中考試題2025年長春市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)本試卷包括三道大題、共6頁．全卷滿分為120分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項(xiàng)：1．答題前，學(xué)生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將系形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．2．答題時、考生務(wù)必按照考試要求在各題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上蘇題無效．3．作用可先使用鉛筆畫出_確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.中國是最早使用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量的國家．如果水位下降記作，那么水位上升記作（）A. B. C. D.2.下面幾何體中為圓錐是（）A. B.C. D.3.下列計算一定正確的是（）A. B.C. D.4.下列不等式組無解的是（）A. B. C. D.5.如圖，已知某山峰的海拔高度為米，一位登山者到達(dá)海拔高度為米的點(diǎn)處．測得山峰頂端的仰角為．則、兩點(diǎn)之間的距離為（）A.米 B.米C.米 D.米6.已知點(diǎn)、在同一正比例函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.7.將直角三角形紙片（）按如圖方式折疊兩次再展開，下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.C. D.8.在功一定的條件下，功率與做功時間成反比例，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．當(dāng)時，的值可以為（）A.24 B.27 C.45 D.50二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．9.8的立方根是______．10.寫出的一個同類項(xiàng)：_______．11.已知，則代數(shù)式的值為_______．12.若扇形的面積是它所在圓的面積的，則這個扇形的圓心角的大小是_______度．13.圖①是一個正十二面體，它的每個面都是正五邊形，圖②是其表面展開圖，則為_______度．14.如圖，在邊長為4的正方形中，對角線、相交于點(diǎn)．點(diǎn)在線段上．連接，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．給出下面四個結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，；④點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的最小值為．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有_______．三、解答題：本題共10小題、共78分．15.先化簡．再求值：，其中．16.長春市人民廣場是中心景觀類環(huán)島型交通廣場，以開闊的空間、精美的建筑和多彩的綠化而馳名．甲、乙兩輛車從人民大街由南向北駛?cè)肴嗣駨V場，它們各自從A、B、C三個出口中隨機(jī)選擇一個出口駛出．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求甲、乙兩輛車從同一出口駛出的概率．17.如圖，的對角線、相交于點(diǎn)．求證：是菱形．18.小吉和小林從同一地點(diǎn)出發(fā)跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，結(jié)果小吉比小林少用40秒到達(dá)終點(diǎn)．求小林跑步的平均速度．19.圖①、圖②、圖③均是的網(wǎng)格，其中每個小方格都是邊長相等的正方形，其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作，使的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，是面積最大的等腰三角形；（2）在圖②中，是面積最大的直角三角形；（3）在圖③中，是面積最大的等腰直角三角形．20.某校綜合實(shí)踐活動中，數(shù)學(xué)活動小組要研究九年級男生臂展（兩臂左右平伸時兩手中指指尖之間的距離）與身高的關(guān)系．小組成員在本校九年級男生中隨機(jī)抽取20名男生，測量他們的臂展與身高，并對得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、描述和分析．下面給出了部分的信息：a．20名男生的臂展與身高數(shù)據(jù)如下表：編號12345678910身高166169169171172173173173174174臂展161162164166164165167169169170編號11121314151617181920身高175176177177178179180180181183臂展169167173172173170177174176185b．20名男生臂展與身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)身高175m173臂展170169c．20名男生臂展的頻數(shù)分布直方圖如圖①：（將臂展數(shù)據(jù)分成5組：，）d．20名男生臂展與身高的散點(diǎn)圖如圖②，活動小組發(fā)現(xiàn)圖中大部分點(diǎn)落在一條直線附近的狹長帶形區(qū)域內(nèi)．他們利用計算機(jī)和簡單統(tǒng)計軟件得到了描述臂展與身高之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的直線．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中、的值：，；（2）該校九年級有男生240人，估計其中臂展大于或等于的男生人數(shù)；（3）圖②中直線近似的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)直線反映的趨勢，估計身高為男生的臂展長度．21.隨著我國人工智能科技的快速發(fā)展，智能機(jī)器人已經(jīng)走進(jìn)我們的生活．某快遞公司使用甲、乙兩臺不同型號的智能機(jī)器人進(jìn)行快遞分揀工作，它們工作時各自的速度均保持不變．已知某天它們同時開始工作，甲機(jī)器人工作一段時間后、停工保養(yǎng)．保養(yǎng)結(jié)束后又和乙機(jī)器人一起繼續(xù)工作．甲、乙兩臺機(jī)器人分揀快遞的總數(shù)量（件）與乙機(jī)器人工作時間（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）甲機(jī)器人停工保養(yǎng)的時間為分鐘，；（2）求所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）若該快遞公司當(dāng)天分揀快遞總數(shù)批為5450件，則乙機(jī)器人工作時間為分鐘．22.數(shù)學(xué)活動：探究平面圖形的最小覆蓋圓【定義】我們稱能完全覆蓋某平面圖形的圓（即該平面圖形上所有的點(diǎn)均在圓內(nèi)或圓上）為該平面圖形的覆蓋圓．其中，能完全覆蓋平面圖形的最小的圓（即直徑最?。┓Q為該平面圖形的最小覆蓋圓．【探究一】線段的最小覆蓋圓線段的覆蓋圓有無數(shù)個，其中，以為直徑的圓是其最小覆蓋圓．理由如下：易知線段的最小覆蓋圓一定經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)．如圖①，以為直徑作，再過、兩點(diǎn)作（與不重合），連結(jié)．在中，有（）．，，即的直徑大于的直徑．是線段最小覆蓋圓．“”處應(yīng)填寫的推理依據(jù)為．【探究二】直角三角形的最小覆蓋圓要確定直角三角形的最小覆蓋圓，我們可先將其轉(zhuǎn)化為【探究一】中線段的最小覆蓋圓問題．這樣就可以先確定直角三角形最長邊（斜邊）的最小覆蓋圓，再判斷直角頂點(diǎn)與這個圓的位置關(guān)系，從而確定直角三角形的最小覆蓋圓．如圖②，在中，．是以為直徑的圓．請你判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系，并說明理由．又由【探究一】可知，是最長邊的最小覆蓋圓，所以，是的最小覆蓋圓．【拓展應(yīng)用】矩形的最小覆蓋圓如圖③，在矩形中，，．（1）用圓規(guī)和無刻度的直尺在圖③中作矩形的最小覆蓋圓：（不寫做法，保留作圖痕跡，作圖確定后必須用黑色字跡的簽字筆描點(diǎn)）（2）該矩形的最小覆蓋圓的直徑為；（3）若用兩個等圓完全覆蓋矩形．則這樣的兩個等圓的最小直徑為．23.如圖，在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）線段長為；（2）當(dāng)時，求的長；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上時，求證：；（4）當(dāng)點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到距離的2倍時，直接寫出的長．24.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)、是該拋物線上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為、，已知點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，構(gòu)造四邊形．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于該拋物線對稱軸對稱時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線在、兩點(diǎn)之間的部分（含、兩點(diǎn)）為圖象．當(dāng)時，若圖象的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為．求的值；（4）連結(jié)、，當(dāng)時，直接寫出的取值范圍（這里、、均是大于且小于的角）．2025年長春市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)本試卷包括三道大題、共6頁．全卷滿分為120分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項(xiàng)：1．答題前，學(xué)生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將系形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．2．答題時、考生務(wù)必按照考試要求在各題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上蘇題無效．3．作用可先使用鉛筆畫出_確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.中國是最早使用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量的國家．如果水位下降記作，那么水位上升記作（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了具有相反意義的量，正負(fù)數(shù)是一對具有相反意義的量，若水位下降用“”表示，那么水位上升就用“”表示，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如果水位下降記作，那么水位上升記作，故選：B．2.下面幾何體中為圓錐的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查認(rèn)識立體圖形，掌握幾種常見幾何體的形體特征是正確判斷的前提．根據(jù)圓錐的底面是圓，側(cè)面是曲面進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、該幾何體為正方體，不符合題意；B、該幾何體為球，不符合題意；C、該幾何體為圓錐，符合題意；D、該幾何體為是三棱錐，不符合題意．故選：C．3.下列計算一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了積的乘方計算，同底數(shù)冪乘法計算，合并同類項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)計算法則求出對應(yīng)選項(xiàng)中式子的結(jié)果即可得到答案．【詳解】解：A、，原式計算正確，符合題意；B、，原式計算錯誤，不符合題意；C、，原式計算錯誤，不符合題意；D、，原式計算錯誤，不符合題意；故選：A．4.下列不等式組無解的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了求一元一次不等式組的解集，根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出每個選項(xiàng)中不等式組的解集即可得到答案．【詳解】解：A、原不等式組的解集為，不符合題意；B、原不等式組無解，符合題意；C、原不等式組的解集為，不符合題意；D、原不等式組的解集為，不符合題意；故選：B．5.如圖，已知某山峰的海拔高度為米，一位登山者到達(dá)海拔高度為米的點(diǎn)處．測得山峰頂端的仰角為．則、兩點(diǎn)之間的距離為（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．由題意得四邊形是矩形，則，那么，再解即可．【詳解】解：由題意得，四邊形是矩形，∴，∴，由題意得，，∴，∴，故選：B．6.已知點(diǎn)、在同一正比例函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷即可求解，掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn)、在同一正比例函數(shù)的圖象上，∴，，∴，∵，∴正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限，當(dāng)時，當(dāng)時，∵，∴，，∴選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯誤，故選：．7.將直角三角形紙片（）按如圖方式折疊兩次再展開，下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握各知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．由折疊可得：，，則，那么，繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理逐一判斷即可．【詳解】解：由折疊可得：，，∴，故A正確，不符合題意；∴，∴，，∴，，∴，∴，故B正確，不符合題意；∵，∴，，∴，，∴，故C正確，不符合題意；∵，∴，，，∴，故D錯誤，符合題意，故選：D．8.在功一定的條件下，功率與做功時間成反比例，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．當(dāng)時，的值可以為（）A.24 B.27 C.45 D.50【答案】C【解析】【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與實(shí)際問題的綜合，掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，代入求值的計算方法是解題的關(guān)鍵．先求出關(guān)于的函數(shù)解析式，再分別求出，時的函數(shù)值，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可判斷．【詳解】解：由題意設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為：，代入點(diǎn)得：，解得：，∴關(guān)于的函數(shù)解析式為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∵，∴在第一象限內(nèi)，隨著的增大而減小，∴，∴的值可以為，故選：C．二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．9.8的立方根是______．【答案】2【解析】【分析】本題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)立方根的定義即可求解．【詳解】解：，8的立方根是2．故答案為：2．10.寫出的一個同類項(xiàng)：_______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了同類項(xiàng)的定義，含有相同的字母并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)為同類項(xiàng)，據(jù)此進(jìn)行作答即可．【詳解】解：是的一個同類項(xiàng)，故答案為：（答案不唯一）．11.已知，則代數(shù)式的值為_______．【答案】3【解析】【分析】本題主要考查了求代數(shù)式的值，掌握整體思想是解題的關(guān)鍵．將化為，再整體代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：3．12.若扇形的面積是它所在圓的面積的，則這個扇形的圓心角的大小是_______度．【答案】【解析】【分析】本題考查了扇形面積公式，圓的面積公式，掌握扇形面積是解題的關(guān)鍵．設(shè)扇形的圓心角度數(shù)為，半徑為，由扇形面積公式和圓的面積公式得到，即可求解．【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角度數(shù)為，半徑為，由題意得，解得：，故答案為：．13.圖①是一個正十二面體，它的每個面都是正五邊形，圖②是其表面展開圖，則為_______度．【答案】【解析】【分析】本題考查的是正多邊形的內(nèi)角與外角的問題，先求解正五邊形的每一個內(nèi)角為：，再進(jìn)一步求解即可.【詳解】解：∵正五邊形的每一個內(nèi)角為：，∴，故答案為：14.如圖，在邊長為4的正方形中，對角線、相交于點(diǎn)．點(diǎn)在線段上．連接，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．給出下面四個結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，；④點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的最小值為．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有_______．【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，結(jié)合，可得，故①符合題意；證明，可得，故②符合題意；當(dāng)時，，可得，，可得，故③不符合題意；如圖，取的中點(diǎn)，連接，可得在以為圓心，為直徑的圓上，當(dāng)共線時，最小，再進(jìn)一步可判斷④.【詳解】解：∵正方形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，故①符合題意；∵，，∴，∴，故②符合題意；當(dāng)時，，∴，，∴，故③不符合題意；如圖，取的中點(diǎn)，連接，∵，∴在以為圓心，為直徑的圓上，當(dāng)共線時，最小，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的最小值為．故④符合題意；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，點(diǎn)到圓上各點(diǎn)距離的最小值的含義，本題難度較大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.三、解答題：本題共10小題、共78分．15.先化簡．再求值：，其中．【答案】，4【解析】【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，根據(jù)完全平方公式將括號展開后合并得最簡結(jié)果，再把代入計算即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．16.長春市人民廣場是中心景觀類環(huán)島型交通廣場，以開闊的空間、精美的建筑和多彩的綠化而馳名．甲、乙兩輛車從人民大街由南向北駛?cè)肴嗣駨V場，它們各自從A、B、C三個出口中隨機(jī)選擇一個出口駛出．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求甲、乙兩輛車從同一出口駛出的概率．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了樹狀圖或列表法求解概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【詳解】解：由題意得，可畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中甲、乙兩輛車從同一出口駛出的結(jié)果數(shù)有3種，∴這甲、乙兩輛車從同一出口駛出的概率是．17.如圖，的對角線、相交于點(diǎn)．求證：是菱形．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟練掌握菱形的幾種判定定理是解題的關(guān)鍵．先由勾股定理逆定理得到，再根據(jù)對角線垂直的平行四邊形是菱形即可證明．【詳解】證明：∵，∴，，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．18.小吉和小林從同一地點(diǎn)出發(fā)跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，結(jié)果小吉比小林少用40秒到達(dá)終點(diǎn)．求小林跑步的平均速度．【答案】小林跑步的平均速度為4米每秒【解析】【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)小林跑步的平均速度為米每秒，則小吉的平均速度為米每秒，分別表示出時間，根據(jù)“小吉比小林少用40秒到達(dá)終點(diǎn)”建立分式方程求解，再檢驗(yàn)即可．【詳解】解：設(shè)小林跑步的平均速度為米每秒，則小吉的平均速度為米每秒，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴原方程的解為：，答：小林跑步的平均速度為4米每秒．19.圖①、圖②、圖③均是的網(wǎng)格，其中每個小方格都是邊長相等的正方形，其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作，使的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，是面積最大的等腰三角形；（2）在圖②中，是面積最大的直角三角形；（3）在圖③中，是面積最大等腰直角三角形．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】本題主要考查了格點(diǎn)作圖，勾股定理及其逆定理，網(wǎng)格中求三角形面積，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)面積最大，且為等腰三角形，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上；（2）根據(jù)面積最大，且為直角三角形，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上；（3）作個腰長為的等腰直角三角形，順次連接A、B、C，則即為所求．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】解；如圖所示，即為所求；【小問3詳解】解：如圖所示，即為所求．20.某校綜合實(shí)踐活動中，數(shù)學(xué)活動小組要研究九年級男生臂展（兩臂左右平伸時兩手中指指尖之間的距離）與身高的關(guān)系．小組成員在本校九年級男生中隨機(jī)抽取20名男生，測量他們的臂展與身高，并對得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、描述和分析．下面給出了部分的信息：a．20名男生的臂展與身高數(shù)據(jù)如下表：編號12345678910身高166169169171172173173173174174臂展161162164166164165167169169170編號11121314151617181920身高175176177177178179180180181183臂展169167173172173170177174176185b．20名男生臂展與身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)身高175m173臂展170169c．20名男生臂展的頻數(shù)分布直方圖如圖①：（將臂展數(shù)據(jù)分成5組：，）d．20名男生臂展與身高的散點(diǎn)圖如圖②，活動小組發(fā)現(xiàn)圖中大部分點(diǎn)落在一條直線附近的狹長帶形區(qū)域內(nèi)．他們利用計算機(jī)和簡單統(tǒng)計軟件得到了描述臂展與身高之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的直線．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中、的值：，；（2）該校九年級有男生240人，估計其中臂展大于或等于的男生人數(shù)；（3）圖②中直線近似的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)直線反映的趨勢，估計身高為男生的臂展長度．【答案】（1）；（2）人（3）身高為男生的臂展長度約為.【解析】【分析】本題考查的是從統(tǒng)計圖表，以及函數(shù)圖象中獲取信息，利用樣本估計總體；（1）根據(jù)中位數(shù)與眾數(shù)的含義可得答案；（2）由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人數(shù)的占比為，再乘以總?cè)藬?shù)即可；（3）把代入即可得到答案.【小問1詳解】解：由表格信息可得：；；【小問2詳解】解：該校九年級有男生240人，估計臂展大于或等于170cm的男生人數(shù)為：（人）；【小問3詳解】解：∵，當(dāng)時，，∴身高為男生的臂展長度約為.21.隨著我國人工智能科技的快速發(fā)展，智能機(jī)器人已經(jīng)走進(jìn)我們的生活．某快遞公司使用甲、乙兩臺不同型號的智能機(jī)器人進(jìn)行快遞分揀工作，它們工作時各自的速度均保持不變．已知某天它們同時開始工作，甲機(jī)器人工作一段時間后、停工保養(yǎng)．保養(yǎng)結(jié)束后又和乙機(jī)器人一起繼續(xù)工作．甲、乙兩臺機(jī)器人分揀快遞的總數(shù)量（件）與乙機(jī)器人工作時間（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）甲機(jī)器人停工保養(yǎng)的時間為分鐘，；（2）求所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）若該快遞公司當(dāng)天分揀快遞的總數(shù)批為5450件，則乙機(jī)器人工作時間為分鐘．【答案】（1），（2）（3）該快遞公司當(dāng)天分揀快遞的總數(shù)批為5450件，則乙機(jī)器人工作時間為分鐘.【解析】【分析】本題考查的是一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；（1）由圖象可得：甲機(jī)器人停工保養(yǎng)的時間，再計算甲乙機(jī)器人的工作效率，再列式計算求解的值即可；（2）由甲乙機(jī)器人的效率為每分鐘件，可得所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，再化簡即可；（3）把代入，進(jìn)一步即可得到答案.【小問1詳解】解：由圖象可得：甲機(jī)器人停工保養(yǎng)的時間為分鐘；∵，∴（件）；【小問2詳解】解：∵甲乙機(jī)器人的效率為每分鐘件，∴所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：；【小問3詳解】解：當(dāng)時，∴，解得：，∴該快遞公司當(dāng)天分揀快遞的總數(shù)批為5450件，則乙機(jī)器人工作時間為分鐘.22.數(shù)學(xué)活動：探究平面圖形的最小覆蓋圓【定義】我們稱能完全覆蓋某平面圖形的圓（即該平面圖形上所有的點(diǎn)均在圓內(nèi)或圓上）為該平面圖形的覆蓋圓．其中，能完全覆蓋平面圖形的最小的圓（即直徑最?。┓Q為該平面圖形的最小覆蓋圓．【探究一】線段的最小覆蓋圓線段的覆蓋圓有無數(shù)個，其中，以為直徑的圓是其最小覆蓋圓．理由如下：易知線段的最小覆蓋圓一定經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)．如圖①，以為直徑作，再過、兩點(diǎn)作（與不重合），連結(jié)．在中，有（）．，，即的直徑大于的直徑．是線段的最小覆蓋圓．“”處應(yīng)填寫的推理依據(jù)為．【探究二】直角三角形的最小覆蓋圓要確定直角三角形的最小覆蓋圓，我們可先將其轉(zhuǎn)化為【探究一】中線段的最小覆蓋圓問題．這樣就可以先確定直角三角形最長邊（斜邊）的最小覆蓋圓，再判斷直角頂點(diǎn)與這個圓的位置關(guān)系，從而確定直角三角形的最小覆蓋圓．如圖②，在中，．是以為直徑的圓．請你判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系，并說明理由．又由【探究一】可知，是最長邊的最小覆蓋圓，所以，是的最小覆蓋圓．【拓展應(yīng)用】矩形的最小覆蓋圓如圖③，在矩形中，，．（1）用圓規(guī)和無刻度的直尺在圖③中作矩形的最小覆蓋圓：（不寫做法，保留作圖痕跡，作圖確定后必須用黑色字跡的簽字筆描點(diǎn)）（2）該矩形的最小覆蓋圓的直徑為；（3）若用兩個等圓完全覆蓋矩形．則這樣的兩個等圓的最小直徑為．【答案】探究一：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；探究二：在上；證明見解析；拓展應(yīng)用：（1）作圖見解析；（2）；（3）；【解析】【分析】探究一：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得答案；探究二：利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)證明即可得到答案；拓展應(yīng)用：（1）連接，交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓即可；（2）結(jié)合矩形性質(zhì)與勾股定理計算即可；（3）作的垂直平分線，交于，交于，可得四邊形，是兩個全等的矩形，，用兩個等圓完全覆蓋矩形，可得兩圓一定過，再進(jìn)一步解答即可.【詳解】解：探究一：理由如下：易知線段的最小覆蓋圓一定經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)．如圖①，以為直徑作，再過、兩點(diǎn)作（與不重合），連結(jié)．在中，有（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）．，，即的直徑大于的直徑．是線段的最小覆蓋圓．“”處應(yīng)填寫的推理依據(jù)為三角形的任意兩邊之和大于第三邊．故答案為：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；探究二：∵，為的中點(diǎn)，∴，∴在上；拓展應(yīng)用：（1）如圖，即為矩形的最小覆蓋圓；（2）∵矩形，，，∴，；（3）作的垂直平分線，交于，交于，∴四邊形，是兩個全等的矩形，∴，∵用兩個等圓完全覆蓋矩形，∴兩圓一定過，連接，交點(diǎn)分別為，同理可得：這樣的兩個等圓的最小直徑為或或或，∴最小直徑為，如圖，作的垂直平分線交于，同法作，，此時不是直徑最小的等圓；綜上：用兩個等圓完全覆蓋矩形．則這樣兩個等圓的最小直徑為.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，多邊形的外接圓的含義，矩形的判定與性質(zhì)，熟練的作圖是解本題的關(guān)鍵.23.如圖，在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）線段的長為；（2）當(dāng)時，求的長；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上時，求證：；（4）當(dāng)點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到距離的2倍時，直接寫出的長．【答案】（1）（2）（3）證明見解析（4）的長為或.【解析】【分析】（1）利用勾股定理計算即可；（2）如圖，求解，，證明，結(jié)合，可得，再進(jìn)一步求解即可；（3）證明，結(jié)合，，從而可得結(jié)論；（4）如圖，當(dāng)在的左邊時，結(jié)合題意可得：，，，過作于，過作于，可得，結(jié)合（1）可得：，證明，可得，再進(jìn)一步解得即可；如圖，當(dāng)在的右邊時，過作于，過作于，同法可得答案.【小問1詳解】解：∵在中，，，∴；【小問