2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)五年高考考點1二次函數(shù)考點2冪函數(shù)目錄三年模擬基礎(chǔ)強化練五年高考考點1二次函數(shù)1.(2017浙江,5,4分,中)若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則M-

m的值

(

)A.與a有關(guān),且與b有關(guān)B.與a有關(guān),但與b無關(guān)C.與a無關(guān),且與b無關(guān)D.與a無關(guān),但與b有關(guān)B解析

因為最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f

=b-

中取,所以最值之差一定與b無關(guān),與a有關(guān),選B.2.(2014北京,8,5分,中)加工爆米花時,爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為

“可食用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt

+c(a,b,c是常數(shù)),如圖,記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù),可以得到

最佳加工時間為

(

)A.3.50分鐘

B.3.75分鐘

C.4.00分鐘

D.4.25分鐘B解析

由已知得

解得

∴p=-0.2t2+1.5t-2=-

+

,∴當t=

=3.75時,p最大,即最佳加工時間為3.75分鐘.故選B.3.(2024北京,10,4分,難)已知M={(x,y)|y=x+t(x2-x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐標系中

的點集.設(shè)d是M中兩點間的距離的最大值,S是M表示的圖形的面積,則

(

)A.d=3,S<1

B.d=3,S>1C.d=

,S<1

D.d=

,S>1C解析

對于y=x+t(x2-x),當t=0時,y=x,1≤x≤2,此時函數(shù)圖象為線段AB;當t=1時,y=x+(x2-x)=x2,1≤x≤2,此時函數(shù)圖象為曲線段AC,如圖所示.

又對任意1≤x≤2,x2-x≥0,函數(shù)g(t)=(x2-x)·t+x在[0,1]上單調(diào)遞增,∴x≤g(t)≤x2.因此M表示的圖形為曲線段AC,線段AB和線段BC之間的曲邊三角形ABC,易得A(1,1),B(2,2),C(2,4),D(2,1),∴M中兩點間距離的最大值為|AC|=

=

,M表示的圖形的面積為S<

·|BC|×|AD|=

×2×1=1,即S<1.故選C.4.(2018天津,14,5分,難)已知a∈R,函數(shù)f(x)=

若對任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,則a的取值范圍是

.解析

①當x∈[-3,0]時,因為f(x)≤|x|恒成立,所以x2+2x+a-2≤-x,參變量分離得a≤-x2-3x+2,令y=

-x2-3x+2=-

+

,所以當x=0或x=-3時,y取得最小值,為2,所以a≤2.②當x∈(0,+∞)時,因為f(x)≤|x|恒成立,所以-x2+2x-2a≤x,參變量分離得a≥-

x2+

x,令y=-

x2+

x=-

+

,所以當x=

時,y取得最大值,為

,所以a≥

.由①②可得

≤a≤2.考點2冪函數(shù)1.(2020課標Ⅱ文,10,5分,中)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-

,則f(x)(

)A.是奇函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減C.是偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減A解析

函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點對稱,f(-x)=(-x)3-

=-x3+

=-f(x),故f(x)=x3-

是奇函數(shù),排除C、D選項.∵f'(x)=3x2+

>0,∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.故選A.2.(2020江蘇,7,5分,易)已知y=f(x)是奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=

,則f(-8)的值是

.-4解析

因為y=f(x)是奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)=

,所以f(-8)=-f(8)=-

=-4.3.(2021新高考Ⅱ,14,5分,中)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x):

.

①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②當x∈(0,+∞)時,f'(x)>0;③f'(x)是奇函數(shù).f(x)=x4(x∈R)(答案不唯一)解析

因為f(x1x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)是冪函數(shù);當x∈(0,+∞)時,f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上

是增函數(shù);因為f'(x)是奇函數(shù),所以f(x)是偶函數(shù).因此函數(shù)f(x)可以是f(x)=x4(x∈R).故答案為f(x)=x4(x∈R)(答案不唯一).知識拓展

常見的抽象函數(shù)模型1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)型,特征式為f(x+y)=f(x)+f(y)-b.2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)型,特征式為f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)=

.3.對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)型,特征式為f(xy)=f(x)+f(y).4.冪函數(shù)y=xa型,特征式為f(xy)=f(x)f(y).三年模擬1.(2024四川南充適應(yīng)性考試,3)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能是

(

)

A.y=

B.y=

C.y=x3

D.y=

D解析

由選項設(shè)f(x)=xα,由第一象限的圖象知:0<α<1,又函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,即函數(shù)f(x)是奇

函數(shù),因此D正確.故選D.2.(2025屆廣西欽州四中月考,8)已知函數(shù)f(x)=xa,則“a>1”是“f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞

增”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析

當a>0時,函數(shù)f(x)=xa在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則a>1時,一定有f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,而f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不一定滿足a>1,

故“a>1”是“f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選A.3.(2025屆江蘇宿遷中學(xué)質(zhì)檢,8)已知函數(shù)f(x)=x2+

-3,g(x)=kx+2,若對任意的x1∈[-1,2],總存在x2∈[1,

],使得g(x1)>f(x2),則實數(shù)k的取值范圍是

(

)A.

B.

C.

D.以上都不對A解析

對任意的x1∈[-1,2],總存在x2∈[1,

],使得g(x1)>f(x2),∴g(x1)min>f(x2)min,(不等式恒成立與有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大(小)值問題)∵f(x)=x2+

-3≥2

-3=4-3=1,當且僅當x=

時取等號,∴f(x2)min=1,當k>0時,g(x)=kx+2在[-1,2]上為增函數(shù),∴g(x)min=g(-1)=2-k,∴2-k>1,解得0<k<1;當k<0時,g(x)=kx+2在[-1,2]上為減函數(shù),∴g(x)min=g(2)=2k+2,∴2k+2>1,解得-

<k<0,當k=0時,g(x)=2,2>1成立.綜上所述,k的取值范圍為

.故選A.4.(2024福建連城一中月考,6)給定函數(shù)f(x)=

,g(x)=-x2+x,x∈R.用m(x)表示f(x),g(x)中的較小者,記為m(x)=min{f(x),g(x)},則m(x)的最大值為

(

)A.

B.1

C.0

D.2A解析

令

<-x2+x,得0<x<

,所以m(x)=

當x∈

時,m(x)=

,則m(x)∈

;當x∈(-∞,0]∪

時,由于m(x)=-x2+x圖象的對稱軸為直線x=

,開口向下,因此x∈(-∞,0]時,m(x)≤m(0)=0,x∈

時,m(x)≤m

=

.綜上,m(x)max=

.故選A.5.(多選)(2025屆山東濱州一中月考,10)下列命題正確的是

(

)A.y=x0的圖象是一條直線B.冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)C.函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(4,2),若x>1,則f(x)>1D.冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限BCD解析

對于A,因為y=x0(x≠0),所以點(0,1)不在y=x0的圖象上,故y=x0的圖象不是一條直線,故A

錯誤;對于B,冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1),故B正確;對于C,因為函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(4,2),所以2=4a,解得a=

,所以f(x)=

,若x>1,則f(x)>1,故C正確;對于D,冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限,故D正確.故選BCD.6.(多選)(2025屆廣東廣州部分學(xué)校聯(lián)考,9)已知不等式ax2+bx+c<0的解集為

,則

(

)A.a>c>0B.b<-2a<0C.

(4a+2b+c)≥0D.

-2>

+tBCD解析

由題意可得

和t是方程ax2+bx+c=0的兩根,且a>0,t>1,所以

即b=-a

,a=c>0,故A錯誤;因為t>1,所以

+t>2

=2,所以b=-a

<-2a,即b<-2a<0,故B正確;

(4a+2b+c)=

·

=

a2

≥0,故C正確;因為

-2-

=

-

,且

+t>2,所以

-

>0,即

-2>

+t,故D正確.故選BCD.7.(多選)(2025屆四川南充閬中中學(xué)開學(xué)考,9)已知函數(shù)f(x)=

下列關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論正確的是

(

)A.f(x)的定義域是RB.f(x)的值域是(-∞,5)C.若f(x)=3,則x=

D.f(x)的圖象與直線y=2有一個交點BCD解析

對于A,f(x)的定義域是(-∞,2),故A錯誤;對于B,當x≤-1時,x+2≤1,當-1<x<2時,0≤x2<4,1≤x2+1<5,所以f(x)的值域是(-∞,5),因此

B正確;對于C,由B的分析可知,若f(x)=3,則

解得x=

,因此C正確;對于D,畫出f(x)的圖象如圖所示,由圖可知,選項D正確.

故選BCD.8.(2025屆上海嘉定高級中學(xué)期中,5)已知冪函數(shù)y=

是偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上為嚴格減函數(shù),m∈Z,則m=

.1解析

因為冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上為嚴格減函數(shù),所以m2-2m-3