專題26二元一次方程組的應(yīng)用內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：10大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01列方程組解應(yīng)用題步驟1）列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系。一般來說，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：=1\*GB3①方程兩邊表示的是同類量；=2\*GB3②同類量的單位要統(tǒng)一；=3\*GB3③方程兩邊的數(shù)值要相等。2）解應(yīng)用題的一般步驟為：=1\*GB3①讀題：找出題目中的數(shù)量關(guān)系，列寫等量關(guān)系式；=2\*GB3②設(shè)元：以好表達(dá)等量關(guān)系式為原則，設(shè)不知道的量為未知數(shù)；=3\*GB3③列方程：依據(jù)等量關(guān)系式，結(jié)合未知數(shù)列寫方程；=4\*GB3④解答。知識(shí)點(diǎn)02分析數(shù)量關(guān)系的常用方法1）直譯法分析數(shù)量關(guān)系:將題中關(guān)鍵性的數(shù)量關(guān)系的語句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出沒有公國(guó)的等量關(guān)系，翻譯成含有未知數(shù)的等式。2）列表分析數(shù)量關(guān)系:當(dāng)題目中條件較多，關(guān)系較復(fù)雜時(shí)，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進(jìn)行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對(duì)號(hào)入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關(guān)系。【題型1二元一次方程組的應(yīng)用之年齡問題】例題：（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙10歲，乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲25歲，則甲、乙現(xiàn)在的年齡差為．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）一名34歲的男子帶著他的兩個(gè)孩子一同接受采訪，下面是兩個(gè)孩子與記者的對(duì)話：根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，哥哥和妹妹的年齡分別是．2．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）今年父親的年齡是玲玲的倍，年后父親的年齡是玲玲的倍，今年父親、玲玲的年齡各是多少歲？3．（23-24七年級(jí)下·河南洛陽·期中）某學(xué)生想知道李老師的年齡，李老師說：“我像你這么大時(shí)，你才2歲，你長(zhǎng)到我這么大時(shí)，我就35歲了．”請(qǐng)你算一算，今年李老師、該學(xué)生各多少歲．【題型2二元一次方程組的應(yīng)用之分配問題】例題：（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）某工廠現(xiàn)有某種原料，可以用來生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)種產(chǎn)品需這種原料，生產(chǎn)費(fèi)用為900元；每生產(chǎn)種產(chǎn)品需這種原料，生產(chǎn)費(fèi)用為1000元．可用來生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的資金為53萬元，兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少噸才能使庫存原料和資金恰好用完？先列表分析數(shù)量關(guān)系再解答．種產(chǎn)品種產(chǎn)品總量產(chǎn)品原料產(chǎn)品費(fèi)用900元1000元53萬元【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·陜西咸陽·階段練習(xí)）某酒店客房部有三人間和雙人間兩種普通客房，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為三人間300元/間，雙人間280元/間，為了吸引游客，酒店實(shí)行團(tuán)體人住五折優(yōu)惠措施，一個(gè)46人的旅游團(tuán)優(yōu)惠期間到該酒店入住，住了三人間普通客房和雙人間普通客房，若每間客房正好住滿，且一天共花去2620元，則該旅游團(tuán)住了三人間普通客房和雙人間普通客房各多少間?2．（23-24七年級(jí)下·湖北黃石·期中）張氏包裝廠承接了一批紙盒加工任務(wù)，用如圖1所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖2所示的豎式與橫式兩種無蓋的長(zhǎng)方體紙盒（加工時(shí)接縫材料不計(jì)）．(1)做1個(gè)豎式紙盒和2個(gè)橫式紙盒，需要正方形紙板張，長(zhǎng)方形紙板張．(2)若該廠購進(jìn)正方形紙板162張，長(zhǎng)方形紙板338張，問豎式紙盒、橫式紙盒各加工多少個(gè)，恰好能將購進(jìn)的紙板全部用完？(3)該廠某一天使用的材料清單上顯示，這天一共使用正方形紙板162張，長(zhǎng)方形紙板張，全部加工成上述兩種紙盒，且試求在這一天加工兩種紙盒時(shí)，的所有可能值．3．（24-25七年級(jí)下·浙江溫州·期中）綜合與實(shí)踐．【素材1】某工廠計(jì)劃日生產(chǎn)件零件．【素材2】現(xiàn)有初級(jí)工、高級(jí)工兩種工人可安排參與生產(chǎn)，生產(chǎn)能力和薪酬如下：工種初級(jí)工高級(jí)工日生產(chǎn)量（件/人）日薪酬（元/人）【素材3】為了便于調(diào)配，工廠安排的工人恰好可以完成生產(chǎn)計(jì)劃．【問題】(1)若工廠指派名高級(jí)工參與生產(chǎn)，則需要安排多少名初級(jí)工？(2)該工廠每日計(jì)劃支付薪酬元，那么需要安排初級(jí)工、高級(jí)工各多少人？(3)為了保證生產(chǎn)質(zhì)量，該工廠計(jì)劃每4名初級(jí)工生產(chǎn)時(shí)需1名高級(jí)工進(jìn)行指導(dǎo)（不足4名按4名計(jì)算，指導(dǎo)的高級(jí)工不參與生產(chǎn)，但需要支付日薪酬），請(qǐng)為工廠設(shè)計(jì)一個(gè)成本最低（支出工人的總?cè)招匠曜畹停┑墓と税才欧桨福?55參與指導(dǎo)的高級(jí)工人數(shù)8642高級(jí)工人數(shù)8費(fèi)用【題型3二元一次方程組的應(yīng)用之古代問題】例題：（24-25七年級(jí)下·遼寧大連·期中）《九章算術(shù)》中有這樣一道題：今有大器五小器一容三斛；大器一小器五容二斛．問大小器各容幾何．意思是：有大小兩種容器，已知5個(gè)大容器和1個(gè)小容器的總?cè)萘繛?斛（斛是過去的一種量器），1個(gè)大容器和5個(gè)小容器的總?cè)萘繛?斛．大，小容器的容量分別是多少斛?【變式訓(xùn)練】1．（2025·山東淄博·二模）在《九章算術(shù)》的“方程”一章中，一次方程組是由算籌布置而成的，已知圖1所示的算籌圖表示的方程組為，請(qǐng)認(rèn)真觀察思考并完成如下任務(wù)：(1)任務(wù)一：圖2所表示的方程組為_____．(2)任務(wù)二：請(qǐng)解你所列的方程組．2．（24-25七年級(jí)下·天津西青·期末）注意：為了使同學(xué)們更好地解答本題，我們提供了一種解題思路，你可以依照這個(gè)思路按下面的要求填空，完成本題的解答．也可以選用其他的解題方案，此時(shí)不必填空，只需按照解答題的一般要求進(jìn)行解答．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木條，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木條，木條剩余1尺，問木條長(zhǎng)多少尺？解題方案：設(shè)木條長(zhǎng)x尺，繩子長(zhǎng)y尺．(1)根據(jù)題意，列出方程組(2)解這個(gè)方程組，得答：木條長(zhǎng)_______尺．3．（2025·安徽合肥·二模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個(gè)問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等．交易其一，金輕十三兩．問金、銀一枚各重幾何？”．意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)）．問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，試求黃金、白銀每枚各重多少兩？【題型4二元一次方程組的應(yīng)用之行程問題】例題：（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）青藏鐵路全線有一座大橋—拉薩河大橋全長(zhǎng)920多米，其中主橋長(zhǎng)800米，小明在去年暑假乘次列車從北京到拉薩游玩，小明為了探究次列車的長(zhǎng)度與速度，記錄了以下兩個(gè)數(shù)據(jù)：（1）火車完全在主橋上的時(shí)間為35秒．（2）火車上主橋到完全通過主橋用了45秒．知道這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，小明就會(huì)算出了次列車的長(zhǎng)度與速度嗎？【變式1】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期中）已知A、B兩碼頭之間的距離為，一艘船航行于A、B兩碼頭之間，順流航行需3小時(shí)；逆流航行時(shí)需6小時(shí)，求船在靜水中的速度及水流的速度？【變式2】（23-24八年級(jí)上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）小紅家離學(xué)校1880米，其中有一段為上坡路，另一段為下坡路．她跑步去學(xué)校共用10分鐘，已知小紅在上坡路上的平均速度是4.8千米/時(shí)，而她在下坡路上的平均速度是12千米/時(shí)，小紅上坡、下坡各用多少時(shí)間？【變式3】（23-24七年級(jí)下·重慶黔江·期中）今年“五一黃金周”，長(zhǎng)江三峽沿途旅游再一次風(fēng)靡全國(guó)，其中忠縣石寶寨風(fēng)景區(qū)更是人山人海．“聯(lián)盟號(hào)豪華旅游客輪”在相距約270千米的重慶、石寶寨兩地之間勻速航行，從重慶到石寶寨順流航行需9小時(shí)，石寶寨到重慶逆流航行比順流航行多用4.5小時(shí)．(1)求該客輪在靜水中的速度和水流速度；(2)重慶某廠接到一筆1500盒旅游紀(jì)念品訂單，需要在15天內(nèi)完成并送與游客，已知該種紀(jì)念品禮盒里有4個(gè)正方形紀(jì)念幣和4個(gè)半圓形紀(jì)念幣．工廠現(xiàn)在有100名工人，每人每天能加工9個(gè)正方形紀(jì)念幣或6個(gè)半圓形紀(jì)念幣，但每人一天只能加工一種紀(jì)念幣，工廠每天加工的正方形紀(jì)念幣和半圓形紀(jì)念幣數(shù)量正好全部配套．工廠每天能生產(chǎn)多少盒紀(jì)念品禮盒？【題型5二元一次方程組的應(yīng)用之工程問題】例題：（24-25七年級(jí)上·四川成都·開學(xué)考試）一家工廠里2個(gè)男工和4個(gè)女工一天可加工全部零件的8個(gè)男工和10個(gè)女工一天內(nèi)可加工完全部零件．如果把單獨(dú)讓男工加工和單獨(dú)讓女工加工進(jìn)行比較，要在一天內(nèi)完成任務(wù)，女工要比男工多多少人？【變式1】（23-24七年級(jí)下·福建廈門·期末）某快遞公司為了提高工作效率，計(jì)劃購買，兩種型號(hào)的機(jī)器人來搬運(yùn)貨物．已知臺(tái)型機(jī)器人和臺(tái)型機(jī)器人每小時(shí)共搬運(yùn)貨物千克，臺(tái)型機(jī)器人和臺(tái)型機(jī)器人每小時(shí)共搬運(yùn)貨物千克．求每臺(tái)型機(jī)器人和每臺(tái)型機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)貨物多少千克？【變式2】（22-23七年級(jí)下·湖北十堰·期末）穿越青海境內(nèi)的蘭新高速鐵路正在加緊施工．某工程隊(duì)承包了一段全長(zhǎng)1957米的隧道工程，甲、乙兩個(gè)班組分別從南北兩端同時(shí)掘進(jìn)，已知甲組比乙組每天多掘進(jìn)米，經(jīng)過6天施工，甲、乙兩組共掘進(jìn)57米．(1)求甲乙兩班組平均每天各掘進(jìn)多少米？(2)為加快工程進(jìn)度，通過改進(jìn)施工技術(shù)，在剩余的工程中，甲組平均每天比原來多掘進(jìn)米，乙組平均每天比原來多掘進(jìn)米．按此施工進(jìn)度，還需要多少天完成任務(wù)？【變式3】（23-24七年級(jí)下·山東聊城·期末）一家商店進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可以完成，需付費(fèi)用3480元．(1)求甲、乙裝修組工作一天，商店各需支付多少元費(fèi)用？(2)若裝修完后，商店每天可盈利200元，現(xiàn)有如下三種方式裝修：①甲單獨(dú)做；②乙單獨(dú)做；③甲乙合做，你認(rèn)為如何安排施工更有利于商店經(jīng)營(yíng)？說明理由．【題型6二元一次方程組的應(yīng)用之方案問題】例題：（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某4S店用120萬元購進(jìn)A，B兩種新能源汽車進(jìn)行銷售，這兩種汽車的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示，全部銷售后可獲毛利潤(rùn)16萬元．[毛利潤(rùn)（售價(jià)進(jìn)價(jià)）銷售量]AB進(jìn)價(jià)/（萬元/輛）1512售價(jià)/（萬元/輛）16.514(1)該4S店購進(jìn)A，B兩種新能源汽車各多少輛？(2)由于銷售狀況特別好，該4S店決定再用240萬元同時(shí)購進(jìn)A，B兩種新能源汽車（240萬元資金剛好用完且兩種汽車均購買），有哪幾種購買方案？【變式1】（24-25八年級(jí)上·山東德州·開學(xué)考試）某汽車銷售公司計(jì)劃購進(jìn)一批新能源汽車嘗試進(jìn)行銷售，據(jù)了解1輛型新能源汽車和3輛型新能源汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)55萬元；4輛型新能源汽車和2輛型新能源汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)120萬元．(1)求，兩種型號(hào)的新能源汽車每輛的進(jìn)價(jià)分別為多少萬元；(2)若該公司計(jì)劃正好用200萬元購進(jìn)以上兩種型號(hào)的新能源汽車（兩種型號(hào)的新能源汽車均購買），請(qǐng)你通過計(jì)算幫該公司求出全部的購買方案．【變式2】（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）“臍橙結(jié)碩果，香飄引客來”，贛南臍橙以其“外表光潔美觀，肉質(zhì)脆嫩，風(fēng)味濃甜芳香”的特點(diǎn)飲譽(yù)中外．現(xiàn)欲將一批臍橙運(yùn)往外地銷售，若用2輛A型車和1輛B型車載滿臍橙一次可運(yùn)走；用1輛A型車和2輛B型車載滿臍橙一次可運(yùn)走，現(xiàn)有臍橙，計(jì)劃同時(shí)租用A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿臍橙．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛A型車和1輛B型車都載滿臍橙一次可分別運(yùn)送多少噸?(2)請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案；(3)若1輛A型車需租金100元/次，1輛B型車需租金120元/次．請(qǐng)選出費(fèi)用最少的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．【變式3】（23-24七年級(jí)下·江蘇南通·期中）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車制造商開發(fā)了一款新能源汽車，計(jì)劃一年生產(chǎn)安裝360輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成安裝任務(wù)，工廠決定招聘部分新工人，他們經(jīng)過培訓(xùn)后也能獨(dú)立進(jìn)行新能源汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和3名新工人每月可安裝12輛新能源汽車；2名熟練工和5名新工人每月可以安裝22輛新能源汽車．(1)每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛新能源汽車？(2)如果工廠招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？(3)在（2）的條件下，工廠給安裝新能源汽車的每名熟練工人每月發(fā)放4000元的工資，給每名新工人每月發(fā)2400元的工資，那么工廠應(yīng)招聘多少名新工人，使新工人的數(shù)量多于熟練工，同時(shí)工廠每月支出的工資總額W（元）盡可能少？【題型7二元一次方程組的應(yīng)用之銷售、利潤(rùn)問題】例題：（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）某校為落實(shí)西寧市教育局“教育信息化行動(dòng)計(jì)劃”，搭建數(shù)字化校園平臺(tái)，需要購買一批電子白板和平板電腦，若購買臺(tái)電子白板和臺(tái)平板電腦共需萬元；購買3臺(tái)電子白板和4臺(tái)平板電腦共需萬元．(1)求電子白板和平板電腦的單價(jià)各是多少萬元？(2)結(jié)合學(xué)校實(shí)際，該校準(zhǔn)備購買電子白板和平板電腦共臺(tái)，其中電子白板不超過臺(tái)，某商家給出了兩種優(yōu)惠方案，方案一：電子白板和平板電腦均打九折；方案二：買臺(tái)電子白板，送臺(tái)平板電腦．若購買電子白板臺(tái)和平板電腦所需的費(fèi)用為（萬元），請(qǐng)根據(jù)兩種優(yōu)惠方案分別寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并分析該校應(yīng)選用哪種優(yōu)惠方案購買更省錢．【變式1】（23-24八年級(jí)下·遼寧本溪·開學(xué)考試）某商場(chǎng)購進(jìn)2022年冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩與冬殘奧會(huì)吉祥物雪容融兩種毛絨玩具共100個(gè)，共花去10000元，這兩種吉祥物毛絨玩具的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如下表：冰墩墩雪容融進(jìn)價(jià)（元/個(gè)）12070標(biāo)價(jià)（元/個(gè)）160100(1)求該商場(chǎng)冰墩墩和雪容融這兩種毛絨玩具分別購進(jìn)了多少個(gè)?(2)如果商場(chǎng)將冰墩墩毛絨玩具按標(biāo)價(jià)的9折出售，雪容融毛絨玩具按標(biāo)價(jià)的8折出售，那么商場(chǎng)將這兩種毛絨玩具全部售出后會(huì)獲利多少元?【變式2】（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）某學(xué)年計(jì)劃從商場(chǎng)批發(fā)帽子和手套獎(jiǎng)勵(lì)給部分同學(xué)，商場(chǎng)標(biāo)價(jià)，帽子單價(jià)是50元，手套單價(jià)為元，并且學(xué)年用于購進(jìn)帽子和手套的總金額相等．（一頂帽子為一件，一副手套為一件）．(1)第一次購進(jìn)的帽子和手套共件，求第一學(xué)年購買帽子和手套各多少件？(2)第二次購買時(shí)從商場(chǎng)得知，帽子件起售，超過件的部分每件打八折，不超過件的部分不予以優(yōu)惠；手套50件起售，超過50件的部分，每件優(yōu)惠2元，不超過50件的部分不予以優(yōu)惠，經(jīng)過學(xué)年統(tǒng)計(jì)，此次需購買帽子超過件，購買手套也超過50件，且第二次購買帽子和手套共件，則該學(xué)年第二次需準(zhǔn)備多少資金用來購買手套和帽子．【變式3】（24-25八年級(jí)上·福建福州·開學(xué)考試）古田水蜜桃有果大質(zhì)優(yōu)、色澤艷麗、汁多味甜三大特點(diǎn)．當(dāng)季是水蜜桃成熟的季節(jié)，市場(chǎng)上水蜜桃的銷量也與日俱增，某水蜜桃種植大戶為了能讓居民品嘗到物美價(jià)廉的水蜜桃，對(duì)總計(jì)1000斤的水蜜桃進(jìn)行打包優(yōu)惠出售，打包方式及售價(jià)如下：禮盒裝每箱8斤，售價(jià)100元；簡(jiǎn)易裝每箱18斤，售價(jià)180元．假如用這兩種打包方式恰好全部裝完這1000斤水蜜桃（箱數(shù)為整數(shù)且兩種方式至少各有一箱）．(1)若這批水蜜桃全部售完，銷售總收入10700元，請(qǐng)問禮盒裝共包裝了多少箱，簡(jiǎn)易裝共包裝了多少箱？(2)若水蜜桃種植大戶留下箱禮盒裝水蜜桃送人，其余水蜜桃全部售出，應(yīng)該如何分配兩種打包方式才能使銷售總收入達(dá)到11420元，求此時(shí)a的值．【題型8二元一次方程組的應(yīng)用之?dāng)?shù)字問題】例題：（24-25八年級(jí)上·重慶長(zhǎng)壽·階段練習(xí)）有一個(gè)兩位數(shù)，設(shè)它的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，已知十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為8，把十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字互換位置后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，新的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大18．(1)原來的兩位數(shù)為，新的兩位數(shù)為．（用含有x、y的代數(shù)式表示）(2)根據(jù)題意，求原來的兩位數(shù)．【變式1】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期中）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和為9，把這個(gè)兩位數(shù)加上16后，比十位數(shù)字大49，求這個(gè)兩位數(shù)？【變式2】（23-24九年級(jí)上·福建南平·期中）算盤起源于中國(guó)，算盤是我國(guó)的優(yōu)秀文化遺產(chǎn).以排列成串的算珠作為計(jì)算工具，成串算珠稱為檔，中間橫梁把上珠分為上、下兩部分，每個(gè)上珠代表5，每個(gè)下珠代表1，每串算珠從右至左依次代表十進(jìn)位值制的個(gè)位、十位、百位、千位、萬位數(shù)可以任意選定某檔為個(gè)位，不撥出空檔表示0．小華在百位撥了一顆上珠和一顆下珠，對(duì)小明說：我撥的三位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和等于百位上的數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差是4，請(qǐng)求出這個(gè)三位數(shù)，并回答怎樣在算盤上撥出十位數(shù)和個(gè)位數(shù)．【變式3】（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）對(duì)任意一個(gè)四位數(shù)n，如果千位與十位上的數(shù)字之和為9，百位與個(gè)位上的數(shù)字之和也為9，則稱n為“極數(shù)”．(1)請(qǐng)任意寫出兩個(gè)“極數(shù)”，；(2)猜想任意一個(gè)“極數(shù)”是否是的倍數(shù)，請(qǐng)說明理由；(3)如果一個(gè)正整數(shù)a是另一個(gè)正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．若四位數(shù)m為“極數(shù)”，記，則滿足是完全平方數(shù)的所有m的值是．【題型9二元一次方程組的應(yīng)用之幾何問題】例題：（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形展廳劃出三個(gè)形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形擺放水仙花，其示意圖如圖所示．求一個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．【變式1】（23-24六年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）某鐵器制品廠利用邊角余料加工出同樣大小的正方形鐵片張，長(zhǎng)方形鐵片張，長(zhǎng)方形鐵片的寬與正方形鐵片的邊長(zhǎng)相等（如圖）．如果將這些鐵片全部用于制作甲、乙兩種無蓋的長(zhǎng)方體鐵盒子，（每一種長(zhǎng)方體盒子都要同時(shí)用到正方形鐵片和長(zhǎng)方形鐵片）．(1)畫出甲、乙兩種鐵盒子的直觀圖．(2)問：可以做成甲、乙兩種鐵盒子各多少個(gè)？【變式2】（23-24七年級(jí)下·浙江金華·開學(xué)考試）某鐵件加工廠用如圖1所示的長(zhǎng)方形和正方形鐵片（長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等），加工成如圖2所示的豎式與橫式兩種無蓋的長(zhǎng)方體容器（加工時(shí)接縫材料不計(jì)）．(1)如果加工豎式容器與橫式容器各1個(gè)，那么共需要長(zhǎng)方形鐵片張，正方形鐵片張．(2)現(xiàn)有長(zhǎng)方形鐵片2017張，正方形鐵片1178張，如果加工成這兩種容器，剛好用完全部鐵片，那么加工的豎式容器、橫式容器各有多少個(gè)？【變式3】（24-25八年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，其中（，如果將原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各增加，得到的新長(zhǎng)方形的面積記為；如果將原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各減少，得到的新長(zhǎng)方形的面積記為．(1)求，；(2)如果，求將原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各增加后得到的新長(zhǎng)方形的面積；(3)如果用一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形和兩個(gè)面積為的長(zhǎng)方形恰好能拼成一個(gè)沒有縫隙沒有重疊的正方形，求的值．【題型10二元一次方程組的應(yīng)用之圖表問題】例題：（23-24七年級(jí)下·河北唐山·期中）某班數(shù)學(xué)課上采用小組積分制記錄同學(xué)們回答問題情況，上課前每組有20分的基本分，積分規(guī)則如下：①答錯(cuò)一次減x分；②答對(duì)一次加y分．下表是某堂課上記錄的兩個(gè)組得分情況：第一組第二組答錯(cuò)次數(shù)12答對(duì)次數(shù)79最終分?jǐn)?shù)4045(1)求x，y的值；(2)如果第三組答錯(cuò)3次，最終分?jǐn)?shù)是41，求出第三組答對(duì)多少次？【變式1】（23-24七年級(jí)下·河南新鄉(xiāng)·期中）某山區(qū)有若干名中學(xué)生、小學(xué)生因貧困失學(xué)需要捐助，資助一名中學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要a元，資助一名小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要b元．某校學(xué)生積極捐款，初中各年級(jí)學(xué)生捐款數(shù)額與其捐助貧困中學(xué)生和小學(xué)生人數(shù)的部分情況如下表：捐款數(shù)額/元資助貧困中學(xué)生人數(shù)/名資助貧困小學(xué)生人數(shù)/名七年級(jí)400024八年級(jí)420033九年級(jí)4000(1)求a，b的值；(2)當(dāng)?shù)卣逻_(dá)新政策給予補(bǔ)貼，秉持九年級(jí)學(xué)生捐多少補(bǔ)多少原則幫助貧困學(xué)生，與九年級(jí)學(xué)生的捐款總額恰好解決了剩余貧困中、小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用（中小學(xué)生均要資助），請(qǐng)求出政府和九年級(jí)學(xué)生的捐款總額可捐助的貧困中、小學(xué)生人數(shù)的所有方案．【變式2】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）某學(xué)?，F(xiàn)有甲種材料，乙種材料，制作A，B兩種型號(hào)的工藝品，用料情況如下表：需甲種材料需乙種材料1件A型工藝品1件B型工藝品(1)利用這些材料能制作A，B兩種型號(hào)的工藝品各多少件？(2)若每千克甲、乙兩種材料分別為8元和10元，問：制作A，B兩種型號(hào)的工藝品各需材料費(fèi)多少錢？【變式3】（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期中）某電器超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)為200元，170元的A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇．如表所示是近2周的銷售情況：（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨成本）銷售時(shí)段銷售數(shù)量銷售收入A種型號(hào)B種型號(hào)第一周351750元第二周4103000元(1)求A、B兩種型號(hào)電風(fēng)扇的銷售單價(jià)；(2)超市銷售完A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共25臺(tái)，能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1200元的目標(biāo)？請(qǐng)說明理由．(3)一家公司打算花費(fèi)4000元同時(shí)購買A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇若干臺(tái)，請(qǐng)你為該公司設(shè)計(jì)不同的購買方案．一、單選題1．（24-25七年級(jí)下·湖北武漢·期中）在文具店，若買個(gè)橡皮、支鉛筆共需元；若買個(gè)橡皮、支鉛筆共需元，則買一個(gè)橡皮和一支鉛筆共需（

）A．元 B．元 C．元 D．元2．（2025·四川達(dá)州·中考真題）《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，問牛和羊各值多少金？設(shè)每頭牛值x金，每只羊值y金，可列方程組為（

）A． B． C． D．3．（2025·黑龍江牡丹江·一模）學(xué)校為了開展球類活動(dòng)，準(zhǔn)備用元同時(shí)購買若干個(gè)籃球、足球、排球（三種球類都買），且購買的足球數(shù)量是的倍數(shù)．若籃球每個(gè)元，足球每個(gè)元，排球每個(gè)元，則該學(xué)校的購買方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種4．（24-25七年級(jí)下·浙江溫州·期中）某家具廠設(shè)計(jì)的餐桌椅套裝，1張桌子配4把椅子．該廠一天能生產(chǎn)桌子12張或椅子32把，決定用20天時(shí)間生產(chǎn)一批這樣的餐桌椅．如果要使生產(chǎn)的桌子和椅子正好配套，設(shè)安排x天生產(chǎn)桌子，y天生產(chǎn)椅子，根據(jù)題意可列方程組為（

）A． B．C． D．5．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）某車間共30名工人，每人每天平均能生產(chǎn)8張桌子或16把椅子，要求1張桌子配4把椅子，為了使每天生產(chǎn)的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人數(shù)分別為（

）A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人6．（24-25七年級(jí)下·河南南陽·期中）有一個(gè)兩位數(shù)，設(shè)它的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，已知十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為9，把十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字互換位置后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，新的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大27．則原來的兩位數(shù)為（

）A．27 B．36 C．45 D．637．（2025·湖北武漢·三模）一次越野跑中，當(dāng)小明跑了1600米時(shí)，小剛跑了1400米，小明、小剛在此后所跑的路程y（米）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則這次越野跑的全程是（

）A．2000米 B．2100米 C．2200米 D．2500米8．（24-25八年級(jí)上·陜西榆林·期末）如圖，用12塊形狀和大小均相同的小長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)寬是40的大長(zhǎng)方形，若設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，則可列方程組為（

）A． B． C． D．9．（2025·廣東深圳·一模）幻方的歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”，把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來，就是一個(gè)三階幻方如圖1所示，三階幻方的每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等，圖2是另一個(gè)未完成的三階幻方，則x與y的和為（

）A． B．2 C．4 D．二、填空題10．（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·開學(xué)考試）父親今年44歲，兒子今年16歲，當(dāng)父親的年齡是兒子的8倍時(shí)，父子的年齡和是歲．11．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）某工廠有名工人，每個(gè)工人每天能加工6個(gè)型零件或者3個(gè)型零件，其中某產(chǎn)品每套由4個(gè)型零件和3個(gè)型零件配套組成，現(xiàn)將工人分成兩組，每組分別加工一種零件，并要求每天加工的零件正好配套，現(xiàn)50天恰好完成1200套產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，則的值為．12．（2025·寧夏銀川·一模）如圖，三個(gè)大小相同的長(zhǎng)方形沿“橫—豎—橫”排列在一個(gè)長(zhǎng)為5，寬為4的大長(zhǎng)方形中，設(shè)每塊小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，可列方程組：．13．（2025年6月江西省撫州市六校九年級(jí)學(xué)業(yè)水平考試適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代經(jīng)典數(shù)學(xué)著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．書中記載：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，問大、小器各容幾何？”譯文：“今有大容器5個(gè)，小容器1個(gè)，總?cè)莘e為3斛；大容器1個(gè)，小容器5個(gè)，總?cè)莘e為2斛．問大、小容器的容積各是多少斛？”設(shè)大容器容積為斛，小容器容積為斛，則可列方程組為．14．（24-25七年級(jí)上·河南商丘·期末）兩組工人按計(jì)劃本月應(yīng)共生產(chǎn)680個(gè)零件，實(shí)際第一組超額、第二組超額完成了本月任務(wù)，因此比原計(jì)劃多生產(chǎn)118個(gè)零件，則本月原計(jì)劃第一組生產(chǎn)個(gè)零件、第二組生產(chǎn)個(gè)零件．15．（24-25九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）一批旅客決定分乘幾輛大汽車；并且要使每輛車有相同的人數(shù)．起先，每輛車乘坐22人，發(fā)現(xiàn)有一人坐不上車．若是開走一輛空車，那么所有的旅客剛好平均分乘余下的汽車．已知每輛車的載客量不能多于32人，則原有輛汽車，這批旅客有人．16．（24-25七年級(jí)下·陜西咸陽·期中）如圖，從標(biāo)注的圓圈開始，順時(shí)針方向按的規(guī)律（表示前一個(gè)圓圈中的數(shù)字，，是常數(shù)）轉(zhuǎn)換后得到下一個(gè)圓圈中的數(shù)，例如：從“”得，則標(biāo)注“？”的圓圈中的數(shù)是．17．（24-25七年級(jí)下·北京·期中）某商家將藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱共25個(gè)，搭配成三種盲盒各一個(gè)，其中盲盒中有3個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，5個(gè)多接口優(yōu)盤，1個(gè)迷你音箱；盲盒中藍(lán)牙耳機(jī)數(shù)量與迷你音箱數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤數(shù)量，并且藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比是3：2，盲盒中有1個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤，2個(gè)迷你音箱．若一個(gè)迷你音箱的成本是35元，盲盒成本是210元，盲盒成本是155元，則盲盒成本是元，一個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)與一個(gè)多接口優(yōu)盤的成本之和是元．（每種盲盒的成本是盒中所有藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本之和）18．（24-25七年級(jí)下·北京·期中）甲、乙、丙三人在A、B兩塊地植樹，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且僅在A地工作，乙每天植32棵且僅在B地工作，丙每天植30棵且每天可選擇在A地或B地植樹．（1）若甲和丙一起在A地植樹2天，之后A地剩余的植樹任務(wù)由甲單獨(dú)完成，甲還需要天完成；（2）若兩地從同一天開始植樹，且恰好在同一天完成，則丙在A地植樹的天數(shù)比在B地少天．三、解答題19．（24-25七年級(jí)下·重慶大足·階段練習(xí)）周末，小明和他爸爸來到環(huán)形場(chǎng)跑步鍛煉，繞環(huán)形場(chǎng)跑一圈的路程為400米．若兩人同時(shí)同地反向而跑，則經(jīng)過36s后首次相遇，若兩人同時(shí)同地同向而跑，則經(jīng)過180s后，爸爸首次從后面追上小明，問：小明和爸爸的速度各為多少？20．（24-25七年級(jí)下·福建漳州·期中）如圖所示，長(zhǎng)方形中放置6個(gè)形狀、大小都相同的小長(zhǎng)方形，其中，求小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬．

21．（2025·安徽淮北·二模）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，方程術(shù)是它的最高成就．其中記載：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙購物，每人出8錢，會(huì)多3錢；每人出7錢，又會(huì)差4錢，求人數(shù)、物價(jià)各是多少？22．（24-25七年級(jí)下·山東菏澤·期中）用輛型車和輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨噸；用輛型車和輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨噸．某物流公司現(xiàn)有噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用型車輛，型車輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)輛型車、輛型車載滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？(2)請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)出所有租車方案．23．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）海南某芒果種植基地為推進(jìn)智慧農(nóng)業(yè)，采用A、B兩款無人機(jī)協(xié)同噴灑生態(tài)農(nóng)藥．已知A型無人機(jī)每小時(shí)可噴灑12公頃，但電池續(xù)航為5小時(shí)；B型無人機(jī)每小時(shí)噴灑10公頃，續(xù)航可達(dá)6小時(shí)．某日，A、B兩型無人機(jī)共同完成一片芒果園的噴灑任務(wù)，總作業(yè)面積360公頃，且所有無人機(jī)累計(jì)飛行35小時(shí)．問：A、B兩款無人機(jī)各出動(dòng)多少架？24．（24-25九年級(jí)下·重慶·期中）列方程（組）或不等式（組）解決問題．2025年五一期間，重慶榮昌成為了全國(guó)熱門旅游城市，榮昌鹵鵝也漸漸成為了游客們的美食首選，鹵鵝可分為醬香和麻辣兩種口味．某鹵鵝專賣店第一次購進(jìn)了醬香味鹵鵝和麻辣味鹵鵝共40只，醬香味鹵鵝每只進(jìn)價(jià)18元，麻辣味鹵鵝每只進(jìn)價(jià)21元，醬香味鹵鵝每只售價(jià)23元，麻