第1章勾股定理

考試時間：100分鐘；滿分：100分

姓名：班級：考號：

考卷信息：

本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋

面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內(nèi)容的具體情況！

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）在RtAABC中，斜邊BC=2,貝MB?+AC2+等于（）

A.8B.4C.6D.以上都不對

2.（3分）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學大會會徽取材于我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全

等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示：如果大正方形的面積是7,小正方形的

面積是2,直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊為從那么a+b的值為（）

A.2V3B.V7C.2V2D.V10

3.（3分）如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長是1,則任意兩個格點間的距離不可能是（）

ii

Ii

i1

ii

jljt

II

iI

?i

ii

A.V6B.V8C.V9D.V13

4.（3分）如圖，5個陰影四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形若正方形A、C＞。的面積依

次為4、5、20,則正方形8的面積為（）

A.8B.9C.10D.11

5.（3分）如圖，高速公路上有4、B兩點相距25km,C、。為兩村莊，已知D4=10km,CB=15km,DA1AB

于4。8148于8,現(xiàn)要在上建一個服務站E,使得C、。兩村莊到E站的距離相等，貝ME的長是（）

km.

10km

15km

C

A.5B.10C.15D.25

6.（3分）如圖，在數(shù)軸上，點A,B表示的數(shù)分別為0,2,BCLAB于點5,且8C=1.連接AC,在AC

上截取CZ）=BC,以點A為圓心，的長為半徑畫弧，交線段于點E,則點E表示的實數(shù)是（）

2D.V5-1

7.（3分）我國是較早了解勾股定理的國家之一.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的公式與證明是在西周由

商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的蔣銘祖對勾股定理作出了詳細注釋,并給出了另外一個證

明.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

A.

8.（3分）如圖所示，已知△ABC中，AB=6,AC=9,AZ）_LBC于。，M為4D上任一點，則MC2-MB?等

于（）

A.9B.35C.45D.無法計算

9.（3分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AD=9,AB=3,將其折疊，使點D與點B重合，折痕為EF,

那么折痕EF的長為（）

A.3B.V6C.VlOD.9

10.（3分）在44BC中，。是直線BC上一點，己知AB=15,AD=12,AC=13,CD=5,貝!的長為

（）

A.4或14B.10或14C.14D.10

填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）正方形力BCD的邊長為1,其面積記為S「以CD為斜邊作等腰直角二角形，以該等腰直角二角

形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2，…按此規(guī)律繼續(xù)下去，貝US2025的值為.

12.（3分）直角三角形的兩條直角邊為a和b,斜邊長為6,若a+b=8,則+a/=.

13.（3分）《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學著作，其中記載了一道有趣的題：“今有二人同所立，甲

行率七，乙行率三.乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會.問甲乙行各幾何？”其大意如下：已知甲、乙兩

人同時從一地出發(fā)，甲的速度為7步/秒（步為古代長度計量單位，與現(xiàn)在的米類似），乙的速度為3步/秒.乙

一直向東行走，甲向南行走10步后，偏離原方向，朝北偏東的方向直行一段后與乙相遇，問甲、乙各行走

了多少步?設(shè)乙經(jīng)過久秒后兩人相遇，則根據(jù)題意，可列方程為.

14.（3分）如圖1,四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢

代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，

如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5,短直角邊為2,圖3中陰影部分的面積為S,那么S的值為.

15.（3分）如圖，有一個圓柱形儲油罐，要以A點為起點環(huán)繞油罐側(cè)面建梯子，正好到達A點正上方的8

點，則梯子最短需要（已知油罐底面周長是12米，高8米）

16.（3分）若a+b=12,則V^”+V49+62的最小值為.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）已知：在RtAABC中，ZXCB=90°,CD1AB^D,AC=5,BC=12.求:

⑴求△力BC的面積;

(2)求線段4B的長；

(3)求高CD的長.

18.(6分)為了綠化環(huán)境，我市某中學有一塊四邊形的空地2BCD,如圖所示，學校計劃在空地上種植草

皮，經(jīng)測量乙4=90。,48=9m,￡M=12m,BC=8m,CD=17m,求出空地4BCD的面積.

D

19.(8分)在△ABC中，AB,BC、AC三邊的長分別為瓜VIU、V13,求這個三角形的面積.小華同

學在解答這道題時，先畫一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）,再在網(wǎng)格中畫出格點△力BC（即AABC

三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示.這樣不需求AABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積.這

種方法叫做構(gòu)圖法.

圖2

（"△ABC的面積為：

⑵若△DEF三邊的長分別為迷、V8,V17,請在圖2的正方形網(wǎng)格中畫出相應的

20.（8分）數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象.數(shù)與形也是有聯(lián)系的，這種聯(lián)系稱為

“數(shù)形結(jié)合”.利用“數(shù)形結(jié)合”思想可以直觀地幫助我們解決一些數(shù)學驗證或運算.

（1）我國是最早了解勾股定理的國家之一，該定理闡明了直角三角形的三邊關(guān)系.請你利用如圖對勾股定理

（即下列命題）進行驗證，從中體會“數(shù)形結(jié)合”的思想：

己知：如圖，在RtAABC和RtZkCOE中，NB=NO=/.ACE=90。，（點B,C,O在一條直線上），AB=CD=b,

BC—DE=a,AC=EC=c.

證明：a2+b2=c2；

⑵請利用“數(shù)形結(jié)合”思想，畫圖并推算出（a+b+c/的結(jié)果.

21.（8分）如圖是一個長8m、寬6m、高5m的倉庫，在其內(nèi)壁的點A（長的四等分點）處有一只壁虎、點

B（寬的三等分點）處有一只蚊子.則壁虎爬到蚊子處的最短距離為多少?。?/p>

22.(8分)勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的

工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一.它不但因為證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使人

入迷.

(1)應用場景1—在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點.

如圖1,在數(shù)軸上分別找出表示數(shù)0的點。，表示數(shù)3的點A,過點A作直線11。4在/上取點8,使AB=2,

以點。為圓心，0B的長為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點C表示的數(shù)是.

(2)應用場景2——解決實際問題.

如圖2,秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE=0.3m,將它往前推3m至C處時，水平距離CD=3m,踏

板離地的垂直高度CF=1.3m,秋千的繩索始終拉直，求秋千繩索力C的長.

23.(8分)如圖，長方形ABC。中，AB=10,AD=4.E為CD邊上一點、,CE=7.

(1)求AE的長；

(2)點尸從點8出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著邊向終點A運動，連接PE.設(shè)點尸運動的時間

為r秒.

①當r為何值時，APAE是等腰三角形;

第1章勾股定理

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（23-24八年級.寧夏吳忠?期中）在Rt△4BC中，斜邊8c=2,貝IM/+4。2+BC2等于（）

A.8B.4C.6D.以上都不對

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理可知BC2=45+402,進

22

而可知力82+力。2+BC2=BC+BC.

【詳解】解：：在RS4BC中，斜邊為BC,

：.BC2=AB2+AC2,

'：BC=2,

：.4=AB2+AC2,

：.AB2+AC2+BC2=BC2+BO2=4+4=8,

故選A.

2.（3分）（23-24八年級?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學大會會徽取材于我國

古代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示:

如果大正方形的面積是7,小正方形的面積是2,直角三角形的較短直角邊長為m較長直角邊為b,那么a+b

的值為（）

A.2V3B.V7c.2V2D.VTo

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理以及完全平方公式.根據(jù)大正方形的面積即可求得利用勾

股定理可以得到+爐=。2,然后求得直角三角形的面積即可求得M的值，根據(jù)（a+by=口2++

2ab=c2+2ab即可求解.

【詳解】解：如圖，???大正方形的面積是7,

c2=7,

a2+b2=c2=7,

「直角三角形的面積是（7-2）+4=',

.??直角三角形的面積是=p

24

75

???ab=2

（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab

5

=7+2x-

=12,

???a+b=2V3,

故選：A.

3.（3分）（23-24八年級.福建廈門.期中）如圖，在3X3的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長是1,則任

意兩個格點間的距離不可能是（）

A.V6B.V8C.V9D.V13

【答案】A

【分析】本題主要考查了勾股定理.利用直角三角形的勾股定理即可求出答案.

【詳解】解：：在3x3的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長是1,

任意兩個格點間的距離為V22+22=遮,V32+l2=V10,V9=3,

1,2,V32+32=3&,V22+I2=V5,V22+32=713.

...任意兩個格點間的距離不可能是歷，

故選：A.

4.（3分）（23-24八年級.重慶沙坪壩.期中）如圖，5個陰影四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三

角形，若正方形A、C、O的面積依次為4、5、20,則正方形8的面積為（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了正方形和勾股定理，根據(jù)已知條件以及勾股定理可得叢+SB=S0-Sc，根據(jù)正方

形的面積可得到結(jié)果，正確應用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：5個陰影四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，

..SA+SB=SD—sc,

「正方形A、C、。的面積依次為4、5、20,

；.SB=SD-Sc-SA=20-5-4=11,

故選：D.

5.（3分）（23-24八年級.陜西西安.階段練習）如圖，高速公路上有48兩點相距25km,C、。為兩村莊,

已知D4=10km,CB=15km,DAlAB^A,CB1AB于B,現(xiàn)要在力B上建一個服務站E,使得C、。兩村

莊到E站的距離相等，貝IJ4E的長是（）km.

AEB

D\

C

A.5B.10C.15D.25

【答案】C

【分析】根據(jù)題意設(shè)出力E的長為x,再由勾股定理列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)=則BE=25—比，

由勾股定理得：

在RtZlADE中，

DE2=AD2+AE2=102+%2,

在RMBCE中，

CE2=BC2+BE2=152+（25-x）2,

由題意可知：DE=CE,

所以：102+x2=152+（25-x）2,

解得：x=15km.

所以，E應建在距4點15kM處.

故選：C.

【點睛】本題考查正確運用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關(guān)鍵.

6.（3分）（23-24八年級?浙江紹興?期中）如圖，在數(shù)軸上，點A,8表示的數(shù)分別為0,2,8CLA8于

點、B,且3c=1.連接AC,在AC上截取CD=BC,以點A為圓心，的長為半徑畫弧，交線段AB于點

E,則點E表示的實數(shù)是（）

【答案】D

【分析】由題意可知，CD=CB=1,AD=AE,利用勾股定理求出AC的長，即可得到AE的長.

【詳解】由題意可得Cr>=CB=l,AD=AE,

?..點A,8表示的數(shù)分別為0,2,

'：BC±AB,

：.ZABC=90°,

：.AC=y/AB2+BC2=V5,

：.AD=AE=AC-CD=V5-1,

表示的數(shù)為：V5-1.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了勾股定理和數(shù)軸，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

7.(3分)(23-24八年級.安徽淮北?期中)我國是較早了解勾股定理的國家之一.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，

勾股定理的公式與證明是在西周由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的蔣銘祖對勾股定理作

出了詳細注釋，并給出了另外一個證明.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是()

【答案】C

【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，完全平方公式的應用，根據(jù)圖形面積之間的關(guān)系，逐項推理論證

判斷即可.

【詳解】解：A.大正方形的面積為：(a+b)2,也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積

為：(abx4+C?=2ab+°2,(a+b)2=2ab+?2,a2+=?2故本選項不符合題意；

B.梯形的面積為：|(a+b)(a+6)=*a2+62)+ab,也可看作是2個直角三角形和一個等腰直角三角形

組成，則其面積為：|abx2+1c2=afo+1c2,/.aft+1c2=|(a2+b2)+afa,可以證明勾股定理，故本

選項不符合題意；

C.圖形中不涉及直角三角形，故無法證明勾股定理，故本選項符合題意；

D.圖中圖形面積等于邊長為。的正方形面積，加上兩個直角邊分別為a、b的長方形面積，即其面積為：

c2+ab,也可看作是一個梯形面積加上一個等腰直角三角形的面積，則其面積為：乎(a+6)+12,

，W（a+b）+|c2=ab+c2,.,.a2+b2=c?故本選項不符合題意;

8.（3分）（23-24八年級.天津西青.期末）如圖所示，已知△ABC中，AB=6,AC=9,AO_L8C于。，M為

上任一點，則MC2-MB2等于（）

A.9B.35C.45D.無法計算

【答案】C

【詳解】【分析】由勾股定理求出BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2,MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2,再代入

可得MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）,化簡可求得結(jié)果.

【詳解】在RtAABD和RtAADC中，

BD2=AB2-AD2,CD2=AC2-AD2,

在RtABDM和RtACDM中，

BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2,MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2,

/.MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）

=AC2-AB2

=45.

故選c

【點睛】本題考核知識點：勾股定理.解題關(guān)鍵點：靈活運用勾股定理.

9.（3分）（23-24八年級?河北張家口.期末）如圖，在矩形紙片ABCD中，AD=9,AB=3,將其折疊，

使點D與點B重合，折痕為EF,那么折痕EF的長為（）

AED

A.3B.V6C.V10D.9

【答案】C

【分析】做點F做FH12D交AD于點H,因此要求出EF的長，只要求出EH和HF即可；由折疊的性質(zhì)可

得BE=DE=9-AE,在Rt△4BE中應用勾股定理求得AE和BE,同理在RtABC'FRt△4BE中應用勾股定理

求得BF,在Rt△中應用勾股定理即可求得EF.

【詳解】過點F做14。交AD于點H.

四邊形EFC'B是四邊形EFCD沿EF折疊所得,

；.ED=BE,CF=C，F(xiàn),BC=CD=3

VED=BE,DE=AD-AE=9-AE

.*.BE=9-AE

；RtAABE,AB=3,BE=9-AE

/.(9-AE)2=32+AE2

；.AE=4

；.DE=5

:.C'F=BC-BF=9-BF

J.Rt^BC'F,BC=3,C'F=9-BF

：.(9-BF)2+32=BF2

；.BF=5,EH=1

\'RtAEFH,HF=3,EH=1

/.EF=y/EH2+HF2=V32+l2=V10

故選：c.

【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問

題.

10.（3分）（23-24八年級?山東濱州?期末）在ZMBC中，D是直線BC上一點，已知力B=15,AD=12,AC=13,

CD=5,貝UBC的長為（）

A.4或14B.10或14C.14D.10

【答案】A

【分析】根據(jù)AC=13,AD=12,CD=5,可判斷出△ADC是直角三角形，在RtAADB中求出BD,繼而可得

出BC的長度.

【詳解】VAC=13,AD=12,CD=5,

：.AD2+CD2AC2,

...△ABQ是直角三角形，AD±BC,

由于點D在直線BC上，分兩種情況討論：

當點D在線段BC上時，如圖所示，

在RtA408中，BD=y/AB2-AD2=9,

則BC=BD+CD=14；

②當點D在BC延長線上時，如圖所示，

在RtAADB中，BD=>JAB2-AD2=9,

則BC=BD-CD=4.

故答案為：A.

【點睛】本題考查勾股定理和逆定理，需要分類討論，掌握勾股定理和逆定理的應用為解題關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（23-24八年級.北京?期中）正方形A8CD的邊長為1,其面積記為S「以CD為斜邊作等腰直角

三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2,…按此規(guī)律繼續(xù)下去，貝US2025

的值為______

/1、2024

【答案】G）

【分析】本題考查圖形規(guī)律探究，等腰直角三角形、正方形的性質(zhì)，勾股定理，總結(jié)歸納出規(guī)律是解題的關(guān)

鍵.

根據(jù)題意表示出Si，S2,S3的值，找到規(guī)律%=@"一:根據(jù)規(guī)律計算即可.

【詳解】解：由題意可知，面積為Si的正方形的邊長為1,SI=l,

面積為S2的正方形的邊長為％52=；,

2

面積為S3的正方形的邊長為忌，S3=（|）,

3

面積為S4的正方形的邊長為萬，X萬,S4=（|）,

72X72X72\2/

一般規(guī)律為：SR=

2025-12024

，則S2025=G）=/?1X.

小2024

故答案為：Q）.

12.（3分）（23-24八年級.遼寧沈陽?期中）直角三角形的兩條直角邊為a和b,斜邊長為6,若a+b=8,

貝!Ja3b+ab3=.

【答案】504

【分析】本題考查了勾股定理、完全平方公式、求代數(shù)式的值，先由勾股定理得出。2+匕2=36,利用完全

平方公式的變形得出ab=14,再將式子變形為a3。+ab3=ab（a2+塊），整體代入計算即可得解.

【詳解】解：???直角三角形的兩條直角邊為a和b,斜邊長為6,

???a2+/?2=62=36,

???a+b=8,

ab=一次-3+濟）=14）

2

a3b+ab3=aZ?（a2+b2）=14x36=504,

故答案為：504.

13.（3分）（23-24八年級?陜西商洛?期中）《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學著作，其中記載了一道有

趣的題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會.問甲乙行各幾何？”

其大意如下：已知甲、乙兩人同時從一地出發(fā)，甲的速度為7步/秒（步為古代長度計量單位，與現(xiàn)在的米

類似），乙的速度為3步/秒.乙一直向東行走，甲向南行走10步后，偏離原方向，朝北偏東的方向直行一

段后與乙相遇，問甲、乙各行走了多少步?設(shè)乙經(jīng)過x秒后兩人相遇，則根據(jù)題意，可列方程為.

【答案】（7x-IO/=102+（3x）2

【分析】根據(jù)題意畫出三角形ABC,用含x的代數(shù)式表示三邊長，利用勾股定理可得方程.

【詳解】解：如圖，兩人同時從A地出發(fā)，甲向南行走10步后到達C地后，偏離原方向.設(shè)尤秒兩人在B

處相遇，這時乙行駛4B=3%,甲共行駛AC+BC=7x,

'：AC=10,

：.BC=7x-10,

"：/.A=90°,

由勾股定理得：（7x—IO/=1。2+（3x）2,

故答案為：（7x—10）2=102+（3x）2.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出直角三角形，利用勾股定理是

解決問題的關(guān)鍵.

14.（3分）（23-24八年級?北京豐臺?期末）如圖1,四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一

個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.連接圖2

中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5,短直角邊為2,圖3中陰影部

分的面積為S,那么S的值為.

圖1圖2圖3

【答案】21

【分析】陰影部分由四個全等的三角形和一個小正方形組成，分別求三角形和小正方形面積即可.

【詳解】由題意作出如下圖，陰影部分由四個與AABD全等的二角形和一個邊長為BD的正方形組成

由題意得：AB=CD=2,BC=5,BD=BC-CD=3

11

,,SAABD="BD=&x3x2=3,

S小正方形=B￡>2=32=9

S=4sAABD+S小正方形=4x3+9=21

故答案為：21.

【點睛】本題考查了勾股定理的證明，根據(jù)正方形的面積公式和三角形形的面積公式得出它們之間的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

15.（3分）（23-24八年級.甘肅酒泉.期中）如圖，有一個圓柱形儲油罐，要以A點為起點環(huán)繞油罐側(cè)面建

梯子，正好到達A點正上方的2點，則梯子最短需要（已知油罐底面周長是12米，高8米）.

A

【答案】4V13m

【分析】本題考查了圓柱的側(cè)面展開圖，勾股定理；

將圓柱側(cè)面展開，得到長方形，然后利用勾股定理計算即可.

【詳解】解：把圓柱形儲油罐的側(cè)面展開，如圖：

?.?油罐底面周長是12米，高8米，

：.AC=12,BC=8,

：.AB=y/AC2+BC2=二122+82=4V13m,

即梯子最短需要4V

故答案為：4gm.

16.（3分）（23-24八年級?四川成都.期中）若a+b=12,則依不4+^^不笆的最小值為.

【答案】15.

【分析】構(gòu)造RtAAED和RtABEC,其中4E=a,AD=2,BE=b,CB=7,由圖可知當點C、E、D三

點共線時DE+CE最小，然后根據(jù)勾股定理求解即可

【詳解】解：構(gòu)造RtANED和RtZkBEC,

其中4E=a,AD=2,BE=b,CB=7,

那么Va2+4+/49+b?=DE+CE,

當點C、E、。三點共線時DE+CE最小，

且DE+CE=CD=J（7+2）2+（a+\產(chǎn)

二492+122

=15.

即迎2+4+A/49+爐的最小值為15.

故答案為：15.

【點睛】本題考查了兩點之間線段最短，以及勾股定理的應用，在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a

和b,斜邊為c,那么片+/=/.構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）（23-24八年級.甘肅隴南.期中）已知：在RtAABC中，ZXCB=90°,。。148于。，AC=5,

BC=12.求：

（1）求A4BC的面積；

（2）求線段4B的長：

（3）求高CD的長.

【答案】⑴30；

（2）13；

（3垮

【分析】（1）利用直角三角形的面積公式計算即可求解；

（2）根據(jù)勾股定理計算即可求解；

（3）利用三角形面積即可求解；

本題考查了直角三角形的面積，勾股定理，掌握勾股定理及三角形面積計算公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：VZTICB=90°,AC=5,BC=12,

.'.SAABC=|XC-BC=|x5x12=30；

（2）VzXCB=90°,AC=5,BC=12,

：.AB=y/AC2+BC2=V52+122=13；

(3)解：VCDLAB,

,?SAABC="CD,

：.-x13xCD=30,

2

：.CD=~.

13

18.（6分）（23-24八年級?山東淄博?期中）為了綠化環(huán)境，我市某中學有一塊四邊形的空地4BCD,如圖

所示，學校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量42=90°,AB=9m,DA=12m,BC=8m,CD=17m,求出空地

ABC。的面積.

【答案】空地4BCD的面積114m2

【分析】連接BD,在RtAABD中，利用勾股定理求出再利用勾股定理的逆定理判斷得到Rt△DBC,

最后利用S四邊形ABCD=SABAD+SADBC即可解答.本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理及逆定理

是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接

在RtZkABD中，BD2^AB2+AD2=92+122=152,

在ACBD中，CD2=172,BC2=82,

而82+152=172,

即BO2+B￡)2=CD2,

.?.△DBC為直角三角形，

.-.Z.DBC=90°,

S四邊形ABCD=SXBAD+S^DBC=5'""'AB+-DB-BC--X12x9+-xl5x8=114(m2),

答：空地4BCD的面積114m2.

19.（8分）（23-24八年級?寧夏固原?期中）在△ABC中，AB、BC、4C三邊的長分別為遮、VIU、VH,

求這個三角形的面積.小華同學在解答這道題時，先畫一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）,再在

網(wǎng)格中畫出格點AABC（即AABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示.這樣不需求△ABC的高,

而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積.這種方法叫做構(gòu)圖法.

圖2

（DA48C的面積為:

⑵若△DEF三邊的長分別為近、瓜V17,請在圖2的正方形網(wǎng)格中畫出相應的ADEF.

【答案】（%

（2）見解析

【分析】本題考查作圖-應用與設(shè)計、勾股定理;

（1）利用構(gòu)圖法求解即可;

（2）利用勾股定理和構(gòu)圖法作圖即可.

【詳解】(1)解：由圖可得，S-BC=3x3—1x2—}x2x3—1x3=]

故答案為：|.

（2）解：如圖，△DEF即為所求;

20.（8分）（23-24八年級?河南平頂山.期中）數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象.數(shù)

與形也是有聯(lián)系的，這種聯(lián)系稱為“數(shù)形結(jié)合”.利用“數(shù)形結(jié)合”思想可以直觀地幫助我們解決一些數(shù)學驗證

或運算.

（1）我國是最早了解勾股定理的國家之一，該定理闡明了直角三角形的三邊關(guān)系.請你利用如圖對勾股定理

（即下列命題）進行驗證，從中體會“數(shù)形結(jié)合'’的思想：

己知：如圖，在RtAABC和RtACDE中，NB=AD=ZXCF=90。，（點B,C,D在一條直線上），AB=CD=b,

BC=DE=a,AC=EC=c.

證明:a2+b2=c2；

（2）請利用“數(shù)形結(jié)合”思想，畫圖并推算出（a+b+c/的結(jié)果.

【答案】（1）見解析

（2）見解析，a2+爐+c?+2ab+2bc+2ac

【分析】本題考查了勾股定理的證明及完全平方公式，熟練掌握數(shù)形相結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

（1）利用面積法證明即可；

（2）利用面積法計算即可.

【詳解】（1）證明：梯形ABDE的面積=2x^ab+p2,

梯形4BDE的面積=…產(chǎn)）,

.?.2x16+Nc2=（a+b）x（a+b）,

222

（2）解：如圖所示:

大正方形的面積=a2+Z)2+c2+2ab+2bc+2ac,

(a+b+c)2=a2+h2+c2+2ab+2bc+2ac.

21.（8分）（23-24八年級.四川達州.期中）如圖是一個長8m、寬6m、高5m的倉庫，在其內(nèi)壁的點A（長

的四等分點）處有一只壁虎、點3（寬的三等分點）處有一只蚊子.則壁虎爬到蚊子處的最短距離為多少根？

A

【答案】V85m

【分析】本題主要考查了勾股定理，先將點A和點2所在的面展開，得到最符合條件的三種情況，連接4B,

利用勾股定理分別求解，即可得到答案，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可知，倉庫的長為8m、寬為6m、高為5m,點A是長的四等分點，點B是寬的三等分點

如圖1,此時AC=6m,CD=5m,BD=2m,

BC=BD+CD=7m,

AB=y/AC2+BC2=V85m；

如圖2,此時4F=6m,BG=EF=5m,FG=BE=2m,

AG=AF+FG=8m,

AB=y/AG2+BG2=V89m；

如圖3,止匕時AN=6m,MN=5m,BM=2m,

AM=AN+MN=11m,

AB=7AM2+BM2=V125m,

???V85<V89<V125,

???壁虎爬到蚊子處的最短距離為座

MB

22.(8分)(23-24八年級.遼寧大連?期中)勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是用代

數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一.它不但因為證明方法層出不窮吸引

著人們，更因為應用廣泛而使人入迷.

(1)應用場景1——在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點.

如圖1,在數(shù)軸上分別找出表示數(shù)0的點。，表示數(shù)3的點A,過點A作直線I1。4在/上取點2,使4B=2,

以點。為圓心，0B的長為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點C表示的數(shù)是.

(2)應用場景2——解決實際問題.

如圖2,秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE=0.3m,將它往前推3m至C處時，水平距離CD=3m,踏

板離地的垂直高度CF=1.3m,秋千的繩索始終拉直，求秋千繩索4c的長.

【答案】(i)vn

(2)5m

【分析】本題主要考查