15.3.2等邊三角形一．選擇題（共7小題）1．（2025春?中山市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD為斜邊AC上的中線．若∠A＝40°，則∠DBC＝（）A．40° B．45° C．50° D．55°2．（2025春?二七區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM的長(zhǎng)度是（）A．4 B．5 C．6 D．73．（2025春?金水區(qū)期末）如圖，從電線桿離地面4米處向地面拉一條鋼索，如果這條鋼索與地面的夾角為30度，那么鋼索的長(zhǎng)為（）A．4米 B．6米 C．43米 4．（2025春?盤(pán)龍區(qū)期末）如圖，一根木棍（AB）斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，若測(cè)得木棍（AB）長(zhǎng)為6米，且點(diǎn)P是木棍（AB）的中點(diǎn)，則O，P兩點(diǎn)間的距離為（）A．6米 B．5米 C．4米 D．3米5．（2025春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD＝∠CAD，DE是△ACD的中線，若BC＝18，AD＝12，則DE的長(zhǎng)為（）A．4 B．5.5 C．6 D．7.56．（2025春?天河區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠ECD＝50°，E是斜邊AB的中點(diǎn)，則∠A＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°7．（2025?浙江）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜邊AB上的中線，以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E．若AB＝2，則DE的長(zhǎng)為（）A．19π B．29π C．1136π 二．填空題（共5小題）8．（2025春?鶴山市期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC的垂直平分線分別交BC，AB于點(diǎn)D，F(xiàn)，AE⊥DF交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若DF＝1，則AE＝．9．（2025春?天府新區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以頂點(diǎn)C為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于B，D兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于12BD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E；③作射線CE交AB于點(diǎn)F．若∠A＝30°，BC＝4，則DF的長(zhǎng)為10．（2025春?桓臺(tái)縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，腰AB的垂直平分線與底邊BC交于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E，BD＝4cm，則邊BC的長(zhǎng)度為．11．（2025春?嶗山區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，以線段OC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OBC，在x軸上（C點(diǎn)右側(cè)）取一點(diǎn)D，使得CD＝OC，連接BD，BD＝6，以BD為邊在第一象限作等邊△ABD，且AD⊥x軸，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是．12．（2025春?西城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，點(diǎn)C和點(diǎn)D位于邊AB的同側(cè)，E為邊AB的中點(diǎn)．連接EC，ED，CD，若∠CED＝26°，則∠CDE＝°．三．解答題（共3小題）13．（2025春?東莞市期中）如圖，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E為AB的中點(diǎn)．求證：DE＝CE．14．（2025春?隆昌市校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F．（1）如果∠CFE＝70°，求∠B的度數(shù)；（2）試說(shuō)明：∠CEF＝∠CFE．15．（2025春?槐蔭區(qū)期中）已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，BE平分∠ABC，分別交CD、AC于點(diǎn)F、E．（1）試說(shuō)明∠A＝∠BCD；（2）若∠A＝30°，試著求出∠CEF的度數(shù)；（3）猜想∠CEF與∠CFE的數(shù)量關(guān)系：∠CEF∠CFE（填“＞”、“＜”或“＝”）．

15.3.2等邊三角形參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．（2025春?中山市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD為斜邊AC上的中線．若∠A＝40°，則∠DBC＝（）A．40° B．45° C．50° D．55°【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到BD=12AC＝AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠DBA，進(jìn)而求出∠【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD為斜邊AC上的中線，則BD=12AC＝∴∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝90°﹣40°＝50°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟記在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．2．（2025春?二七區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM的長(zhǎng)度是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】推理能力．【答案】B【分析】過(guò)P作PQ⊥MN，利用三線合一得到Q為MN中點(diǎn)，求出MQ的長(zhǎng)，在Rt△OPQ中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出OQ的長(zhǎng)，由線段的和差即可求出OM的長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)P作PQ⊥MN，∴∠OQP＝90°，∵PM＝PN，MN＝2，∴MQ＝NQ＝1，∵∠AOB＝60°，∴∠OPQ＝30°，∵OP＝12，∴OQ=1則OM＝OQ﹣QM＝5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．3．（2025春?金水區(qū)期末）如圖，從電線桿離地面4米處向地面拉一條鋼索，如果這條鋼索與地面的夾角為30度，那么鋼索的長(zhǎng)為（）A．4米 B．6米 C．43米 【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí)．【答案】D【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，∵C＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2×4＝8（米），答：鋼索的長(zhǎng)為8米，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2025春?盤(pán)龍區(qū)期末）如圖，一根木棍（AB）斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，若測(cè)得木棍（AB）長(zhǎng)為6米，且點(diǎn)P是木棍（AB）的中點(diǎn)，則O，P兩點(diǎn)間的距離為（）A．6米 B．5米 C．4米 D．3米【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】連接OP，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：如圖，連接OP，在Rt△AOB中，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，則OP=12AB故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．5．（2025春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD＝∠CAD，DE是△ACD的中線，若BC＝18，AD＝12，則DE的長(zhǎng)為（）A．4 B．5.5 C．6 D．7.5【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】判定△ABC是等腰三角形，推出CD=12BC＝9，由勾股定理求出AC＝15，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到DE=【解答】解：∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴CD＝BD=12BC∵AD＝12，∴AC=A∵DE是△ACD的中線，∴DE=12故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)推出CD＝BD，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到DE=126．（2025春?天河區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠ECD＝50°，E是斜邊AB的中點(diǎn)，則∠A＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出CE＝AE，得到∠A＝∠ACE，求出∠CED＝90°﹣∠DCE＝40°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠A=12∠【解答】解：∵∠ACB＝90°，E是斜邊AB的中點(diǎn)，∴CE=12∴CE＝AE，∴∠A＝∠ACE，∵CD⊥AB，∴∠CDE＝90°，∴∠CED＝90°﹣∠DCE＝90°﹣50°＝40°，∵∠A+∠ACE＝∠CED，∴∠A=12∠故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊的中線，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出CE＝AE．7．（2025?浙江）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜邊AB上的中線，以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E．若AB＝2，則DE的長(zhǎng)為（）A．19π B．29π C．1136π 【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出CD＝AD，得到∠ACD＝∠A＝35°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠CDE＝70°，由等腰三角形的性質(zhì)推出∠CED＝∠CDE＝70°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠DCE＝40°，求出CD=12×【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴CD=12∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝35°，∴∠CDE＝∠A+∠ACD＝70°，由題意知：CD＝CE，∴∠CED＝∠CDE＝70°，∴∠DCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵AB＝2，∴CD=1∴DE的長(zhǎng)=40π×1180故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊的中線，弧長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出CD＝AD，掌握弧長(zhǎng)公式．二．填空題（共5小題）8．（2025春?鶴山市期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC的垂直平分線分別交BC，AB于點(diǎn)D，F(xiàn)，AE⊥DF交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若DF＝1，則AE＝3．【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】3．【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出BF，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AE＝CD，再根據(jù)線段垂直平分線的概念解答．【解答】解：在Rt△BDF中，∠B＝30°，DF＝1，則BF＝2DF＝2，由勾股定理得：BD=B∵∠C＝90°，AE⊥DF，ED⊥CD，∴四邊形ACDE為矩形，∴AE＝CD，∵DF是BC的垂直平分線，∴CD＝BD，∴AE＝BD=3故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟記在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．9．（2025春?天府新區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以頂點(diǎn)C為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于B，D兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于12BD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E；③作射線CE交AB于點(diǎn)F．若∠A＝30°，BC＝4，則DF的長(zhǎng)為【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】2．【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖得到EC是線段BD的垂直平分線，得到BF＝DF，CF⊥BD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BCF＝30°，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：由尺規(guī)作圖可知：EC是線段BD的垂直平分線，∴BF＝DF，CF⊥BD，∵∠A＝30°，∴∠ACF＝90°﹣30°＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＝30°，∴BF=12∴DF＝F＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．10．（2025春?桓臺(tái)縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，腰AB的垂直平分線與底邊BC交于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E，BD＝4cm，則邊BC的長(zhǎng)度為12cm．【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】12cm．【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠B＝∠C＝30°，再利用線段的垂直平分線的性質(zhì)可得DA＝DB＝4cm，從而可得∠BAD＝∠B＝30°，進(jìn)而可得∠CAD＝90°，然后在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得CD＝8cm，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=180°?∠BAC∵DE是AB的垂直平分線，∴DA＝DB＝4cm，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°，∴CD＝2AD＝8（cm），∴BC＝CD+BD＝12（cm），故答案為：12cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．11．（2025春?嶗山區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，以線段OC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OBC，在x軸上（C點(diǎn)右側(cè)）取一點(diǎn)D，使得CD＝OC，連接BD，BD＝6，以BD為邊在第一象限作等邊△ABD，且AD⊥x軸，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（43，6）．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】平面直角坐標(biāo)系；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（43，6）．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得到OB＝OC＝BC，∠OBC＝∠OCB＝60°，因此OD＝2OB，BC＝CD，得到∠CBD＝∠CDB，由三角形的外角性質(zhì)求出∠CBD=12∠OCB＝30°，得到∠OBD＝90°，由勾股定理得到4OB2﹣OB2＝62，求出OB＝23，OD＝2OB＝43，由等邊三角形的性質(zhì)得到AD＝BD＝6，即可得到【解答】解：∵△OBC是等邊三角形，∴OB＝OC＝BC，∠OBC＝∠OCB＝60°，∵CD＝OC，∴OD＝2OB，BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠CBD+∠CDB＝∠OCB＝60°，∴∠CBD=12∠∴∠OBD＝∠OBC+∠CBD＝90°，∴OD2﹣OB2＝BD2，∴4OB2﹣OB2＝62，∴OB＝23（舍去負(fù)值），∴OD＝2OB＝43，∵△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD＝6，∵AD⊥x軸，∴A的坐標(biāo)是（43，6）．故答案為：（43，6）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理求出OB的長(zhǎng)．12．（2025春?西城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，點(diǎn)C和點(diǎn)D位于邊AB的同側(cè)，E為邊AB的中點(diǎn)．連接EC，ED，CD，若∠CED＝26°，則∠CDE＝77°．【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】77．【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出CE=12AB，DE=12AB，得到CE＝DE，推出∠CDE【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E為邊AB的中點(diǎn)，∴CE=12AB，DE=∴CE＝DE，∵∠CED＝26°，∴∠CDE＝∠DCE=1故答案為：77．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出CE＝DE．三．解答題（共3小題）13．（2025春?東莞市期中）如圖，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E為AB的中點(diǎn)．求證：DE＝CE．【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】證明見(jiàn)解析．【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出DE=12AB，CE=12AB，即可證明【解答】證明：∵AD⊥BD，AC⊥BC，∴∠ADB＝∠BCA＝90°，∵E為AB的中點(diǎn)，∴DE=12AB，CE=∴DE＝CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊的中線，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半．14．（2025春?隆昌市校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F．（1）如果∠CFE＝70°，求∠B的度數(shù)；（2）試說(shuō)明：∠CEF＝∠CFE．【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）50°；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠CAF的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得∠CAB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠B的度數(shù)；（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得∠CAF+∠CFE＝90°，∠DAE+∠AED＝90°，根據(jù)角平分線的定義可得∠CAF＝∠DAE，從而可得∠CFE＝∠AED，即可得證．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠CFE＝70°，∴∠CAF＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∵AF平分∠CAB交CD于E，∴∠CAB＝2∠CAF＝40°，∴∠B＝90°﹣40°＝50°；（2）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠C