認識無理數(shù)、算術(shù)平方根與平方根

01學習目標

課程標準學習目標

1.能正確地進行判斷某些數(shù)是否為有理數(shù)，加深對有理數(shù)和無

理數(shù)的理解.

①理解無理數(shù)

②理解算術(shù)平方根和平方2.理解數(shù)的算術(shù)平方根和平方根的概念，以及開平方的概念，

根，并掌握平方根的性質(zhì)會用根號表示一個數(shù)的平方根.

3.掌握平方根的性質(zhì)，并能應(yīng)用平方根的性質(zhì)解決問題.

02思維導圖

知識點3認識無理數(shù)

知識點知識點02算術(shù)平方根的概念及性質(zhì)

知識點03平方根的概念與性質(zhì)

題型01無理數(shù)的識別

認識無理數(shù)、算術(shù)平方

題型算術(shù)平方根與平方根概念理解

根與平方根02

題型03求一個數(shù)的算術(shù)平方根

題型04利用算術(shù)平方根的非負性解題

題型05求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分

題型

題型。6與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題

題型07求一個數(shù)的平方根

題型08已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)

題型09求代數(shù)式的平方根

題型10利用平方根的定義解方程

03知識清單

知識點01認識無理數(shù)

無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).

無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式.

【即學即練1】

1.在0、0.23、一6、雙、—>萬、0.1010010001...（它的位數(shù)無限且相鄰兩個"1"之間"0"的個數(shù)依次加

1個）這七個數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)是（）

兀22

2.在實數(shù)萬,—,0.1414,卷,0.1010010001...,1-6,o.i5中，無理數(shù)有.

知識點02算術(shù)平方根的概念及性質(zhì)

1.算術(shù)平方根的定義：如果一個正數(shù)X的平方等于a,即V=a,那么這個正數(shù)X叫做a的算術(shù)平方根（規(guī)

定0的算術(shù)平方根還是0）；。的算術(shù)平方根記作班,讀作“a的算術(shù)平方根”，。叫做被開方數(shù).

【即學即練1】

1.4的算術(shù)平方根是.

24.9益的算術(shù)平方根是.

知識點03平方根的概念與性質(zhì)

1.平方根的定義：如果V=a,那么x叫做。的平方根.求一個數(shù)。的平方根的運算，叫做開平方.平方

與開平方互為逆運算.。（。川）的平方根的符號表達為±&（。20）,其中G是。的算術(shù)平方根.

2.平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：土而和6

聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0.

(〃>0)

3.平方根的性質(zhì)77=|?1=o(G)=a(a>0)

(〃二0)

(〃<0)

【即學即練1】

1.下列說法正確的是（

A.2是4的平方根B.T的平方根是±2

C.4的平方根是2D（-2f的算術(shù)平方根是—2

2.144平方根是,（-7）2的算術(shù)平方根是,同的平方根是,|3-^|=,

題型精講

題型01無理數(shù)的識別

22

【典例1】在3.14,—,0.323,癇，萬，2.01001000100001……這六個數(shù)中，無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1】在兀，-幣,班石，3.1415,0.3,-3.20202020-4.1818818881…（每兩個1之

83

間依次增加一個8）中，無理數(shù)的個數(shù)有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

【變式2］已知實數(shù)0.16,3,萬，腐，師，其中為無理數(shù)的有個.

227T

【變式3】下列實數(shù)中：3.1416,如,―,0,一下,0.3131131113……（它的位數(shù)無限，且相鄰兩

個"3"之間的"1"依次增加1個），無理數(shù)有個.

題型02算術(shù)平方根與平方根概念理解

【典例2］下列說法正確的是（）

A.4是價%的算術(shù)平方根B.-4的平方根是±2

C.9的平方根是±3D.平方根等于它本身的數(shù)是0和1

【變式1】下列說法錯誤的是（）

A.4是16的算術(shù)平方根B.2是4的一個平方根

C.（-3）2的平方根是-3D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0

【變式2】下列說法中正確的個數(shù)是（）

①（-3）2的平方根是+3；②-加2沒有平方根；③非負數(shù)〃的平方根是非負數(shù)；④負數(shù)沒有平方根；（5）0

和1的平方根等于本身.

A.1個B.2個C.3個D4個

【變式3】下列語句：①任意一個數(shù)都有兩個平方根；②是1的平方根；③帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；

④短的平方根是±3；⑤（-2『的算術(shù)平方根2.其中正確的有（）

A.2個艮3個C.4個D5個

題型03求一個數(shù)的算術(shù)平方根

【典例3】瞿的算術(shù)平方根是

【變式1】2：的算術(shù)平方根是_______.

4

【變式2】16的平方根是,我？=.

［變式3］(I)VF=，7M7=，行=，7(^7=，再=，

對于任意實數(shù)。，猜想77=.

(2)(V4)2=,(V9)2=,(V25)2=,(屈y=,對于任意非負數(shù)a,

猜想(。了=.

題型04利用算術(shù)平方根的非負性解題

【典例4］若j2x+l+(y-3)2=O,則x+y=.

【變式1］已知|x+2yT2|+j2x+y-15=0,則無+》的算術(shù)平方根為.

【變式2】若實數(shù)。，b滿足卜+21+A/F三=0,則而^的值是.

【變式3】已知，機、〃是有理數(shù)，且病工+(〃+4)2=0,則亞不?的算術(shù)平方根是.

題型05求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分

【典例5］若M的整數(shù)部分為。，小數(shù)部分為6,則。=,b=.

【變式1】舊的整數(shù)部分是.小數(shù)部分是.

【變式2】已知2的整數(shù)部分是m,小數(shù)部分是〃，則川=,n=.

【變式3］已知a,b分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2a-b的值為.

題型06與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題

【典例6］按要求填空：

(1)填表并觀察規(guī)律：

a0.00040.044400

yfa

(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

已知：VZ2=2.638,則7755=;

已知：己.0038=0.06164,6=61.64,貝！Jx=

【變式1】(1)填表并觀察規(guī)律:

a0.00640.64646400

yfa—

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

①已知J33.64=5.8,則V33640000=；

②已知J12.25=3.5,4=0.035,則了=

(3)從以上問題的解決過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，試簡要說明.

【變式2】先填寫表，通過觀察后再回答問題團

a0.00010.01110010000

4a0.01X1y100

⑴表格中苫=,y=；

⑵從表格中探究。與血數(shù)位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題回

①已知何。3.16,則血旃七；

②已知疝=8.973,若揚=897.3,用含小的式子表示6,則匕=

(3)試比較而與。的大小.

【變式3】如圖，細心觀察圖形，認真分析下列各式，然后解答問題.

22

<?4=(71)+1=2,51=y；O&2=(可+1=3，邑=冬

22

(9A4=(73)+1=4,S3=~.

⑴推算出04；=.s10=.

(2)請用含〃(〃是正整數(shù))的式子填空:

0Al=S"=

2

(3)求出+邑2+§3?+…+Sl00的值.

題型07求一個數(shù)的平方根

【典例7】(1)9的平方根等于；(2)6；的平方根是；(3)黑的平方根是

【變式1]81的算術(shù)平方根是；庖的平方根是.

【變式2】25的算術(shù)平方根是______，霽的平方根是,J比的平方根是.

O1

【變式3】Q7的算術(shù)平方根是；辰的平方根是.

題型08已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)

【典例8】一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a與。-3,則。的值是.

【變式1】如果一個正數(shù)的平方根是。+3和2a-15,則這個正數(shù)是.

【變式2】已知一個正數(shù)的兩個不同的平方根是a+1和-2°,則這個正數(shù)是

【變式3]如果一個數(shù)的平方根是a-3和2a+15,貝匹的值為,這個數(shù)為.

【變式4】已知4a-ll的平方根是±3,2a+b+4的算術(shù)平方根是4,則7^^的值為一

題型09求代數(shù)式的平方根

【典例9】已知J1-36與J2a+1互為相反數(shù),求-3Z?+2a+6的平方根.

【變式1】一個正數(shù)b的平方根是2a-1與-〃+2,

⑴求a和Z?的值.

(2)求5。+/?平方根.

【變式2]已知2a+l的算術(shù)平方根是5,10+36的平方根是±4,c是J歷的整數(shù)部分，求。-56+c的平方根.

【變式3]一個正數(shù)x的兩個不同的平方根分別是2a-3和5-a.

⑴求。和x的值.

⑵求x+12a的平方根.

題型10利用平方根的定義解方程

【典例10】求下列各式中x的值.

⑴169f=100；⑵(X+1)2=81；(3)9尤2=25；(4)4(x-2)2=9.

【變式11求下列各式中x的值.

,17

(1)2x2=18;(2)x+2=—.

8

【變式2】已知一個正數(shù)的兩個平方根是。-6與3a-10.

⑴求a的值；

⑵求關(guān)于尤的方程G2-225=0的解.

【變式3】已知正實數(shù)。的兩個平方根分別是x和x+y.

(1)若尤=2,求>的值；

(2)若"2_2a(x+y)2=T,求a的值.

'p

05強化訓練

一、單選題

1.下列實數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

A.我B.0.23c.o.oiooioooiD.y/n

2.下列各式中，正確的是（）

A-J（-4『=-4B,土J（-4『=4C.7H7=±4D.=4

3.下列說法正確的是（）

A.7是49的算術(shù)平方根B.±4是16的算術(shù)平方根

C.-6是（-6）2的算術(shù)平方根D.0.01是0.1的平方根

4.有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示,當輸入的x為16時，輸出的y是（)

是有理數(shù)

A.4B.CC.2D.72

5.將一組數(shù)五,2,巫,2也,2g,…，而...按以下方式進行排列：

第一行72

第二行2任

第三行2行V102百

則第八行左起第1個數(shù)是（）

A.7A/2B.8^/2C.屈D.477

6.81的算術(shù)平方根是,81的平方根是,而的算術(shù)平方根是

7.在實數(shù)回0日,一遭，肛人中，無理數(shù)有個.

8.如果一個正數(shù)的兩個平方根分別是。+1和2a-7,則這個正數(shù)為.

9.如果A/^?+0-3）2=O,則而Z的算術(shù)平方根為.

10.觀察下列各式:,根據(jù)以上規(guī)律，寫出第

10個等式：________________

二、解答題

H.分求下列各式的值：

(1)±A/49;

121

⑵

256

(3)-7009

12.求下列各式中無的值.

(1)無2=4；

⑵尤2-81=0;

⑶25—=36;

(4)(%-1)2-169=0.

13.已知正數(shù)x的平方根分別是。+3和2a-15,且J2)-1=3.

⑴求X的值；

(2)求的算術(shù)平方根.

14.①3.14159,②石，③一亍，④42,⑤癇，⑥-0.318,⑦-2兀，⑧1.232232223…(每兩個3之

間依次多一個2)

⑴整數(shù)集合：｛

⑵分數(shù)集合：｛…｝;

⑶無理數(shù)集合：｛...｝.

15.(1)觀察發(fā)現(xiàn):

a(a>0)0.00010.01110010000

y[a0.011y100

表格中x=,.

(2)歸納總結(jié)：

被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動2位，相應(yīng)的算術(shù)平方根的小數(shù)點就向移動位.

(3)規(guī)律運用：

①已知石土2.24,貝;

②已知y/2m?7.07,75000x70.7,則機=.

16.如圖，這是一個無理數(shù)篩選器的工作流程圖.

輸入啊it平方根|是無理現(xiàn)|輸出歹

是有理數(shù)

(1)當％=49時，y=；當x=i6時，y=.

(2)當輸入X的值小于100,且輸出y的值是6時，輸入X的值可以是

17.如圖，一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達點2,點A表示的數(shù)為一起，設(shè)點8表示的

數(shù)為m.

-2-1012

⑴實數(shù)機的值是；

⑵求忱一1|一1-司的值;

⑶在數(shù)軸上還有C、。兩點分別表示實數(shù)C和"，且有|2c+4|與互為相反數(shù)，求2c+5d的平方根.

18.【課本再現(xiàn)】

一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于d即Y=a,那么這個正數(shù)x叫做。的算術(shù)平方根，記為0的算

術(shù)平方根是0,即④=0.所以被開方數(shù)a為非負數(shù).

【探究新知】

（1）若（血y=a,則a的取值范圍是.

【知識應(yīng)用】

（2）若|a+gl|+Ja-21+4=0,求（口+匕）。必的值.

【拓展應(yīng)用】

（3）若|2023-a|+Ja-2024=a,求a—20232的值.

參考答案

認識無理數(shù)、算術(shù)平方根與平方根

Q學習目標

課程標準學習目標

1.能正確地進行判斷某些數(shù)是否為有理數(shù)，加深對有理數(shù)和無

理數(shù)的理解.

①理解無理數(shù)

②理解算術(shù)平方根和平方2.理解數(shù)的算術(shù)平方根和平方根的概念，以及開平方的概念，

根，并掌握平方根的性質(zhì)會用根號表示一個數(shù)的平方根.

3.掌握平方根的性質(zhì)，并能應(yīng)用平方根的性質(zhì)解決問題.

思維導圖

知識點01認識無理數(shù)

知識點知識點02余平方根的概念及■

知識點03平方根的概念與性質(zhì)

題型。無理數(shù)的識別

認識無理數(shù)、算術(shù)平方1

根與平方根題型02算術(shù)平方根與平方根概念理解

題型03求一個數(shù)的算術(shù)平方根

題型04利用算術(shù)平方根的非負性解題

題型。5求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分

題型

題型06與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題

題型07求一個數(shù)的平方根

題型08已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)

題型09求代數(shù)式的平方根

題型10利用平方根的定義解方程

知識清單

知識點01認識無理數(shù)

無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).

無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式.

【即學即練1】

2?

1.（2023春?湖南長沙?七年級長沙市南雅中學校聯(lián)考階段練習）在0、0.23、一臟、雙、〒兀、0.1010010001...

（它的位數(shù)無限且相鄰兩個"1"之間"0"的個數(shù)依次加I個）這七個數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)無理數(shù)的意義，即可解答.

【詳解】解：在0、0.23>一啦、雙、y>萬、。.101。。1。。。1…（它的位數(shù)無限且相鄰兩個"1"之間"0"的個

數(shù)依次加1個）這七個數(shù)中，

颯=2,

無理數(shù)有：一貶、萬、Q101001000L..（它的位數(shù)無限且相鄰兩個"1"之間"0"的個數(shù)依次加1個），

所以，無理數(shù)共有3個，

故選:B.

22

2.（2023春?河北滄州?七年級校考階段練習）在實n數(shù)y,0.1414,卷,0.1010010001...

0.話中，無理數(shù)有個.

【答案】4

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)的小數(shù)，即可.

【詳解】團無限不循環(huán)的小數(shù)叫無理數(shù)，

回無理數(shù)為：g50.1010010001...,1一0,

團無理數(shù)有4個.

故答案為：4.

知識點02算術(shù)平方根的概念及性質(zhì)

1.算術(shù)平方根的定義：如果一個正數(shù)x的平方等于a,即V=a,那么這個正數(shù)X叫做a的算術(shù)平方根（規(guī)

定0的算術(shù)平方根還是0）；。的算術(shù)平方根記作班,讀作“a的算術(shù)平方根”，。叫做被開方數(shù).

【即學即練1】

1.（23-24七年級下?吉林?期中）4的算術(shù)平方根是.

【答案】2

【分析】本題考查了算術(shù)平方根的定義，熟練掌握算術(shù)平方根的概念是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)算術(shù)平方根的概念即可求出結(jié)果.

【詳解】解：?.?22=4，

.?.4的算術(shù)平方根是2,

故答案為：2.

2.（23-24七年級下?吉林松原?期中）4急9的算術(shù)平方根是.

7

【答案】而

【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，兩個非負實數(shù)a、b若滿足"=匕，那么。就叫做匕的算

術(shù)平方根，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：卷的算術(shù)平方根是忌=《,

、7

故答案為：—.

知識點03平方根的概念與性質(zhì)

1.平方根的定義：如果好=。，那么x叫做。的平方根.求一個數(shù)。的平方根的運算，叫做開平方.平方

與開平方互為逆運算.a（a20）的平方根的符號表達為±&（。20）,其中6是。的算術(shù)平方根.

2.平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：土和

聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負數(shù)；（3）。的平方根和算術(shù)平方根均為①

a（a〉0）

3.平方根的性質(zhì)J/=|a|=<0（a=0）（?"）=a（a0）

-a（a<0）

【即學即練1】

1.（2023春?安徽馬鞍山?七年級安徽省馬鞍山市第七中學校考期末）下列說法正確的是（）

A.2是4的平方根B.T的平方根是±2

C.4的平方根是2。2）2的算術(shù)平方根是—2

【答案】A

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根及平方根的定義逐項判斷即可.

【詳解】A.因為2?=4,所以2是4的平方根，故選項A符合題意；

B.負數(shù)沒有平方根，故選項B不符合題意；

C.4的平方根是±2,故選項C不符合題意；

D.算術(shù)平方根是正數(shù)，故選項。不符合題意.

【點睛】本題考查了平方根及算術(shù)平方根的定義，如果一個正數(shù)x的平方等于。，即那么這個正數(shù)x

是。的算術(shù)平方根；如果一個數(shù)的平方等于那么這個數(shù)叫做。的平方根，理解算術(shù)平方根及平方根定義

是解題關(guān)鍵.

2.（23-24八年級上?山東棗莊?階段練習）144平方根是,（-7『的算術(shù)平方根是,a的平方根

是,13-*.

【答案1±127±37T-3/-3+7T

【分析】根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義及絕對值的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：144平方根是±12,

（-7『的算術(shù)平方根是7,

病的平方根是±3,

|3-萬|=-（3-萬）="一3,

故答案為：±12,±3,萬-3.

【點睛】本題考查平方根和算術(shù)平方根的定義及絕對值的性質(zhì)，熟練掌握平方根和算術(shù)平方根的定義及絕

對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2

04題型精講

k

題型01無理數(shù)的識別

27

【典例1］（23-24七年級下?天津濱海新?期末）在3.14,—,0.323,版，乃，2.01001000100001……這

六個數(shù)中，無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有：①萬類，如2萬，

等；②開方開不盡的數(shù)，如血，節(jié)等;③具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（兩個1之間依次增加1

個0）,0.2121121112---（兩個2之間依次增加1個1）.直接根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可.

27

【詳解】解：在3.14,―,0.323,鬧，兀，2.01001000100001……這六個數(shù)中，

無理數(shù)有：乃，2.01001000100001……,共2個，

故選：B.

【變式1】（23-24七年級下?四川南充?期中）在無，一幣，＜/125,3.1415,0.3,-旦,一3.20202020…，

83

4.1818818881---（每兩個1之間依次增加一個8）中，無理數(shù)的個數(shù)有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

【答案】A

【分析】本題考查了無理數(shù)，根據(jù)無理數(shù)的定義即可求解，掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在兀，-幣,怩,3.1415,0.3,-6,-3.20202020...,4.1818818881…（每兩個1

83

之間依次增加一個8）中，無理數(shù)有兀，一幣,當,4.1818818881…（每兩個1之間依次增加一個8）,共

4個，

故選：A.

【變式2］（2024.陜西西安?模擬預(yù)測）已知實數(shù)0.16,3,萬，腐，而，其中為無理數(shù)的有個.

【答案】2

【分析】本題主要考查了無理數(shù)定義.初中范圍內(nèi)學習的無理數(shù)有三類：①萬類，如2%,3萬等；②開方

開不盡的數(shù)，如0,女等；③雖有規(guī)律但是無限不循環(huán)的數(shù)，如0.1010010001…，等.注意解答此類問

題時，常常要結(jié)合有理數(shù)概念來求解.

【詳解】解：0.16,3,后=5是有理數(shù)，萬，的是無理數(shù)，共2個無理數(shù)，

故答案為：2.

2?7T

【變式3］（23-24七年級下?上海黃浦?期中）下列實數(shù)中：3.1416,y/10,—,0,-,-^5,0.3131131113......

（它的位數(shù)無限，且相鄰兩個"3"之間的"1"依次增加1個），無理數(shù)有個.

【答案】4

【分析】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有：①兀類，如2心

W等；②開方開不盡的數(shù)，如應(yīng)，弱等；③具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001...（兩個1之間依次增

加1個0）,0.2121121112...（兩個2之間依次增加1個1）,

22

【詳解】解：3.1416,y,。是有理數(shù)；

回,-50.3131131113......（它的位數(shù)無限，且相鄰兩個"3"之間的"1"依次增加1個）是無理數(shù).

故答案為:4.

題型02算術(shù)平方根與平方根概念理解

【典例2］（23-24七年級下?陜西商洛,期末）下列說法正確的是（）

A.4是Ji石的算術(shù)平方根B.-4的平方根是±2

C.9的平方根是±3。.平方根等于它本身的數(shù)是。和1

【答案】C

【分析】本題考查了平方根與算術(shù)平方根的定義，解題的關(guān)鍵是掌握負數(shù)沒有平方根.根據(jù)平方根與算術(shù)

平方根的定義對各選項分析判斷即可.

【詳解】解：42是J比的算術(shù)平方根，故本選項錯誤，不符合題意；

8、負數(shù)沒有平方根，故本選項錯誤，不符合題意；

C、9的平方根是±3,故本選項正確，符合題意；

。、平方根等于它本身的數(shù)只有0,故本選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

【變式1］（23-24七年級下?江蘇南通,階段練習）下列說法錯誤的是（）

A.4是16的算術(shù)平方根B.2是4的一個平方根

C（-3）2的平方根是-3D0的平方根與算術(shù)平方根都是0

【答案】C

【分析】

此題考查了算術(shù)平方根、平方根，根據(jù)算術(shù)平方根、平方根的定義解答即可.

【詳解】

A、4是16的算術(shù)平方根，原說法正確，故此選項不符合題意；

8、2是4的一個平方根，原說法正確，故此選項不符合題意；

C、（-3）2的平方根是±3,原說法錯誤，故此選項符合題意；

。、0的平方根與算術(shù)平方根都是0,原說法正確，故此選項不符合題意；

故選：C.

【變式2】（23-24八年級上?湖南湘潭?期末）下列說法中正確的個數(shù)是（）

①（-3）2的平方根是+3；②沒有平方根；③非負數(shù)”的平方根是非負數(shù)；④負數(shù)沒有平方根；⑤0

和1的平方根等于本身.

A.1個B.2個C.3個D4個

【答案】A

【分析】此題考查了平方根的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的性質(zhì).

根據(jù)平方根的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：①（-3『的平方根是±3,原說法錯誤；

②當機=0時，-%2有平方根，原說法錯誤；

③非負數(shù)。的平方根可以是負數(shù)，原說法錯誤；

④負數(shù)沒有平方根，說法正確；

⑤0的平方根等于本身，原說法錯誤；

正確的為④，

故選人

【變式3】（23-24八年級上.安徽宿州?期中）下列語句：①任意一個數(shù)都有兩個平方根；②-1是1的平方

根；③帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；④病的平方根是±3；⑤（-2『的算術(shù)平方根2.其中正確的有（）

A.2個2.3個C.4個D5個

【答案】B

【分析】本題考查平方根及算術(shù)平方根，根據(jù)平方根及算術(shù)平方根的定義進行判斷即可.

【詳解】解：。的平方根為0,負數(shù)沒有平方根，則①錯誤；

-1是1的一個平方根，則②正確；

74=2,是有理數(shù)，則③錯誤；

A/81=9,其平方根是±3,則④正確；

（-2）2=4,其算術(shù)平方根是2,則⑤正確；

綜上，正確的有3個，

故選：B.

題型03求一個數(shù)的算術(shù)平方根

【典例3］（23-24七年級下?湖北宜昌?期末）黑的算術(shù)平方根是______.

49

4

【答案】|

【分析】本題考查了算術(shù)平方根，根據(jù)正的平方根是算術(shù)平方根，進行作答即可.

【詳解】解：H史,

17）49

164

回石的算術(shù)平方根為了.

、4

故答案為：—.

【變式1］（23-24七年級下.四川廣安?期中）2：的算術(shù)平方根是_______.

4

_3

【答案】I

【分析】本題考查了算術(shù)平方根的定義，熟記概念是解題的關(guān)鍵，難點在于此類題目帶分數(shù)要化為假分數(shù).

把帶分數(shù)化為假分數(shù)，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答.

【詳解】解：由題意得：舊=A=I,

2：1的算術(shù)平方根是3：，

42

3

故答案為：y.

【變式2】（23-24七年級下?廣東汕尾?階段練習）16的平方根是,屈二.

【答案】±49

【分析】本題考查平方根和算術(shù)平方根，熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

如果一個數(shù)的平方等于“，這個數(shù)就叫做a的平方根；一個正數(shù)的平方根的兩個，其中正的那個叫算術(shù)平方

根.根據(jù)定義求解即可.

【詳解】解：回（±4）2=16,

即6的平方根是±4；

092=81

0A/81=9；

故答案為：+4；9.

【變式31（2024七年級下?全國?專題練習）（1）后=,卜尸=，用=，卜7

=,＞對于任意實數(shù)o,猜想.

（2）（V4）12=，（方『=，（后『=，（屈了=,對于任意非負數(shù)m

猜想（后.

【答案】235601d492536a

【分析】本題考查了算術(shù)平方根.求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非

負數(shù)的算術(shù)平方根時，可以借助乘方運算來尋找.

（1）由（行『=同進行解答；

（2）由（&）=6?&進行計算.

【詳解】解：（1）萬=|2|=2,^3f=\-3\=3,正=|5|=5,6了=卜6|=6,再=0，對于任意實

數(shù)a,猜想值=時.

（2）（J可=22=4,同理（次）=9,（7^可=25,^\/36）=36,對于任意非負數(shù)。，猜想=a.

故答案為：2,3,5,6,0,問；4,9,25,36.a.

題型04利用算術(shù)平方根的非負性解題

【典例4］（23-24八年級下?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末）若j2x+l+（y-3）2=0,則x+y=.

【答案】|/21/2.5

【分析】本題主要考查偶次方及算術(shù)平方根的非負性，代數(shù)式求值，根據(jù)偶次方及算術(shù)平方根的非負性求

出x，y的值，代入x+y即可.

【詳解】解：???后工1+（丫-3）2=0

/.2x+1=0,y—3=0,

\1C

\x=--,y=3f

1。5

..x+y----F3=一,

22

故答案為：

【變式1】（23-24七年級下.北京?期中）已知|x+2y—12|+j2x+y_15=0,則x+y的算術(shù)平方根為.

【答案】3

【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，絕對值的非負性以及算術(shù)平方根的非負性質(zhì)，先利用非

負性質(zhì)求出x+y的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可.

【詳解】解：|x+2y-12|+j2x+y-15=0,

!3x+2y-12=0①，2x+y-15=0②，

由①+②得：3x+3y-27=0

整理得：3(x+y)=27,

解得：x+y=9,

回x+y的算術(shù)平方根為3.

故答案為：3.

【變式2](23-24七年級下?新疆喀什?期末)若實數(shù)。，6滿足卜+2|+揚行=0,則而I的值是.

【答案】1

【分析】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得a+2=0,b-3=0,

o=-2,b=3,據(jù)此代值計算即可.

【詳解】解：0|a+2|+^/^3=O)|a+2|>0，V&^3>0,

0|a+2|=-Jb-3=0,

團a+2=0,3=0,

回a=-2,b=3,

團yja+b=J-2+3=1，

故答案為：1.

【變式3】(23-24七年級下?四川廣安?期中)已知，機、w是有理數(shù)，且二1+("+4)2=0,則而一的

算術(shù)平方根是.

【答案】0

【分析】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)幾個非負數(shù)的和為0,那么這幾個數(shù)

的值都為。得到〃z-2=0,〃+4=0,則相=2,n=-^,再求出的值即可根據(jù)算術(shù)平方根的定義求

出答案.

【詳解】解：回J〃Z—2+(〃+4)2=0,Vm-2>0,(?+4)2>0,

13y]m—2=("+4y=0,

回憶一2=0,幾+4=0,

解得%=2,〃=T,

團y/lm+n=,2x2-4=0，

團0的算術(shù)平方根是0,

^2m+n的算術(shù)平方根是0,

故答案為：0.

題型05求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分

【典例5】若風的整數(shù)部分為。，小數(shù)部分為>，則。=,b=.

【答案】3M-3

【分析】根據(jù)3<加<4首先確定。的值，則小數(shù)部分即可確定.

【詳解】W：-.-3<J10<4,

..a=3,

貝lj6=質(zhì)-3.

故答案是：3,V10-3.

【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題.

【變式1】（20-21七年級上?山東泰安?階段練習）舊的整數(shù)部分是.小數(shù)部分是.

【答案】3VH-3

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分求解的方法直接進行求解即可.

【詳解】解：09<11<16,

回3<而<4,

團JIT的整數(shù)部分為3,

團而的小數(shù)部分為而-3;

故答案為3,Vn-3.

【點睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握求一個算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（23-24八年級下?河北廊坊?階段練習）已知M-2的整數(shù)部分是加，小數(shù)部分是〃，則機=

【答案】2V19-4

【分析】根據(jù)M的取值范圍，根據(jù)整數(shù)部分和小數(shù)部分的定義，即可求解，

本題考查了，求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)定義.

【詳解】解：回M-2的整數(shù)部分是加，小數(shù)部分是"，4VM<5,

Elm=2,n=V19-2-2=A/T9-4,

故答案為：2,A/19-4.

【變式3】已知a,6分別是相的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2a-6的值為.

【答案】9-A/13.

【分析】先求出介于哪兩個整數(shù)之間，即可求出它的整數(shù)部分，再用減去它的整數(shù)部分求出它的小

數(shù)部分，再代入即可.

【詳解】09<13<16,

03<V13<4,

0a=3,b=y/13-3,

02a-Z?=2x3-（舊-3）=6-舊+3=9-屈.

故答案為9-9.

【點睛】此題考查的是帶根號的實數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的求法，利用平方找到它的取值范圍是解決此

題的關(guān)鍵.

題型06與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題

【典例6］（23-24七年級下?江蘇南京,階段練習）按要求填空:

（1）填表并觀察規(guī)律：

a0.00040.044400

y[a

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

已知：x/7?2=2,638,貝^^/^二;

已知：70.0038=0.06164,&=61.64,貝也=.

【答案】（1）見解析；（2）26.38；3800

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，算術(shù)平方根，根據(jù)解題過程找出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

（1）先求出每個數(shù)的算術(shù)平方根，再填表即可；

（2）根據(jù)計算找出規(guī)律即可得到答案.

【詳解】解：（1）70.0004=0.02,J0.04=0.2，V?=2,"55=20,

填表如下：

a0.00040.044400

y[a0.020.2220

（2）由以上解答過程發(fā)現(xiàn)：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴大或縮小100倍，則它的算術(shù)平方根擴

大或縮小10倍，

?.-772=2.638

.-.7720=26.38;

VV0.0038=0.06164,

73800=61.64,

團=61.64,

/.x=3800.

【變式1］（23-24七年級下?安徽蕪湖,期中）（1）填表并觀察規(guī)律:

a0.00640.64646400

4a—

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

①已知,33.64=5.8,貝。V33640000=；

②已知J12.25=3.5,4=。035,則苫=.

（3）從以上問題的解決過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，試簡要說明.

【答案】（1）0.08,0.8,8,80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴大

wo倍或縮小為原來的專，則它的算術(shù)平方根擴大io倍或縮小為原來的:

【分析】本題考查算術(shù)平方根中的規(guī)律探究：

（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義，填表即可；

（2）根據(jù)表格可知：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴大100倍或縮小為原來的則它的算術(shù)平

方根擴大10倍或縮小為原來的力,進行求解即可；

（3）根據(jù)表格可知：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴大100倍或縮小為原來的焉，則它的算術(shù)平

方根擴大10倍或縮小為原來的A,作答即可.

【詳解】解：（1）填表如下：

a0.00640.64646400

\[a0.080.8880

（2）（1）733.64=5.8,貝I：733640000=5800;

故答案為：5800；

②已知J12.25=3.5,4x=0.035,貝Ux=0.001225；

故答案為：0.001225；

（3）由表格可知：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴大100倍或縮小為原來的右，則它的算術(shù)平方

根擴大10倍或縮小為原來的I.

【變式2】（23-24七年級下?貴州黔東南?階段練習）先填寫表，通過觀察后再回答問題國

a0.00010.01110010000

y[a0.01X1y100

⑴表格中工=,y=；

⑵從表格中探究。與血數(shù)位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解