(dāng)x∈0,π2時(shí)，f'x又f'0∴fx在0,x0又f∴?x1∴fx在x0,又fx0∴fx>0在③當(dāng)x∈π2,π時(shí)，sin∴fx在π又fπ2即fπ?fπ2<0∴fx在π④當(dāng)x∈π,+∞時(shí)，sinx∈∴sinx-lnx+1<0綜上所述：fx有且僅有2【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題.解決零點(diǎn)問題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來說明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可【變式1-1】1.（2020春·福建福州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx（1）fx在區(qū)間0,π（2）fx【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)gx=f'x=1x-1+2cosx,對(duì)g（2）利用導(dǎo)函數(shù)分別討論x∈0,π,x∈π,2π,【詳解】證明:(1)設(shè)gx當(dāng)x∈0,π時(shí),g所以gx在0,π又因?yàn)間π3=所以gx在π3,即函數(shù)f'x在當(dāng)x∈0,α?xí)r,f'x>0,當(dāng)x∈α,π時(shí),f'x<0,所以fx在0,π上存在唯一的極大值點(diǎn)(2)①由(1)知:fx在0,π上存在唯一的極大值點(diǎn)α所以fα又因?yàn)閒1所以fx在0,α又因?yàn)閒π所以fx在α,π②當(dāng)x∈π,2π時(shí),sinx≤0,設(shè)hx=ln所以hx在π,2π上單調(diào)遞減,所以h所以當(dāng)x∈π,2π時(shí),f所以fx在π,2π③當(dāng)x∈2π,+∞時(shí),f設(shè)φx=ln所以φx在2π,+∞所以φx所以當(dāng)x∈2π,+∞時(shí),f所以fx在2π,+∞綜上,fx【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求極值,考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)問題,考查分類討論思想和運(yùn)算能力.【變式1-1】2.（2019秋·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)fx（1）證明：fx≤0，（2）判斷y=fx【答案】（1）證明見解析；（2）三個(gè)零點(diǎn)，證明見解析.【分析】（1）由函數(shù)y=fx是偶函數(shù)，只需利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)y=fx在區(qū)間0,π（2）由（1）得出函數(shù)y=fx在區(qū)間-π2,π2上只有一個(gè)零點(diǎn)，然后利用函數(shù)值符號(hào)得出該函數(shù)在區(qū)間3,+∞上無零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并分析極值的符號(hào)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得出該函數(shù)在區(qū)間【詳解】（1）∵fx=cos只需證fxmax≤0f'x=-當(dāng)x∈0,π2時(shí)，令f當(dāng)x∈0,π3時(shí)，f當(dāng)x∈π3,π2∵f'0當(dāng)x∈0,π2時(shí)，f'x因此，對(duì)任意的x∈-π2（2）三個(gè)零點(diǎn)，證明如下：由（1）可知，當(dāng)x∈-π2,π當(dāng)x∈3,+∞時(shí)，fx≥當(dāng)x∈π2,3時(shí)，f此時(shí)，函數(shù)y=f'x單調(diào)遞增，f由零點(diǎn)存在定理可知，存在x0∈π當(dāng)x∈π2,x0當(dāng)x∈x0,3時(shí)，f∵fπ2=π2由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)y=fx在區(qū)間π2,x0上無零點(diǎn)，在區(qū)間x由于函數(shù)y=fx為偶函數(shù)，所以，函數(shù)y=fx在-∞,-3上無零點(diǎn)，在綜上所述，函數(shù)y=fx【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，解題時(shí)要充分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合零點(diǎn)存在定理進(jìn)行分析，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.【變式1-1】3.（2021·甘肅平?jīng)觥れo寧縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣sinx+ax（a＞0）．（1）若a＝1，求證：當(dāng)x∈（1，π2（2）若f（x）在（0，2π）上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）詳見解析；（2）（0，1-1【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）﹣（2x﹣1），對(duì)其求導(dǎo)研究其在x∈1，（2）先對(duì)f（x）求導(dǎo)，然后把f（x）在（0，2π）上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為f'x=1x【詳解】解：（1）證明：當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝lnx﹣sinx+x，令g（x）＝f（x）﹣（2x﹣1）＝lnx﹣sinx﹣x+1，x∈1，則g'x=故g（x）＜g（1）＝﹣sin1＜0，所以f（x）＜2x﹣1；（2）解：由題知f'x=1x∵fx∴函數(shù)y=1x+a∴12π+a<cos2π=1，即所以a的取值范圍為0,1-1【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)證明不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題.【變式1-1】4.（2021·天津和平·耀華中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)fx=ln（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)π（2）判斷函數(shù)fx（3）討論函數(shù)fx在π【答案】（1）y=2【分析】（1）求出fπ2、（2）對(duì)實(shí)數(shù)a的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)f'x在（3）對(duì)實(shí)數(shù)a的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)fx在π【詳解】（1）當(dāng)a=0時(shí)，fx=ln所以，fπ2=1+所以，曲線y=fx在點(diǎn)π2,fπ2（2）f'x=則g'x=-1x2-所以，f'xmin=f①若f'π=由零點(diǎn)存在定理可知，存在x0∈0,π當(dāng)x∈0,x0時(shí)，f當(dāng)x∈x0,π時(shí)，f所以，fx在x=②若f'π≥0，則a≥1-1π此時(shí)，函數(shù)fx在0,π上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f綜上所述，當(dāng)a<1-1π時(shí)，函數(shù)當(dāng)a≥1-1π時(shí)，函數(shù)（3）分以下情況討論：①若a≥1-1π，函數(shù)fx則fx此時(shí)，函數(shù)fx在π②若a<1-1π，由（2）可知，由零點(diǎn)存在定理可知，存在x0∈0,π，使得f'x從而有a=-1x0-cosx0，設(shè)hx=-（i）若x0∈0,π2，此時(shí)a∈若fπ2fπ>0此時(shí)函數(shù)fx在π若fπ2f此時(shí)函數(shù)fx在π當(dāng)a=-2πl(wèi)nπ2+1時(shí)，fπ（ii）當(dāng)x0∈π2,π時(shí)，此時(shí)a∈-2fπ2=所以，fx設(shè)mx=lnx+sin所以，函數(shù)mx在π2,π若fπ>0，即a>-lnππ，即-若fπ≤0，即a≤-lnππ，即-綜上所述，當(dāng)a∈-∞,-2π1+ln當(dāng)a∈-2π1+ln【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由fx=0分離變量得出a=gx，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線y=a【變式1-1】5.（2021秋·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx（1）當(dāng)x∈π2,π（2）當(dāng)x∈0,2π時(shí)，求y=f【答案】（1）1個(gè)；（2）2個(gè).【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=fx在區(qū)間π（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=f'x在區(qū)間0,π4、π【詳解】（1）由題意fx=x-1-x+2由于π2≤x≤π，cosx≤0，又sinx≤1，所以f'因?yàn)閒π2=-3<0，fπ=π-1>0（2）由題意fx=x-1-x+2令hx=1-sin①當(dāng)0≤x≤π4時(shí)，因?yàn)閏osx≥所以f'所以，函數(shù)fx在區(qū)間0,②當(dāng)π4<x<π時(shí)，當(dāng)π2<x<π時(shí)，因?yàn)閏osx<0所以從hx在π2,π上是增函數(shù)，h當(dāng)π4<x<π2時(shí)，所以h'所以hx在π4,π2所以π2是fx在③當(dāng)π<x≤3π2時(shí)，sinx<0，cosx≤0，則④當(dāng)3π2<x≤2π時(shí)，cosx>0，sin所以從hx在3π2,2π上是減函數(shù)，且h所以hx在3π2,2π當(dāng)3π2<x<x2時(shí)f'所以x=x2是函數(shù)綜上所述，函數(shù)fx【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由fx=0分離變量得出a=gx，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線y=a【變式1-1】6.（2020秋·江西南昌·高三南昌市第十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=1-a-xsinx-（1）若函數(shù)fx在π2,fπ2（2）若任意x∈0,π，fx【答案】（1）a=1；（2）-π【分析】（1）求出f'x=（2）求出f'x=x+asinx-cosx，x∈0,π，令f'x=0【詳解】解：（1）因?yàn)閒x所以f'因?yàn)楹瘮?shù)fx在π2,f所以f'π2（2）由（1）知，f'x=令f'x=0解得x①當(dāng)a≥0時(shí)，x+a≥0，在x∈0,π4所以f'x≤0在x∈π4,π上，sinx-要使任意x∈0,π，即有fxmin=f②當(dāng)-π4<a<0時(shí)，在x∈sinx-cosx<0，所以f在x∈-a,π4上，x+a>0，sinx-cos在x∈π4,π上，x+a>0，sinx-要使任意x∈0,π，fx≥0恒成立，即有③當(dāng)-π≤a≤-π4時(shí)，結(jié)合②易知，fx在-a,π單調(diào)遞增；要使任意x∈0,π，f解得-π≤a≤-1，所以④當(dāng)a<-π時(shí)，fx在0,π要使任意，fx≥0x∈0,解得-π-1≤a≤-1，所以綜上：a的取值范圍為-π【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、根據(jù)函數(shù)的斜率求參數(shù)值、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想以及分類討論的思想，屬于難題.【變式1-1】7.（2021·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=tanx-sinx，g(x)=x-sinx，x∈(0,（1）證明∶關(guān)于x的方程f(x)-g(x)=x在(0,π（2）當(dāng)x∈(0,π【答案】（1）證明見解析；（2）最大值為3.【分析】（1）設(shè)hx（2）φ(x)=f(x)-ag(x)=tanx-a(x-sinx),因?yàn)閤∈0,π2，所以sinx>0,【詳解】證明∶令hx=fx所以h因此當(dāng)x∈(0,π4)時(shí)，cosx>22，所以hx=tanx-2x在又因?yàn)閔(所以hx=tanx-2x在因此方程有且僅有一個(gè)根（2）令φ(x)=f(x)-ag(x)=tan則φ則φ因?yàn)閤∈0,π2，所以sinx>0①.因此當(dāng)a≤3時(shí)，2cos3x所以函數(shù)φ'(x)在x∈0,因此φ'(x)>0，所以函數(shù)φ(x)在x∈0,φ(x)>0在x∈0,②．當(dāng)a>3時(shí),令φ″(x)=因?yàn)閏osx=所以當(dāng)0<x<x0時(shí)，φ″x因此當(dāng)x∈0，x0時(shí)，φ'(x)又φ'(0)=0，所以φ'所以φ(x)在x∈0，x0所以當(dāng)x∈0，x0綜上所述a≤3，所以a的最大值為3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查方程根的個(gè)數(shù)的證明和不等式恒成立求參數(shù)的范圍，解答本題的關(guān)鍵是由φ″(x)=2sinxcos3x+題型2放縮法【例題2】（2022秋·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)設(shè)gx=fx+3cos(2)當(dāng)x∈0,π2【答案】(1)2(2)證明見解析【分析】（1）通過求導(dǎo)來判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出最值；（2）構(gòu)造新函數(shù)h(x)=f(x)-x【詳解】（1）∵g(x)=sinx?tan又x∈(0,π2)當(dāng)g'(x)>0時(shí)，cos2x<0當(dāng)g'(x)<0時(shí)，cos2x>0所以函數(shù)g(x)在(π4,∴g(x)的最小值為g(π（2）不等式f(x)≥x2等價(jià)于令h(x)=f(x)-x2=sin令k(x)=tanx-x,x∈[0,π又0<cos2x≤1，∴所以函數(shù)k(x)在[0,π2)上單調(diào)遞增，又k(0)=0，∴k(x)≥0所以函數(shù)h(x)在區(qū)間[0,π2)∴h(x)≥0，所以原不等式成立.【變式2-1】1.（2022秋·北京昌平·高三?？茧A段練習(xí)）已知fx=sinx，（1）若x∈0,1，證明：f（2）對(duì)任意x∈0,1都有efx【答案】（1）證明見解析；（2）2．【分析】（1）利用二次求導(dǎo)求得存在唯一零點(diǎn)x0∈0,1，使得F″(x0)=0，（2）先判斷整數(shù)a≤2可知esinHx=e【詳解】解：（1）證明：設(shè)Fx=sinx-ln因?yàn)镕″x則F″x在0,1，單調(diào)遞減，1所以存在唯一零點(diǎn)x0∈則F'x在0,x又F'1所以F'x>0在0,1上恒成立上，所以Fx則Fx≥F0所以fx（2）因?yàn)閷?duì)任意的x∈0,1，即esin令x=1，則e由（1）知sin1>ln由于a為esinx因此e下面證明Hx=e由（1）知sinx>ln故H設(shè)Gx=x2-x-所以Gx在0,1上單調(diào)遞減，所以Gx≥G1=0綜上所述,a的最大值為2【變式2-1】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ex-kx2，其中k為實(shí)數(shù)，e（1）試討論g(x)的極值點(diǎn)；（2）①若k=12，證明：當(dāng)x?0時(shí)，②當(dāng)x?0時(shí)，f(x)?2x+1-sinx恒成立，求【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）①證明見解析；②(-∞，12【分析】（1）求得g'x，對(duì)k進(jìn)行分類討論，由此求得（2）①構(gòu)造函數(shù)Gx=ex-②構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex-kx2-2x-1+sin【詳解】（1）g(x)=f'(x)=ex-2kx當(dāng)k?0時(shí)，g'(x)?0，∴g(x)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，當(dāng)k>0時(shí)，令g'(x)=0，則x=ln2k，令g'(x)>0，則x>ln2k，∴g(x)單調(diào)遞增，令g'(x)<0，則x<ln2k，∴g(x)單調(diào)遞減，∴g(x)的極小值點(diǎn)為ln2k，無極大值點(diǎn)，綜上：當(dāng)k?0時(shí)，g(x)無極值點(diǎn)，當(dāng)k>0時(shí)，g(x)的極小值點(diǎn)為ln2k，無極大值點(diǎn)．（2）①證明：當(dāng)k=12時(shí)，設(shè)G(x)=eG'(x)=e則G''(x)=ex-1?0，故G'(x)在[0故當(dāng)x?0時(shí)，G'(x)?G'(0)=0，故G(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x?0時(shí)，G(x)?G(0)=0，故當(dāng)x?0時(shí)，f(x)?x+1恒成立．②設(shè)h(x)=e則h(x)min?0則h'(x)=ex-2kx-2+h''(x)=ex-2k-∵h(yuǎn)'''(x)=ex-cosx?0，則h''(x)當(dāng)k?12時(shí)，h''(0)=1-2k?0，由于h''(x)在[0，則當(dāng)x?0時(shí)，h''(x)?h''(0)?0，則h'(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，故h'(x)?h'(0)=0，則h(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，故h(x)?h(0)=0，符合題意，當(dāng)k>12時(shí)，利用（1）中已證結(jié)論可得由于h''(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，h''(1+2k)=e故必然存在x0∈(0,1+2k)，使得x∈(0,x則h'(x)在(0,x故當(dāng)x∈(0,x0)則h(x)在(0,x則當(dāng)x∈(0,x0)綜上，k的取值范圍為(-∞，12【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，可利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、最值，由此來證得不等式成立.【變式2-1】3.（2021秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=aex-x2（1）當(dāng)a=2時(shí)，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若a>1，證明f(x)>cosx對(duì)于任意的【答案】（1）增函數(shù)；（2）證明見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)，令g(x)=f'(x)，再求導(dǎo)，求得g(x)的最小值可證；（2）先證對(duì)任意x∈[0,+∞)，ex≥x【詳解】解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=2ex-設(shè)g(x)=f'(x)=2ex-2x，則g'(x)=2ex所以g(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)min=g(0)=2-0=2，即f'(x)≥0所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)；（2）先證對(duì)任意x∈[0,+∞)，ex令p(x)=ex-x2令m'(x)=0，得x=ln2，所以m(x)在區(qū)間(-∞,ln所以m(x)≥m(ln所以p'(x)>0，所以p(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，所以p(x)≥p(0)=0，所以ex≥x當(dāng)a>1時(shí)，f(x)-cos即f(x)>cosx對(duì)于任意的【變式2-1】4.（2020秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）當(dāng)0≤x≤π2時(shí)，求證：（2）若ex≥kx+1對(duì)于任意的（3）設(shè)a>0，求證；函數(shù)fx=eax-1?cosx【答案】（1）證明見解析；（2）-∞,1；（3）證明見解析【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)Gx（2）設(shè)gx=ex-kx-1，則g'x（3）求得f'x=eax-1acosx-sinx，令f'x=0得到tan【詳解】（1）證明：設(shè)Gx=x-sin從而Gx在0,π2故當(dāng)0≤x≤π2時(shí)，（2）解：設(shè)gx=e考慮到當(dāng)x≥0時(shí)，ex（?。┊?dāng)k≤1時(shí)，g'x≥0，則g從而gx（ⅱ）當(dāng)k>1時(shí)，g'x=ex-elnk所以當(dāng)0<x<lnk時(shí)，gx<g0由（ⅰ）（ⅱ）得所求實(shí)數(shù)k的取值范圍為-∞,1．（3）證明：f'令f'x=0，得acosx-由正切函數(shù)的性質(zhì)及a>0，得在0,π2內(nèi)必存在唯一的實(shí)數(shù)x0所以當(dāng)x∈0,x0時(shí)，f'x當(dāng)x∈x0,π2時(shí)，f所以x=x0是fx的極大值點(diǎn)．且f下面證明：fx當(dāng)0≤x≤π2時(shí)，由（1）知x≥sin所以eax0下面證明：a21+a2>即證11+t2令φt=1+從而φt在-∞,0所以當(dāng)t<0，φt<φ0故fx【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵.【變式2-1】5.（2020·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=ex-x，h(x)=af(x)+2f(-x)+(2a-4)x（a∈R（1）討論函數(shù)y=f(ax)的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，h(x)≥(a+2)cos【答案】（1）答案見解析；（2）[2,+∞)]【分析】（1）由f(ax)=eax-ax，求導(dǎo)得到f'ax（2）由x=π2時(shí)，根據(jù)h(π2)≥0，得到a>0．然后令g(x)=h(x)-(a+2)cosx，求導(dǎo)g【詳解】（1）易知f①若a>0，則當(dāng)x>0時(shí)，f'x>0，當(dāng)x<0②若a<0，則當(dāng)x>0時(shí)，f'x>0，當(dāng)x<0所以fx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞,0)（2）當(dāng)x=π2時(shí)，即(eπ2令g(x)=h(x)-(a+2)=ae則g'=a若a≥2，則當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，g'x所以gx在[0,π]當(dāng)x∈(π,+∞)時(shí)，g'所以當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)，gx所以gx若0<a<2，則g'g'由aex-2所以g'所以?x0∈且當(dāng)x∈0,x0所以gx在x∈所以當(dāng)x∈0,x0綜上，a的取值范圍為a≥2．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立以及零點(diǎn)存在定理，還考查了分類討論思想，運(yùn)算求解的能力，屬于難題.1.（2022·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知f(x)=x（1）當(dāng)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a=1，x>0時(shí)，設(shè)g(x)=f(x)x-sin【答案】（1）a=-1e或【分析】（1）化簡f(x)=xex-a(x-（2）化簡g(x)=xex-1，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為xex【詳解】（1）由題意，函數(shù)f(x)=因?yàn)閒(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)閤-sinx=0時(shí)，解得所以當(dāng)xe設(shè)hx=xe當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí)，h'(x)<0，當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí)，h'(x)>0，所以當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)hx取得最小值，最小值為h(-1)=-又由h(0)=0，x>0時(shí)，h(0)>0；x<0時(shí)，h(0)<0，所以a=-1e或a>0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2）由題意，可得g(x)=f(x)要證g(x)≥x+lnx，即證令t=xex>0，令H(t)=t-令H'(t)>0，即t-1>0，解得令H'(t)<0，即t-1<0，解得所以函數(shù)H(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以H(x)≥H(1)=0，即xe【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式fx>gx(fx<gx（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=ax-(1)當(dāng)a=8時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)<sin【答案】(1)答案見解析.(2)(-【分析】（1）求導(dǎo),然后令t=cos（2）構(gòu)造g(x)=f(x)-sin2x,計(jì)算g'(x)的最大值,然后與0比較大小,得出【詳解】（1）f=a-cos2x+3sin則f當(dāng)a=8,當(dāng)t∈0,12當(dāng)t∈12,1所以f(x)在0,π4上單調(diào)遞增,在（2）設(shè)g(x)=f(x)-g'(x)=φ'(t)=-4-21°若a∈(-∞即g(x)在0,π2上單調(diào)遞減,所以所以當(dāng)a∈(-∞2°若當(dāng)t→0,2t-φ(1)=a-3>0.所以?t0∈(0,1),使得φt0當(dāng)t∈t0,1所以當(dāng)x∈0,綜上,a的取值范圍為(-∞【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性t=cosx在定義域內(nèi)是減函數(shù),若t0=cos3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論fx(2)若fx+sin【答案】(1)fx在0,(2)a≤0【分析】（1）代入a=1后，再對(duì)fx求導(dǎo)，同時(shí)利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡f（2）法一：構(gòu)造函數(shù)gx=fx+sinx，從而得到gx<0，注意到g0法二：先化簡并判斷得sinx-sinxcos2x<0恒成立，再分類討論a=0【詳解】（1）因?yàn)閍=1，所以fx則f=cos令t=cosx，由于x∈0,所以cos3x+cos因?yàn)閠2+2t+2=t+12+1>0所以f'x=所以fx在0,（2）法一：構(gòu)建gx則g'若gx=fx則g'0=a-1+1=a≤0當(dāng)a=0時(shí)，因?yàn)閟inx-又x∈0,π2，所以0<sinx<1所以fx當(dāng)a<0時(shí)，由于0<x<π2，顯然所以fx綜上所述：若fx+sin所以a的取值范圍為-∞法二：因?yàn)閟inx-因?yàn)閤∈0,π2，所以0<故sinx-sinx所以當(dāng)a=0時(shí)，fx當(dāng)a<0時(shí)，由于0<x<π2，顯然所以fx當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)閒x令gx=ax-sin注意到g'若?0<x<π2，g'x>0注意到g0=0，所以gx若?0<x0<π2所以在0,π2上最靠近x=0處必存在零點(diǎn)x1此時(shí)g'x在0,x1上有g(shù)'則在0,x1上有g(shù)x綜上：a≤0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題方法二第2小問討論a>0這種情況的關(guān)鍵是，注意到g'0>0，從而分類討論g'x在0,π24．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當(dāng)0<x<1時(shí)，x-x（2）已知函數(shù)fx=cosax-ln【答案】（1）證明見詳解（2）-【分析】（1）分別構(gòu)建Fx=x-sin（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究fx在0,1上的單調(diào)性