專題11二次根式的加減法內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強知識：7大核心考點精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升知識點01最簡二次根式1.最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母，（2）被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式2.化簡二次根式的一般方法方法舉例將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開方化去根號下的分母若被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，先將被開方數(shù)化成假分?jǐn)?shù)若被開方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)若被開方數(shù)時分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進(jìn)行開方運算(a＞0，b＞0，c＞0）被開方數(shù)時多項式的要先因式分解（x≥0，y≥0）知識點02同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如知識點03二次根式的加減法1.二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。2.二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變?！绢}型1最簡二次根式的判斷】例題：（24-25八年級下·吉林延邊·期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】最簡二次根式的判斷、化為最簡二次根式【分析】本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【詳解】解：．，二次根式不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；．，二次根式不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；．是最簡二次根式，故該選項符合題意；．，二次根式不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（湖北省宜昌二十五中教聯(lián)體2024-2025學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】利用二次根式的性質(zhì)化簡、最簡二次根式的判斷【分析】本題考查最簡二次根式，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)最簡二次根式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、是最簡二次根式，符合題意；B、，不是最簡二次根式，不符合題意；C、，不是最簡二次根式，不符合題意；D、，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：A2．（24-25八年級下·天津靜?！て谥校┫铝卸胃街校亲詈喍胃降氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】最簡二次根式的判斷【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)最簡二次根式的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A、，可以進(jìn)行分母有理化，不是最簡二次根式，故選項不符合題意；B、，被開方數(shù)，不含能開得盡方的因數(shù)，是最簡二次根式，故選項符合題意；C、，可以進(jìn)行分母有理化，不是最簡二次根式，故選項不符合題意；D、，含能開得盡方的因數(shù)4，不是最簡二次根式，故選項不符合題意；故選：B．3．（24-25八年級下·廣東中山·期中）下列各式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【知識點】最簡二次根式的判斷【分析】本題考查了最簡二次根式的定義．判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查定義中的兩個條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，據(jù)此即可判斷．【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；B、符合最簡二次根式的條件，故本選項符合題意；C、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；D、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故答案為：B．【題型2化為最簡二次根式】例題：（24-25八年級下·山西呂梁·階段練習(xí)）化簡：．【答案】【知識點】利用二次根式的性質(zhì)化簡、化為最簡二次根式【分析】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可得解，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·山西太原·期中）將化成最簡二次根式為．【答案】【知識點】化為最簡二次根式【分析】本題考查的是最簡二次根式，熟練運用二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．直接利用二次根式性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：，故答案為：．2．（24-25八年級上·山西運城·期末）把化成最簡二次根式的結(jié)果為.【答案】【知識點】化為最簡二次根式【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：，故答案為：．3．（24-25八年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）化簡：；：．【答案】7/【知識點】利用二次根式的性質(zhì)化簡、化為最簡二次根式【分析】本題主要考查的是二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．依據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：，，，故答案為：，7，．【題型3已知最簡二次根式求參數(shù)】例題：（24-25八年級下·吉林松原·期中）若與最簡二次根式可以合并，則．【答案】【知識點】已知最簡二次根式求參數(shù)【分析】本題考查了同類二次根式及最簡二次根式，根據(jù)題意得，進(jìn)而可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意得：，解得：，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·廣東江門·期中）若最簡二次根式與可以合并，則的值為．【答案】【知識點】已知最簡二次根式求參數(shù)、同類二次根式【分析】此題考查了同類二次根式的定義及解一元一次方程等知識點，正確理解題意是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)同類二次根式的定義得到，求解即可．【詳解】解：∵最簡二次根式與可以合并，∴與是同類二次根式，∴，解得，故答案為．2．（24-25八年級下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）若最簡二次根式與最簡二次根式相等，則．．【答案】35【知識點】已知最簡二次根式求參數(shù)【分析】本題考查最簡二次根式的定義，同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．根據(jù)題意可知，同類二次根式的被開方數(shù)相同，根指數(shù)相同，可得答案．【詳解】解：最簡二次根式與最簡二次根式相等，∴，4n-m=2n+1解得：，．故答案為：3，5．3．（2025·四川涼山·一模）若最簡二次根式與可以合并，則．【答案】【知識點】已知字母的值，求代數(shù)式的值、已知最簡二次根式求參數(shù)、同類二次根式【分析】根據(jù)最簡二次根式與可以合并，判定二式是同類二次根式，得到，解答即可．本題考查了最簡二次根式，同類二次根式，求代數(shù)式的值，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵最簡二次根式與可以合并∴最簡二次根式與是同類二次根式，∴，解得，∴．故答案為：．【題型4同類二次根式的判斷】例題：（24-25八年級下·安徽淮北·階段練習(xí)）下列二次根式中，能與合并的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】同類二次根式【分析】本題考查了二次根式的加減，先把所給二次根式化簡，再根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、與不能合并，原選項不符合題意；、與能合并，原選項符合題意；、與不能合并，原選項不符合題意；、與不能合并，原選項不符合題意；故選：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）有下列二次根式：①、②、③、④，其中，與是同類二次根式的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．③④【答案】C【知識點】二次根式的除法、化為最簡二次根式、同類二次根式【分析】本題考查二次根式的化簡、分母有理化、同類二次根式等知識．將題中四個數(shù)分別化成最簡二次根式，再結(jié)合同類二次根式的定義解題即可．【詳解】解：①；②；③；④中，與是同類二次根式的是①④故選：C．2．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）下列各組二次根式中，屬于同類二次根式的是（

）．A．與 B．與 C．與 D．與【答案】A【知識點】利用二次根式的性質(zhì)化簡、同類二次根式【分析】本題主要考查了同類二次根式的定義，一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式，據(jù)此進(jìn)行逐項分析，即可作答．．【詳解】解：A、，與是同類二次根式，故該選項符合題意；B、，，與不是同類二次根式，故該選項不符合題意；C、，，與不是同類二次根式，故該選項不符合題意；D、，，與不是同類二次根式，故該選項不符合題意；故選：A．3．（24-25八年級下·全國·單元測試）下列各組根式中，是同類二次根式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【知識點】同類二次根式【分析】本題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同類二次根式的定義，逐項分析即可判斷．【詳解】A、，故和不是同類根式，不符合題意；B、，故和是同類根式，符合題意；C、，，故和不是同類根式，不符合題意；D、和不是同類根式，不符合題意；故選：B．【題型5求同類二次根式中的參數(shù)】例題：（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）寫出的兩個同類二次根式為．【答案】，（答案不唯一）【知識點】利用二次根式的性質(zhì)化簡、同類二次根式【分析】本題主要考查了同類二次根式的定義，熟練掌握一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，，∴的兩個同類二次根式為，．故答案為：，（答案不唯一）．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·全國·單元測試）已知與是同類二次根式，則的值可以是（寫兩個即可）．【答案】4或15【知識點】同類二次根式、解一元一次方程（一）——合并同類項與移項【分析】本題考查同類二次根式定義、解一元二次方程等知識，先由與是同類二次根式，得到，其中為實數(shù)，且，任意取兩個值即可得到答案，熟記同類二次根式定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：與是同類二次根式，，其中為實數(shù)，且當(dāng)時，則，解得；當(dāng)時，則，解得；的值可以是4或15（答案不唯一），故答案為：4或15．2．（24-25八年級下·山東淄博·期中）若與最簡二次根式是同類二次根式，則．【答案】4【知識點】同類二次根式【分析】本題主要考查了同類二次根式，化簡二次根式，熟知被開方數(shù)相同的最簡二次根式是同類二次根式是解題的關(guān)鍵．先把化為最簡二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵與最簡二次根式是同類二次根式，，，故答案為：4．3．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）如果最簡二次根式和是同類二次根式，那么這兩個二次根式的和為．【答案】【知識點】同類二次根式、二次根式的加減運算【分析】本題考查了同類二次根式的知識，一元一次方程，注意掌握同類二次根式化為最簡二次根式后被開方數(shù)相同且根指數(shù)均為2．根據(jù)同類二次根式的被開方數(shù)相同可得出關(guān)于的方程，解出的值，再求和即可．【詳解】解：∵最簡二次根式和是同類二次根式，∴，解得：．故這兩個二次根式的和為，故答案為：．【題型6二次根式加減運算】例題：（24-25八年級下·廣東江門·期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】二次根式的加減運算【分析】本題考查二次根式的加減運算．（1）先化為最簡二次根式，再合并同類二次根式；（2）先化為最簡二次根式，再合并同類二次根式．【詳解】（1）解：；（2）解：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）計算：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【知識點】利用二次根式的性質(zhì)化簡、二次根式的加減運算【分析】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式．（1）化簡二次根式，然后合并即可；（2）去括號，化簡二次根式，然后合并同類二次根式即可；（3）化簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．2．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點】二次根式的加減運算【分析】本題考查二次根式的加減運算，熟練掌握加減運算法則，是解題的關(guān)鍵：（1）直接合并即可；（2）先化簡，再合并即可；（3）先化簡，再合并即可；（4）先化簡，再合并即可．【詳解】（1）解：原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．3．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）計算：(1)(2)(3)(4)(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【知識點】二次根式的加減運算【分析】本題考查了二次根式的加減運算，掌握二次根式的性質(zhì)與加減運算法則是解題的關(guān)鍵；（1）直接合并同類二次根式，即可求解；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡再合并同類二次根式，即可求解；（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡再合并同類二次根式，即可求解；（4）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡再合并同類二次根式，即可求解；（5）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡再合并同類二次根式，即可求解；（6）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡再合并同類二次根式，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．【題型7二次根式的混合運算】例題：（24-25八年級下·浙江紹興·期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)4【知識點】二次根式的加減運算、二次根式的混合運算【分析】本題考查的是二次根式的加減運算，混合運算；（1）先化簡各二次根式，再合并同類二次根式即可；（2）先計算二次根式的乘法與除法運算，再合并即可．【詳解】（1）解：；（2）解：【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·福建廈門·期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】二次根式的加減運算、二次根式的混合運算【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算，二次根式的加減計算，熟知二次根式的相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先化簡二次根式，再根據(jù)二次根式的加減計算法則求解即可；（2）先根據(jù)完全平方公式和平方差公式去括號，然后計算加減法即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．2．（24-25八年級下·浙江溫州·期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)11．【知識點】二次根式的乘法、二次根式的加減運算【分析】本題主要考查了二次根式加減計算，二次根式乘法計算，熟知二次根式的相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先化簡二次根式，再計算二次根式加減法即可得到答案；（2）利用平方差公式去括號，再計算減法即可得到答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．3．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】二次根式的加減運算、二次根式的混合運算【分析】本題考查的是二次根式的混合運算；（1）先化簡各二次根式，再計算加減運算即可；（2）先計算二次根式的乘法運算，再合并即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；一、單選題1．（24-25八年級下·安徽滁州·階段練習(xí)）下列根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】最簡二次根式的判斷【分析】本題主要考查了最簡二次根式，理解最簡二次根式的定義是解答關(guān)鍵．將能化為最簡二次根式的進(jìn)行化簡后來進(jìn)行判定求解．【詳解】解：A．，它不是最簡二次根式，故此項不符合題意；B．是最簡二次根式，故此項符合題意；C．，它不是最簡二次根式，故此項不符合題意；D．，它不是最簡二次根式，故此項不符合題意．故選：B2．（24-25八年級下·湖北宜昌·期中）下列計算中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】二次根式的除法、二次根式的乘法、二次根式的加減運算【分析】本題考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式相關(guān)運算的法則．根據(jù)二次根式的運算法則逐項判斷即可．【詳解】解：與不是同類二次根式，不能合并，故A錯誤，不符合題意；，故B錯誤，不符合題意；，故C正確，符合題意；，故D錯誤，不符合題意；故選：C．3．（24-25八年級上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知是最簡二次根式，且與可以合并，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】同類二次根式、利用平方根解方程、已知最簡二次根式求參數(shù)【分析】本題考查了同類二次根式，最簡二次根式，利用平方根解方程，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．由是最簡二次根式且與可以合并，得出，然后利用平方根解方程即可．【詳解】解：∵是最簡二次根式且與可以合并，∴，解得：，故選：．4．（24-25八年級下·廣西賀州·期中）下列各組二次根式中，是同類二次根式的為（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【知識點】同類二次根式【分析】本題主要考查了同類二次根式，掌握同類二次根式的定義成為解題的關(guān)鍵．將二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、和的被開方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項錯誤；B、和的被開方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項錯誤；C、和的被開方數(shù)相同，所以它們是同類二次根式；故本選項正確；D、與的被開方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項錯誤．故選：C．5．（24-25七年級下·山西朔州·期中）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則代數(shù)式的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【知識點】無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計算、實數(shù)的混合運算、二次根式的加減運算【分析】本題考查估算無理數(shù)的大小，熟練掌握無理數(shù)估算的方法是解題的關(guān)鍵．先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中計算即可．【詳解】解：，，，則，，那么，故選：D．二、填空題6．（24-25八年級上·山西太原·階段練習(xí)）將化成最簡二次根式的結(jié)果為．【答案】【知識點】化為最簡二次根式【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化為最簡二次根式，即可求解．【詳解】解：，故答案為：．7．（24-25八年級下·安徽安慶·期中）如果最簡二次根式與是同類二次根式，則．【答案】3【知識點】已知最簡二次根式求參數(shù)【分析】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．根據(jù)同類二次根式的概念，它們的被開方數(shù)相同，列出方程求解即可．【詳解】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴，解得，故答案為：3．8．（24-25九年級下·黑龍江哈爾濱·期中）定義一種新運算：，則．【答案】【知識點】利用二次根式的性質(zhì)化簡、二次根式的加減運算、新定義下的實數(shù)運算【分析】本題考查了新定義下的實數(shù)運算，二次根式的性質(zhì)、二次根式的減法，根據(jù)新定義運算并結(jié)合二次根式的性質(zhì)以及二次根式的減法法則計算即可得解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．9．（24-25八年級下·河南周口·期中）有下列算式：（1）；（2）；（3）；（4）其中正確的有個．【答案】2【知識點】二次根式的加減運算【分析】本題考查了二次根式的加法運算，二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則進(jìn)行解題．根據(jù)二次根式的性質(zhì)和二次根式的加法運算，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】（1）和不是同類項，不能合并，錯誤；（2），正確；（3）＝，錯誤；（4），正確；其中正確的有2個，故答案為：2．10．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）定義新運算：對于任意實數(shù)a、b，都有．例如：，則的值為．【答案】【知識點】新定義下的實數(shù)運算、二次根式的加減運算【分析】本題考查了新運算問題，二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是利用定義進(jìn)行運算即可．【詳解】解：，故答案為：．三、解答題11．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）化去分母中的根號：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點】化為最簡二次根式【分析】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）利用二次根式的除法法則化簡即可；（2）利用二次根式的除法法則化簡即可；（3）利用二次根式的除法法則化簡即可；（4）利用二次根式的除法法則化簡即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．12．（24-25七年級下·重慶江津·期中）計算(1)(2)【答案】(1)(2)【知識點】二次根式的加減運算【分析】本題主要查了二次根式的加減運算：（1）先去括號，再合并，即可求解；（2）先去括號和絕對值，再合并，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：13．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點】二次根式的加減運算【分析】本題考查二次根式的加減運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，合并同類二次根式的方法，是解題的關(guān)鍵：（1）先化簡，再合并同類二次根式即可；（2）先化簡，再合并同類二次根式即可；（3）先化簡，再合并同類二次根式即可；（4）先化簡，再合并同類二次根式即可．【詳解】（1）解：原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．14．（24-25八年級下·北京·期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)5【知識點】利用二次根式的性質(zhì)化簡、二次根式的混合運算、二次根式的加減運算【分析】本題主要考查