???三年（2023-2025）中考真題分類匯編

專題05二次函數(shù)解答壓軸題

考點01函數(shù)中最值問題

1.（2024?四川樂山?中考真題）已知二次函數(shù)尸9-泰（-1〈工金-1）,當戶-1時，函數(shù)取得最大值；當x=l

時，函數(shù)取得最小值，則/的取值范圍是（）

A.0<r<2B.0<r<4C.2<r<4D.t>2

2.（2024?四川眉山?中考真題）定義運算：a?b=（a+2b）（a-b）,例如433=（4+2x3）（4-3）,則函數(shù)

y=（x+l慮2的最小值為（）

A.-21B.-9C.-7D.-5

3.12023?四川樂山?中考真題）如圖，在平面直角坐標系X。'，中，直線y=-4-2與X軸、），軸分別交于A、

8兩點，C、。是半徑為1的4上兩動點CQ=&,且，戶為弦CO的中點.當C、。兩點在圓上運動時,

4.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，M的圓心為M（4,0）,半徑為2,P是直線=x+4上的一個動點,

過點P作M的切線，切點為Q,則PQ的最小值為

,y=x+4

Q

Ox

5.（2023?四川自貢?中考真題）如四，直線），=-；工+2與x軸，），軸分別交于A,8兩點，點。是線段A8上

?

4z,

一動點，點少是直線丁=一針+2上的一動點，動點七（/",0）,尸（/〃+3,0）,連接8HDF,HD.當BE+DF

取最小值時，3M+5O”的最小值是

考點02函數(shù)圖象中相關(guān)求解

1.（2023?四川資陽?中考真題）如圖，在平行四邊形A8CO中，ZD=120°,AO=26厘米，AB=4百厘米，

點P從點。出發(fā)以每秒石厘米的速度，沿3-C-8-4在平行四邊形的邊上勻速運動至點A.設(shè)點。的

運動時間為f秒，ZW/的面積為$平方厘米，下列圖中表示$與f之間函數(shù)關(guān)系的是（）

2.（2023?四川攀枝花?中考真題）如圖，正方形A6C。的邊長為4,動點〃從點8出發(fā)沿折線SCD4做勻速

運動，設(shè)點尸運動的路程為％,一%“的面積為）'，下列圖象能表示V與x之間函數(shù)關(guān)系的是［）

3.（2023?四川?中考真題）向高為10的容器（形狀如圖）中注水，注滿為止，則水深。與注水量y的函數(shù)關(guān)

4.（2023?四川遂寧?中考真題）如圖,在VA8C中,AB=1O,BC=6,AC=8,點尸為線段A5上的動點,

以每秒1個單位長度的速度從點4向點B移動，到達點8時停止.過點P作丁點M、作

于點N,連接MN,線段MN的長度），與點P的運動時間/（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點

E的坐標為（）

直到把容器注滿.在注水過程中，容器內(nèi)

水面高度力隨時間/變化的大致圖象是（）

6.（2024?四川廣安?中考真題）向如圖所示的空容器內(nèi)勻速注水，從水剛接觸底部時開始計時，直至把容器

注滿.在注水過程中，設(shè)容器內(nèi)底部所受水的壓強為（單位：帕），時間為x（單位：秒），則V關(guān)于1的

函數(shù)圖象大致為（）

7.（2023?四川廣安?中考真題）為了降低成本，某出租車公司實施了“油改氣”措施.如圖，,、為分別表示

燃油汽車和燃氣汽車所需費用）’（單位：元）與行駛路程S（單位：千米）的關(guān)系，已知燃油汽車每千米所

需的費用比燃氣汽車每千米所需的費用的3倍少0.1元，設(shè)燃氣汽車每千米所需的費用為工元，則可列方程

為（）

2510「2510〃2510n2510

x3x-0.1x3x+0.13x+0.1x3x-0.1x

8.（2023?四川自貢?中考真題）如圖1,小亮家、報亭、羽毛球館在一條直線上.小亮從家跑步到羽毛球館打

羽毛球，再去報亭看報，最后散步I可家.小亮離家距離），與時間上之間的關(guān)系如圖2所示.下列結(jié)論錯誤的

是（）

小亮家?報亭一羽毛球館

圖1

A.小亮從家到羽毛球館用了7分鐘B.小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米

C.報亭到小亮家的距離是4c。米D.小亮打羽毛球的時間是37分鐘

9.（2024?四川廣元?中考真題）如圖①，在VA8C中，ZAC8=90。，點尸從點A出發(fā)沿A-C-8以1cm/s

的速度勻速運動至點以圖②是點尸運動時，人的面積），（cn?）隨時間x（Q變化的函數(shù)圖象，則該三

角形的斜邊A8的長為（）

A.5B.7C.3&D.2G

10.（2025?四川成都?中考真題）小明從家跑步到體育館，在那里鍛煉了?段時間后又跑步到書店買書，然

后步行回家（小明家、書店、體育館依次在同一直線上），如圖表示的是小明離家的距離與時間的關(guān)系.下

列說法正確的是（）

A距離/km

A.小明家到體育館的距離為2kmB.小明在體育館鍛煉的時間為45min

C.小明家到書店的距離為1kmD.小明從書店到家步行的時間為40min

考點03二次函數(shù)中多結(jié)論問題

1.（2023?四川成都?中考真題）如圖，二次函數(shù)），=亦2+.?6的圖象與x軸交于4-3,0）,〃兩點，下列說

法正確的是（）

B.拋物線的頂點坐標為（-；,-6

A.拋物線的對稱軸為直線x=l

C.A,3兩點之間的距離為5D.當x<T時，y的值隨工值的增大而增大

2.（2023?四川涼山?中考真題）已知拋物線），=加+加+c（"O）的部分圖象如圖所示，則卜列結(jié)論中正確

4a-2b+c<0C.3a+c=0D.am2+bm+a<()(加為實數(shù))

3.（2023?四川達州?中考真題）如圖，拋物線》，=辦2+法+。（a,4。為常數(shù)）關(guān)于直線x=l對稱.下列五個

結(jié)論：?abc>0；②%+Z?=0；③4a+2/?+c>0；?am~+bm>a+b:⑤3a+c>0.其中正確的有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

4.（2023?四川資陽?中考真題）如圖，拋物線產(chǎn)加+區(qū)+。（。/0）的對稱軸為直線式=-2,月.過點（1,0）.現(xiàn)

有以下結(jié)論：①而c<0；②5a+c=0；③對于任意實數(shù)，〃，都有助+罰"44〃-卬〃2；④若點人年方）,8（七功）

是圖象上任意兩點，且|4+2|<歸+2],則ye%，其中正確的結(jié)論是（）

C.①②④D.①②③④

5.（2Q23?四川雅安?中考真題）如圖，二次函數(shù)），=?2+尿+。的圖象與x軸交于A（-2,0）,B兩點、,對稱軸

是直線x=2,下列結(jié)論中，①。>（）：②點8的坐標為（6,0）；③c=3b：④對于任意實數(shù)次，都有

4a+2b2am'+brn>所有正確結(jié)論的序號為（

C.②③④D.③④

6.（2023?四川?中考真題）已知拋物線），=以2+瓜+。（。，b,。是常數(shù)且avO）過㈠⑼和（〃叫兩點，

月.3<m<4,下列四個結(jié)論：?abc>0；②3a+c>0；③若拋物線過點（1,4）,則一1<。<-（；④關(guān)于工的

方程。（x+l）（x-〃?）=3有實數(shù)根，則其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.（2023?四川樂山?中考真題）如圖，拋物線y=o?+加+,經(jīng)過點\（一1,0）、8（弧0）,且1<相<2,有下列

結(jié)論：①〃<0；②〃+/?>（）；③o<a<-c；④若點CEAJDG，%）在拋物線上，則）1>為.其中，正

確的結(jié)論有（）

A.4個B.3個C.2個D.I個

8.12023?四川眉山?中考真題）如圖，二次函數(shù)〉=加+瓜+4〃=0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（1,0）,

對稱軸為直線x=-l,下列四個結(jié)論：①曲cvO；?4a-2b+c<0；③3a+c=0；④當一3c<1時，

加+尿+c<0：其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

C.3個D.4個

9.（2。23?四川巴中?中考真題）在平面直角坐標系中，直線沖公用與拋物線尸臺交于A、3兩點，設(shè)

4（%，）1），W%,%）則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）

②弘+%=4/+2,

③當線段/W長取最小值時，貝IJVAO8的面枳為2

④若點N(0,-1),則AN_L3N

A.1B.2C.3D.4

10.（2023?四川遂寧?中考真題）拋物線尸加+加+c（〃w0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線工=-2.下列

說法：①而c<0；②c=為>0；③4a2-2心磯”+b）（，為全體實數(shù)）：④若圖象上存在點A（XQJ和點

8小?）,當〃?<內(nèi)</〃+3時?滿足y二晃，則〃7的取值范圍為-5vmv-2?其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

11.（2023?四川廣安?中考真題）如圖所示，二次函數(shù)尸以2+a+以小〃、。為常數(shù)，"0）的圖象與x軸交

于點A（-3,0）,8（1,0）.有下列結(jié)論：①人>0；②若點（-2,%）和（-0.5,%）均在拋物線上,則X<K；③

5a-/?+c=0；④d+c>0.其中正確的有（）

C.3個D.4個

12.（2024?四川雅安?中考真題）已知一元二次方程⑷2十分十c=0有兩實根玉=-1，巧=3,且a兒>0,則

下列結(jié)論中正確的有（）

①2。+/?=0；②拋物線y=加+%x+c的頂點坐標為（1,寺）；

③”0；④若m（am+b）<4ci+2J）,則0</〃<1.

A.1個B.2個C.3個D.4個

13.（2024?四川?中考真題）一次函數(shù)），二a「十法十c（a>0）的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①c<0；②

-3>0；③當—I<xv3時，y<0.其中所有正確結(jié)論的序號是（）

2ci

外

\-11

A.①②B.①③C.②③D.①②③

14.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知拋物線），=?+以+c過點C（0,-2）與工軸交點的橫坐標分別為4,

々，且T<X<。，2<x2<3,見下列結(jié)論：

①a-/?+cvO：

②方程/+公+c+2=0有兩個不相等的實數(shù)根;

③4+。>0：

2

⑤Uac>4/.其中正確的結(jié)論有（）

2個C.3個D,4個

15.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，二次函數(shù)）'=奴2+?+c（awO）的圖象與x軸交于點A（3,0）,與），軸

交于點3,對稱軸為直線x=l,下列四個結(jié)論：①反?<（）；②為+勿<0：③+④若-2<c<-l,

)

3個D.4

16.（2（）24?四川廣安?中考真題）如圖，二次函數(shù)），=o?+/次+c（a,b,c為常數(shù)，。工0）的圖象與x軸

x=-1,有以下結(jié)論：①油cYO；②若點（T,）［）和點（2,%）都在拋物線

交于點對稱軸是直線

（機為任意實數(shù)）；④3〃+4c=0.其中正確的有（）

C.3個D.4個

17.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖,拋物線尸加+加+《4<0）的圖象交x軸于點4（-3,0）、8（1,0）,

交y軸于點C以下結(jié)論：①。+》+c=0：②〃+勸+2c,<0：③當以點A、8、。為頂點的三角形是等腰三

角形時''S④當一時，在內(nèi)有一動點R若。P=2,則的最小值為亨.其中

C.3個D.4個

,已知拋物線丁=0^+法（。、從。為常數(shù)，且。工0）的對稱軸為

直線x=-l,且該拋物線與X軸交于點A（LO）,與y軸的交點B在（0,-2）,（0,-3）之間（不含端點），則下列

①abc>0：

②9〃一切+cN0；

--)

③二<a<1；

3

④若方程小2+bx+c=x+l兩根為/〃("?<〃)，則一3<〃?<1<〃.

A.1B.2C.3D.4

19.（2025?四川樂山?中考真題）已知二次函數(shù)y=f+4.r+〃?的圖象經(jīng)過A（XQJ、兩點，有下列

結(jié)論：

①二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線x=-2；

②當機＜4時，二次函數(shù)的圖象與1軸有兩個交點；

③若）\＜力，則用+2|＞|%+2|；

④當3之一2時，二次函數(shù)的圖象與y=2x-l的圖象有兩個交點，則一1工，〃＜（）.

其中，正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

20.（2025?四川宜賓?中考真題）如圖，。是坐標原點，已知二次函數(shù)）'=?！?/”+。（。工0）的圖象與x軸交

于A、C兩點,與），軸交于8點，頂點為。，對稱軸為宜線x=—2,其中A（2,0）,8（（）,c）,且—3＜c＜—2.以

下結(jié)論：①出七＞0；②③,A8是鈍角三角形；④若方程aF+（b-2）x+c=0的兩根為為、

占（內(nèi)＜&），則一2c王〈4—2J7,6＜赴＜4+2々.其中正確結(jié)論有（）

21.（2025?四川德陽?中考真題）已知拋物線），=加+法+c（小〃，。是常數(shù)，?＞0）過點（L0）,（〃?,0）,且

2＜/H＜3,該拋物線與直線＞（A,。是常數(shù)，攵工0）相交于4（不乂）,8（電,%）兩點（點、A在點B

左側(cè)）.下列說法：①加*＜（）；②3。+〃＞0：③點4是點A關(guān)于直線x=-2的對稱點，貝l」3vA4'v4；④

2a

當電=4時，不等式a「+s—&）］＜（）的解集為0＜工＜4.其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

22.（2025?四川眉山?中考真題）如圖1,在RlZ\A8C中，NC=90。，點。在4c上，CO=0,動點P在

「△ABC的邊上沿Cf8—A方向以每秒I個單位長度的速度勻速運動，到達點A時停止，以O(shè)P為邊作

正方形D產(chǎn)EF.設(shè)點尸的運動時間為/秒，正方形。陽■的面積為S.當點F由點6運動到點A時，如圖2,

S是關(guān)于/的二次函數(shù).在3個時刻乙，4,4（乙＜，2＜4）對應的正方形8廝的面積均相等.下列4個結(jié)論：

①當/=1時，5=3；②點。在線段3A上時S=2『-⑹+34；③4）=4夜；④4+4=4.其中正確結(jié)論的

個數(shù)為（）

C.3個D.4個

23.（2025?四川廣安?中考真題）如圖，二次函數(shù)），=。/+法+。（小Ac?為常數(shù)，"0）的圖象交x軸于

A,8兩點，點A的坐標是點8的坐標是（〃.0）,有下列結(jié)論：?abc<0；②々/+c>2Z?；③關(guān)于x

的方程加+bx+c=0的解是菁=-1,匕=〃；④—二其中正確的有（）

2a2

A.1個B.2個C.3個D.4個

24.（2025?四川遂寧?中考真題）如圖，己知拋物線y-ad+m+c（小反。為常數(shù)，且々*0）的對稱軸是

直線x=l,且拋物線與1軸的一個交點坐標是（4,0）,與曠軸交點坐標是（0,〃?）且2<〃?<3.有下列結(jié)論：

①阪:<0；②9。-3〃+c>0；③：<）力大伍<彳；④關(guān)于大的一元二次方程ad+0-1卜+。-2二。必有兩個

4'8

不相等實根；⑤若點4號）[），85,），2）,。（七,丹）在拋物線產(chǎn)以2+6+。上，且

3

n<x]<n+\<x2<n+2<x3<n+3,當時，則〃的取值范圍為一§<，?<。.其中正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

25.（2025?四川涼山?中考真題）二次函數(shù)），=?+公+c的部分圖像如圖所示，其對稱軸為x=2,且圖像經(jīng)

過點（6,0）,則下列結(jié)論錯誤的是（）

B.4a+b=0

C.若ax；+g=or；+%/且X*x2，則X+々=4

D.若（-Lx）,*,%）兩點都在拋物線）=后+加+c的圖像上，則必?！?/p>

26.（2025?四川達州?中考真題）如圖，拋物線），=加+法+《亦0）與x軸交于點41.0）,點次3,0）,下列結(jié)

論：?abc<0：②4。+6=0；?b~-4?c>0；?a-b+c>0.正確的個數(shù)為（）

27.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，拋物線尸爾+版+c經(jīng)過點A（-3,0）,頂點為M（Tm）,且拋物線

與了軸的交點B在（0,-2）和（0,-3）之間（不含端點），則下列結(jié)論：

①當一34x41時，y<0;

②當.ABM的面積為些時，?=—；

22

③當二A8W為直角三角形時，在VAOA內(nèi)存在唯一點P,使得PA+PO+PA的值最小，最小值的平方為

18+9技

其中正確的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

考點04函數(shù)中定義新運算問題

3x+l（x為奇數(shù)）

1.（2025?四川內(nèi)江?中考真題）對于正整數(shù)M規(guī)定函數(shù)/"）=1/一,以、.在平面直角坐標系中，將

為偶數(shù)）

點（機,〃）中的加，〃分別按照上述規(guī)定，同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標（其中，〃，〃均為正整數(shù)）.例

如，點（8,5）經(jīng)過第1次運算得到點（4,16）.經(jīng)過第2次運算得到點（2,8）,經(jīng)過第3次運算得到點（1,4）,經(jīng)

過有限次運算后，必進入循環(huán)圈，按上述規(guī)定，將點（2,1）經(jīng)過第2025次運算后得到點是（：

A.（2,1）B.（4,2）C.（1,2）D.（1,4）

2.（2024?四川廣元?中考真題）若點。"/）滿足一+,=:,則稱點。為“美好點”，寫出一個“美好點”的坐

標.

3.（2024?四川樂山?中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數(shù)圖象

的“近軸點例如，點（0」）是函數(shù)），=工+1圖象的“近軸點

（1）下列三個函數(shù)的圖象上存在"近軸點''的是（填序號）；

2

@y=-x+3；@y=-；?y=-x*12+3452x-\.

x

（2）若一次函數(shù)丁=〃a-3〃7圖象上存在“近軸點”，則機的取值范圍為.

4.（2023?四川樂山?中考真題）定義：若x,y滿足f=4y+“2=4x+r且工=94為常數(shù)）,則稱點

為“和諧點”.

（1）若尸⑶，〃）是“和諧點”，則加=.

（2）若雙曲線丁二々-3</<-1）存在“和諧點”，則攵的取值范圍為.

X

5.（2023?四川巴中?中考真題）規(guī)定：如果兩個函數(shù)的圖象關(guān)于），軸對稱，那么稱這兩個函數(shù)互為“Y函數(shù)”.例

如：函數(shù)k"3與），=r+3互為“Y函數(shù)”.若函數(shù)尸52+代-1）"“-3的圖象與x軸只有一個交點,

則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標為

考點05函數(shù)中規(guī)律探索類問題

1.（2023?四川達州?中考真題）如斗四邊形ABC。是邊長為今的正方形，曲線力八圈。。人…是由多段90。

的圓心角的圓心為C,半徑為。4；CQ的圓心為。，半徑為ZX；,?,￡相、4勺、8?、0。1?,的圓心依次為

4B、C、。循環(huán)，則4皿1沖的長是（)

2023萬

D.20224

2.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，軸，垂足為點8,將-A3。繞點A逆時

針旋轉(zhuǎn)到V4B。的位置，使點B的對應點落在直線k-%上,再將VAB。繞點B,逆時針旋轉(zhuǎn)到一44a

的位置，使點。的對應點。2也落在直線y=上，如此下去......若點B的坐標為（0,3）,則點鳥,的

A.（180.135）B.（180,133）C.（-180,135）D.（-180,133）

3.（2023?四川廣安?中考真題）在平面直角坐標系中，點A、4、4、4…在工軸的正半軸上，點％與、/…

在直線y=^x（x20）上，若點A的坐標為（2,0）,且44與&、△A//,、△A/H…均為等邊三角形.則

3

點^2023的縱坐標為

4.（2024?四川廣安?中考真題）已知，直線/:y=^x-由與九軸相交于點A，以。4為邊作等邊三角形

33

點4在第一象限內(nèi)，過點4作x軸的平行線與直線/交于點&,與y軸交于點G，以G4為邊作等邊三角

形G&用（點層在點用的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形GA聲，等邊三角形自一，則點4。24

5.（2025?四川德陽?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，A（2,o）,網(wǎng)0,2行），點c在直線〃?："近4_述

33

上，且AC=3,連接A3,BC,將VA4C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△A8C，點H的對應點與落在直線〃?上,

再將△AB|G繞點4順時針旋轉(zhuǎn)到點4的對應點A2也落在直線機上.如此下去，…，則片附的縱

6.（2025?四川眉山?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，用12個以點O為公共頂點的相似三角形組成

形如海螺的圖案，若OA=I,NQA8=9（r,則點G的坐標為

考點06二次函數(shù)綜合中定值問題

1.(2023?四川綿陽?中考真題)如圖，拋物線經(jīng)過△AOQ的三個頂點，其中。為原點，4(2,4),0(6,0),

點F在線段AO上運動，點G在直線上方的拋物線上，GF\AO,GE上DO于點、E,交AD于點J,AH

平分NOW,C(2,4),/V/J.C〃于點〃，連接產(chǎn)”.

(1)求拋物線的解析式及△AOD的面積；

(2)當點尸運動至拋物線的對稱軸卜.時，求.人"7的面積；

(3)試探究要的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請說明理由.

2.(2023?四川?中考真題)如圖1,在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)丁=辦2+隊+4的圖象與x軸交于點

A(-2,0),8(4,0),與y軸交于點C.

⑴求拋物線的解析式；

（2）已知E為拋物線上一點，尸為他物線對稱軸/上一點，以8,E,尸為頂點的三角形是等腰直角三角形,

且N8莊=90。，求出點尸的坐標；

（3）如圖2,『為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接AP交）'軸于點M,連接3尸并延長交V軸于點N,在點P運

動過程中，OM+goN是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

3.（2023?四川南充?中考真題）如圖1,拋物線），=0^+云+3（。工0）與工軸交于A（-L0）,8（3,0）兩點,

⑴求拋物線的解析式：

⑵點P在拋物線上，點。在x軸上，以8,C，P,。為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；

⑶如圖2,拋物線頂點為。，對稱軸與x軸交于點E,過點K（l,3）的直線（直線K。除外）與拋物線交于G,

“兩點，直線QG,W7分別交x軸于點M,M試探究EM?硒是否為定值，若是，求出該定值；若不是,

說明理由.

4.（2024?四川成都?中考真題）如紹，在平面直角坐標系直外中，拋物線L：尸以2—加?3〃（。＞0）與“軸

交于A，8兩點（點A在點A的左側(cè)），其頂點為C,O是拋物線第四象限上一點.

（1）求線段AB的長;

（2）當a=l時，若...ACD的面積與△A3。的面積相等，求lan/ABD的值;

（3）延長CO交x軸于點E,當AD=OE時，將一AD8沿OE方向平移得到A'EB'?將拋物線L平移得到拋物

線L'，使得點A,9都落在拋物線U上.試判斷拋物線7/與L是否交于某個定點.若是，求出該定點坐標；

若不是，請說明理由.

5.（2025?四川自貢?中考真題）如圖，在V43C中，。,七分別是AC,的中點，連接。石，CE、BD交于點、G.

飴用圖

（1）若BD上CE,BD=1,CE=1,則四邊形AC￡）E的面積為；

3

（2）若BO+CE=],VAAC的最大面積為S.設(shè)=求S與）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；

（3）若（2）問中x取任意實數(shù)，將函數(shù)S的圖象依次向右、向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象.直

線），=&尸-勺交該圖象于點尸，H（尸點在〃點左邊），過點〃的直線，：匕交該圖象于另一點Q,

過點EQ的直線與直線x=l交于點K.若S"K=5〃￡Q，試問直線/是否過定點？若過定點，求出定點坐標；

若不過定點，請說明理由.

考點07二次函數(shù)綜合中存在性問題

1.(2025?四川資陽?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于AE兩點(點A在點8的

左邊)，與丁軸相交于點。(。,-3),且拋物線的頂點坐標為(1,-4).

備用圖

⑴求拋物線的表達式;

(2)。是拋物線上位于第四象限的一點，點。連接8COP相交于點正，連接收.若"DE與APBE

的面積相等，求點。的坐標；

⑶M,N是拋物線上的兩個動點，分別過點M.N作直線3C的垂線段，垂足分別為G,H.是否存在點

使得以M,MG,"為頂點的四邊形是正方形？若存在，求該正方形的邊長；若不存在，說明理由.

2.(2025?四川成都?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線尸M+法過點㈠；)，且對稱軸

為直線x=l,直線y=與拋物線交于A,B兩點，與x軸交于點C.

備用圖

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)當攵=1時，直線A8與y軸交于點。，與直線x=2交于點￡.若拋物線y=。-力『-1與線段DE有公共

點，求力的取值范圍：

(3)過點。與4B垂直的直線交拋物線于P,Q兩點，M,N分別是AB,夕。的中點.試探究：當出變化時，

拋物線的對稱軸上是否存在定點T,使得7C總是平分/M7N?若存在，求出點T的坐標：著不存在，請說

明理由.

3.（2025?四川南充?中考真題）拋物線），="+2『亍包工0）與工軸交于4（3,0）,4兩點，N是拋物線頂點.

（圖1）（圖2）

（1）求拋物線的解析式及點4的坐標.

（2）如圖1,拋物線上兩點？（〃?/）,Q（〃Z+2,），2）,若PQ〃BN、求機的值.

（3）如圖2,點M（-l「5）,如果不垂直于），軸的直線/與拋物線交于點G,H,滿足NGMN=4/MN.探究

直線/是否過定點？若直線/過定點，求定點坐標；若不過定點，請說明理由.

4.（2025?四川宜賓?中考真題）如圖，。是坐標原點，已知拋物線丁=-/+云+。與*軸交于八、8兩點,

（2）點。為拋物線上第一象限內(nèi)一點，連結(jié)陰），與直線AC交于點E,若DE：BE=1：2,求點。的坐標；

⑶若廣為拋物線的頂點，平移拋物線使得新頂點為若，又在原拋物線上，新拋物線與直線

x=l交于點N,連結(jié)尸P、PN,/FPN=\2伊.探新拋物線與x軸是否存在兩個不同的交點.若存在，求出

這兩個交點之間的距離：若不存在，請說明理由.

5.（2025?四川眉山?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線），=/"皿。關(guān)于直線X=3對稱，與

X軸交于4(7,0)、B兩點，與〉，軸交于點C.

⑴求拋物線的解析式；

⑵點P為拋物線對稱軸上一點，連接AP,將線段AP繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。，使點B的對應點。恰好落在

拋物線上，求此時點尸的坐標；

⑶在線段。C上是否存在點Q,使2AQ+&CQ存在最小值？若存在，請直接寫出點Q的坐標及最小值;

若不存在，請說明理由.

6.(2025?四川廣安?中考真題)如圖，二次函數(shù)y=+尿+《?(4c,為常數(shù))的圖象交x軸于4,B兩點,

交y軸于點C,已知點臺的坐標為(9,0),點C?的坐標為(0,-3),連接AC,BC.

(I)求拋物線的解析式.

(2)若點P為拋物線上的一個動點，連接PC,當/尸C8=NO8C時，求點尸的坐標.

(3)將拋物線沿射線C4的方向平移2屈個單位長度后得到新拋物線，點E在新拋物線上，點F是原拋物線

對稱軸上的一點，若以點8,C,E,尸為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點E的坐標.

7.[2025?四川涼山?中考真題)如圖，二次函數(shù))，?屬I0的圖像經(jīng)過人一3,0),網(wǎng)1,0),C(0,—3)三點.

（1）求拋物線的解析式;

⑵點P在直線AC下方的拋物線上運動，求點P到直線AC的最大距離;

⑶動點Q在拋物線的對稱軸上，蚱射線QA,若射線。繞點Q逆時針旋轉(zhuǎn)90。與拋物線交于點D,是否存

在點。使AQ=Q。？若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

8.（2024?四川雅安?中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=女2十〃*十3的圖象與人軸交于人（1,0）,

8（3,0）兩點，與），軸交于點C.

⑴求二次函數(shù)的表達式；

⑵如圖①，若點P是線段上的一個動點（不與點8,C重合），過點P作），軸的平行線交拋物線于點Q,

當線段，。的長度最大時，求點Q的坐標；

（3）如圖②，在（2）的條件下，過點Q的直線與拋物線交于點。，且NCQ/）=2NOCQ.在,，軸上是否存在

點、E,使得一跳見為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

9.12024?四川廣元?中考真題）在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線F：），=-/+6.+c經(jīng)過點A（-3,-1）,

與y軸交于點8(0,2).

CD

(2)在直線人臺上方拋物線上有一動點C,連接OC交八呂于點。，求而的最大值及此時點C的坐標;

(3)作拋物線F關(guān)于直線y=-\上一點的對稱圖象F,拋物線F與9只有一個公共點￡(點七在)，軸右側(cè)),

G為直線48上一點，〃為拋物線9對稱軸上一點，若以8,E,G,〃為頂點的四邊形是平行四邊形，求G

點坐標.

10.(2024?四川眉山?中考真題)如圖，拋物線)，=-丁+云+C與X軸交于點A(-3,0)和點8,與F軸交于點

(2)當點。在第一象限內(nèi)，且.58的面積為3時，求點。的坐標；

⑶在直線4c上是否存在點P,使△。叨是以尸。為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點尸的坐

標；若不存在，請說明理由.

11.(2024?四川涼山?中考真題)如圖，拋物線〃=+加+c與直線y=x+2相交于人(-2,0),網(wǎng)3即)兩點,

與-軸相交于另一點C.

⑴求拋物線的解析式；

⑵點。是直線A8上方拋物線上的一個動點（不與4B重合），過點〃作宜線軸于點。，交直線A8于

點E,當莊=2EO時，求。點坐標；

⑶拋物線上是否存在點M使.A4M的面積等于VABC面積的一半？若存在，請直接寫出點M的坐標；若

不存在，請說明理由.

12.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)＞=-2x+6的圖象與x軸交于點A,

與〉'軸交于點"，拋物線y=十"v+c經(jīng)過A、3兩點，在第一象限的拋物線上取一點。，過點。作/X?_Lx

（1）求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式；

（2）皓否存在點。，使得一用定和zMCE相似？若存在，請求出點。的坐標，若不存在，請說明理由；

⑶5是第一象限內(nèi)拋物線上的動點（不與點。重合），過點〃作“軸的垂線交于點G,連接。尸，當四

邊形EGFD為菱形時，求點。的橫坐標.

13.（2024?四川瀘州?中考真題）如紹，在平面直角坐標系1分中，已知拋物線）=0?+飯+3經(jīng)過點4（3,0）,

與y軸交于點兒且關(guān)于直線x=1對稱.

(1)求該拋物線的解析式；

⑵當-IWxWZ時，y的取值范圍是0<)*2，一1,求，的值；

(3)點C是拋物線上位于第一象限口勺一個動點，過點。作x軸的垂線交直線48于點。，在)，軸上是否存在點

E,使得以B,C,D,E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由.

14.(2024?四川達卅中考真題)如圖1,拋物線丁=江+日-3與x軸交于點4(-3,0)和點4(1,0),與>軸交

于點C.點。是拋物線的頂點.

(2)如圖2,連接AC,DC,直線AC交拋物線的對稱軸于點M,若點P是直線AC上方拋物線上一點，且

S&PMC=2s△血仁,求點P的坐標；

(3)若點N是拋物線對稱軸上位于點。上方的一動點，是否存在以點N,A,C為頂點的三角形是等腰三角

形，若存在，請直接寫出滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

15.(2023?四川資陽?中考真題)如圖，直線)，=3+3與1軸、)，軸分別交于4、4兩點，拋物線)，=-：/+法+。

經(jīng)過A、8兩點.

⑴求拋物線的表達式；

⑵點。是拋物線在第二象限內(nèi)的點，過點。作X軸的平行線與直線AB交于點C,求0c的長的最大值：

⑶點Q是線段40上的動點，點P是拋物線在第一象限內(nèi)的動點，連結(jié)尸。交y軸于點N.是否存在點P,

使與△8QN相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

16.（2023?四川甘孜?中考真題）已知拋物線y=f+飯+c與工軸相交于A（-1,0）,B兩點,與），軸相交于點

C（0,-3）.

（2）P為第一象限拋物線上一點，&相。的面積與aAAC的面積相等，求直線A尸的解析式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)E是直線8C上一點，點P關(guān)于AE的對稱點為點P，試探究，是否存在滿足條件

的點E使得點P'恰好落在直線8c上，如果存在，求出點〃的坐標；如果不存在，請說明理由.

17.（2023?四川雅安?中考真題）在平面直角坐標系中，己知拋物線），=/+云+。過點A（0,2）,對稱軸是直

線工=2.

(1)求此拋物線的函數(shù)表達式及頂點M的坐標；

(2)若點B在拋物線上，過點B作x軸的平行線交拋物線于點C、當ABCM是等邊三角形時，求出此三角形

的邊長：

⑶已知點￡在拋物線的對稱軸上，點的坐標為(1,-1),是否存在點八使以點A,D,E,尸為頂點的四

邊形為菱形？若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

18.(2023?四川內(nèi)江?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線)，=++法+c與x軸交于8(4,0),

。(-2,0)兩點.與)，軸交于點A(0「2).

⑴求該拋物線的函數(shù)表達式；

⑵若點〃是直線A8下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交4B于點K,過點尸作y軸的平行線

交工軸于點。，求與gPK+PD的最大值及此時點P的坐標；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使得AMAB是以A8為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求

出點M的坐標，若不存在，請說明理由.

考點08二次函數(shù)綜合中最值問題

1.(2023?四川眉山?中考真題)在平面直角坐標系中，已知拋物線)=4+法+。與x軸交于點A(—3,0),8(1,0)

(2)當點P在直線AC上方的拋物線上時，連接8『交4c于點Z).如圖1.當二的值最大時，求點尸的坐

Dn

標及的最大值；

DB

(3)過點尸作x軸的垂線交直線4c于點連接PC,將△PCM沿直線PC翻折，當點M的對應點AT恰好

落在『軸上時，請直接寫出此時點M的坐標.

2.(2。23?四川遂寧?中考真題)在平面直角坐標系中’。為坐標原點，拋物線，，=#+小,經(jīng)過點。(°,

0),對稱軸過點4(2,()),直線/過點C(2「2),且垂直于y軸.過點3的直線4交拋物線于點M、N,交

⑴求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當:MQ=3:5時，求點N的坐標:

(3)如圖2,當點。恰好在y軸上時，尸為直線《下方的拋物線上一動點，連接尸Q、尸。，其中PO交4于點E,

設(shè)」OQE的面積為5,-PQE的面積為邑.求今的最大值.

3.(2024?四川巴中?中考真題)在平面直角坐標系中，拋物線廣加+瓜+3("0)經(jīng)過人(TO),僅3,0)兩

且在直線8c的上方.

(2)如圖1,過點P作巴〃x軸，交直線8c于點E,若PE=2ED,求點尸的坐標.

⑶如圖2,連接AC.PC、AP,AP與BC交于點G，過點尸作PF"NC交BC于點F.記.ACG、JCG、.PGF

的面積分別為S；S?、S3.當衿*■取得最大值時，求sin/比P的值.

4.(2024?四川資陽?中考真題)已知平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線)，=-；/+力工+。與4軸交

于A,B兩點,與)，軸的正半軸交于。點，且磯40),8c=40.

⑴求