2025年蘇科版(2024）七年級下學期數學《與一元一次不等式有關的新定義問題》拓展提優(yōu)講義一、考點概述新定義概念：題目中會給出一個全新的關于一元一次不等式的定義，例如定義一種新的不等式符號及其運算規(guī)則，或者定義一個與一元一次不等式相關的新概念，如“和諧不等式”“友好解集”等，要求學生根據新定義來判斷一些不等式是否符合條件，或者求解滿足新定義的不等式的解集。新定義運算：規(guī)定一種新的運算方式，該運算與一元一次不等式相結合。比如定義給出一個關于x的不等式，讓學生按照新定義將其轉化為常規(guī)的一元一次不等式進行求解。閱讀理解與應用：給出一段關于一元一次不等式的應用背景或解題過程的文字描述，要求學生閱讀理解其中的數學思想和方法，然后運用類似的思路解決相關問題。例如，給出一個實際生活中的不等式模型，如購物優(yōu)惠問題、工程進度問題等，讓學生理解題意后列出不等式并求解，或者根據給定的不等式解法步驟，模仿解決其他類似的不等式。二、解題策略理解新定義：仔細閱讀題目中給出的新定義內容，抓住關鍵信息和運算規(guī)則，將新定義轉化為自己熟悉的數學語言和概念。可以通過舉例、代入特殊值等方法來加深對新定義的理解。轉化為常規(guī)問題：根據新定義，將所給的問題轉化為常規(guī)的一元一次不等式問題。這可能涉及到對不等式進行變形、求解等操作，需要熟練掌握一元一次不等式的基本性質和求解方法。閱讀理解分析：對于閱讀理解類問題，要認真閱讀給定的材料，分析其中的解題思路和方法，找出規(guī)律和共性。注意理解材料中的關鍵語句和數學關系，將其應用到自己的解題過程中。檢驗與反思：求出答案后，要將結果代入原問題中進行檢驗，看是否符合新定義和題目的要求。同時，要反思解題過程，總結經驗教訓，提高解決此類問題的能力?？键c一定義新運算例1、對于，定義一種新運算，規(guī)定：，即：當時，；當時，，這里等式左邊括號里及等式右邊的運算都是通常的四則運算．(1)_______；________．(2)解不等式組；(3)若關于的不等式的最大整數解為，則________．變式、【閱讀材料】材料一：對于實數x，y定義一種新運算K，規(guī)定：（其中a，b均為非零常數），等式右邊是通常的四則運算．比如：；．已知：；．材料二：“已知x，y均為非負數，且滿足，求的范圍”，有如下解法：∵，∴，∵x，y是非負數，∴即，∴，∵，∴，∴．【回答問題】(1)求出a和b的值；(2)已知x，y均為非負數，，求的取值范圍；(3)已知x，y，z都為非負數，，，求的最大值和最小值．考點二定義新概念例2、【定義新知】給定兩個不等式P和Q，若不等式P的任意一個解，都是不等式Q的一個解，則稱不等式P為不等式Q的“子集”．例如：不等式P：是Q：的子集．同理，給定兩個不等式組M和N，若不等式組M的任意一個解，都是不等式組N的一個解，則稱不等式組M為不等式組N的“子集”．例如：不等式組M：是不等式組N：的子集．【新知應用】(1)請寫出不等式的一個子集；(2)若不等式組A：，不等式組B：，則其中不等式組是不等式組M：的“子集”（填：A或B）；(3)若關于x的不等式組是不等式組的“子集”，則a的取值范圍是；(4)若a，b，c，d為互不相等的整數，，，下列三個不等式組D：，E：，F：，滿足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，則的值為；(5)已知不等式組G：有解，且不等式組H：是不等式組G的“子集”，且m，n為正整數，則的最大值為．變式1、我們定義，關于同一個未知數的不等式和，兩個不等式的解集相同，則稱與為同解不等式．(1)若關于的不等式，不等式是同解不等式，求的值；(2)若關于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整數，求，的值；(3)若關于的不等式，不等式是同解不等式，試求關于的不等式的解集．變式2、【定義】若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，則稱一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，則是的“相斥不等式”．【應用】(1)在不等式①，②，③中，是的“相斥不等式”的有______（填序號）；(2)若關于x的不等式是的“相斥不等式”，同時也是的“相斥不等式”，求a的取值范圍；(3)若是關于x的不等式（k是非零常數）的“相斥不等式”，求k的取值范圍．變式3、定義：我們把不等式組解集中的整數叫做這個不等式組的“核”，把解集中整數的個數稱為該不等式組的“核數”．例如，不等式組的解集中存在0，1，2，3這4個“核”，這個不等式組的“核數”為4．(1)下列不等式組中，“核數”為2的有________（只填序號）①

②

③(2)不等式組的“核數”為a，不等式組的“核數”為b．①若，求整數k的值．②若關于m，y，z的三元一次方程組的解是正數，直接寫出整數k的值．變式4、我們定義：如果兩個一元一次不等式有公共整數解，那么稱這兩個不等式互為“和諧不等式”，其中一個不等式是另一個不等式的“和諧不等式”．(1)不等式______的“和諧不等式”：（填“是”或“不是”）．(2)若關于x的不等式不是的“和諧不等式”，求m的取值范圍；(3)若，關于x的不等式與不等式互為“和諧不等式”，求n的取值范圍．變式5、閱讀理解：定義：使方程（組）與不等式（組）同時成立的未知數的值，稱為此方程（組）和不等式（組）的“理想解”，例：已知方程與不等式，當時，，同時成立，則稱“”是方程與不等式的“理想解”．問題解決：（1）請判斷方程的解是此方程與以下哪些不等式（組）的“理想解”______（直接填寫序號）；①；②；③（2）若關于x，y的方程組與不等式有“理想解”，求a的取值范圍；（3）若關于x，y的方程組與不等式的“理想解”均為正數（即“理想解”中的x，y均為正數），求b的取值范圍．一、選擇題1．定義新運算“”，規(guī)定：．若關于x的不等式的解集為，則m的值為（

）A． B． C．1 D．22．對于實數，定義一種運算“”：，那么不等式組，的解在數軸上表示為（

）A． B．C． D．3．定義，例如：，若，則非負整數的值有（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個4．定義新運算“※”如下：當時，；當時，．例如，，，若則x的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．5．定義新運算：對于任意實數，都有，其中等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算．如，那么不等式的解集為（

）A． B． C． D．6．定義：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么稱一元一次不等式①是一元一次不等式②的蘊含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，則是的蘊含不等式．若是的蘊含不等式，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．對，定義一種新的運算，規(guī)定，若關于正數的不等式組恰好有個整數解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．若定義一種新的取整符號，即表示不小于的最小整數．例如：，．則下列結論正確的是（

）①；②；③方程的解有無數多個；④當時，則的值為0、1或；⑤若，則的取值范圍．A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤二、填空題9．定義新運算“”，規(guī)定：．若關于的不等式的解集為，則的值．10．定義一種新運算“”：當時，；當時，．例如：，．已知，則x的取值范圍為．11．定義：如果一元一次方程的解是一元一次不等式的解，則稱該一元一次方程為該不等式的相伴方程，若方程是關于x的不等式的相伴方程，則m的最大值為．12．定義：對于實數a，符號表示不大于a的最大整數．例如：，，．（1）如果，那么a的取值范圍是；（2）如果，滿足條件的所有正整數x為．13．定義新運算“※”如下：當時，；當時，．例如：，，若，則的取值范圍是．14．定義：把的值叫做不等式組的“長度”，若關于x的一元一次不等式組解集的“長度”為3，則該不等式組的整數解之和為．15．對于任意實數m，n，定義一種新運算，等式的右邊是通常的加減和乘法運算，例如：，請根據上述定義解決問題：若，且解集中有3個整數解，則a的取值范圍是．16．定義：若一元一次不等式組的解集（不含無解）都在一元一次不等式的解集范圍內，則稱該一元一次不等式組為該不等式的“子集”．如：不等式組的解集為，不等式的解為，∵在的范圍內，∴一元一次不等式組是一元一次不等式的“子集”．若關于x的不等式組是關于x的不等式的“子集”，則k的取值范圍是．三、解答題17．對于任意實數a，b，定義關于@的一種運算如下：，例如，．(1)若，求x的取值范圍．(2)若不等式組的解集為，求m的取值范圍．18．定義：表示不大于的最大整數，如．我們把滿足(為常數)的的取值范圍叫作的核心范圍，如的的核心范圍為，的的核心范圍為．(1)請直接寫出：_______，若，則的核心范圍是_______．(2)若關于的不等式組有且只有三個正整數解，請寫出這三個正整數解，并求出的取值范圍．19．在實數范圍內定義一種新運算“”，其運算規(guī)則為，如．根據這個規(guī)則，解決下列問題．(1)___________．(2)解不等式：．(3)求不等式的最大整數解．20．閱讀下面的材料：對于有理數，我們定義符號的意義如下：當時，；當時，．例如：，．根據上面的材料回答下列問題：(1)_______；(2)當時，求的取值范圍．21．定義：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的“浯溪水亦香方程”．例如的解為，不等式組的解集為，因為，所以方程為不等式組，的“浯溪水亦香方程”．(1)方程是下列哪些不等式組的______“浯溪水亦香方程”：（填序號）①；②；③．(2)若關于的方程是不等式組的“浯溪水亦香方程”，求的取值范圍；(3)若方程，都是關于的不等式組的“浯溪水亦香方程”，其中，求的取值范圍．22．【閱讀理解】的幾何意義是：數a在數軸上對應的點到原點的距離．所以，可理解為：數a在數軸上對應的點到原點的距離不大于2．（1）可理解為______；我們定義：形如，，，（m為非負數）的不等式稱為絕對值不等式．能使一個絕對值不等式成立的所有未知數的值稱為這個絕對值不等式的解集．【理解運用】根據絕對值的幾何意義可以解一些絕對值不等式：由上圖可得出：絕對值不等式的解集是；絕對值不等式的解集是或．（2）①不等式的解集是______；②不等式的解集是______；【拓展探究】（2）請求出絕對值不等式的解集．23．定義：若一個方程（組）的解也是一個一元一次不等式的解，我們稱這個方程（組）的解是這個不等式的“友好解”．例如：方程的解是，同時也是不等式的解，則稱方程的解是不等式的“友好解”．(1)方程的解一元一次不等式的“友好解”；（填“是”或“不是”）(2)若關于x，y的方程組的解是不等式的“友好解”，求k的取值范圍；(3)方程的解是不等式的“友好解”，求m的最小整數值．24．閱讀與思考下面是智慧小組研究性學習報告的部分內容，請認真閱讀，并完成相應任務．關于“關聯方程”的研究報告智慧小組研究對象：關聯方程研究思路：類比，按“概念——性質——判定”的路徑，由一般到特殊進行研究．研究方法：觀察（測量、實驗）——猜想——推理證明研究內容：【一般概念】定義：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的關聯方程．例如：方程的解為，不等式組的解集為，因為，所以稱方程為不等式組的關聯方程．【